ஓர் வட்ட நாற்கரத்தின் எதிர்கோணங்களின் கூடுதல் 180°.
\(\angle\)A + \(\angle\)C = 180°
4y + 20° + 4x = 180
4x + 4y = 180 - 20

x + y = 40°                                  ....(1)
\(\angle\)B + \(\angle\)D = 180°
3y - 5 + 7x + 5 = 180
73 + 3y = 180                             .....(2)

                                                        y = 25°
y = 25° என (1) ல் பிரதியிட
x + 25° = 40°
x = 40° - 25°
x = 15°
\(\angle\)A = (4y + 20)° = (4 \(\times\) 25° + 20°) = 100° + 20° = 120°
\(\angle\)B = (3y - 5)° = (3 \(\times\) 25° - 5) = 75° - 5° = 70°
\(\angle\)C = (4x)° = 4 \(\times\) 15° = 60°
\(\angle\)D = (7x + 5)° = (7 \(\times\) 15° + 5°) = 105° + 5° = 110°
\(\therefore\) \(\angle\)A = 120°, \(\angle\)B = 70°, \(\angle\)C = 60°, \(\angle\)D = 110°

நெடுஞ்சாலையில் A மற்றும் B என்ற புள்ளிகளுக்கு இடையேயுள்ள தூரம் =70 கி.மீ
இரு மகிழுந்துகளின் வேகங்கள் =x கி.மீ/மணி, y கி.மீ/மணி
இரு மகிழுந்துகளும் ஒரே திசையில் பயணித்தால் இவற்றின் நெருங்கும் வேகம் =x -y  கி.மீ/மணி

கணக்கின் படி, =\(\frac { +70 }{ x-y } \)=7
x-y=\(\frac { +70 }{ 7 } \)=10
x-y=10     ........(1)

இரு மகிழுந்துகளும் ஒன்றை நோக்கி மற்றொன்று பயணித்தால் நெருங்கும் வேகம் =x +y கி.மீ/மணி

கணக்கின் படி,  1=\(\frac { 70 }{ x+y } \)
x+y=70   ......(2)
சமன்பாடு (2) + (1)
x - y = 10
x + y = 70
_________
2x    =80
x     =40
x=40 என சமன்பாடு (2)ல் பிரதியிட
x+y=70
40+y=10
y=70-40=30
y=30
x=40; y=30
இரு மகிழுந்துகளின் வேகங்கள் =40 கி.மீ/மணி, 30 கி.மீ/மணி.

ஈரிலக்க எண் = xy என்க
அதன் இட மதிப்பு = 10x + y
இலக்கங்களை இடமாற்றம் செய்தபின் அந்த எண் yx என்க.
அதன் இடமதிப்பு = 10y +x
அவற்றின் கூடுதல் = 10x + y + 10y + x = 110
11x + 11y = 110
x + y = 10                  ... (1)
எண் 10 ஐ முதல் எண்ணிலிருந்து கழித்தபின் அந்த எண்ணின் மதிப்பு = 10x + y - 10
முதல் எண்ணின் இலக்கங்களின் கூடுதல் = x + y.
5 மடங்குடன் 4 ஐ கூட்ட = 5(x + y) + 4
\(\therefore\) 10x + y - 10 = 5x + 5y + 4
10x + y - 5x - 5y = 4 + 10
5x - 4y = 14              ....(2)

y = 4 என (1) ல் பிரதியிட
x + 4 = 10
x = 10 - 4 = 6
\(\therefore\) முதல் எண் 64

x=3, x=5 மற்றும் 2x-y-4=0
x=3

புள்ளிகள் (3, -2), (3, -1), (3, 0), (3, 1), (3, 2)
x =5

புள்ளிகள் (5, -2), (5, -1), (5, 0), (5, 1), (5, 2)
2x - y - 4 = 0, y = 2x - 4

ABCD என்ற நாற்கரத்தின் பரப்பு =8 சதுர அலகுகள்.
 

அதிக விட்டமுடைய குழாய் நீர் நிரப்ப எடுக்கும் நேரம் x என்க
குறைந்த விட்டமுடைய குழாய் நீர் நிரப்ப எடுக்கும் நேரம் y என்க.
1 மணி நேரத்தில் அதிக விட்டமுடைய குழாயால் நீர் நிரம்புவது = \(\frac{1}{a}\)
1 மணி நேரத்தில் குறைந்த விட்டமுடைய குழாயால் நீர் நிரம்புவது =  \(\frac{1}{b}\)
\(\begin{aligned} \therefore \quad \frac{1}{x}+\frac{1}{y} & =\frac{1}{24} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \frac{8}{x}+\frac{18}{y} & =\frac{1}{2} \end{aligned}\)
\(\frac{1}{x}=a, \frac{1}{y}=b\) எனில்
a + b = \(\frac{1}{24}\)
24a + 24b = 1
24a + 24b - 1 = 0             ......(1)
8a + 18b = \(\frac{1}{2}\)
16a + 36b = 1
16a + 36b - 1 = 0             ......(2)
குறுக்குப் பெருக்கல் முறைக்காகக் கெழுக்களைப் பின்வருமாறு எழுதலாம்
\(\begin{aligned} \frac{a}{-24+36} & =\frac{b}{-16+24}=\frac{1}{864-384} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \frac{a}{12} & =\frac{b}{8}=\frac{1}{480} \end{aligned}\)

\(\begin{array}{l|l} \therefore \frac{a}{12}=\frac{1}{480} & \frac{b}{8}=\frac{1}{480} \end{array}\)

\( a=\frac{1}{a}=40\)   \(b=\frac{1}{b}=60\)
\(\therefore\)  x = 40                 y = 60
\(\therefore\)  நீச்சல் குளத்தை நிரப்ப அதிக விட்டமுடைய குழாய் எடுத்துக் கொள்ளும் நேரம் 40 மணி நேரம் நீச்சல் குளத்தை நிரப்ப குறைந்த விட்டமுடைய குழாய் எடுத்துக் கொள்ளும் நேரம் 60 மணி நேரம்

A, B யின் மாதாந்திர வருமானம் = x என்க
A, B யின் மாதாந்திர செலவுகள் = y என்க
3x - 5y = 5000         ....(1)
4x - 7y = 5000         ....(2)

y = 5000 என (1) ல் பிரதியிட
3x - 5 (5000) = 5000
3x - 25000 = 5000
3x = 5000 + 25000

\(\therefore\) A ன் மாதாந்திர வருமானம்  = 3x = 3 \(\times\) 10000 = ரூ 30000
B ன் மாதாந்திர வருமானம் = 4x = 4 \(\times\) 10000 = ரூ 40000

இரண்டு மகிழுந்துகளின் வேகம் x, y என்க, அவை ஒன்றையொன்று எதிர்நோக்கி பயணித்தால்
அவை 1 மணி நேரத்தில் சந்திக்கும் எனில் d = 100; \(\frac{d}{s}=t\)
i.e., \(\frac{100}{x+y}=1 \Rightarrow x+y=100\)                ....(1)
இரண்டு மகிழுந்துகளும் ஒரே திசையில் பயணித்தால் அவை 2 மணி நேரத்தில் சந்திக்கும்.

(1) \(\Rightarrow\) x + y = 100
y = -x + 100

வரைபடத்தில் குறிக்க வேண்டிய புள்ளிகள் 
(0, 100), (100, 0)
(2) \(\Rightarrow\) x - y = 50
-y = -x + 50
y = x - 50

வரைபடத்தில் குறிக்க வேண்டிய புள்ளிகள் (0, -50), (50, 0)
x + y = 100                                    ....(1)
x = 0 என (1) ல் பிரதியிட, 0 + y = 100 \(\Rightarrow\) y = 100
A(0, 100) ஆனது நேர்க்கோடு (1) ன் மீது அமையும் புள்ளி
y = 0 என (1) ல் பிரதியிட, x + 0 = 100 \(\Rightarrow\) x = 100
B (100, 0) ஆனது மற்றொரு புள்ளியாகும் (1)
வரைபடத்தில் A & B புள்ளிகளைக் குறித்து அவற்றை இணைக்க நேர்க்கோடு (1) கிடைக்கும்.
மேலும்   x - y = 50                 .....(2)
x = 0  என (2), ல் பிரதியிட 0 - y = 50
\(\Rightarrow\) y = -50
P(0, -50) ஆனது ஒரு புள்ளியாகும் (2)
y = 0 என (2) ல் பிரதியிட, x - 0 = 50
\(\Rightarrow\) x = 50
Q (50, 0) ஆனது மற்றொரு புள்ளியாகும்
வரைபடத்தில் P & Q புள்ளிகளைக் குறித்து அவற்றை இணைக்க நேர்க்கோடு (2) கிடைக்கும்
இரண்டு கோடுகளும் ஒன்றையொன்று (75, 25) என்ற புள்ளியில் வெட்டிக்கொள்கின்றன. எனவே நேர்கோடுகள் (1) & (2) ன் தீர்வு (75, 25) ஆகும்
எனவே இரண்டு மகிழ்ந்துகளின் வேகம் முறையே x மற்றும் y ஆனது
x = 75 கி.மீ
y = 25 கி.மீ

i) \(\frac { 2(x+1) }{ 3 } =\frac { 3(x-2) }{ 5 } \)
குறுக்குப் பெருக்கல் படி,

5 x 2(x+1) = 3 x (x-2)
10(x+1)=9(x-2)
10x+10=9x-18
10x-9x=18-10
x=-28
தீர்வு, x =-28
ii) \(\frac { 2 }{ x+1) } =4-\frac { x }{ x+1 }\)
\(\frac { 2 }{ x+1 } +\frac { x }{ x+1 } \)=4
\(\frac { 2+x }{ x+1 } \)=4
2+x=4(x+1)=4x+4
2-4=4x-x
-2=3x
3x=-2
x=-\(\frac{2}{3}\)
தீர்வு x=-\(\frac{2}{3}\).

5x-3=0; 4P=-12

கொடுக்கப்பட்ட இரு நேரிய சமன்பாடுகள்
8x + 5y = 9
5x + 10y = 15
\(\left[ \begin{matrix} { a }_{ 1 }x+{ b }_{ 1 }y+{ c }_{ 1 }=0 \\ { a }_{ 2 }x+{ b }_{ 2 }y+{ c }_{ 2 }=0 \end{matrix} \right] \)
இங்கு a₁ = 8, b₁ = 5, c₁ = 9, a₂ = k,b₂ = 10,c₂ = 15
தீர்வுகள் இல்லையெனில் \(\frac { { a }_{ 1 } }{ { a }_{ 2 } } =\frac { { b }_{ 1 } }{ { b }_{ 2 } } \neq \frac { { c }_{ 1 } }{ { c }_{ 2 } } \) ஆகவே, \(\frac { 8 }{ k } =\frac { 5 }{ 10 } \neq \frac { 9 }{ 15 } \)
80 = 5k
k = 16

கொடுக்கப்பட்ட நேரிய சமன்பாடுகள்
kx + 2y = 3 ......(1)
2x - 3y = 1 .......(2)
\(\left[ \begin{matrix} { a }_{ 1 }x+{ b }_{ 1 }y+{ c }_{ 1 }=0 \\ { a }_{ 2 }x+{ b }_{ 2 }y+{ c }_{ 2 }=0 \end{matrix} \right] \)
இங்கு a₁ = k, b₁ = 2, a₂ = 2, b₂ = −3 ;
ஒரேயொரு தீர்வு உண்டெனில் \(\frac { { a }_{ 1 } }{ { a }_{ 2 } } ↑ \frac { { b }_{ 1 } }{ { b }_{ 2 } } \) எனக் கருதுவோம். எனவே \(\frac { k }{ 2 } \neq \frac { 2 }{ -3 } \); ஆகவே \(k\neq \frac { 4 }{ -3 } \)

கொடுக்கப்பட்டவை, 4a + 3b = 65 .....(1)
a + 2b = 35 .....(2)
(2) ஐ 4 ஆல் பெருக்க    4a + 8b = 140
(1) இலிருநது                 4a + 3b = 65
                                       (-)    (-)   (-)
                                       ----------------------
                                                5b  = 75 இதிலிருந்து b = 15
b = 15 என (2) இல் பிரதியிட,
a + 2(15) = 35 இதிலிருந்து a = 5
ஆகவே, தீர்வு a = 5, b = 15.
சரிபார்த்தல்:
4a+3b = 65 ...(1)
4(5)+3(15) = 65
20 + 45 = 65
65 = 65 மெய்
a + 2b = 35 ...(2)
5 + 2(15) = 35
5+30 = 35
35 = 35 மெய்

கொடுக்கப்பட்டவை 
x – 2y = 7 …(1)
2x + 3y = 7 …(2)
x =5, y =-1 எனில், நமக்குக் கிடைப்பது,
(1) இலிருந்து x – 2y = 5 – 2(−1) = 5 + 2 = 7 (வலது பக்கம்)
(2) இலிருந்து 2x + 3y = 2(5) + 3(−1) = 10−3 = 7 (வலது பக்கம்)
ஆகவே, x = 5, y = -1 என்ற மதிப்புகளானது சமன்பாடுகள் (1) மற்றும் (2) ஐ ஒரே நேரத்தில் நிறைவு செய்கிறது. ஆகவே, (5, -1) என்பது கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடுகளின் தீர்வாகும். 

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடுகள்  
8x − 3y = 5xy ...(1)
6x − 5y = −2xy ...(2)
கொடுக்கப்பட்ட தொகுப்பில் xy என்ற உறுப்பு உள்ளதால் இது ஒரு நேரிய சமன்பாட்டில் அமைந்த தொகுப்பு அல்ல. மேலும், x = 0 எனில், y = 0 இதே போல் y = 0 எனில், x = 0 என்பதையும் கவனிக்க. ஆகவே, (0, 0) என்பது தொகுப்பின் ஒரு தீர்வாகும். மேலும் x ↑ 0 மற்றும் y ↑ 0 என்றவாறு வேறொரு தீர்வும் இருக்க இயலும்.
 x ↑ 0, y ↑ 0 என்பனவற்றைக் கருத்தில் கொள்வோம்.
ஒவ்வொரு சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களையும் xy ஆல் வகுக்க,
(1) இலிருந்து \(\frac { 8x }{ xy } -\frac { 3y }{ xy } =\frac { 5xy }{ xy } \) நாம் பெறுவது, \(\frac { 8 }{ y } -\frac { 3 }{ x } =5\) .....(3)
(2)  இலிருந்து \(\frac { 6x }{ xy } -\frac { 5y }{ xy } =\frac { -2xy }{ xy } \) நாம் பெறுவது, \(\frac { 6 }{ y } -\frac { 5 }{ x } =-2\) ....(4)
\(a=\frac { 1 }{ x } ,b=\frac { 1 }{ y } \) என்க.
(3) மற்றும் (4) ஆனது,
8b - 3a = 5  .....(5)
6b - 5a = -2 ......(6) என ஆகும்.
இவை a மற்றும் b ஆல் அமைந்த நேரிய சமன்பாடுகள் ஆகும்.
a ஐ நீக்குவதற்காக,  
(5) \(\times\) 5\(\Rightarrow\) 40b −15a = 25 .....(7)
(6) \(\times\) 3\(\Rightarrow\)18b −15a = −6 .....(8)
கடந்த எடுத்துக்காட்டுகளைப் போலவே இதைத் தொடர \(\left( \frac { 11 }{ 23 } ,\frac { 22 }{ 31 } \right) \) என்ற தீர்வைப் பெறலாம்.
ஆகவே, இந்தத் தொகுப்பானது  \(\left( \frac { 11 }{ 23 } ,\frac { 22 }{ 31 } \right) \)மற்றும் (0, 0) ஆகிய இருதீர்வுகளைப் பெற்றிருக்கும். 

கொடுக்கப்பட்ட கூற்றுகளுக்கு நாம் சமன்பாடுகளை அமைப்போம்.
செவ்வகத்தின் நீளம் மற்றும் அகலத்தை முறையே l மற்றும் b என்க.
முதல் கூற்றுக்குச் சமன்பாடு அமைத்தல்
செவ்வகத்தின் சுற்றளவு = 36 மீ
2(l + b) = 36
\(l+b=\frac { 36 }{ 2 } \)
l = 18 - b .....(1)

புள்ளிகள்: (2,16), (4,14), (5,13), (8,10)
இரண்டாவது கூற்றுக்குச் சமன்பாடு அமைத்தல்:
இரண்டாவது கூற்றின்படி, நீளமானது அகலத்தின் மூன்று மடங்கை விட 2 மீ அதிகம் எனவே l = 3b + 2 .....(2)
சமன்பாடு (2) இக்கு அட்டவணை அமைப்போம்

இரண்டு கோடுகளுக்கும் பொதுவான ஒரு புள்ளியே தீர்வாக அமையும். இங்கு (4, 14) என்பதே தீர்வாக இருப்பதைக் காணலாம்.
எனவே தீர்வானது b = 4, l = 14

சரிபார்த்தல்:
2(l+b) = 36 ...(1)
2(14+4) = 36
2 \(\times\) 18 = 36
36 = 36 மெய் 
l = 3b + 2 ...(2)
14 = 3(4) +2
14 = 12 + 2
14 = 14 மெய்

இரண்டும் இணைகோடுகள் 

\(\frac { { a }_{ 1 } }{ { a }_{ 2 } } \neq \frac { { b }_{ 1 } }{ { b }_{ 2 } } \) ; ஒரே தீர்வு 

(1) மற்றும் (2) நேர்கோடுகள் இணையானவை என்பதால் 
m1 = m2
-4/6 = -2/k 
k  = -2 x -6/4 = 3

a = 0 , b = 0 ,c ≠ 0 = (0)x + (0)y + c = 0 = c = 0 தவறு 

2x + 3y = k
2(2) + 3(3) = k 
= 4 + 9 = 13

2x − y = 6
2(4) - 2 = 8 - 2 = 6 = RHS 

\(x+\frac { 1 }{ x } =2\) ⇒ x² - 2x + 1 = 0 ; x(x - 1) = 2 ⇒ x² - x - 2 = 0; x³ - x = 5 என்பன நேரிய சமன்பாடுகள் அல்ல.

2x + 3y = m, x = 2 , y = −2
m = 2(2) + 3(-2) = 4 - 6 = -2