கொடுக்கப்பட்ட இரு நேரிய சமன்பாடுகள்
8x + 5y = 9
5x + 10y = 15
\(\left[ \begin{matrix} { a }_{ 1 }x+{ b }_{ 1 }y+{ c }_{ 1 }=0 \\ { a }_{ 2 }x+{ b }_{ 2 }y+{ c }_{ 2 }=0 \end{matrix} \right] \)
இங்கு a₁ = 8, b₁ = 5, c₁ = 9, a₂ = k,b₂ = 10,c₂ = 15
தீர்வுகள் இல்லையெனில் \(\frac { { a }_{ 1 } }{ { a }_{ 2 } } =\frac { { b }_{ 1 } }{ { b }_{ 2 } } \neq \frac { { c }_{ 1 } }{ { c }_{ 2 } } \) ஆகவே, \(\frac { 8 }{ k } =\frac { 5 }{ 10 } \neq \frac { 9 }{ 15 } \)
80 = 5k
k = 16

கொடுக்கப்பட்ட நேரிய சமன்பாடுகள்
kx + 2y = 3 ......(1)
2x - 3y = 1 .......(2)
\(\left[ \begin{matrix} { a }_{ 1 }x+{ b }_{ 1 }y+{ c }_{ 1 }=0 \\ { a }_{ 2 }x+{ b }_{ 2 }y+{ c }_{ 2 }=0 \end{matrix} \right] \)
இங்கு a₁ = k, b₁ = 2, a₂ = 2, b₂ = −3 ;
ஒரேயொரு தீர்வு உண்டெனில் \(\frac { { a }_{ 1 } }{ { a }_{ 2 } } ↑ \frac { { b }_{ 1 } }{ { b }_{ 2 } } \) எனக் கருதுவோம். எனவே \(\frac { k }{ 2 } \neq \frac { 2 }{ -3 } \); ஆகவே \(k\neq \frac { 4 }{ -3 } \)

(i) 8x - 3y = 12; 5x - 2y = 7
8x - 3y = 12     .......(1)
5x - 2y  = 7      .......(2)
8x - 3y - 12 = 0
5x - 2y - 7 = 0
குறுக்குப் பெருக்கல் முறையில் சமன்பாட்டில் உள்ள கெழுக்களை பின்வருமாறு அமைப்போம்
\(\begin{gathered} \frac{x}{(-3)(-7)-(-2)(-12)}=\frac{y}{(-12)(5)-(-7)(8)}=\frac{1}{(8)(-2)-(5)(-3)} \end{gathered}\)
\(\begin{gathered} \frac{x}{21-24}=\frac{y}{-60+56}=\frac{1}{-16+15} \end{gathered}\)
\(\begin{gathered} \frac{x}{-3}=\frac{y}{-4}=\frac{1}{-1} \end{gathered}\)
\(\begin{gathered} \therefore \frac{x}{-3}=\frac{1}{-1}=\frac{y}{-4}=\frac{1}{-1} \end{gathered}\)
-x = -3 -y = -4
\(\therefore\) x = 3; y = 4

(ii) 6x + 7y - 11 = 0; 5x + 2y - 13 = 0
6x + 7y - 11 = 0
5x + 2y - 13 = 0
\(\begin{aligned} \frac{x}{-91-(-22)} & =\frac{y}{-55-(-78)}=\frac{1}{12-35} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \frac{x}{-91+22} & =\frac{y}{-55+78}=\frac{1}{-23} \end{aligned}\)
\(\frac{x}{-69}=\frac{y}{23}=\frac{1}{-23}\)


x = 3    y = -1
\(\therefore\) x = 3; y = -1
(iii) \(\begin{aligned} \frac{2}{x}+\frac{3}{y}=5 ; \frac{3}{x}-\frac{1}{y}+9 & =0 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \frac{2}{x}+\frac{3}{y}-5 & =0 \end{aligned}\)                       ....(1)
\(\begin{aligned} \frac{3}{x}-\frac{1}{y}+9 & =0 \end{aligned}\)                       ....(2)
(1), (2) ல் \(\frac{1}{x}\) = a, \(\frac{1}{y}\) = b எனக் கொள்க
(1) \(\Rightarrow\) 2a + 3b - 5 = 0
(2) \(\Rightarrow\) 3a - b + 9 = 0
குறுக்கு பெருக்கல் முறையைப் பயன்படுத்தி
\(\begin{aligned} \frac{a}{(3)(9)-(-1)(-5)} & =\frac{b}{(-5)(3)-(9)(2)}=\frac{1}{(2)(-1)-(3)(3)} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \frac{a}{27-5} & =\frac{b}{-15-18}=\frac{1}{-2-9} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \frac{a}{22} & =\frac{b}{-33}=\frac{1}{-11} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \therefore \frac{a}{22} & =\frac{1}{-11} \left\lvert\, \frac{b}{-33}=\frac{1}{-11}\right. \end{aligned}\)


a = -2 b = 3
\(\begin{aligned} \therefore x=\frac{1}{a}=\frac{-1}{2} & y=\frac{1}{b}=\frac{1}{3} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \therefore x=-\frac{1}{2} \quad y=\frac{1}{3} \end{aligned}\)

கொடுக்கப்பட்டவை, 
2x + 3y = 14 ...(1)
3x − 4y = 4 ...(2)
y ஐ நீக்க:
(1) ஐ 4 ஆல் பெருக்க, கிடைப்பது 8x +12y = 56
(2) ஐ 3 ஆல் பெருக்க, கிடைப்பது 9x - 12y = 12
                                                       -----------------------
இரண்டையும் கூட்ட நமக்குக் கிடைப்பது, 17x = 68
ஆகவே, x =4
x = 4 என (1) இல் பிரதியிட நாம் பெறுவது
2x + 3y = 14
2(4) + 3y = 14
8 + 3y = 14
y = 2
ஆகவே தீரவு x = 4, y = 2 ஆகும்.
சரிபார்த்தல்:
2x+3y = 14 ...(1)
2(4)+3(2) = 14
8 + 6 = 14
14 = 14 மெய்
3x – 4y = 4 ...(2)
3(4) – 4(2) = 4
12–8 = 4
4 = 4 மெய்

கொடுக்கப்பட்டவை, 4a + 3b = 65 .....(1)
a + 2b = 35 .....(2)
(2) ஐ 4 ஆல் பெருக்க    4a + 8b = 140
(1) இலிருநது                 4a + 3b = 65
                                       (-)    (-)   (-)
                                       ----------------------
                                                5b  = 75 இதிலிருந்து b = 15
b = 15 என (2) இல் பிரதியிட,
a + 2(15) = 35 இதிலிருந்து a = 5
ஆகவே, தீர்வு a = 5, b = 15.
சரிபார்த்தல்:
4a+3b = 65 ...(1)
4(5)+3(15) = 65
20 + 45 = 65
65 = 65 மெய்
a + 2b = 35 ...(2)
5 + 2(15) = 35
5+30 = 35
35 = 35 மெய்

கொடுக்கப்பட்டவை 
x + 3y = 16 ... (1)
2x – y = 4 ... (2)

படி 1	படி 2	படி 3	தீர்வு
சமன்பாடு (2) இலிருந்து 2x −y = 4 –y = 4–2x y = 2x − 4 ...(3)	(3) ஐ (1) இல் பிரதியிட  x + 3y = 16 x + 3(2x − 4) = 16 x + 6x −12 = 16 7x = 28 x = 4	x =4 என (3) இல் பிரதியிட y = 2x − 4 y = 2(4) − 4 y = 4	x = 4 மற்றும்  y = 4

கொடுக்கப்பட்டவை 
x – 2y = 7 …(1)
2x + 3y = 7 …(2)
x =5, y =-1 எனில், நமக்குக் கிடைப்பது,
(1) இலிருந்து x – 2y = 5 – 2(−1) = 5 + 2 = 7 (வலது பக்கம்)
(2) இலிருந்து 2x + 3y = 2(5) + 3(−1) = 10−3 = 7 (வலது பக்கம்)
ஆகவே, x = 5, y = -1 என்ற மதிப்புகளானது சமன்பாடுகள் (1) மற்றும் (2) ஐ ஒரே நேரத்தில் நிறைவு செய்கிறது. ஆகவே, (5, -1) என்பது கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடுகளின் தீர்வாகும். 

(i) y = 2x
x = -1, எனில் y = 2 \(\times\) -1 = -2
x = 0,             y = 2 \(\times\) 0 = 0
x = 1,             y = 2 \(\times\) 1 = 2

x	-1	0	1
y	-2	0	2

வரைபடத்தில் (x, y) புள்ளிகளைக் குறிக்க:
(-1, -2), (0, 0), (1, 2)
(ii) y = 4x - 1
x = -1 \(\Rightarrow\) y = 4 (-1) - 1
y = -4 - 1 = -5
x = 0                     \(\Rightarrow\) y = 4 \(\times\) 0 - 1 = -1
x = 1                     \(\Rightarrow\) y = 4 \(\times\) 1 - 1 = 3

x	-1	0	1
y	-5	-1	3

வரைபடத்தில் (x, y) புள்ளிகளைக் குறிக்க:
(-1, -5), (0, -1), (1, 3)
(iii) \( y=\left ( \frac{3}{2} \right )x+3\)
x = -2   \(\Rightarrow y=\left ( \frac{3}{2} \right )(-2)+3=-3+3=0\)
x = 0     \(\Rightarrow y=\left ( \frac{3}{2} \right )(0)+3\)
y = 0 + 3 = 3
x = 2 \(\Rightarrow y=\left ( \frac{3}{2} \right )(2)+3=3+3 \Rightarrow y=6\)

x	-2	0	2
y	0	3	6

வரைபடத்தில் (x, y) புள்ளிகளைக் குறிக்க: (-2, 0), (0,3), (2, 6)
(iv) 3x + 2y = 14
2y = -3x + 14
\(y=\frac{-3x+14}{2}\)
\(\Rightarrow y=\left ( \frac{-3}{2} \right )x+7 \)
x = -2, எனில் \(y=\left ( \frac{-3}{2} \right )(-2)+7\)
= 3 + 7 = 10
x = 0, எனில்  \(y=\left ( \frac{-3}{2} \right )(0)+7=7\)
x = 2, எனில் y = -3 + 7 = 4

x	-2	0	2
y	10	7	4

வரைபடத்தில் (x, y) புள்ளிகளைக் குறிக்க:
(-2, 10), (0, 7), (2, 4)

இதற்கு முன்பே அட்டவணையை அமைத்து, புள்ளிகளை வரிசைப் படுத்துவதுடன், சோடிப் புள்ளிகளை வரைபடத்தில் குறித்து அவற்றை இணைப்பது பற்றிய ஒரு வழிமுறையை நாம் கடந்து வந்திருக்கிறோம். ஆனால், ஒரு கோட்டை நிர்ணயிக்க குறைந்தது எத்தனை புள்ளிகள் நமக்குத் தேவை? இரண்டு புள்ளிகள் போதுமானதே. ஒரு கோடு y = mx + c என்ற வடிவில் இருந்தால் இதனை எளிதில் காணலாம்.
கொடுக்கப்பட்ட கோடு y = 4x - 3
y - வெட்டுத்துண்டைப் பெற
x = 0 எனப் பிரதியிட, y =4(0) - 3
y = -3
இதிலிருந்து (0, -3) என்ற புள்ளியும்
y - வெட்டுத்துண்டு = -3 எனவும் கிடைக்கிறது
x - வெட்டுத்துண்டைப் பெற
y = 0 எனப் பிரதியிட, 0 = 4x - 3
3 = 4x
\(\frac { 3 }{ 4 } =x\)

இதிலிருந்து \(\left( \frac { 3 }{ 2 } ,0 \right) \) என்ற புள்ளி மற்றும் x - வெட்டுத்துண்டு =\(\frac { 3 }{ 4 }\) எனவும் கிடைக்கிறது.
இப்பொழுது (0, -3) மற்றும் \(\left( \frac { 3 }{ 4 } ,0 \right) \) என்ற இரண்டு புள்ளிகளின் வழியே வரைபடத்தை வரையலாம்.

AB இன் சாய்வு = \(\frac { { y }_{ 2 }-{ y }_{ 1 } }{ { x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 } } =\frac { 3 }{ 5 } \)

EF இன் சாய்வு =\(\frac { 4 }{ 7 } \)
PQ இன் சாய்வு = வரையறுக்கப்படாதது
RS இன் சாய்வு =0.
   

வ.எண்	சோடிக் கோடுகள்	\(\frac { { a }_{ 1 } }{ { a }_{ 2 } } \)	\(\frac { { b }_{ 1 } }{ { b }_{ 2 } } \)	\(\frac { { c }_{ 1 } }{ { c }_{ 2 } } \)	விகிதங்களை ஒப்பிடுதல்	வரைபடக் குறியீடு	இயற்கணித விளக்கம்
(i)	2x–4y = 7 x – 3y = –2	\(\frac { 2 }{ 1 } =2\)	\(\frac { -4 }{ -3 } =\frac { 4 }{ 3 } \)	\(\frac { 7 }{ -2 } =\frac { -7 }{ 2 } \)	\(\frac { { a }_{ 1 } }{ { a }_{ 2 } } \neq \frac { { b }_{ 1 } }{ { b }_{ 2 } } \)	வெட்டும் கோடுகள்	ஒரேயொரு தீர்வு
(ii)	4x + y = 3 8x + 2y = 6	\(\frac { 4 }{ 8 } =\frac { 1 }{ 2 } \)	\(\frac { 1 }{ 2 } \)	\(\frac { 3 }{ 6 } =\frac { 1 }{ 2 } \)	\(\frac { { a }_{ 1 } }{ { a }_{ 2 } } =\frac { { b }_{ 1 } }{ { b }_{ 2 } } =\frac { { c }_{ 1 } }{ { c }_{ 2 } } \)	ஒன்றிணைந்த கோடுகள்	எண்ணற்ற தீர்வுகள்
(iii)	4x + 7= 2y 2x + 9 = y	\(\frac { 4 }{ 2 } =2\)	\(\frac { 2 }{ 1 } =2\)	\(\\ \frac { 7 }{ 9 } \)	\(\frac { { a }_{ 1 } }{ { a }_{ 2 } } =\frac { { b }_{ 1 } }{ { b }_{ 2 } } \neq \frac { { c }_{ 1 } }{ { c }_{ 2 } } \)	இணை கோடுகள்	தீர்வு இல்லை

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடுகளின் தொகுப்பு 3x + 5y − 21 = 0; −7x − 6y + 49 = 0
கெழுக்களைக் குறுக்குப் பெருக்கல் முறைக்காக எழுத நாம் பெறுவது,

\(\Rightarrow \frac { x }{ (5)(49)-(-6)(-21) } =\frac { y }{ (-21)(-7)-(49)(3) } =\frac { 1 }{ (3)(-6)-(-7)(5) } \)
\(\frac { x }{ 119 } =\frac { y }{ 0 } =\frac { 1 }{ 17 } \)
\(\Rightarrow \frac { x }{ 119 } =\frac { 1 }{ 17 } ,\frac { y }{ 0 } =\frac { 1 }{ 17 } \)
\(\Rightarrow x=\frac { 119 }{ 17 } ,y=\frac { 0 }{ 17 } \)
\(\Rightarrow \) x = 7, y = 0
சரிபார்த்தல்:
3x+5y = 21 ...(1)
3(7)+5(0) = 21
21 + 0 = 21
21 = 21 மெய்
–7x – 6y = –49 ...(2)
–7(7) – 6(0) = –49
–49 + 0 = –49
–49 = –49 மெய்

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடுகளின் தொகுப்பைப் பின்வருமாறு எழுதலாம்
2x + 7y − 5 = 0
−3x + 8y +11 = 0
குறுக்குப் பெருக்கல் முறைக்காகக் கெழுக்களைப் பின்வருமாறு எழுதலாம்

\(\\ \frac { x }{ (7)(11)-(8)(-5) } =\frac { y }{ (-5)(-3)-(11)(2) } =\frac { 1 }{ (2)(8)-|(-3)(7) } \)
\(\frac { x }{ 77+40 } =\frac { y }{ 15-22 } =\frac { 1 }{ 16+21 } \)
\(\frac { x }{ 117 } =\frac { y }{ -7 } =\frac { 1 }{ 37 } \)
\(\frac { x }{ 117 } =\frac { 1 }{ 37 } ,\frac { y }{ -7 } =\frac { 1 }{ 37 } \)
ஆகவே தீர்வு \(\\ \left( \frac { 117 }{ 37 } ,\frac { -7 }{ 37 } \right) \) ஆகும்.
சரிபார்த்தல்:
2x + 7y -5 = 0 ....(1)
\(2\left( \frac { 117 }{ 37 } \right) +7\left( \frac { -7 }{ 37 } \right) -5=0\)
\(\frac { 234 }{ 57 } -\frac { 49 }{ 37 } -5=0\)
\(\frac { 185 }{ 37 } -5=0\)
5 - 5 = 0 மெய்
3x+8y+11 = 0 ...(2)
\(3\left( \frac { 117 }{ 37 } \right) +8\left( \frac { -7 }{ 37 } \right) +11=0\)
\(\frac { -351 }{ 37 } -\frac { 56 }{ 37 } +11=0\)
\(\frac { -407 }{ 37 } +11=0\)
-11 + 11 = 0 மெய்

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடுகளின் தொகுப்பு
3x − 4y = 10  \(\Rightarrow\) 3x − 4y −10 = 0 .....(1)
4x + 3y =   5  \(\Rightarrow\) 4x + 3y − 5 = 0 .....(2)
குறுக்குப் பெருக்கல் முறையைப் பயன்படுத்துவதற்காகக் கெழுக்களை நாம் பின்வருமாறு எழுதலாம்.

\(\frac { x }{ (-4)(-5)-(3)(-10) } =\frac { y }{ (-10)(4)-(-5)(3) } =\frac { 1 }{ (3)(3)-(4)(-4) } \)
\(\frac { x }{ (20)-(-30) } =\frac { y }{ (-40)-(-15) } =\frac { 1 }{ (9)-(-16) } \)
\(\frac { x }{ 20+30 } =\frac { y }{ -40+15 } =\frac { 1 }{ 9+16 } \)
\(\frac { x }{ 50 } =\frac { y }{ -25 } =\frac { 1 }{ 25 } \)
ஆகவே நாம் பெறுவது \(x=\frac { 50 }{ 25 } ;y=\frac { -25 }{ 25 } \)
x = 2; y = -1
எனவே தீர்வானது x = 2, y = -1 ஆகும்.
சரிபார்த்தல்:
3x–4y = 10 ...(1)
3(2)–4(–1) = 10
6 + 4 = 10
10 = 10 மெய்
4x + 3y = 5 ...(2)
4(2) + 3(–1) = 5
8–3 = 5
5 = 5 மெய்

(i) 2x - y = 3; 3x + y = 7
2x - y = 3                                  ...(1)
3x + y = 7                                 ...(2)
(1) + (2) \(\Rightarrow\) 2x - y = 3
                   3x + y = 7
                   _________
                       5x    = 10
                         x=\(\frac{10}{5}\) =2
x = 2 என (1) ல் பிரதியிட
2(2) - y = 3
4 - y = 3
-y = 3 - 4
y = 1
\(\therefore\) x = 2; y = 1
சரிபார்த்தல்:
x = 2, y = 1 என (2) ல் பிரதியிட
3(2) + 1 = 7 = RHS
\(\therefore\) சரிபார்க்கப்பட்டது.
(ii) x - y = 5; 3x + 2y = 25
x - y = 5                                                                                                                    ....(1)
3x + 2y = 25                                                                                                             ....(2)

y = 2
y = 2 என (1) ல் பிரதியிட
x - 2 = 5
x = 5 + 2
x = 7
\(\therefore\) x = 7, y = 2
சரிபார்த்தல்:
x = 7, y = 2 என (2) ல் பிரதியிட
3(7) + 2(2) = 21 + 4 = 25 = RHS
\(\therefore\) சரிபார்க்கப்பட்டது.
(iii) \(\begin{aligned} \frac{x}{10}+\frac{y}{5}=14 ; \frac{x}{8}+\frac{y}{6}=15 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \frac{x}{10}+\frac{y}{5}=14 \Rightarrow \frac{x+2 y}{10}=14 \end{aligned}\)
x + 2y = 140
\(\frac{x}{8}+\frac{y}{6}=15 \Rightarrow \frac{3 x+4 y}{24}=15\)

y = 30 என (1) ல் பிரதியிட 
x + 2(30) = 140
x + 60 = 140
x = 140 - 60 = 80
\(\therefore\) x = 80; y = 30
சரிபார்த்தல்:
x = 80, y = 30 என (2) ல் பிரதியிட
3(80) + 4(30) = 240 + 120 = 360 = RHS
\(\therefore\) சரிபார்க்கப்பட்டது
(iv) 3(2x + y) = 7xy; 3(x + 3y) = 11xy                                   
3(2x + y) = 7xy \(\Rightarrow\) 6x + 3y = 7 xy                                         .....(1)
3(x + 3y) = 11 xy \(\Rightarrow\) 3x + 9y = 11xy                                      .....(2)

\(\frac{6}{y}+\frac{3}{x}=7\)                                                            .....(3)

\(\frac{3}{y}+\frac{9}{x}=11\)                                                                       ......(4)
(3), (4) ல் \( \frac{1}{x}=a,\frac{1}{y}=b\) எனக் கொள்க
(3)  \(\Rightarrow\)  6b + 3a = 7                                                               ......(5)
(4) \(\Rightarrow\)  3b + 9a = 11                                                               ......(6)

                                                  15a = 15
                                                      a = \(\frac{15}{15}\) = 1
a = 1 என (5) ல் பிரதியிட
6b + 3 (1) = 7
6b + 3      = 7
6b = 7 - 3

\(\begin{aligned} \therefore \quad \frac{1}{a}=1 \Rightarrow x=1 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \frac{1}{b}=\frac{3}{2} \Rightarrow y=\frac{3}{2} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \therefore x=1 ; y=\frac{3}{2} \end{aligned}\)
(v) \(\frac{4}{x}+5 y=7 ; \frac{3}{x}+4 y=5\)
\(\frac{1}{x}\)= a எனக
\(\begin{aligned} & \frac{4}{x}+5 y=7 \Rightarrow 4 a+5 y=7 \end{aligned}\)               ....(1)
\(\begin{aligned} \frac{3}{x}+4 y=5 \Rightarrow 3 a+4 y=5 \end{aligned}\)                ....(2)

                                                      -1 y = 1
                                                          y = -1
y = -1 என (1) ல் பிரதியிட
4a + 5(-1) = 7
4a - 5 = 7
4a = 7 + 5
a = \(\frac{12}{4}=3\)
\(\frac{1}{a}=\frac{1}{3} \Rightarrow\) x = \(\frac{1}{3}\)
y = -1
\(\therefore \quad x=\frac{1}{3} ; y=-1\)
(vi) 13x + 11y = 70; 11x + 13y = 74
             13x + 11y = 70                .....(1)
             11x + 13y = 74                .....(2)

\(y=\frac{192}{48}=4\)
y = 4 என (1) ல் பிரதியிட
13x + 11 (4) = 70
13x + 44 = 70
13x = 70 - 44 = 26
\(x=\frac{26}{13}=2\)
\(\therefore\) x = 2; y = 4

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடுகள்  
8x − 3y = 5xy ...(1)
6x − 5y = −2xy ...(2)
கொடுக்கப்பட்ட தொகுப்பில் xy என்ற உறுப்பு உள்ளதால் இது ஒரு நேரிய சமன்பாட்டில் அமைந்த தொகுப்பு அல்ல. மேலும், x = 0 எனில், y = 0 இதே போல் y = 0 எனில், x = 0 என்பதையும் கவனிக்க. ஆகவே, (0, 0) என்பது தொகுப்பின் ஒரு தீர்வாகும். மேலும் x ↑ 0 மற்றும் y ↑ 0 என்றவாறு வேறொரு தீர்வும் இருக்க இயலும்.
 x ↑ 0, y ↑ 0 என்பனவற்றைக் கருத்தில் கொள்வோம்.
ஒவ்வொரு சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களையும் xy ஆல் வகுக்க,
(1) இலிருந்து \(\frac { 8x }{ xy } -\frac { 3y }{ xy } =\frac { 5xy }{ xy } \) நாம் பெறுவது, \(\frac { 8 }{ y } -\frac { 3 }{ x } =5\) .....(3)
(2)  இலிருந்து \(\frac { 6x }{ xy } -\frac { 5y }{ xy } =\frac { -2xy }{ xy } \) நாம் பெறுவது, \(\frac { 6 }{ y } -\frac { 5 }{ x } =-2\) ....(4)
\(a=\frac { 1 }{ x } ,b=\frac { 1 }{ y } \) என்க.
(3) மற்றும் (4) ஆனது,
8b - 3a = 5  .....(5)
6b - 5a = -2 ......(6) என ஆகும்.
இவை a மற்றும் b ஆல் அமைந்த நேரிய சமன்பாடுகள் ஆகும்.
a ஐ நீக்குவதற்காக,  
(5) \(\times\) 5\(\Rightarrow\) 40b −15a = 25 .....(7)
(6) \(\times\) 3\(\Rightarrow\)18b −15a = −6 .....(8)
கடந்த எடுத்துக்காட்டுகளைப் போலவே இதைத் தொடர \(\left( \frac { 11 }{ 23 } ,\frac { 22 }{ 31 } \right) \) என்ற தீர்வைப் பெறலாம்.
ஆகவே, இந்தத் தொகுப்பானது  \(\left( \frac { 11 }{ 23 } ,\frac { 22 }{ 31 } \right) \)மற்றும் (0, 0) ஆகிய இருதீர்வுகளைப் பெற்றிருக்கும். 

(i) 2x - 3y = 7                    ....(1)
5x + y = 9                         .....(2)
படி (1)
சமன்பாடு (2) லிருந்து
5x + y = 9
y = -5x + 9                        .....(3)
படி (2)
(3) ஐ (1) ல் பிரதியிட
2x - 3 (-5x + 9) = 7
2x + 15x - 27 = 7
17x = 7 + 27
17x = 34
x = \(\frac{34}{17}\) = 2; x = 2
படி (3)
x = 2 என (3) ல் பிரதியிட
y = -5(2) + 9
= -10 + 9 = -1
y = -1
\(\therefore\) x = 2; y = -1
(ii)   1.5x + 0.1y = 6.2                                     ....(1)
                     3x - 0.4y = 11.2                         ....(2)
(1) \(\times\) 10 \(\Rightarrow\)    15x + y = 62                          ....(3)
(2) \(\times\) 10 \(\Rightarrow\)   30x - 4y = 112                        ....(4)
படி (1)
சமன்பாடு (3) லிருந்து
15x + y = 62
y = -15x + 62                                                .....(5)
படி (2)
(5) ஐ (4) ல் பிரதியிட
30x - 4(-15x + 62) = 112
30x + 60x - 248 = 112
90x = 112 + 248
90x = 360

படி (3)
x = 4 என (5) ல் பிரதியிட
y = -15(4) + 62
= -60 + 62 = 2
\(\therefore\) x = 4 மற்றும் y = 2
(iii) 10% x + 20% y = 24

\(\frac{x}{10}+\frac{y}{5}=24\)
\(\frac{x+2y}{10}=24\)
x + 2y = 240                        ...(1)
3x - y  = 20                          ...(2)
படி (1)
சமன்பாடு (2) லிருந்து
3x - y = 20
-y = 20 - 3x
y = 3x - 20                          .....(3)
படி (2)
(3) ஐ (1) ல் பிரதியிட
x + 2 (3x - 20) = 240
x + 6x - 40 = 240
7x = 240 + 40
\(x=\frac{280}{7}\)
x = 40
படி (3)
x = 40 என (3) ல் பிரதியிட
y = 3 (40) - 20
= 120 - 20 = 100
\(\therefore\) x = 40 மற்றும் y = 100
(iv) \(\begin{aligned} \sqrt{2} x-\sqrt{3} y=1 ; \sqrt{3} x-\sqrt{8} y & =0 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \sqrt{2} x-\sqrt{3} y & =1 \end{aligned}\)                      ....(1)
\(\begin{aligned} \sqrt{3} x-\sqrt{8} y & =0 \end{aligned}\)                     .....(2)
படி (1)
சமன்பாடு (2) லிருந்து
\(\begin{aligned} \sqrt{3} x-\sqrt{8} y & =0 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \not -\sqrt{8} y & =\not - \sqrt{3} x \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} y & =\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{8}} x \end{aligned}\)                               .....(3)
படி (2)
(3) ஐ (1)  ல் பிரதியிட
\(\begin{aligned} \sqrt{2} x-\sqrt{3} y & =1 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \sqrt{2} x-\sqrt{3}\left(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{8}}\right) x & =1 \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \frac{\sqrt{2} x}{1}-\frac{3}{\sqrt{8}} x & =1 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \frac{\sqrt{16} x-3 x}{\sqrt{8}} & =1 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \frac{4 x-3 x}{\sqrt{8}} & =1 \Rightarrow x=\sqrt{8} \end{aligned}\)
படி (3)
x = \(\sqrt{8}\) என (1) ல் பிரதியிட
\(\begin{aligned} \sqrt{2}(\sqrt{8})-\sqrt{3} y & =1 \end{aligned}\) 
\(\begin{aligned} \sqrt{16}-\sqrt{3} y & =1 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} 4-\sqrt{3} y & =1 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} -\sqrt{3} y & =1-4 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} -\sqrt{3} y & =-3 ; y=\sqrt{3} \end{aligned}\)
\(\therefore\) x = \(\sqrt{8}\) மற்றும் y = \(\sqrt{3}\)

x என்பது பத்தாம் இலக்க எண் என்றும் y என்பது ஒன்றாம் இலக்க எண் என்றும் கொள்க,
கொடுக்கப்பட்டவை x + y = 5 ......(1)

	பத்தாம் இலக்கம்	ஒன்றாம் இலக்கம்	மதிப்பு
கொடுக்கப்பட்ட எண்	x	y	10x+y
புதிய எண் (இலக்கங்களை இடமாற்றிய பின்பு)	y	x	10y+x

கொடுக்கப்பட்ட எண் - இடமாற்றப்பட்ட எண் =27
(10x + y) − (10y + x) = 27
10x − x + y −10y = 27
9x − 9y = 27
\(\Rightarrow\) x − y = 3 ... (2)
x + y = 5 … (1) இலிருந்து, y = 5 – x ... (3)
(3) ஐ (2) இல் பிரதியிட x − (5 − x) = 3
x − 5 + x = 3
2x = 8
x = 4
x = 4 என (3) இல் பிரதியிட y = 5 − x = 5 − 4
y = 1
ஆகவே , 10x + y = 10 \(\times\) 4 +1 = 40 +1 = 41.
ஆகையால் கொடுக்கப்பட்ட ஈரிலக்க எண் = 41 ஆகும்.
சரிபார்த்தல்:
இலக்கங்களின் கூடுதல் = 5
x + y = 5
4 + 1 = 5
5 = 5 மெய்
கொடுக்கப்பட்ட எண் − புதிய எண் = 27
41 - 14 = 27
27 = 27 மெய்

x + y = 7; x - y = 3
(1), (2) சமன்பாட்டின் x வெட்டு, y வெட்டுத்துண்டுகளைக் காண  
x = 0 எனப் பிரதியிட y வெட்டும்
y = 0 எனப் பிரதியிட x வெட்டும் கிடைக்கும்
x + y = 7 ....(1), x - y = 3  .....(2)
x = 0 என (1) ல் பிரதியிட
0 + y = 7 \(\Rightarrow\) y = 7
\(\therefore\) A (0, 7), ஒரு புள்ளியாகும்
y = 0 என (1) ல் பிரதியிட
x + 0 = 7 \(\Rightarrow\) y = 7
\(\therefore\) B(7, 0) மற்றோரு புள்ளியாகும்
A, B புள்ளிகளைக் குறித்து அவற்றைச் சேர்க்க நேர்க்கோடு (1) கிடைக்கும்.
(2) ன் வரைபடத்தை வரையவும், அதே முறையைப் பயன்படுத்தலாம். 
x =0 எனில் (2) \(\Rightarrow\) x - y = 3

0 - y = 3 \(\Rightarrow\) y = -3
P(0, -3) ஒரு புள்ளியாகும்.
y = 0 எனில் (2) \(\Rightarrow\) x - 0 = 3 \(\Rightarrow\) x = 3
\(\therefore\) q (3, 0) மற்றொரு புள்ளியாகும்.
வரைபடத்தில் P, Q புள்ளிகளைக் குறிக்கவும்.
தீர்வு (5, 2)
(1), (2) கோடுகள் வெட்டிக்கொள்ளும் புள்ளி தேவையான தீர்வு ஆகும்.

கொடுக்கப்பட்ட கூற்றுகளுக்கு நாம் சமன்பாடுகளை அமைப்போம்.
செவ்வகத்தின் நீளம் மற்றும் அகலத்தை முறையே l மற்றும் b என்க.
முதல் கூற்றுக்குச் சமன்பாடு அமைத்தல்
செவ்வகத்தின் சுற்றளவு = 36 மீ
2(l + b) = 36
\(l+b=\frac { 36 }{ 2 } \)
l = 18 - b .....(1)

b	2	4	5	8
18	18	18	18	18
-b	-2	-4	-5	-8
l=18-b	16	14	13	10

புள்ளிகள்: (2,16), (4,14), (5,13), (8,10)
இரண்டாவது கூற்றுக்குச் சமன்பாடு அமைத்தல்:
இரண்டாவது கூற்றின்படி, நீளமானது அகலத்தின் மூன்று மடங்கை விட 2 மீ அதிகம் எனவே l = 3b + 2 .....(2)
சமன்பாடு (2) இக்கு அட்டவணை அமைப்போம்

b	2	4	5	8
3b	6	12	15	24
2	2	2	2	2
l=3b+2	8	14	17	26

இரண்டு கோடுகளுக்கும் பொதுவான ஒரு புள்ளியே தீர்வாக அமையும். இங்கு (4, 14) என்பதே தீர்வாக இருப்பதைக் காணலாம்.
எனவே தீர்வானது b = 4, l = 14

சரிபார்த்தல்:
2(l+b) = 36 ...(1)
2(14+4) = 36
2 \(\times\) 18 = 36
36 = 36 மெய் 
l = 3b + 2 ...(2)
14 = 3(4) +2
14 = 12 + 2
14 = 14 மெய்

ஒவ்வொரு கோட்டிற்கும் அட்டவணை தயாரித்து வரிசைச் சோடிப் புள்ளிகளைக் குறிக்கவும்.
y = 2x + 1 இன் வரைபடம் 

x	-2	-1	0	1	2
2x	-4	-2	0	2	4
1	1	1	1	1	1
y=2x+1	-3	-1	1	3	5

குறிக்கவேண்டிய புள்ளிகள்;
 (−2, −3), (−1, −1), (0,1), (1,3), (2, 5)
−4x + 2y = 2 இன் வரைபடம்
2y = 4x + 2
y = 2x + 1

x	-2	-1	0	1	2
2x	-4	-2	0	2	4
1	1	1	1	1	1
y=2x+1	-3	-1	1	3	5

குறிக்கவேண்டிய புள்ளிகள்:
(−2, −3), (−1, −1), (0, 1), (1, 3), (2, 5)
இங்கு, இரு சமன்பாடுகளும் ஒன்றே; ஆனால் இரண்டும் வெவ்வேறு வடிவில் அமைந்துள்ளன. சமன்பாடுகள் இரண்டும் ஒன்றே என்பதால் தீர்வுகளும் ஒரே மாதிரியானவை. இங்கு ஒரு கோட்டின் மீதமைந்த அனைத்துப் புள்ளிகளும் மற்றொரு கோட்டின் மீதே உள்ளன.
எனவே, இங்கு கோட்டின் மீது அமைந்துள்ள அனைத்து வரிசைச் சோடிப் புள்ளிகளும் எண்ணற்ற தீர்வுகளாக அமைகின்றன.
   

ஒவ்வொரு கோட்டிற்கும் அட்டவணை தயாரித்து வரிசைச் சோடிப் புள்ளிகளைக் குறிக்கவும்.
3x + 2y = 6 இன் வரைபடம்

x	-2	0	2
y	6	3	0

குறிக்கவேண்டிய புள்ளிகள்
(−2,6), (0,3), (2,0)
6x + 4y = 8 இன் வரைபடம்

x	-2	0	2
y	5	2	-1

குறிக்கவேண்டிய புள்ளிகள்:
(−2,5), (0,2), (2,−1)
இரண்டு சமன்பாடுகளுக்கும் வரைபடம் வரைந்தால் இரண்டும் ஒன்றுக்கொன்று இணையாக அமைந்து நமக்கு வெட்டும்புள்ளியைக் கொடுக்காததைக் காணலாம். இதன் மூலமாக இரண்டு சமன்பாடுகளுக்கும் பொதுவான வெட்டும்புள்ளி தீர்வாக அமையாததைக் காணலாம். எனவே, இச்சமன்பாடுகளுக்குத் தீர்வு கிடையாது. 

கொடுக்கப்பட்டவை 
x + y = 5 ...(1)
2x – y = 4 ...(2)
சமன்பாடு (1) இக்கு வரைபடம் வரைதல் எளிது.
முதற்கோட்டின் x மற்றும் y மதிப்புகளை பின்வருமாறு காணலாம்.
x = 0 எனில், (1) இலிருந்து y = 5 எனக் கிடைக்கும் எனவே, A(0, 5) என்பது கோட்டின் மீதுள்ள ஒரு புள்ளியாகும்.
y = 0 எனில் (1) இலிருந்து x = 5 எனக் கிடைக்கும். எனவே, B(5, 0) என்பது கோட்டின் மீதுள்ள மற்றோரு புள்ளியாகும்.
வரைபடத்தில் A மற்றும் B ஆகிய இரண்டு புள்ளிகளைக் குறித்து அவற்றை இணைத்துக் கோடு (1) வரைக.

இதே முறையைப் பயன்படுத்திச் சமன்பாடு (2) இக்கும் வரைபடம் வரையலாம்.
x = 0 எனில், (2) இலிருந்து y = -4 எனக் கிடைக்கும்.
எனவே (0, -4) என்பது கோட்டின் மீதுள்ள ஒரு புள்ளி.
y =0 எனில், (2) இலிருந்து x = 2 எனக் கிடைக்கும்.
எனவே Q (2, 0) என்பது அந்தக் கோட்டின் மீதுள்ள மற்றோரு புள்ளி ஆகும்.
வரைபடத்தில் P மற்றும் Q ஆகிய புள்ளிகளைக் குறித்து இரண்டு புள்ளிகளையும் இணைத்துக் கோடு (2) வரைக.
இந்த இரு கோடுகளும் ஒன்றையொன்று வெட்டிக்கொள்ளும் புள்ளியான (3, 2) என்பது சமன்பாடுகள் (1) மற்றும் (2) இன் தீர்வாகும். இரு கோடுகளுக்கும் ஒரே ஒரு புள்ளி தீர்வாக அமைகிறது ஆகவே, தீர்வு x =3, y = 2 ஆகும்.   

(i) y = 3x −1 என்ற கோட்டிற்கான புள்ளிகளின் வரிசைக்கு சோடிகளைக் காண்பதற்கு அட்டவணையைத் தயாரிக்கலாம்.
x - இன் மதிப்பாக எந்த மதிப்பை வேண்டுமென்றாலும் எடுத்துக்கொள்ளலாம், இங்கு -1, 0 மற்றும் 1 ஐ மட்டுமே எடுத்துக்கொள்வோம்.
x = −1 எனில், y = 3(–1)–1 = –4
x = 0 எனில், y = 3(0)–1 = –1
x = 1 எனில், y = 3(1)–1 = 2

x	-1	0	1
y	-4	-1	2

குறிக்க வேண்டிய புள்ளிகள் (x,y):
(−1, −4), (0, −1), (1, 2).

(ii) \(y=\left( \frac { 2 }{ 3 } \right) x+3\) என்ற கோட்டின் புள்ளிகளின் வரிசைச் சோடிகளைக் காண்பதற்கான அட்டவணைத் தயாரிக்கலாம்.
x இன் மதிப்புகளை -3, 0, 3 என எடுத்துக்கொள்கிறோம் (ஏன்?)
x = -3 எனில், \(y=\frac { 2 }{ 3 } (-3)+3=1\)
x = 0 எனில், \(y=\frac { 2 }{ 3 } (0)+3=3\)
x = 3 எனில், \(y=\frac { 2 }{ 3 } (3)+3=5\)

x	-3	0	3
y	1	3	5

குறிக்க வேண்டிய புள்ளிகள் (x,y) :(−3,1), (0,3), (3,5).