இங்கு இனிப்புப் பெட்டியின் நீளம் (l) = 22செமீ, அகலம் (b) = 18 செமீ, உயரம் (h) = 10செமீ.
ஓர் இனிப்புப் பெட்டியின் கன அளவு = l \(\times\) b \(\times\) h
= 22 \(\times\) 18 \(\times\) 10 செமீ³
அட்டைப் பெட்டியின் நீளம் (l) = 1மீ = 100 செமீ,

அகலம் (b) = 88 செமீ, உயரம் (h) = 63 செமீ.
அட்டைப் பெட்டியின் கனஅளவு =  l \(\times\) b \(\times\) h
= 100 \(\times\) 88 \(\times\) 63 செமீ³
அட்டைப் பெட்டியில் அடுக்க இயலும் இனிப்புப் பெட்டிகளின் எண்ணிக்கை

\(=\frac { 100\times 88\times 63 }{ 22\times 18\times 10 } \)
= 140 பெட்டிகள்

ABCD என்பது ஒரு சாய்சதுரம் என்க.
அதன் சுற்றளவு = 4 × பக்கம் = 400 மீ

ஆகவே சாய்சதுரத்தின் ஒவ்வொரு பக்கமும் 100 மீ ஆகும்.
இங்கு, மூலைவிட்டம் AC= 120 மீ
\(\triangle \)ABC இல் a =100 மீ, b =100 மீ, c =120 மீ எனில்,
அரைச் சுற்றளவு s = \(\frac {a +b +c }{2}=\frac {100+100+120}{2}\)=160 மீ 
\(\triangle \)ABC இன் பரப்பு =\(\sqrt {160(160-100)(160-100)(160-120)}\)
=\(\sqrt {160 \times 60\times 60\times 40}\)
=\(\sqrt {40\times 2\times 2\times 60\times 60\times 40}\)
=40 × 2 × 60 = 4800மீ²
ஆகவே, சாய்சதுர நிலம் ABCD இன் பரப்பு = 2 × \(\triangle \)ABC இன் பரப்பு =× 4800 = 9600 மீ²

நாற்கரம் ABCD இன் மூலைவிட்டங்களில் ஒன்றான AC ஐ இணைக்க.
\(\triangle \)ABC இன் பரப்பு = \(\frac {1}{2}\)xஅடிபக்கம் × உயரம்

=\(\frac {1}{2}\)x 8x 15= 60 செ.மீ²
பிதாகரஸ்தேற்றப்படி, செங்கோண முக்கோணம் \(\triangle \)ABC இல்,
AC² = AB² + BC²
= 8² +15² = 64 + 225 = 289 செ.மீ
ஆகவே, AC = \(\sqrt {289}\)=17 செ.மீ
இப்பொழுது , \(\triangle \)ACD இல் a = 17 செமீ, b =12 செமீ, c =25 செமீ என்க
அரைச் சுற்றளவு s=\(\frac {a+b+c}{2}=\frac {17+12+25}{2 }=\frac {54}{2}\) =27 செ.மீ 
\(\triangle \)ACD இன் பரப்பு =\(\sqrt { s(s-a)(s-b)(s-c) } \)
=\(\sqrt {27(27-17)(27-12)(27-25)}\)
=\(\sqrt {27 \times 10\times15\times2} \)
=\(\sqrt {3\times3\times3\times2\times5\times5\times3\times2}\)
=× 3 × 2 × 5 = 90 செமீ²
ஆகவே நாற்கரம் \(\triangle \)BCD இன்

கொடுக்கப்பட்டுள்ள அளவுகளைக் குறிக்கும் உதவிப்படம் வரையலாம்

(i) படம் - இல் உள்ள முக்கோணத்தின் அரைச் சுற்றளவு s =\(\frac {30+40+50}{2}\) = 60 மீ
படம் - இல் உள்ள முக்கோணத்தின் அரைச் சுற்றளவு s =\(\frac {35+40+45}{2}\) = 60 மீ
படம் -இல் உள்ள முக்கோணத்தின் அரைச் சுற்றளவு s =\(\frac {40+40+40}{2}\)= 60 மீ
இங்கு அனைத்து அரைச் சுற்றளவும் சமமாக உள்ளன என்பது குறிப்பிடத்தக்கது.
(ii) ஹெரான் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி முக்கோணத்தின் பரப்பு
படம் -இல் உள்ள முக்கோணத்தின் பரப்பு=\(\sqrt {60(60-30)(60-40)(60-50)}\)
=\(\sqrt {60 \times 30 \times20\times10}\)
=\(\sqrt {30 \times 2\times30\times2\times10\times10}\)
=600 மீ²
படம் -இல் உள்ள முக்கோணத்தின் பரப்பு=\(\sqrt {60(60-35)(60-40)(60-45)}\)
=\(\sqrt {60 \times 25 \times20\times15}\)
=\(\sqrt {20 \times 3\times5\times5\times20\times3 \times 5}\)
=300\(\sqrt {5}\) ( ஏனெனில் \(\sqrt {5}\) = 2.236 )
= 670.8 மீ ²
படம் -இல் உள்ள முக்கோணத்தின் பரப்பு=\(\sqrt {60(60-40)(60-40)(60-40)}\)
=\(\sqrt {60 \times 20\times 20\times 20}\)
=\(\sqrt {3 \times20\times20\times20\times20}\)
=400\(\sqrt {3}\) ( ஏனெனில் \(\sqrt {3}\) = 1.732 )
= 692.8 மீ² 
இங்கு சுற்றளவு சமமாக இருந்தபோதிலும், மூன்று முக்கோண வடிவிலான வீட்டு மனையின் பரப்பளவுகள் வெவ்வேறாக இருப்பதைக் காண முடிகிறது. இவற்றில் படம் - இல் உள்ள முக்கோணத்தின் பரப்பானது மற்றவற்றைவிட அதிகமாக உள்ளது. இவ்வடிவிலான வீட்டு மனை வாங்குவது அதிக இடப்பரப்பைத் தரும் என்பதால், வாங்குபவருக்கு இதனைப் பரிந்துரைக்கலாம்.

ABCD ஒரு சாய் சதுரம் 
சாய்சதுரத்தின் சுற்றளவு = 4 x பக்கம் =160மீ 

மூலைவிட்டம் சாயச்துரத்தை இருசம பக்கங்களாகப் பிரிக்கிறது AC=48மீ 
∆ABCயின் பக்கங்கள், a=40மீ, b=40மீ மற்றும் c=48மீ 
\(S=\frac { a+b+c }{ 2 } =\frac { 40+40+48 }{ 2 } =\frac { 128 }{ 2 } =64\)
∆ABCயின் பரப்பளவு  \(=\sqrt { S(s-a)(s-b)(s-c) } \)
\(=\sqrt { 64(64-40)(64-40)(64-48) } \)
\(=\sqrt { 64\times 24\times 24\times 16 } \)
\(=\sqrt { 589824} \)
= 768²
சாய்சதுர நிலத்தின் பரப்பளவு = 2 x ∆ABC யின் பரப்பளவு 
= 2 x 768=1536ச.மீ 
சாய்சதுர நிலத்தின் பரப்பளவு =1536 மீ²

இருசம பக்க முக்கோணத்தின் சுற்றளவு =36 மீ 
சமபக்கத்தின் நீளம் =13மீ 
மூன்றாம் பக்கம் b மீ என்க.
a+a+b  =36
13+13+b 
26+b  =36
b =36-26=10மீ 
இருசமபக்க முக்கோணத்தின் பரப்பு = 1/2 bh 
h = \(\sqrt{13^2-5^2} = \sqrt {169-25} = \sqrt{144} = 12\)மீ
முக்கோண வடிவமுடைய பலகையின் பரப்பு = 1/2 b x h 
= 1/2 10 x 12 = 60மீ²
ஒரு சதுர மீட்டருக்கு வர்ணம் பூச செலவு Rs.17.50
\(\therefore\)17.50 x 60 = 1,050
வர்ணம் பூச ஆகும் செலவு = Rs.1,050

சமபக்க முக்கோணத்தின் சுற்றளவு  =180செ.மீ 
பக்கம் a = 180/3 = 60 செ.மீ 
சமபக்க முக்கோணத்தின் பரப்பளவு =\(=\frac { \sqrt { 3 } }{ 1 } { a }^{ 2 }\)

= 900\(\sqrt{3}\) ச.செமீ 
= 900 x 1.732 ச.செமீ 
= 1558.800 ச.செமீ 
= 1558.8 செ மீ²

முக்கோண வயலின் பக்கங்கள் a=22மீ, b=120மீ மற்றும் c=122மீ என்க.
S=\(\frac { a+b+c }{ 2 } =\frac { 22+120+122 }{ 2 } =\frac { 264 }{ 2 } \)=132மீ 
ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பு \(=\sqrt { S(s-a)(s-b)(s-c) } \)
\(=\sqrt { 132(132-22)(132-120)(132-122) } \)
\(=\sqrt { 132\times 110\times 12\times 10 } \)
\(=\sqrt { 1742400} \)
\(=\sqrt { 1320 \times 1320 } \)
= 1320 ச.மீ²
முக்கோணத்தின் பரப்பு=1320m²
வயலை சமப்படுத்த 1 ச.மீ ஆகும் செலவு = Rs.20
\(\therefore \)1320 ச.மீ க்கு ஆகும் மொத்தச் செலவு = Rs.1320 x 20 = Rs.26400
வயலைச் சமப்படுத்த ஆகும் மொத்த செலவு = Rs.26400

முக்கோணத்தின் பக்கங்கள் a=10செமீ, b=24செமீ மற்றும் c=26செமீ 
ஹெரான் சூத்திரத்தின் படி முக்கோணத்தின் பரப்பு  \(=\sqrt { S(s-a)(s-b)(s-c) } \) ச.அலகுகள் 
S=\(\frac { a+b+c }{ 2 } =\frac { 10+24+26 }{ 2 } =\frac { 60 }{ 2 } \)=30செமீ 
முக்கோணத்தின் பரப்பு \(=\sqrt { 30(30-10)(30-24)(30-26) } \)
\(=\sqrt { 30\times 20\times 6\times 4} \)
\(=\sqrt { 600\times24}\)
\(=\sqrt { 14400}\)
= 120 செமீ²
முக்கோணத்தின் பரப்பு =120 ச.செமீ 
ii) முக்கோணத்தின் பக்கங்கள் a=1.8மீ, b=8மீ மற்றும் c =8.2மீ 
S=\(\frac { a+b+c }{ 2 } =\frac { 10+24+26 }{ 2 } =\frac { 60 }{ 2 } \)=9மீ 
 முக்கோணத்தின் பரப்பு \(=\sqrt { S(s-a)(s-b)(s-c) } \) ச.அலகுகள் 
\(=\sqrt { 9(9-1.8)(9-8)(9-8.2) } \)
\(=\sqrt { 9\times \frac { 72 }{ 10 } \times 1\times \frac { 8 }{ 10 } } \)
\(=\sqrt { \frac { 9\times 9\times 8\times 8 }{ 10\times 10 } } \)
\(=\frac { 9\times 8 }{ 10 } =\frac { 72 }{ 10 } =\)7.2ச.மீ 
முக்கோணத்தின் பரப்பு =7.2ச.மீ

நீர்த் தொட்டியின் பக்க அளவு a என்க
இங்கு நீரத் தொட்டியின் கன அளவு = 64,000 லிட்டர்
அதாவது, a³ = 64,000 = \(\frac { 64000 }{ 1000 } \) [ஏனெனில், 1000 லிட்டர் = 1 மீ³]
a³ = 64 மீ³
இப்பொழுது, \(a=\sqrt [ 3 ]{ 64 } \) = 4 மீ
அந்த நீர்த் தொட்டியின் பக்கத்தின் நீளம் 4 மீட்டர் ஆகும்.

கனச்சதுரத்தின் பக்க அளவு a என்க.
இங்கு மொத்தபரப்பு = 864 செமீ²
6a² = 864
\({ a }^{ 2 }=\frac { 864 }{ 6 } \)
a² = 144
பக்க அளவு (a) = 12 செமீ
இப்பொழுது கனச்சதுரத்தின் கன அளவு = a³
= 12³ = 12 \(\times\) 12 \(\times\) 12 = 1728 செமீ³

மீன் தொட்டியின் நீளம் l = 3.8 மீ
மீன் தொட்டியின் அகலம் b = 2.5 மீ
மீன் தொட்டியின் உயரம் h = 1.6 மீ
மீன் தொட்டியின் கனஅளவு = l \(\times\) b \(\times\) h
= 3.8 \(\times\) 2.5 \(\times\)1.6
= 15.2 மீ³
= 15.2 \(\times\)1000 லிட்டர்
= 15200 லிட்டர்

கனச்சதுரத்தின் பக்க அளவு (a) = 5 செமீ
மொத்தபரப்பு  = 6a² = 6(5² ) = 150 ச.செமீ
பக்கப்பரப்பு= 4a² = 4(5² ) = 100 ச.செமீ

இங்கு அறையின் நீளம் (l ) = 25 மீ, அகலம் (b) =15 மீ மற்றும் உயரம் (h) = 5 மீ என்க.
நான்கு சுவர்களின் பரப்பு = கனச் செவ்வகத்தின் பக்கப்பரப்பு 
= 2(l + b) × h
= 2(25 +15) × 5

= 80 × 5 = 400 செ.மீ
தரையின் நீளம் =l × b
= 25 ×15
= 375 செ.மீ
புதுப்பிக்க வேண்டிய பகுதியின் பரப்பு =(நான்கு சுவர்களின் பரப்பு +தரையின் பரப்பு)
= (400 + 375) = 775 செ.மீ
1 சதுர மீட்டருககு ₹80 வீதம் அறையைப் புதுப்பிக்க ஆகும் மொத்தச் செலவு = 80 × 775 = Rs.62,000

தேவையான செங்கற்கள் 

a1 : a2 = 2 : 3
a₁² : a₂² = 4 : 9
6a₁² : 6a₂² = 24 : 54 ⇒ 12 : 27 ⇒ 4 : 9

TSA = 2(lb + bh + hl)
= 2(10 x 6 + 6 x  5 + 5 x 10)
= 2(60 + 30 + 50) = 2 x  (140) = 280 செமீ²

ஒரு சமபக்க Δ - ன் சுற்றளவு = 30 செமீ 
a = 60 செமீ 
\(A = \frac {\sqrt 3}{4} a ^ 2 =\frac {\sqrt 3}{4} \times 10 \times 10 = 25\sqrt {3}\) செமீ²