முக்கோணத்தின் முனைப்புள்ளிகள் A(l, 2), B (h, -3) மற்றும் C(-4, k) என்க.
x₁=1, y₁=2, x₂=h, y₂=-3, x₂=-4, y₃=k
முக்கோணத்தின் நடுக்கோட்டு மையம் (5,-1)
முக்கோணத்தின் நடுக்கோட்டு மையம் \(\left( \frac { { x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 }+{ x }_{ 3 } }{ 3 } ,\frac { { y }_{ 1 }+{ y }_{ 2 }+{ y }_{ 3 } }{ 3 } \right) \)
\(\left( \frac { 1+h-4 }{ 3 } ,\frac { 2-3+k }{ 3 } \right) \)=(5,-1)
ஆயத்தொலைவுகளை சமப்படுத்த,
\(\frac { h-3 }{ 3 } \)=5
h - 3 = 15
h = 15 + 3 = 18
h = 18, k=-2
\(\frac { -1+k }{ 3 } \)=-1
-1+k =-3
k =-3+1=-2
\(\sqrt { (h+k)^{ 2 }+(h+3k)^{ 2 } } =\sqrt { (18-2)^{ 2 }+[18+3(-2)]^{ 2 } } \)
=\(\sqrt { 16^{ 2 }+(18-6)^{ 2 } } \)
=\(\sqrt { { 16 }^{ 2 }+{ 12 }^{ 2 } } \)
=\(\sqrt { 256+144 } =\sqrt { 400 } \)=20
\(\\ \sqrt { (h+k)^{ 2 }+(h+3k)^{ 2 } } \)=20

ΔABC இன் முனைகள் A(0,0), B(2a,0) மற்றும் C(2b,2c) என்க.
D, E முறையே AC, BC யின் நடுப்புள்ளிகள்
AC யின் நடுப்புள்ளிகள் D\(\left( \frac { 0+2b }{ 2 } ,\frac { 0+2c }{ 2 } \right) \)
=D(b,c)
BC யின் நடுப்புள்ளிகள் E \(\left( \frac { 2a+2b }{ 2 } ,\frac { 0+2c }{ 2 } \right) \)
=(a+b,c)
தொலைவு d =\(\sqrt { ({ x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 })^{ 2 }+({ y }_{ 2 }-{ y }_{ 1 })^{ 2 } } \)
ABயின் தொலைவு =\(\sqrt { (2a-0)^{ 2 }+(0-0)^{ 2 } } \)
=\(\sqrt { (2a)^{ 2 } } =2a\)
DE யின் தொலைவு =\(\sqrt { (a+b-b)^{ 2 }+(c-c)^{ 2 } } \)
=\(\sqrt { a^{ 2 } } \)=a
தொலைவு DE =a =1/2 x 2a =1/2 x AB யின் தொலைவு.

(a −9)(a² + 9a + 81)

\(\Delta\)ABC-யில் AB = BC = 6 செ.மீ, \(\angle\)B = 80°.

வரைமுறை:
படி 1: \(\Delta\)ABC ஐ கொடுத்துள்ள அளவில் வரைக. AB = 6 செ.மீ. \(\angle\)B = 80°, BC = 6 செ.மீ
படி 2: ஏதேனும் இரு கோணங்கள் (\(\angle\)A, \(\angle\)C) -ற்கு கோண இருசம வெட்டி வரைந்து அவை வெட்டும் புள்ளி I ஐக் குறி.
படி 3: I யிலிருந்து ஏதேனும் ஒரு பக்கத்திற்கு (AC) செங்குத்து வரைந்து ID ஐ அளக்க.
படி 4: ID ஐ ஆரமாக வைத்து வட்டம் வரைக. அது மூன்று பக்கங்களையும் உட்புறமாக தொட்டுச் செல்லும். ID - உள்வட்ட ஆரம்.

பின்வளை \(\angle\)AOC = 2 \(\times\) \(\angle\)ABC = 2 \(\times\)120° = 240°
\(\therefore\) \(\angle\)AOC = 360° - 240° = 120°
\(\Delta\)AOC - ல்
\(\angle\)OAC + \(\angle\)ACO = 180° - 120° = 60°
2\(\angle\)OAC = 60°      [\(\angle\)OAC = \(\angle\)ACO]
\(\therefore \) \(\angle\)OAC = \(\frac{60°}{2}\)= 30°

x - y = 5, xy = 14
x³ - y³ = (x - y)³ + 3xy(x - y) = 5³ + 3 \(\times\) 14 \(\times\) 5 = 125 + 210 = 335

\(\begin{aligned} \frac{8-5 \sqrt{2}}{3-2 \sqrt{2}} & =\frac{(8-5 \sqrt{2}) \times(3+2 \sqrt{2})}{(3-2 \sqrt{2})\times (3+2 \sqrt{2})} \times \frac{24-15 \sqrt{2}+16 \sqrt{2}-10 \times 2}{3^2-(2 \sqrt{2})^2} \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} =\frac{24+\sqrt{2}-20}{9-(4 \times 2)}=\frac{4+\sqrt{2}}{1} \end{aligned}\)
= 4 + 1.414 = 5.414
 

(i) 16 = 4²
(ii) \(8=4^1 \times 4^{\frac{1}{2}}=4^{1+\frac{1}{2}}=4^{\frac{3}{2}}\)
(iii) \(\begin{aligned} 32 & =4 \times 4 \times 4^{\frac{1}{2}} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} =4^{2+\frac{1}{2}} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} =4^{\frac{5}{2}} \end{aligned}\)

(A\(\cup \)B)'

P={2,5,8,11,14}
n(P) =5

n(AUB) =n(A)+n(B)-n(A⋂B)
500 = 300+n(B)-50
500-300+50 = n(B)
550-300 = n(B)
250 =n(B)
n(B) =250
n(U) =n(B)+n(B')
=250+350
=600

இரு புள்ளிகளுக்கு இடையே உள்ள தொலைவு d = \(\sqrt {(x _ 2-x _ 1)^ 2+(y _ 2-y _ 1)^ 2}\)
= \(\sqrt {(c-a)^2+(b-b)^2}\)
= \(\sqrt{(c-a)^2+0^2}\)
= \(\sqrt{(c-a)^2}\)
= c - a

f(0) = 6(0)-3(0)+3
= 0-0+3
= 3

\(p(x)={ 3x }^{ 3 }-{ 4x }^{ 2 }-5,d(x)=(3x+1)\)
திட்ட வடிவம் \(p(x)={ 3x }^{ 3 }-{ 4x }^{ 2 }-0x-5\) மற்றும் \(d(x)=3x+1\)
 
    
\({ 3x }^{ 3 }-4x^{ 2 }-5=\left( x+\frac { 1 }{ 3 } \right) \left( { 3x }^{ 3 }-5x+\frac { 5 }{ 3 } \right) -\frac { 50 }{ 9 } \)
\(=\frac { \left( 3x+1 \right) }{ 3 } \times 3\left( { x }^{ 2 }-\frac { 5 }{ x } x+\frac { 5 }{ 9 } \right) -\left( \frac { 50 }{ 9 } \right) \)
\({ 3x }^{ 3 }-{ 4 }x^{ 2 }-5=(3x+1)\left( { x }^{ 2 }-\frac { 5 }{ 3 } x+\frac { 5 }{ 9 } \right) -\left( \frac { 50 }{ 9 } \right) \) [குறிப்பு \((p(x)=d(x)q(x)+r]\)
எனவே, ஈவு \(\left( { x }^{ 2 }-\frac { 5 }{ 3 } x+\frac { 5 }{ 9 } \right) \) மற்றும் மீதி \(\frac { -50 }{ 9 } \)

படி 1 : AB = BC =CA =6 செ.மீ அளவுகளுள்ள \(\Delta\)ABC வரைக 
படி 2 : ஏதேனும் இருபக்கங்களுக்கு (AB மற்றும் BC) மையக்குத்துக்கோடுகள் வரைந்து ABன் நடுப்புள்ளி Pமற்றும் BC ன் நடுப்புள்ளி N ஐக் குறி க்க .
படி 3 : நடுக்கோடுகள் PC மற்றும் QA வரைக. அவை சந்திக்கும் புள்ளி G ஆனது \(\Delta\)ABC நடுக்கோட்டு மையம் ஆகும்.
படி 4 : எவையேனும் இரு கோணங்களுக்கு \(\angle A\) மற்றும் \(\angle B\)  கோண இரு சமவெட்டிகள் வரைக. அவை சந்திக்கும் புள்ளி I ஆனது \(\Delta\) ABC ன் உள்வட்ட மையம் ஆகும்.
படி 5 : நடுக்கோட்டு மையம் G மற்றும் உள்வட்ட மையம் I ஆகியன  ஒன்றே என அறிவோம் .

p(x)= 2x² - 6x² + mx + 4 என்க 
காரணித் தேற்றத்தின் படி,மீதி p(2)=0 எனில்,(x-2) ஒரு காரணியாகும்.

p(2)=0
2(2)³-6(2)²+m(2)+4=0
2(8)-6(4)+2m+4=0
-4+2m = 0
m = 2

\(\begin{aligned} \frac{\sqrt{7}-2}{\sqrt{7}+2}=a \sqrt{7}+b \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \text { L. H.S. }=\frac{\sqrt{7}-2 \times \sqrt{7}-2}{\sqrt{7}+2} \times \frac{(\sqrt{7}-2)^2}{\sqrt{7}-2}=\frac{\sqrt{7}^2-2 \sqrt{7} \times 2+2^2}{7-4}=\frac{7-4 \sqrt{7}+4}{3} \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} =\frac{11-4 \sqrt{7}}{3}=\frac{11}{3}-\frac{4 \sqrt{7}}{3} \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \frac{-4 \sqrt{7}}{3}+\frac{11}{3}=a \sqrt{7}+b \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \therefore a \sqrt{\not 7}=\frac{-4 \sqrt{\not 7}}{3} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \Rightarrow \quad a=\frac{-4}{3} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} b=\frac{11}{3} \end{aligned}\)

\({2\sqrt{6}-\sqrt{5}\over 3\sqrt{5}-2\sqrt{6}}\)
\(=\frac{2 \sqrt{6}-\sqrt{5}}{3 \sqrt{5}-2 \sqrt{6}} \times \frac{3 \sqrt{5}+2 \sqrt{6}}{3 \sqrt{5}-2 \sqrt{6}} \)
\(=\frac{6 \sqrt{30}+4 \times 6-3 \times 5-2 \sqrt{30}}{9 \times 5-4 \times 6} \)
\(=\frac{4 \sqrt{30}+24-15}{45-24}=\frac{9+4 \sqrt{30}}{21} \)

i) இயலும்.
\(3\sqrt { 27 } + 4\sqrt {16} = 3 + 2 = 5 \) ஒரு விகிதமுறு எண்
ii) இயலும்.
 \(4\sqrt {625 } - 3\sqrt {8 } = 5 - 2 = 3\) ஒரு விகிதமுறு எண்
iii) இயலும்.
 \(3\sqrt { 16 } \times 3\sqrt { 4} = 3\sqrt { 64 } = 4\) ஒரு விகிதமுறு எண்
iv) இயலும்.
\(​​​​\frac {4\sqrt 243}{4 \sqrt 3} =4 \sqrt {243/3} = 4\sqrt {81} = 3\) ஒரு விகிதமுறு எண் ஆகும்.

(i) \(\begin{aligned} \sqrt{40}-\sqrt{20} & =\sqrt{2^2 \times 10}-\sqrt{2^2 \times 5} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} =(2 \times \sqrt{10})-(2 \times \sqrt{5}) \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} =(2 \times 3.162)-(2 \times 2.236) \end{aligned}\)
= 6.324 - 4.472
= 1.852
(ii) \(\begin{aligned} \sqrt{300}+\sqrt{90}-\sqrt{8} & =\sqrt{3 \times 100}+\sqrt{9 \times 10}+\sqrt{4 \times 2}=10 \sqrt{3}+3 \sqrt{10}-2 \sqrt{2} \\ \end{aligned}\)
\( \begin{aligned} =10 \times 1.732+3 \times 3.162-2 \times 1.414 \end{aligned}\)
= 17.32 + 9.486 - 2.828 = 23.978

A = {x : x ∈ Z, -2 < x ≤ 4} ={ -1,0,1,2,3,4}
B = {x:x ∈ W,x ≤ 5}  = {0,1,2,3,4,5}
C = {-4,-1,0,2,3,4}
A ∩ (B U C)
B U C = {0,1,2,3,4,5} U {-4,-1,0,2,3,4} = {-4, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}
A ∩ (B U C) = { -1,0,1,2,3,4} ∩ {-4, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}
= { -1,0,1,2,3,4}                                     ....(1)
(A∩B ) ∪ (A∩C) 
A∩B = { 0,1,2,3,4}
A∩C = {-1,0,2,3,4}
(A∩B ) ∪ (A∩C) = {0,1,2,3,4} U {-1, 0, 2, 3, 4} = {-1, 0,1, 2, 3, 4}  .....(2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து
A ∩ (B U C) = (A∩B ) ∪ (A∩C) என நிரூபிக்கப்பட்டது.

(i) \(A\cup \left( B\cap C \right) \)

(ii) \(A\cap (B\cap C)\)

(iii) \((A\cup B)\cap C\)

(iv)  \((A\cap B)\cup C\)

A (a,–2), B (a,3), மற்றும் C (a,0) கொடுக்கப்பட்டுள்ள புள்ளிகள் 
தொலைவு d = \(\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\)
AB = \(\sqrt{(a-a)^2+(3-(-2))^2}\)
= \(\sqrt{(0)^2+(3+2)^2}\)
= \(\sqrt{25}\)
= 5 அலகுகள் 
தொலைவு BC = \(\sqrt{(a-a)^2+(0-3)^2}\)
= \(\sqrt{(0)^2+(-3)^2}\)​
= \(\sqrt{9}\)
= 3 அலகுகள் 
தொலைவு AC = \(\sqrt{(a-a)^2+(0-(-2))^2}\)
= \(\sqrt{(0)^2+(0+2)^2}\)
= \(\sqrt{0^2+2^2}\)
= \(\sqrt{4}\)
= 2 அலகுகள் 
BC + AC = 3 + 2 = 5 
5 = 5
BC + AC = AB
புள்ளிகள் ஒரே நேர்க்கோட்டில் அமையும்.

இரு புள்ளிகளுக்கு இடையே உள்ள தொலைவு d = \(\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\)
AB = \(\sqrt {2-(2)^ 2+(-3-(-8))^ 2}\)
= \(\sqrt {(2+2)^ 2+(-3+8)^ 2}\)
= \(\sqrt {(4)^ 2+(5^ 2)}\)
= \(\sqrt {16+25}\)
= \(\sqrt {41}\)
BC = \(\sqrt {(6-2)^ 2+(2-(-3))^ 2}\)
= \(\sqrt {(4)^ 2+(2+3)^ 2}\)
= \(\sqrt {4^ 2+5^ 2}\)
= \(\sqrt {16+25}\)
= \(\sqrt {41}\)
AC = \(\sqrt {(6-(-2))^ 2+(2-(-8))^ 2}\)
= \(\sqrt {(6+2)^ 2+(2+8)^ 2}\)
= \(\sqrt {8^ 2+10^ 2}\)
= \(\sqrt {64+100}\)
= \(\sqrt {164}\)
= \(\sqrt {4\times 41}\)
= \(2\sqrt {41}\)
AB + BC = \(\sqrt {41}+\sqrt {41}\)
= \(2\sqrt {41}\)
AB + BC = AC
எனவே, கொடுக்கப்பட்டுள்ள புள்ளிகள் ஒரே கோட்டில் அமையும்.

X - அச்சின் மீது அமைந்துள்ள P(a, 0) புள்ளி என்க.
AB = \(\frac{3}{7}\) AB ....(கொடுக்கப்பட்டுள்ளது)
7 AP = 3 AB 
தொலைவு d = \(\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\)
\(\mathrm{AP} =\sqrt{(a-2)^2+(0-3)^2}=\sqrt{a^2-4 a+4+9} \)
\(=\sqrt{a^2-4 a+13} \)
\(A B =\sqrt{(2-2)^2+(-4-3)^2}=\sqrt{0+(-7)^2} =\sqrt{0+49}=\sqrt{49}=7\) அலகுகள் 
இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த,
a²  - 4a + 13 = 9
a² + 4 - 4a + 9 = 9
a² - 4a + 4 = 0
(a - 2)² = 0
a - 2 = 0
a = -2
\(\therefore\) P என்ற புள்ளி (2, 0) ஆகும்.

ABCD ஓர் இணைகரம்.
OA = OC
OB = OD (∵  மூலை விட்டங்கள் இரு சமக் கூறிடும்)
இப்போது OB + BQ = OD + DP
OQ = OP மற்றும் OA = OC
∴ APCQ ஓர் இணைகரமாகும்.

AB = CD,AD = BC மற்றும் BD பொது 
ABC மற்றும் BCD சர்வசம முக்கோணங்கள் ஆகும் (ப - ப -ப)

\(\left(\frac{m x_2+n x_1}{m+n}, \frac{m y_2+n y_1}{m+n}\right) =(1,6) \)
(1, 6) = \((\frac {m(-2) +n (2)}{m + n}, \frac {m(3) +n (7)}{m + n})\)
\((\frac {-2m +2n }{m + n}, \frac {3m +7n }{m + n})\)
x அச்சுத் தொலைவு \(=\frac{-2 m+2 n}{m+n}=\frac{1}{1} \)
\(-3 m =-n \)
\(\frac{m}{n} =\frac{1}{3} \Rightarrow 1: 3\)

(i) \(\sqrt{8\over 18} =\sqrt{4\over 9} = 2/3\) ஒரு விகிதமுறு எண் 
(2) 7/3 ஒரு விகிதமுறு எண் 
(3) \( \sqrt{0.01} = \sqrt{1\over 100} = 1/10\) ஒரு விகிதமுறு எண் 
(4) \( \sqrt{13}\) ஒரு விகிதமுறா எண் 
(∵ முடியுறா சூழல் தன்மைக்கொண்டது)

புள்ளிகள் ( 5, –1 )(0,0)
\(d=\sqrt{(5-0)^2+(-1-0)^2}=\sqrt{25+1}=\sqrt{26}\)

\(\frac { 5 }{ 64 } = \frac {5}{2^ 6} = \frac {5}{2^ 6 \times 5^ 0}\) இது \(\frac {P}{2^ m \times 5^ n}\)

p(x) = x³ + 6x² + kx + 6
g(x) = (x + 2)
g(x) = 0 எனில் 
x + 2 = 0
x = -2
p(-2) = (-2)³ + 6(-2)² + k(-2) + 6
= -8 + 6(4) - 2k + 6
= -8 + 24 - 2k + 6
= 22 - 2k + 6
= 0 - 2k = -22
k = 22/2 = 11

a = 600 - (120 - +  + 80 - x)
= 600 - (200 - x) = 600 - 200 + x = 400 + x
b = 350 - (250 -  +  + 100 - x)

= 350 - (220 - x) = 350 - 220 + x = 130 + x
c = 280 - (80 - +  + 100 - x)
= 2800 - (180 - x) = 280 - 180 + x = 100 + x
a + b + c + 120 - x + 100 - x + 80 - x + x = 1000
400 + +130 + + 100 +  + 120 - +100 -  + 80 -  + x = 1000
930 + x = 1000
x = 1000 - 930 = 70
\(\therefore\) 70 பேர் மூன்று பயிர்களையும் பயிரிட்டனர்.

வட்ட நாற்கரம் PQRS இல் \(\angle PSR\)=70^o கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
\(\angle PSR\)+\(\angle PQ R\) =180^o (காரணம் கூறுக_____ )
70^o +\(\angle PQ R\) =180^o
\(\angle PQ R\)=180^o -70^o 
\(\angle PQ R\) =110^o 
Δ PQR இல் நாம் பெறுவது 
\(\angle PQ R\)+\(\angle PRQ\)+\(\angle QPR\)=180^o (காரணம் கூறுக _____ ) 
110^o+\(\angle PRQ\) +40^o=180^o
\(\angle PRQ\)=180^o-150^o
\(\angle PQ R\)=30^o

P(4, 3), A(9, 3), B(7, –1) மற்றும் C(–1, 3) என்க
புள்ளிகள் A, B, மற்றும் C வழிச் செல்லும் வட்டத்தின் மையம் P என்பதால் அப்புள்ளிகள் P இல் இருந்து சம தூரத்தில் அமையும். அதாவது PA = PB = PC
தொலைவு வாய்ப்பாட்டைப் பயன்படுத்த,
\(d=\sqrt{(x_2 -x_1)^2 +(y_2 -y_1)^2}\)
\(AP=PA =\sqrt{(4-9)^2+(3-3)^2}=\sqrt{(-5)^2+0}=\sqrt{25}=5\)
\(BP=PB =\sqrt{(4-7)^2+(3+1)^2}=\sqrt{(3)^2+(4)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\)
\(CP=CB =\sqrt{(4+1)^2+(3-3)^2}=\sqrt{(5)^2+0}=\sqrt{25}=5\)
PA = PB = PC  = 5. ஆரம் = 5
எனவே , P என்ற புள்ளி A, B மற்றும் C என்ற புள்ளிகள் வழிச் செல்லும் வட்டத்தின் மையமாகும்.