(a +b +1)(a² +b² +1−ab −b −a)

இத்தரவில் 20, 21, 22 என்ற எண்கள் ஒவ்வொன்றும் இருமுறை இடம்பெறுவதால், இத்தரவுகளுக்கு 20, 21, 22 ஆகிய மூன்று முகடுகள் உள்ளன.

(i) 27x²+125y³=(3x)³+(5y)³
=(3x+5y)((3x)²-(3x)-(3x)(5y)+(5y)²) [ஏனெனில் (a³+b³)=(a+b)(a²-ab+b²)]
=(3x+5y)(9x²-15xy+25y²) 
(ii) 216m³-343n³=(6m)³-(7n)³  [ஏனெனில் (a³-b³)=(a-b)(a²+ab+b²)]
=(6m-7n)((6m)²+(6m)(7n)+(7n)²)
=(6m-7n)(36m²+42mn+49n²)
(iii) 2x⁴-16xy³=2x(x³-8y³)
=2x(x³-(2y)³) [ஏனெனில் (a³-b³)=(a-b)(a²+ab+b²)]
=2x((x-2y)(x²+(x)(2y)+(2y)²))
=2x(x-2y)(x²+2xy+4y²)
(iv) 8x³+27y³+64z³-72xyz
=(2x)³+(3y)³+(4z)³-3(2x)(3y)(4z)
=(2x+3y+4z)(4x²+9y²+16z²-6xy-12yz-8xz)

வட்டத்தின் ஆரம் \(\begin{aligned} =\sqrt{8^2+15^2} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} =\sqrt{64+225} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} =\sqrt{289}=17 \end{aligned}\) செ.மீ

\(B\cap C=\left\{ \sqrt { 3 } ,\sqrt { 5 } ,6,13 \right\} \cap \left\{ \sqrt { 2 } ,\sqrt { 3 } ,\sqrt { 5 } ,9 \right\} = \{ \sqrt { 3 } ,\sqrt { 5 } \} \)
\(A\cap (B\cap C)= \left\{ -11,\sqrt { 2 } ,\sqrt { 5 } ,7 \right\} \cap \{ \sqrt { 3 } ,\sqrt { 5 } \} = \{ \sqrt { 5 } \} \)  .......(1)
\(A\cap B= \left\{ -11,\sqrt { 2 } ,\sqrt { 5 } ,7 \right\} \cap \left\{ \sqrt { 3 } ,\sqrt { 5 } ,6,13 \right\} = \{ \sqrt { 5 } \} \)
\(\left( A\cap B \right) \cap C=\{ \sqrt { 5 } \} \cap \left\{ \sqrt { 2 } ,\sqrt { 3 } ,\sqrt { 5 } ,9 \right\} = \{ \sqrt { 5 } \} \)   ......(2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து 
\(A\cap (B\cap C)=\left( A\cap B \right) \cap C\) என நிரூபிக்கப்பட்டது.

இப்பொழுது, \((B\cap C)=\left[ \frac { 1 }{ 4 } ,2,\frac { 5 }{ 2 } \right] \)
\(A\cap (B\cap C)=\left\{ \frac { 1 }{ 4 } ,2 \right\} \)   .....(1)
மேலும், \(A\cap B=\left\{ 0,\frac { 1 }{ 4 } ,\frac { 3 }{ 4 } ,2 \right\} \)
\((A\cap B)\cap C=\left\{ \frac { 1 }{ 4 } ,2 \right\} \)   ......(2)
(1) மற்றும் (2), இலிருந்து,
(A\(\cap \)B)\(\cap \)C = A\(\cap \)(B\(\cap \)C) என்பது சரிபார்க்கப்பட்டது.

\(({1\over3})^{-2}={1\over ({1\over3})^2}={1\over ({1\over9})}=9\)

p(x) = x³ + 13x² +32x + 20 என்க.
அனைத்து உறுப்புகளின் கெழுக்களின் கூடுதல் = 1+ 13 + 32 +20 =66 ≠ 0
எனவே, (x - 1) என்பது ஒரு காரணியல்ல.
இரட்டைப்படை அடுக்குகள் கொண்ட உறுப்பின் கெழு மற்றும் மாறிலியின் கூடுதல் =13+20=33
ஒற்றைப்படை அடுக்குகள் கொண்ட உறுப்புகளின் கெழுக்களின் கூடுதல் = 1+ 32 = 33
ஆகவே, (x + 1) என்பது p(x) இன் ஒரு காரணி.
மற்ற நேரிய காரணிகளைக் காணத் தொகுமுறை வகுத்தல் முறையைப் பயன்படுத்துவோம்.

S என்பது துள்ளுந்து, C என்பது மகிழுந்து மற்றும் B என்பது மிதிவண்டி வைத்திருக்கும் குடும்பங்களின் கணங்கள் என்க.
கொடுக்கப்பட்டது, n(U) =600; n(S) =\(\frac { 3 }{ 5 } \)x600 =360
n(C) = \(\frac { 1 }{ 3 } \) x 600 = 200, n(B) = \(\frac { 1 }{ 4 } \) x 600 = 150
n(S⋂C∩B) =\(\frac { 2 }{ 15 } \) x 600 = 80
வென்படத்திலிருந்து,
(i) குறைந்தது இரண்டு வகை வாகனங்களை வைத்திருக்கும் குடும்பங்களின் எண்ணிக்கை.
=40+6+10+80=136
(ii) எந்த ஒரு வாகனமும் வைத்திருக்காத குடும்பங்களின் எண்ணிக்கை 
=600 - (குறைந்தது ஒரு வாகனத்தை வைத்திருக்கும் குடும்பங்கள்)
=600 - (230 +40+74+6+54+10+80)
=600-494=106

A = { b, c, e, g, h }
B = { a, c, d, g, i }
C = { a, d, e, g, h }
B∩C = {a, d, g}
\(A-\left( B\cap C \right) \) = { b, c, e, g, h } - {a, d, g} = {b,c,e,h}    ....(1)
A - B = { b, c, e, g, h } - { a, c, d, g, i } = {b,e,h}
A - C = { b, c, e, g, h } - { a, d, e, g, h } = {b,c}
\((A-B)\cup (A-C)\)= {b,c,e,h} ....(2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து, 
\(A-(B\cap C)=(A-B)\cup (A-C)\) என நிரூபிக்கப்பட்டது.

இடைநிலை = \(\left( \cfrac { N }{ 2 } \right) ^{ th }\) ஆவது உறுப்பு  = \(\left( \cfrac { 50 }{ 2 } \right) ^{ th }\)= 25 ஆவது உறுப்பு 
இடைநிலைப் பிரிவு = 30-40
N/2 =25;I=30;m=24;c=10;f=10
இடைநிலை அளவு = \(1+\cfrac { (N/2-m) }{ f } \times c\)
= \(30+\left( \cfrac { 25-24 }{ 10 } \right) \times 10\)
= 30+1
= 31
இடைநிலை அளவு = 31

36, 44, 86, 31, 37, 44, 86, 35, 60, 51
ஏறுவரிசை  - 31,35,36,37,44,44,51,6,86,86
உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை (n) =10 (இரட்டை எண்)
இடைநிலை அளவு = \(\left( \cfrac { n }{ 2 } \right) \) வது மற்றும் \(\left( \cfrac { n }{ 2 } +1 \right) \) ஆவது உறுப்புகளின் சராசரி 
= 5வது மற்றும் 6ஆவது உறுப்புகளின் சராசரி 
= \(\cfrac { 44+44 }{ 2 } \)= \(\cfrac { 88 }{ 2 } \)
= 44
இடைநிலை அளவு =44

\(\bar { x } =\)60 kg 
\(\frac { \sum { x } }{ n } \)\(=\frac { 56+68+72+a }{ 4 } \) = 60
196 + x = 60 x 4 =240
x = 240-196 = 44kg
நான்காம் நபரின் எடை = 44 கி 

\(\Delta\)PQR - யில்
PQ = 5 செ.மீ
PR = 6 செ.மீ
\(\angle\)QPR = 60°
வரைமுறை:
படி 1: \(\Delta\)PQR - ஐ வரை
படி 2: ஏதேனும் இருபக்ககங்களுக்கு (PR, QR) மையக் குத்துக் கோடுகள் வரை.
படி 3: பக்கங்களின் மையப் புள்ளியையும் எதிர் முனையையும் இணைத்து நடுக்கோடுகள் (PD, QE) வரை.
படி 4: நடுக்கோடுகள் சந்திக்கும் புள்ளி G.
படி 5: நடுக்கோடுகள் சந்திக்கும் G, \(\Delta\)PQR -ன் நடுக்கோட்டு மையம் ஆகும்.

\(\Delta\)LMN - ல்
LM = 7.5 செ.மீ 
MN = 5 செ.மீ 
LN = 8 செ.மீ 
வரைமுறை:
படி 1: \(\Delta\)LMN ஐ வரை
படி 2: ஏதேனும் இரு பக்கங்களுக்கு (LN, MN) மையக் குத்துக் கோடுகள் வரை
படி 3: பக்கங்களின் மையப்புள்ளியையும் எதிர்முனையையும் சேர்த்து நடுக்கோடுகள் (LD, ME) வரைக.
படி 4: நடுக்கோடுகள் வெட்டிக் கொள்ளும் புள்ளி G நடுக்கோட்டு மையம் ஆகும்.

a²+b²+c²-ab-bc-ca=\({2[a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca]\over 2}\) (2 ஆல் பெருக்கி 2ஆல் வகுக்க)
\(={1\over2}[2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca]\)
\(={1\over2}[(a^2+b^2-2ab)+(b^2+c^2-2bc)+(c^2+a^2-2ca)]\)
\(={1\over2}[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]\)
\(\therefore a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca={1\over2}[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]\) என நிரூபிக்கப்பட்டது.

p(x)= 2x² - 6x² + mx + 4 என்க 
காரணித் தேற்றத்தின் படி,மீதி p(2)=0 எனில்,(x-2) ஒரு காரணியாகும்.

p(2)=0
2(2)³-6(2)²+m(2)+4=0
2(8)-6(4)+2m+4=0
-4+2m = 0
m = 2

(i) 
தசமப் புள்ளியானது 6 இடங்கள் இடப்பக்கமாக நகர்த்தப்பட்டுள்ளது. எனவே,n = 6.
(ii)

தசமப் புள்ளியானது இரண்டு இடங்கள் வலப்பக்கமாக நகர்த்தப்பட்டுள்ளது. எனவே,n = -2.
(iii)

தசமப் புள்ளியானது 7 இடங்கள் இடப்பக்கமாக நகர்த்தப்பட்டுள்ளது. எனவே,n = 7.

\({5\sqrt{3}+\sqrt{2}\over \sqrt{3}+\sqrt{2}}\) \(=\frac{5 \sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} \)
\(=\frac{(5 \sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{3-2} \)
\(=\frac{5 \times 3-5 \sqrt{6}+\sqrt{6}-2}{1} \)
\(=\frac{15-4 \sqrt{6}-2}{1}=13-4 \sqrt{6} \)

(1) மற்றும் (2) இலிருந்து, A\(\cap \)(BUC) = (A\(\cap \)B) U (A\(\cap \)C) என்பது வென்படம் மூலம் சரிபார்க்கப்பட்டது. 

\(\bar{X} = \frac{5 + 9+ x+17+21}{5} = \frac{52 + x}{5} = 13\)
52 + x = 65 
x = 65 - 52
x = 13

(a+b−c)² = [- (-a-b+c)]² = (-1)² (-a-b+c)² = (-a-b+c)²

p(a) = 0 எனில் (x-a) ஆனது p(x) - ன் ஓர் காரணி 

OE = \( \sqrt{15^2-12^ 2} = \sqrt{225-144} = \sqrt{81} = 9\) செமீ

(r - 4)² + 8² = r²
r² + 16 - 8r + 64 = r²
8r = 80
r = 80/8 = 10 செமீ

40 + 35 + 20 + x = 100%
95 % + x = 100%
x = 5%

\((\because 4 \sqrt{7} \times 2 \sqrt{3}=4 \times 2 \sqrt{7 \times 3}=8 \sqrt{21})\)

(i) \(\sqrt{8\over 18} =\sqrt{4\over 9} = 2/3\) ஒரு விகிதமுறு எண் 
(2) 7/3 ஒரு விகிதமுறு எண் 
(3) \( \sqrt{0.01} = \sqrt{1\over 100} = 1/10\) ஒரு விகிதமுறு எண் 
(4) \( \sqrt{13}\) ஒரு விகிதமுறா எண் 
(∵ முடியுறா சூழல் தன்மைக்கொண்டது)

வட்ட நாற்கரத்தின் வெளிக் கோணங்களின் பண்பின்படி,
நாம் பெறுவது, y^o =100^o  மேலும்,
x^o+30^o =60^o ஆகையால், x^o =30^o 

வட்ட நாற்கரம் PQRS இல் \(\angle PSR\)=70^o கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
\(\angle PSR\)+\(\angle PQ R\) =180^o (காரணம் கூறுக_____ )
70^o +\(\angle PQ R\) =180^o
\(\angle PQ R\)=180^o -70^o 
\(\angle PQ R\) =110^o 
Δ PQR இல் நாம் பெறுவது 
\(\angle PQ R\)+\(\angle PRQ\)+\(\angle QPR\)=180^o (காரணம் கூறுக _____ ) 
110^o+\(\angle PRQ\) +40^o=180^o
\(\angle PRQ\)=180^o-150^o
\(\angle PQ R\)=30^o

(i) (2a + 3b + 4c) (4a² + 9b² + 16c² - 6ab - 12bc - 12bc - 8ca)
இங்கு முற்றொருமை
(a + b + c) (a² + b² + c² - ab - bc - ca) = a³ + b³ + c³ - 3abc
\(\therefore\) (2a + 3b + 4c) (4a² + 9b² + 16c² - 6ab - 12 bc - 8 ca)
= (2a)³ + (3b)³ + (4c)³ - 3 \(\times\) 2a \(\times\) 3b \(\times\) 4c
= 8a³ + 27b³ + 64c³ - 72 abc
(ii) (x - 2y + 3z) (x² + 4y² + 9z² + 2xy + 6yz - 3xz)
= (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca) \(\equiv\) a³ + b³ + c³ - 3abc
\(\therefore\) (x - 2y + 3z)(x² + 4y² + 9z² + 2xy + 6yz - 3 xz)
=x³ + (-2y)³ + (3z)³ - 3 \(\times\)x \(\times\) (-2y) (3z)
= x³ - 8y³ + 27z³ + 18 xyz