நூற்றுக்கு நூறு பெற்ற மாணவர்கள்  = 1184 ஆகவே  n  = 1184
(i) E₁ என்பது கணிதத்தில் நூற்றுக்கு நூறு பெற்ற மாணவர்கள் உள்ள நிகழ்ச்சி என்க.
ஆகையால் n(E₁)  = 233, அதாவது  r₁ = 233
P(E₁) = \(\frac { { r }_{ 1 } }{ n } =\frac { 233 }{ 1184 } \)
(ii) E₂ என்பது அறிவியலில் நூற்றுக்கு நூறு பெற்ற மாணவர்கள் உள்ள நிகழ்ச்சி என்க.
ஆகையால்  n(E₂ ) = 1069 , அதாவது , r₂ = 106
P(E₂) = \(\frac { { r }_{ 2 } }{ n } =\frac { 106 }{ 1184 } \)
ஆகவே அறிவியலில் நூற்றுக்கு நூறு பெறாதவராக இருக்க  நிகழ்தகவு
 P(E'₂) = 1 - P(E₂)
= 1 - \(\frac { 106 }{ 1184 } \) = \(\frac { 1078 }{ 1184 } \)

நாற்கரம் ABCD இன் மூலைவிட்டங்களில் ஒன்றான AC ஐ இணைக்க.
\(\triangle \)ABC இன் பரப்பு = \(\frac {1}{2}\)xஅடிபக்கம் × உயரம்

=\(\frac {1}{2}\)x 8x 15= 60 செ.மீ²
பிதாகரஸ்தேற்றப்படி, செங்கோண முக்கோணம் \(\triangle \)ABC இல்,
AC² = AB² + BC²
= 8² +15² = 64 + 225 = 289 செ.மீ
ஆகவே, AC = \(\sqrt {289}\)=17 செ.மீ
இப்பொழுது , \(\triangle \)ACD இல் a = 17 செமீ, b =12 செமீ, c =25 செமீ என்க
அரைச் சுற்றளவு s=\(\frac {a+b+c}{2}=\frac {17+12+25}{2 }=\frac {54}{2}\) =27 செ.மீ 
\(\triangle \)ACD இன் பரப்பு =\(\sqrt { s(s-a)(s-b)(s-c) } \)
=\(\sqrt {27(27-17)(27-12)(27-25)}\)
=\(\sqrt {27 \times 10\times15\times2} \)
=\(\sqrt {3\times3\times3\times2\times5\times5\times3\times2}\)
=× 3 × 2 × 5 = 90 செமீ²
ஆகவே நாற்கரம் \(\triangle \)BCD இன்

x என்பது பத்தாம் இலக்க எண் என்றும் y என்பது ஒன்றாம் இலக்க எண் என்றும் கொள்க,
கொடுக்கப்பட்டவை x + y = 5 ......(1)

கொடுக்கப்பட்ட எண் - இடமாற்றப்பட்ட எண் =27
(10x + y) − (10y + x) = 27
10x − x + y −10y = 27
9x − 9y = 27
\(\Rightarrow\) x − y = 3 ... (2)
x + y = 5 … (1) இலிருந்து, y = 5 – x ... (3)
(3) ஐ (2) இல் பிரதியிட x − (5 − x) = 3
x − 5 + x = 3
2x = 8
x = 4
x = 4 என (3) இல் பிரதியிட y = 5 − x = 5 − 4
y = 1
ஆகவே , 10x + y = 10 \(\times\) 4 +1 = 40 +1 = 41.
ஆகையால் கொடுக்கப்பட்ட ஈரிலக்க எண் = 41 ஆகும்.
சரிபார்த்தல்:
இலக்கங்களின் கூடுதல் = 5
x + y = 5
4 + 1 = 5
5 = 5 மெய்
கொடுக்கப்பட்ட எண் − புதிய எண் = 27
41 - 14 = 27
27 = 27 மெய்

கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் A(-3, 6) மற்றும் B(1, -2) ஆகும். P(-2, 4) ஆனது AB ஐ உட்புறமாக m : n என்ற விகிதத்தில் பிரிக்கின்றது என்க.
பிரிவுச் சூத்திரத்தின்படி 
P(x, y) =P\(\left( \frac { m{ x }_{ 2 }+n{ x }_{ 1 } }{ m+n } ,\frac { m(-2)+n(6) }{ m+n } \right) \)
= P(−2,4) .....(1)
இங்கு x₁ = −3, y₁ = 6, x₂ = 1, y₂ = −2
(1)\(\Rightarrow \left( \frac { m(1)+n(-3) }{ m+n } ,\frac { m(-2)+n(6) }{ m+n } \right) \)=P(-2, 4)
x-ன் ஆயத்தொலைவைச் சமப்படுத்த, நாம் பெறுவது
\(\frac {m-3n}{m+n}\)=-2 அல்லது m− 3n = −2m− 2n
3m = n
\(\frac {m}{n}=\frac {1}{3}\)
m: n = 1: 3
P ஆனது AB ஐ உட்புறமாக 1:3 என்ற விகிதத்தில் பிரிக்கின்றது .

(i) sin 30⁰ + cos30⁰ = \(\frac { 1 }{ 2 } +\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } =\frac { 1+\sqrt { 3 } }{ 2 } \)
(ii)  tan60°.cot60° = \(\sqrt { 3 } \times \frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } =1\)
(iii) \(\frac { \tan45° }{ \tan30°+\tan60° } \) = \(\frac { 1 }{ \frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } +\frac { \sqrt { 3 } }{ 1 } } \)
= \(\frac { 1 }{ \frac { 1+\left( \sqrt { 3 } \right) ^{ 2 } }{ \sqrt { 3 } } } =\frac { 1 }{ \frac { 1+3 }{ \sqrt { 3 } } } =\frac { \sqrt { 3 } }{ 4 } \)
(iv) sin²45⁰ + cos²45⁰   = \(\left( \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \right) ^{ 2 }+\left( \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \right) ^{ 2 }\quad \)
= \(\frac { { 1 }^{ 2 } }{ \left( \sqrt { 2 } \right) ^{ 2 } } +\frac { { 1 }^{ 2 } }{ \left( \sqrt { 2 } \right) ^{ 2 } } =\frac { 1 }{ 2 } +\frac { 1 }{ 2 } =1\)

n(A - B) = 32 + x
n(B - A) = 5x
n(A \(\cap\) B) = x
n(A) = n(B)
32 + x + x = 5x + x
32 + 2x = 6x
4x = 32 \(\Rightarrow\) x = 8

தேநீர் விரும்புகிறவர்களின் எண்ணிக்கை T என்க.
குளம்பி விரும்புகிறவர்களின் எண்ணிக்கை C என்க.
சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி
n(AUB) = n(A) + n(B)-n(A∩B)
i) n(T∩C) = n(T) + n(C)-n(TUC) = 35 + 20 - 45 = 10
தேநீர் மற்றும் குளம்பி இரண்டையும் விரும்புபவர்கள் = 10.
(ii) n(T') = n(U)-n(T) = 45 - 35 = 10
தேநீர் விரும்பாதவர்கள் = 10
(iii) n(C') = n(U) - n(C) = 45 - 20 = 25
குளம்பியை விரும்பாதவர்கள் = 25

(i) 2a² + 9a + 10
2a² + 9a + 10 = 2a² + 4a + 5a + 10
= 2a(a + 2) + 5 (a + 2)
= (a + 2) (2a + 5)

(ii) 5x² - 29xy - 42y²
= 5x² - 35xy + 6xy - 42y²
= 5x (x - 7y) + 6y (x - 7y)
= (x - 7y) (5x + 6y)

(iii) 9 - 18x + 8x²
= 8x² - 18x + 9
= 8x² - 6x - 12x + 9
= 2x (4x - 3) - 3 (4x - 3)
= (4x - 3) (2x - 3)

(iv) 6x² + 16xy + 8y²
= 2 (3x² + 8xy + 4y²)
= 2 (3x² + 8xy + 4y²)
= 2(3x² + 6xy + 2xy + 4y²)
= 2(3x (x + 2y) + 2y(x + 2y))
= 2(3x + 2y) (x + 2y)

(v) 12x² + 36x²y + 27y²x²
= 27y²x² + 36x²y + 12x² = 3x²(9y²+12y + 4)
= 3x²(9y² + 6y + 6y + 4) = 3x²(3y (3y + 2) + 2(3y + 2))
= 3x² (3y + 2) (3y + 2) = 3x² (3y + 2) (3y + 2) = 3x² (3y + 2)²

(vi) (a + b)² + 9(a + b) + 18
= (a + b)² + 6(a + b) + 3 (a + b) + 18
= (a + b) [(a + b) + 6] + 3[(a + b) + 6]
= ((a + b) + 6) ((a + b) + 3) = (a + b + 6)(a + b + 3)

ax²+bx+c ஐ 2x² +15x-27 உடன் சமப்படுத்த,
a = 2, b = 15, c = −27
பெருக்கற்பலன் ac = 2 x –27 = –54 மற்றும் கூடுதல் b = 15
மைய உறுப்பை –3x மற்றும் 18x என மாற்றி அமைக்க,
2x²+15x-27=2x²+18x-3x-27
= 2x(x +9)−3(x +9)
= (x +9)(2x −3)
எனவே 2x²+15x-27 இன் காரணிகள் (x +9) மற்றும் (2x -3) ஆகும் 

\(n(\cup )\)
\(n(A)=\cfrac { 3 }{ 8 } \times 800=300\)
\(n(B)=\cfrac { 1 }{ 5 } \times 800=160\)
\(n(C)=\cfrac { 1 }{ 2 } \times 800=400\)
\(n(A\cap B)=70:n(B\cap C)=55;n(C\cap A)=60\)
\(n(A\cap B\cap C)=\cfrac { 1 }{ 40 } \times 800=20\)
(i) இரண்டு வகை சோப்புகளை மட்டும் பயன்படுத்துவர்களின் எண்ணிக்கை, = 50+35+40=125
(ii)  குறைந்தது ஒரு வகை சோப்பையாவது பயன்படுத்துவர்களின் எண்ணிக்கை = 190+5055+40+20+35+305=695
(iii)  மூன்று வகை சோப்புகளில் எந்த ஒரு சோப்பையும் பயன்படுத்தாதவர்களின் எண்ணிக்கை ஆகியவற்றைக் காண்க. =800-695=105

a = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
\(\Rightarrow \quad y=\frac{a+1}{2}=\frac{0+1}{2}=\frac{1}{2}\)
\(\begin{aligned} y & =\frac{1+1}{2}=\frac{2}{2}=1 \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} y & =\frac{2+1}{2}=\frac{3}{2} \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} y & =\frac{3+1}{2}=\frac{4}{2}=2 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} y & =\frac{4+1}{2}=\frac{5}{2} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} y & =\frac{5+1}{2}=\frac{6}{2}=3 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \therefore \mathrm{A} & =\left\{\frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}, 2, \frac{5}{2}, 3\right\} \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \mathrm{B} & =\left\{y: y=\frac{2 n-1}{2}, n \in \mathbb{W}, n<5\right\} \\ \end{aligned}\)
n = {0, 1, 2, 3, 4}
\(\Rightarrow\)   \(\begin{aligned} y & =\frac{2 \times 0-1}{2}=\frac{-1}{2} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} y & =\frac{2 \times 1-1}{2}=\frac{1}{2} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} y & =\frac{2 \times 2-1}{2}=\frac{3}{2} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} y & =\frac{2 \times 3-1}{2}=\frac{5}{2} \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} y & =\frac{2 \times 4-1}{2}=\frac{7}{2} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \therefore \mathrm{B} & =\left\{-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{3}{2}, \frac{5}{2}, \frac{7}{2}\right\} \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \mathrm{C} & =\left\{-1,-\frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}, 2\right\} \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \mathrm{B} \cup \mathrm{C} & =\left\{-1,-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}, 2, \frac{5}{2}, \frac{7}{2}\right\} \\ \end{aligned}\)
A - (BUC) = {3}            .............(1)
A - B = {1, 2, 3}
\(\begin{aligned} \mathrm{A}-\mathrm{C} & =\left\{\frac{1}{2}, \frac{5}{2}, 3\right\} \end{aligned}\)
(A - B) \(\cap\) (A - C) = {3}    ...........(2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து
\(A-(B\cup C)=(A-B)\cap (A-C)\) என நிரூபிக்கபட்டது.

இடைநிலை அளவு =\(\left( \frac { N }{ 2 } \right) \) ஆவது மதிப்பு =\(\left( \frac { 200 }{ 2 } \right) \) ஆவது மதிப்பு =100 ஆவது மதிப்பு 
இடைநிலைப் பிரிவு =2000-3000
\(\frac { N }{ 2 } \)=100 l=2000
m=74, c=1000, f=54
இடைநிலை அளவு = l + \(\frac { \left( \frac { N }{ 2 } -m \right) }{ f } \times c\)
\(=2000+\left( \frac { 100-74 }{ 54 } \right) \times 1000\)
\(=2000+\left( \frac { 26 }{ 54 } \right) \times 1000=2000+481.5\)
\(=2481.5\)

(i) \(x^{\circ}=\frac{1}{2} \angle \mathrm{BOC}=\frac{1}{2} \times\left(30^{\circ}+60^{\circ}\right)=\frac{1}{2} \times 90^{\circ}=45^{\circ}\)
(ii) \(\angle \mathrm{QPR}=\frac{1}{2} \angle \mathrm{QOR}=\frac{1}{2} \times 80^{\circ}=40^{\circ}\)
\(In \quad \triangle \mathrm{QPR}\)
\(\begin{aligned} \angle \mathrm{R}+\angle \mathrm{P}+\angle \mathrm{Q} & =180^{\circ} \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} 80^{\circ}+40^{\circ}+\angle \mathrm{Q} & =180^{\circ} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \angle \mathrm{Q} & =180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} x^{\circ} & =60^{\circ}-50^{\circ}=10^{\circ} \end{aligned}\)

(iii) \(\angle\)MPN = 90° ( விட்டம் பரிதியில் தாங்கும் கோணம் = 90°)
\(\angle\)OMP + \(\angle\)OPM = 180° - 110° = 70°
\(\begin{aligned} \therefore \angle \mathrm{MPO} & =\frac{70}{2}=35^{\circ} \end{aligned}\)
ஆனால், \(\angle\)MPN = 90°
\(\therefore\) \(\angle\)OPN = 90° - 35° = 55°

(iv) மையத்தில் தாங்கும் கோணம் பரிதியில் தாங்கும் கோணத்தைப் போல் இரு மடங்கு 
பின்வளை \(\angle\)YOZ = 120° \(\times\) 2 = 240°
\(\therefore\) x + \(\angle\)YOZ = 360°
x° = 360° - 240° = 120°

(v) \(\angle\)BOC = 360° - 240° = 120°
\(\therefore \angle \mathrm{BAC}=x^{\circ}=\frac{120^{\circ}}{2}=60^{\circ}\)

a+b+c = 0 எனில்  a3+b3+c3 = 3xyz

\(\therefore\) (x²-y²)³+(y²-z²)³+(z²-x²)³ = 3x²-y²)(y²-z²)(z²-x²)

\(\therefore\) (x-y)³+(y-z)³+(z-x)³ = 3(x-y)(y-z)(z-x)

 
= (x+y)(y+z)(z+x)

(i) (x + 2y + 3z)²
(a + b + c)² \(\equiv\) a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca
\(\therefore\) (x + 2y + 3z)² = x² + (2y)² + (3z)² + 2 (x) (2y) + 2(2y) (3z)+ 2 (3z) (x)
= x² + 4y² + 9z² + 4xy + 12 yz + 6xz
(ii) (-p + 2q + 3r)²
(a + b + c)² \(\equiv\) a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca
(-p + 2q + 3r)² = (-p)² + (2q)² + (3r)² + 2(-p) (2q) + 2(2q) (3r)+2(3r)(-p)
= p² + 4q² + 9r² - 4pq + 12 qr - 6rp
(iii) (2p + 3)(2p - 4)(2p - 5)
(x + a) (x + b) (x + c) \(\equiv\) x³ + (a + b + c) x² + (ab + bc + ca) x + abc
(2p + 3) (2p - 4) (2p - 5) = (2p)³ + (3 - 4 - 5) (2p)² + [(3 \(\times\)-4) + (-4 \(\times\) 5) + (-5 \(\times\)3)] 2p + 3 \(\times\) -4 \(\times\) -5
= 8p³ + (-6)(4p²) + [-12 + 20 + (-15)] 2p + 60
= 8p³ - 24p² + (-7)2p + 60
(2p + 3) (2p - 4) (2p - 5) = 8p³ - 24p² - 14p + 60
(iv) (3a + 1) (3a - 2) (3a + 4)
(x + a) (x + b) (x + c) \(\equiv\) x³ + (a + b + c)x² + (ab + bc + ca) x + abc
(3a + 1)(3a - 2)(3a + 4) = (3a)³ + (1- 2 + 4) (3a)² + [1 \(\times\)(-2) + (-2\(\times\)4) + 4 \(\times\)1](3a) + 1 \(\times\)-2 \(\times\)4
= 27a³ + 3 (9a²) + (-2 - 8 + 4)3a - 8
= 27a³ + 27a² - 18a - 8

செவ்வகத்தின் பரப்பு =  x² + 7x + 12
அகலம் = x + 3
பரப்பளவு = நீளம் \(\times\) அகலம்
x² + 7x + 12 = நீளம் \(\times\) (x + 3)
\(\therefore\) நீளம் = (x² + 7x + 12) \(\div\) (x + 3)
= x + 4

\(\therefore\) ஈவு = x + 4
மீதி = 10

சாய்சதுரத்தின் மூலைவிட்டங்கள் ஒன்றையொன்று செங்குத்தாக இருசமக்கூறிடும்.
\(\therefore\) BD = BO + OD, AC = AO + OC
= 6 + 6                         = 8 + 8
பிதாகரஸ் தேற்றத்தின் படி, \(\Delta\)AOB - யில்
AB² = AO² + OB² = 8² + 6² = 64 + 36 = 100
\(\therefore\) AB = 10 செ.மீ.
\(\therefore\) சாய்சதுரத்தின் பக்கஅளவு = 10 செ.மீ

கொடுக்கப்பட்டுள்ளவை (5, –2), (1, a) மற்றும் d = 5.
தொலைவு வாய்ப்பாடு
\(d=\sqrt { \left( { x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 } \right) ^{ 2 }+\left( y_{ 2 }-y_{ 1 } \right) ^{ 2 } } \)
\(=\sqrt { \left( 1-5 \right) ^{ 2 }+\left( a+2 \right) ^{ 2 } } =5\)
\(=\sqrt { 16+\left( a+2 \right) ^{ 2 } } =5\)
16 + (a+2)² = 25 (இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த)
(a+2)² = 25–16
(a+2)² = 9​​​​​​​
(a+2) = \(\pm \) 3 (இருபுறமும் வர்க்க மூலம் காண)
a = –2 \(\pm \) 3​​​​​​​
a = –2 + 3 (அல்லது) a = –2 –3​​​​​​​
a = 1 (அல்லது) –5.​​​​​​​​​​​​​​

படி 1: கொடுக்கப்பட்டுள்ள அளவிற்கு ΔPQR வரைக.
படி 2: R மற்றும் P இலிருந்து அதன் எதிர் பக்கங்கள் PQ மற்றும் QR இக்கு குத்துக்கோடுகள் வரைக.
அவ்விரண்டு குத்துக்கோடுகளும் சந்திக்கும் புள்ளி H ஆனது, ΔPQR இன் குத்துக்கோட்டு மையம் ஆகும்.