\(x=\frac { 1 }{ 2-\sqrt { 3 } } \)
\(\Rightarrow x=\frac { 1 }{ 2-\sqrt { 3 } } \times \frac { \left( 2+\sqrt { 3 } \right) }{ \left( 2+\sqrt { 3 } \right) } \)
\(\Rightarrow \quad \frac { 2+\sqrt { 3 } }{ 4-3 } =2+\sqrt { 3 } \)
⇒ (x-2) = √3
⇒ (x-2)² = (√3)² = 3
x² - 4x + 4 = 3
x²- 4x + 4 - 3 = 0
x² - 4x + 1 = 0
x³ - 2x² - 7x + 5
x(x² - 4x + 1)+ 2(x² - 4x + 1) + 3= X0 + 2X0 + 3 = 3

\(\frac { 1 }{ 3+\sqrt { 7 } } =\frac { 1 }{ 3+\sqrt { 7 } } \times \frac { 3-\sqrt { 7 } }{ 3-\sqrt { 7 } } =\frac { 3-\sqrt { 7 } }{ 9-7 } =\frac { 3-\sqrt { 7 } }{ 2 } \)
\(\frac { 1 }{ \sqrt { 7 } +\sqrt { 5 } } =\frac { 1 }{ \sqrt { 7 } +\sqrt { 5 } } \times \frac { \sqrt { 7 } -\sqrt { 5 } }{ \sqrt { 7 } -\sqrt { 5 } } =\frac { \sqrt { 7 } -\sqrt { 5 } }{ 2 } \)
\(\frac { 1 }{ \sqrt { 5 } +\sqrt { 3 } } =\frac { 1 }{ \sqrt { 5 } +\sqrt { 3 } } \times \frac { \sqrt { 5 } -\sqrt { 3 } }{ \sqrt { 5 } -\sqrt { 3 } } =\frac { \sqrt { 5 } -\sqrt { 3 } }{ 5-3 } \)
\(=\frac { \sqrt { 5 } -\sqrt { 3 } }{ 2 } \)
\(\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } +1 } =\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } +1 } \times \frac { \sqrt { 3 } -1 }{ \sqrt { 3 } -1 } =\frac { \sqrt { 3 } -1 }{ 3-1 } =\frac { \sqrt { 3 } -1 }{ 2 } \)
\(LHS=\frac { 3-\sqrt { 7 } }{ 2 } +\frac { \sqrt { 7 } -\sqrt { 5 } }{ 2 } +\frac { \sqrt { 5 } -\sqrt { 3 } }{ 2 } +\frac { \sqrt { 3 } -1 }{ 2 } \)
\(=\frac { 3-1 }{ 2 } =\frac { 2 }{ 2 } =1=RHS\)

\(\frac { 7+3\sqrt { 5 } }{ 3+\sqrt { 5 } } -\frac { 7-3\sqrt { 5 } }{ 3-\sqrt { 5 } } =a+\sqrt { 5 } b\)
\(\\ \frac { (7+3\sqrt { 5 } )\left( 3-\sqrt { 5 } \right) }{ (3+\sqrt { 5 } )\left( 3-\sqrt { 5 } \right) } -\frac { (7+3\sqrt { 5 } )\left( 3+\sqrt { 5 } \right) }{ (3+\sqrt { 5 } )\left( 3+\sqrt { 5 } \right) }\)
\( \\ =\frac { 21-7\sqrt { 5 } +9\sqrt { 5 } -15 }{ 9-5 } -\frac { 21+7\sqrt { 5 } +9\sqrt { 5 } -15 }{ 9-5 } \)
\(\\ =a+5\sqrt { b }\)
\( \\ \frac { 6+2\sqrt { 5 } }{ 4 } -\frac { 6-2\sqrt { 5 } }{ 4 } =a+\sqrt { 5 } b\)
\(\\ =\frac { \left( 6+2\sqrt { 5 } \right) -\left( 6-2\sqrt { 5 } \right) }{ 4 } =a+\sqrt { 5 } b\)
\(\\ \frac { 4\sqrt { 5 } }{ 4 } =a+\sqrt { 5 } b\)
\(\\ \sqrt { 5 } =a+\sqrt { 5 } b\)
\(\\ a=0,b=1\)

\(=\frac { 40 }{ 2\sqrt { 10 } +\sqrt { 2\times 2\times 5 } +\sqrt { 2\times 2\times 10 } -2\sqrt { 5 } } \)
\(\\ =\frac { 40 }{ 2\sqrt { 10 } +\sqrt { 20 } +\sqrt { 40 } -2\sqrt { 5 } } \)
\(\\ =\frac { 40 }{ 4\sqrt { 10 } } =\frac { 10 }{ \sqrt { 10 } } \)
\(\\ \sqrt { 10 } =3.162\)

The two irrational numbers between 2 and 2.5 can be taken as
2.101001000100001...
2.201001000100001...

\(\frac { 3 }{ 5 } =\frac { 3\times 8 }{ 5\times 8 } =\frac { 24 }{ 40 } \)
\(\\ \frac { 7 }{ 8 } =\frac { 7\times 5 }{ 8\times 5 } =\frac { 35 }{ 40 } \)
\(\\ \because 24<25<26<27<35\)
\(\\ \therefore \frac { 24 }{ 40 } <\frac { 25 }{ 40 } <\frac { 26 }{ 40 } <\frac { 27 }{ 40 } <\frac { 35 }{ 40 } \)
Hence, three rational numbers between  \(\frac { 3 }{ 5 } \) and \(\frac { 7 }{ 8 } \) can be taken as
\(\frac { 25 }{ 40 } ,\frac { 26 }{ 40 } \) and \(\frac { 27 }{ 40 } \)
\(\frac { 5 }{ 8 } ,\frac { 13 }{ 20 } \) and \(\frac { 27 }{ 40 } \) 

\(\sqrt { \frac { \left( \sqrt { 2 } -1 \right) }{ \left( \sqrt { 2 } +1 \right) } } \)is an irrational number.
\(\sqrt { \frac { \left( \sqrt { 2 } -1 \right) }{ \left( \sqrt { 2 } +1 \right) } } =\sqrt { \frac { \left( \sqrt { 2 } -1 \right) }{ \left( \sqrt { 2 } +1 \right) } \times \frac { \left( \sqrt { 2 } -1 \right) }{ \left( \sqrt { 2 } -1 \right) } } \)
\(=\sqrt { \frac { { \left( \sqrt { 2 } -1 \right) }^{ 2 } }{ 2-1 } } \)
\(=\sqrt { \frac { { \left( \sqrt { 2 } -1 \right) }^{ 2 } }{ 1 } } =\sqrt { 2 } -1\)
which is an irrational number.
Let, there is a number x such that x³ is an irrational number but x⁵ is a rational number.
Let, x =\(\sqrt[5]{7}\) be the number.
⇒ x³ = (5√7)³ = (7)^3/5
is an irrational number.
But x⁵ = (\(\sqrt[5]{7}\))⁵=(7)^5/5  = 7
=7 is a rational number.
(ii) Accepting own mistakes gracefully, co-operative learning among the classmates.

\(x=3-2\sqrt { 2 } \Rightarrow \frac { 1 }{ x } =3+2\sqrt { 2 } \)
\({ \left( \sqrt { x } +\frac { 1 }{ \sqrt { x } } \right) }^{ 2 }=8\)
\(\Rightarrow \sqrt { x } +\frac { 1 }{ \sqrt { x } } =\pm 2\sqrt { 2 } \)

\(\frac { 1 }{ 1+{ x }^{ a-b } } +\frac { 1 }{ 1+{ x }^{ b-a } } =\frac { { x }^{ b } }{ { x }^{ b }+{ x }^{ a } } +\frac { { x }^{ a } }{ { x }^{ a }+{ x }^{ b } } \)
\(=\frac { { x }^{ b }+{ x }^{ a } }{ { x }^{ a }+{ x }^{ b } } \)

\(\frac { { 3 }^{ 30 }+{ 3 }^{ 29 }+{ 3 }^{ 28 } }{ { 3 }^{ 31 }+{ 3 }^{ 30 }-{ 3 }^{ 29 } } =\frac { { 3 }^{ 38 }\left( { 3 }^{ 2 }+{ 3 }^{ 1 }+1 \right) }{ { 3 }^{ 29 }\left( { 3 }^{ 2 }+{ 3 }^{ 1 }-1 \right) } \)
\(=\frac { \left( 9+3+1 \right) }{ 3\left( 9+3-1 \right) } \)
\(=\frac { 13 }{ 3\times 11 } =\frac { 13 }{ 33 } \)