கனச்சதுரம்
பக்க அளவு (a) = 12 செமீ
கனச்செவ்வகம்
நீளம் (l) = 18 செமீ
அகலம் (b) = 16 செமீ
உயரம் (h) = ?
இங்கு, கனச்செவ்வகத்தின் கனஅளவு = கனச்சதுரத்தின் கனஅளவு
  l \(\times\) b \(\times\) h = a³
18 \(\times\)16 \(\times\) h = 12 \(\times\)12 \(\times\)12
\(h=\frac { 12\times 12\times 12 }{ 18\times 16 } \)
h = 6 செமீ
எனவே, கனச்செவ்வகத்தின் உயரம் 6 செமீ ஆகும்.

கனச்சதுரத்தின் பக்க அளவு a என்க.
இங்கு மொத்தபரப்பு = 864 செமீ²
6a² = 864
\({ a }^{ 2 }=\frac { 864 }{ 6 } \)
a² = 144
பக்க அளவு (a) = 12 செமீ
இப்பொழுது கனச்சதுரத்தின் கன அளவு = a³
= 12³ = 12 \(\times\) 12 \(\times\) 12 = 1728 செமீ³

இங்கு அறையின் நீளம் (l ) = 25 மீ, அகலம் (b) =15 மீ மற்றும் உயரம் (h) = 5 மீ என்க.
நான்கு சுவர்களின் பரப்பு = கனச் செவ்வகத்தின் பக்கப்பரப்பு 
= 2(l + b) × h
= 2(25 +15) × 5

= 80 × 5 = 400 செ.மீ
தரையின் நீளம் =l × b
= 25 ×15
= 375 செ.மீ
புதுப்பிக்க வேண்டிய பகுதியின் பரப்பு =(நான்கு சுவர்களின் பரப்பு +தரையின் பரப்பு)
= (400 + 375) = 775 செ.மீ
1 சதுர மீட்டருககு ₹80 வீதம் அறையைப் புதுப்பிக்க ஆகும் மொத்தச் செலவு = 80 × 775 = Rs.62,000

இங்கு கனச்செவ்வகத்தின் நீளம் (l) = 7.5 மீ, அகலம் (b) = 3 மீ மற்றும் உயரம் (h) = 5 மீ.
மொத்த பரப்பு = 2(lb + bh + lh)
= 2[(7.5 × 3) + (3 × 5) + (7.5 × 5)]

= 2(22.5 +15 + 37.5)
= 2 × 75
= 150 மீ²
பக்கபரப்பு  = 2(l + b) × h
= 2(7.5 + 3) × 5
= 2 ×10.5 × 5
= 105 மீ²

கொடுக்கப்பட்ட இரு நேரிய சமன்பாடுகள்
2x - 3y = 7
(k+2)x-(2k+1)y=3(2k-1)
\(\left[ \begin{matrix} { a }_{ 1 }x+{ b }_{ 1 }y+{ c }_{ 1 }=0 \\ { a }_{ 2 }x+{ b }_{ 2 }y+{ c }_{ 2 }=0 \end{matrix} \right] \)
இங்கு a₁ = 2, b₁ = −3, a₂ = (k + 2), b₂ = −(2k +1), c₁ = 7, c₂ = 3(2k −1)
எண்ணற்ற தீர்வுகள் உண்டெனில், \(\frac { { a }_{ 1 } }{ { a }_{ 2 } } =\frac { { b }_{ 1 } }{ { b }_{ 2 } } =\frac { { c }_{ 1 } }{ { c }_{ 2 } } \) எனக் கருதுவோம்.
\(\frac { 2 }{ k+2 } =\frac { -3 }{ -(2k+1) } =\frac { 7 }{ 3(2k-1) } \)
\(\frac { 2 }{ k+2 } =\frac { -3 }{ -(2k+1) } \)
2(2k +1) = 3(k + 2)
4k + 2 = 3k + 6
k = 4
\(\frac { -3 }{ -(2k+1) } =\frac { 7 }{ 3(2k-1) } \)
9(2k −1) = 7(2k +1)
18k − 9 = 14k + 7
4k = 16
k = 4

கொடுக்கப்பட்ட நேரிய சமன்பாடுகள்
kx + 2y = 3 ......(1)
2x - 3y = 1 .......(2)
\(\left[ \begin{matrix} { a }_{ 1 }x+{ b }_{ 1 }y+{ c }_{ 1 }=0 \\ { a }_{ 2 }x+{ b }_{ 2 }y+{ c }_{ 2 }=0 \end{matrix} \right] \)
இங்கு a₁ = k, b₁ = 2, a₂ = 2, b₂ = −3 ;
ஒரேயொரு தீர்வு உண்டெனில் \(\frac { { a }_{ 1 } }{ { a }_{ 2 } } ↑ \frac { { b }_{ 1 } }{ { b }_{ 2 } } \) எனக் கருதுவோம். எனவே \(\frac { k }{ 2 } \neq \frac { 2 }{ -3 } \); ஆகவே \(k\neq \frac { 4 }{ -3 } \)

(i) 8x - 3y = 12; 5x - 2y = 7
8x - 3y = 12     .......(1)
5x - 2y  = 7      .......(2)
8x - 3y - 12 = 0
5x - 2y - 7 = 0
குறுக்குப் பெருக்கல் முறையில் சமன்பாட்டில் உள்ள கெழுக்களை பின்வருமாறு அமைப்போம்
\(\begin{gathered} \frac{x}{(-3)(-7)-(-2)(-12)}=\frac{y}{(-12)(5)-(-7)(8)}=\frac{1}{(8)(-2)-(5)(-3)} \end{gathered}\)
\(\begin{gathered} \frac{x}{21-24}=\frac{y}{-60+56}=\frac{1}{-16+15} \end{gathered}\)
\(\begin{gathered} \frac{x}{-3}=\frac{y}{-4}=\frac{1}{-1} \end{gathered}\)
\(\begin{gathered} \therefore \frac{x}{-3}=\frac{1}{-1}=\frac{y}{-4}=\frac{1}{-1} \end{gathered}\)
-x = -3 -y = -4
\(\therefore\) x = 3; y = 4

(ii) 6x + 7y - 11 = 0; 5x + 2y - 13 = 0
6x + 7y - 11 = 0
5x + 2y - 13 = 0
\(\begin{aligned} \frac{x}{-91-(-22)} & =\frac{y}{-55-(-78)}=\frac{1}{12-35} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \frac{x}{-91+22} & =\frac{y}{-55+78}=\frac{1}{-23} \end{aligned}\)
\(\frac{x}{-69}=\frac{y}{23}=\frac{1}{-23}\)


x = 3    y = -1
\(\therefore\) x = 3; y = -1
(iii) \(\begin{aligned} \frac{2}{x}+\frac{3}{y}=5 ; \frac{3}{x}-\frac{1}{y}+9 & =0 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \frac{2}{x}+\frac{3}{y}-5 & =0 \end{aligned}\)                       ....(1)
\(\begin{aligned} \frac{3}{x}-\frac{1}{y}+9 & =0 \end{aligned}\)                       ....(2)
(1), (2) ல் \(\frac{1}{x}\) = a, \(\frac{1}{y}\) = b எனக் கொள்க
(1) \(\Rightarrow\) 2a + 3b - 5 = 0
(2) \(\Rightarrow\) 3a - b + 9 = 0
குறுக்கு பெருக்கல் முறையைப் பயன்படுத்தி
\(\begin{aligned} \frac{a}{(3)(9)-(-1)(-5)} & =\frac{b}{(-5)(3)-(9)(2)}=\frac{1}{(2)(-1)-(3)(3)} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \frac{a}{27-5} & =\frac{b}{-15-18}=\frac{1}{-2-9} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \frac{a}{22} & =\frac{b}{-33}=\frac{1}{-11} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \therefore \frac{a}{22} & =\frac{1}{-11} \left\lvert\, \frac{b}{-33}=\frac{1}{-11}\right. \end{aligned}\)


a = -2 b = 3
\(\begin{aligned} \therefore x=\frac{1}{a}=\frac{-1}{2} & y=\frac{1}{b}=\frac{1}{3} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \therefore x=-\frac{1}{2} \quad y=\frac{1}{3} \end{aligned}\)

(i) sin38⁰36' + tan12⁰12'
sin38⁰36' = 0.6239
tan12⁰12' = 0.2162
sin38⁰36' + tan12⁰12' = 0.8401
(ii) tan60⁰25' - cos 49⁰20'
tan60⁰25' =1.7603 + 0.0012 =1.7615
cos 49⁰20' = 0.6521 - 0.0004 = 0.6517
tan60⁰25' - cos 49⁰20' =1.1098

கொடுக்கப்பட்டவை, 4a + 3b = 65 .....(1)
a + 2b = 35 .....(2)
(2) ஐ 4 ஆல் பெருக்க    4a + 8b = 140
(1) இலிருநது                 4a + 3b = 65
                                       (-)    (-)   (-)
                                       ----------------------
                                                5b  = 75 இதிலிருந்து b = 15
b = 15 என (2) இல் பிரதியிட,
a + 2(15) = 35 இதிலிருந்து a = 5
ஆகவே, தீர்வு a = 5, b = 15.
சரிபார்த்தல்:
4a+3b = 65 ...(1)
4(5)+3(15) = 65
20 + 45 = 65
65 = 65 மெய்
a + 2b = 35 ...(2)
5 + 2(15) = 35
5+30 = 35
35 = 35 மெய்

19⁰59' = 19⁰5' + 5' என எழுதலாம் 
அட்டவணையிலிருந்து  cos 19⁰54'  = 0.9403
பொது வித்தியாசம்                       4'  =           5  (cosine - ற்குப் பொது வித்தியாசத்தைக் கழிக்கவும்)
                                               __________________
                                              cos 19⁰59' = 0.9398
                                              ___________________ 

64⁰34' = 64⁰30' + 4' என எழுதலாம் 
அட்டவணையிலிருந்து  sin 64⁰30'  = 0.9026
பொது வித்தியாசம்                4 = 5  (sine-ற்குப் பொது வித்தியாசத்தைக் கூட்டவும் )
                                          __________________
                                         sin 64⁰34 = 0.9031
                                        ___________________ 

A(−11,4) மற்றும் B(9,8)ஐ இணைக்கும் கோட்டுத் துண்டை நான்கு சமப் பாகங்களாகப் பிரிக்கும் புள்ளிகள் P, Q, R என்க. இங்கு AP = PQ = QR = RB .
இங்கு AB இன் நடுப்புள்ளி P மற்றும் QB இன் நடுப்புள்ளி R என்க.
AB இன் நடுப்புள்ளி Q=\((\frac {-11+9}{2}, \frac{4+8}{2})=(\frac {-2}{2},\frac{12}{2})\)=(-1, 6)
AQ இன் நடுப்புள்ளி P=\((\frac {-11-1}{2}, \frac{4+6}{2})=(\frac {-12}{2},\frac{10}{2})\)=(-6, 5)
QB இன் நடுப்புள்ளி R=\((\frac {-1+9}{2}, \frac{6+8}{2})=(\frac {8}{4},\frac{14}{2})\)=(4, 7)
எனவே கோட்டுத்துண்டு AB ஐ நான்கு சமபாகங்களாகப் பிரிக்கும் புள்ளிகள் P(-6, 5), Q(-1, 6) மற்றும் R(4, 7) ஆகும்.

POQ ஒரு செங்கோண முக்கோணம், அதன் செங்கோணம் ஆதிப்புள்ளி O இல் அமைந்துள்ளது. இங்கு OQ=a அலகுகள் மற்றும் OP ஆனது b அலகுகள் என்க. P, Q இன் ஆயத்தொலைவுகள் முறையே (0, b)  மற்றும் (a, 0) இன் எனப் பெயரிடுக.
நடுபப்புள்ளி சூத்திரத்தின்படி, கர்ணம்  PQ இன் நடுப்புள்ளி M எனில [PM=MQ] , M ஆனது

\(\left( \frac { a+0 }{ 2 } ,\frac { b+0 }{ 2 } \right) =\left( \frac { a }{ 2 } ,\frac { b }{ 2 } \right) \)
தொலைவு சூத்திரத்தை பயன்படுத்த நாம் காண்பது
OM =\(\sqrt { { \left( \frac { a }{ 2 } -0 \right) }^{ 2 }+{ \left( \frac { b }{ 2 } -0 \right) }^{ 2 } } =\sqrt { \frac { { a }^{ 2 } }{ 4 } +\frac { { b }^{ 2 } }{ 4 } } \) இந்த மதிப்பானது 
QM = \(\sqrt { { \left( a-\frac { a }{ 2 } \right) }^{ 2 }+{ \left( 0-\frac { b }{ 2 } \right) }^{ 2 } } =\sqrt { \frac { { a }^{ 2 } }{ 4 } +\frac { { b }^{ 2 } }{ 4 } } \)என்பதற்குச் சமமாகிறது. மேலும் இதேபோல்,
PM=\(\sqrt { \frac { { a }^{ 2 } }{ 4 } +\frac { { b }^{ 2 } }{ 4 } } \)
இதிலிருந்து OM=QM =PM, எனக் காண்கிறோம். இதுவே நாம் நிறுவ வேண்டியதாகும்.

(i) மொத்த குடும்பங்களின் எண்ணிக்கை n(S)=1500
n(A) = 860 (பகுதி நேர பணிப்பெண்கள்)
n(B) = 370 (முழு நேரம் மட்டும்)
n(A⋂B) = 250 இரண்டும்
இருவகை பணிப்பெண்களும் வைத்திருக்கும் குடும்பங்களின் எண்ணிக்கை \(P(n(A⋂B))=\frac {n(A⋂B) }{ n(S) } =\frac { 250 }{ 1500 } =\frac { 1 }{ 6 } \)
(ii) பகுதிநேரப் பணிப்பெண்கள்  வைத்திருக்கும் நிகழ்வு \(P(A )=\frac { n(A) }{ n(S) } =\frac { 860 }{ 1500 } =\frac { 43 }{ 75 } \)
(iii) மொத்த குடும்பங்கள் n(S) = 1500
பணிப்பெண்கள் வைத்திருக்காமல் இருக்கும் நிகழ்வு  n(C)=1500-(860+370+250) = 1480
=1500-1480=20
பணிப்பெண்கள் வைத்திருக்காமல் இருக்கும் நிகழ்தகவு \(P(A)=\frac { n(A) }{ n(S) } =\frac { 20 }{ 1500 } =\frac { 1 }{ 75 } \)

கொடுக்கப்பட்ட கனசெவ்வகத்தின் அளவுகள்
(i) நீளம் (l)= 20 செ.மீ, அகலம் (b)= 15 செ மீ, உயரம்(h)= 8 செ மீ
மொத்த பரப்பளவு=2(lb + bh + hl)
= 2(20 x 15 + 15 x 8 + 20 x 8) ச.செமீ
=2(300+120+160) ச.செமீ
=2 x 580 ச.செமீ
=1160 ச.செமீ
பக்கப் பரப்பளவு = 2(l + b) x h
=2(20+15) x 8 ச.செமீ
= 2 x 35 x 8 ச.செமீ
=70 x 8 ச.செமீ
= 560 ச.செமீ

ஒரு சீரான பகடையை உருட்டும்போது கிடைக்கும் கூறுவெளி  S ={1,2,3,4,5,6}
n(S) =6
இரட்டை எண் கிடைக்கும் நிகழ்ச்சி A என்க.
A={2,4,6}
n(A)=3
இரட்டை எண் கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவு \(P(A)=\frac { n(A) }{ n(S) } =\frac { 3 }{ 6 } =\frac { 1 }{ 2 } \)

குறிப்பிட்ட நிலையான கட்டணம் ரூ. x என்க.
பயணம் செய்த துரத்திற்கான கட்டணம் ரூ.y என்க
10 கி.மீ தூரப் பயணத்திற்கு வசூலிக்கப்பட்ட வாடகை 75
x+10y=75  ............(1)
15கி.மீ தூரப் பயணத்திற்கு வசூலிக்கப்பட்ட வாடகை 110
x  + 15y = 110     ........(2)
சமன்பாடு (2)-(1)
   x+ 15y= 110
(-)x +(-)10y =(-) 75
            5y=35
y =7
y=7 என சமன்பாடு (1) ல் பிரதியிட,
x + 10y = 75
x+ 10(7) = 75
x+70 =75
x= 75 -70 = 5
x=5
x= 5, y=7
25 கி.மீ தூரப் பயணத்திற்கு வசூலிக்கப்பட்ட வாடகை
x  + 25y = 5 + 25(7)
= 5 + 175
= 180
25 கி.மீ தூரப் பயணத்திற்கு வசூலிக்கப்பட்ட வாடகை=180.

படத்திலிருந்து நாற்கரம் ABCD இன் பரப்பு 
=∆ ABDயின் பரப்பு + ∆ BCD யின் பரப்பு 
∆ABD யின் பக்கங்கள a=13செமீ, b=15 செமீ மற்றும் c=14 செமீ
∆ABD யின் பரப்பு\(=\sqrt { S(s-a)(s-b)(s-c) } \)
\(S=\frac { a+b+c }{ 2 } =\frac { 13+14+15 }{ 2 } =\frac { 42 }{ 2 } =21\)செமீ 
∆ABD யின் பரப்பு\(​​​​=\sqrt { 21(21-13)(21-14)(21-15) } \)
\(=\sqrt { 21\times 8\times 7\times 6 } \)
\(=\sqrt { 7056 } \)
= 84 ச.செமீ 
∆BCD யின் பக்கங்கள் a=12செமீ, b=9செமீ மற்றும் c=15செமீ 
∆BCD யின் பரப்பு =\(\sqrt { S(s-a)(s-b)(s-c) } \)
\(S=\frac { a+b+c }{ 2 } =\frac { 9+12+15 }{ 2 } =\frac { 36 }{ 2 } =18\)செமீ 
∆BCD யின் பரப்பு \(=\sqrt { 18(18-9)(18-12)(18-15) } \)
\(=\sqrt { 18\times 9\times 6\times 3 } \)
\(=\sqrt { 2916} \)
=54ச.செமீ 
நாற்கரம் ABCD யின் பரப்பு =∆ABD யின் பரப்பு +∆BCD யின் பரப்பு
=84+54=138ச.செமீ 
நாற்கரம் ABCD யின் பரப்பு =138 செ மீ²

A, B யின் மாதாந்திர வருமானம் = x என்க
A, B யின் மாதாந்திர செலவுகள் = y என்க
3x - 5y = 5000         ....(1)
4x - 7y = 5000         ....(2)

y = 5000 என (1) ல் பிரதியிட
3x - 5 (5000) = 5000
3x - 25000 = 5000
3x = 5000 + 25000

\(\therefore\) A ன் மாதாந்திர வருமானம்  = 3x = 3 \(\times\) 10000 = ரூ 30000
B ன் மாதாந்திர வருமானம் = 4x = 4 \(\times\) 10000 = ரூ 40000

AP/1 =\(\frac { 2 }{ 5 } \) AB
\(\frac { AP }{ AB } =\frac { 2 }{ 5 } \)
AP: AB=2:5
இங்கு x₁=1, y₁=2, x₂=6, y₂=7
m=2, n=3
A(1, 2), B(6, 7) என்பன கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் P(x, y) என்பது கோட்டுத்துண்டு AB யை உட்புறமாக 2:3 என்ற விகிதத்தில் பிரிக்கிறது என்க.
பிரிவுச் சூத்திரத்தின்படி,
P(x,y)=\(P\left( \frac { { mx }_{ 2 }+{ nx }_{ 1 } }{ m+n } ,\frac { { my }_{ 2 }+{ ny }_{ 1 } }{ m+n } \right) \)
=\(P\left( \frac { 2(6)+3(1) }{ 2+ } ,\frac { 2(7)+3(2) }{ 2+3 } \right) \)
=\(P\left( \frac { 12+3 }{ 5 } ,\frac { 14+6 }{ 5 } \right) \)
=\(P\left( \frac { 15 }{ 5 } ,\frac { 20 }{ 5 } \right) \)
=P(3,4)
P இன் ஆயத் தொலைவுகள் (3,4)

(i) tan 45^o = 1 sec 60^o = 2 sin 90^o = 1
cosec 30^o = 2 cot 45^о = 1 cos 0^o = 1
\(\frac {\tan45° }{ cosec30° } +\frac { \sec60° }{ \cot45° } -\frac { 5\sin90° }{ 2\cos0° } \)
= \(\frac12+\frac12-\frac{5\times1}{2\times1}\)
\(\frac 12+\frac21-\frac52=\frac{1+4-5}{2}=\frac{5-5}{2}=0\)
(ii)  sin90° = 1, cos60° = 1/2 cos 45° = 1/2
sin30° = 1/2, cos0° = 1, cos 45° = \(\frac{1}{\sqrt2}\)
(sin90° + cos60° + cos 45°) X (sin30° − cos0° + cos 45°)
\(=\left( 1+\frac { 1 }{ 2 } +\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \right) \left( \frac { 1 }{ 2 } -1+\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \right) \)
\(=\left( \frac { 2\sqrt { 2 } +\sqrt { 2 } +2 }{ 2\sqrt { 2 } } \right) \left( \frac { \sqrt { 2 } -2\sqrt { 2 } +2 }{ 2\sqrt { 2 } } \right) \)
\(\left( \frac { 2+3\sqrt { 2 } }{ 2\sqrt { 2 } } \right) \left( \frac { 2\sqrt { 2 } }{ 2\sqrt { 2 } } \right) \)
\(\frac { 4+6\sqrt { 2 } -2\sqrt { 2 } -6 }{ 8 } =\frac { 4\sqrt { 2 } -2 }{ 8 } \)
\(\frac { 2(2\sqrt { 2 } -1) }{ 8 } \frac { 2\sqrt { 2 } -1 }{ 4 } \)
(iii) \({ \left( \frac { 1 }{ 2 } \right) }^{ 2 }{ -2\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) }^{ 3 }+3(1)4\)

\(\left( \frac { 1 }{ 4 } \right) -\left( \frac { 1 }{ 4 } \right) +3=3\)

D(x₁,y₁) E(x₂,y₂) மற்றும் F(x₃,y₃) என்பன DEF ன் முலைப்புள்ளிகள் என்க.
A B மற்றும் C என்பதன் DE, EF மற்றும் DF ன் நடுப்புள்ளி
\(\left( \frac { { x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 } }{ 2 } ,\frac { { y }_{ 1 }+{ y }_{ 2 } }{ 2 } \right) \)=(-3,6)
\(\frac { { x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 } }{ 2 } \)=-3 ⇒ x₁+x₂=-6  ....(1)
\(\frac { { x }_{ 2 }+{ x }_{ 3 } }{ 2 } \)=0 ⇒x₂+x₃=0   ..(2)
\(\frac { { x }_{ 3 }+{ x }_{ 1 } }{ 2 } \)=0 ⇒ x₃+x₁=2  ......(3)
கூட்ட நமக்கு கிடைப்பது 
\(2\left(x_1+x_2+x_3\right)=-4 \)
\(x_1+x_2+x_3=-2 \)
\(x_1+0=-2 \)
\(\therefore x_1=-2 \)
\(\frac { { y }_{ 1 }+{ y }_{ 2 } }{ 2 } \)=6 ⇒ y₁+y₂=12...(5)
\(\frac { { y }_{ 2 }+{ y }_{ 3 } }{ 2 } \)=7 ⇒ y₂+y₃=14   .....(6)
\(\frac { { y }_{ 3 }+{ y }_{ 1 } }{ 2 } \)=9 ⇒ y₃+y₁=18   .....(7)

இணைக்கரத்தில் மூலைவிட்டங்களின் நடுப்புள்ளிகள் சமம்,இதை நிரூபிக்க பின்வருமாறு காண்போம் .
​​​​​​​
AC யின் நடுப்புள்ளி =BD யின் நடுப்புள்ளி
∴ ABCD ஓர் இணைகரம்.

செங்கோண முக்கோணம் OMP யில், OP = 25மீ, PM = 5மீ
\(\sinθ=\frac{PM}{OP}=\frac{5}{25}=\frac15\)......(1)
செங்கோணமுக்கோணம் OQN, OQ = 3மீ, QN = h
\(\sinθ=\frac{QN }{OQ }=\frac{h }{35}\)......(2)
(1) = (2)
\(\frac {h}{35}=\frac 15\)
\(h =\frac {35}{5}\) = 7மீ
உயரம் h  = 7மீ.

a = 12
4a² = 4 x 12 x 12 = 4 x 144 = 576 செமீ²

ஒரு சமபக்க Δ - ன் சுற்றளவு = 30 செமீ 
a = 60 செமீ 
\(A = \frac {\sqrt 3}{4} a ^ 2 =\frac {\sqrt 3}{4} \times 10 \times 10 = 25\sqrt {3}\) செமீ²

\(s = \frac {a + b +c }{2}\)
\(s = \frac {15+20+25}{2} = \frac {60}{2} = 30\)

பகடை சீரானதாக இருக்கும் பொழுது விளைவுகள் சமவாய்ப்பு உடையனவாக இருக்கின்றன.

நிகழ்தகவின் மதிப்பு இடைவெளி 0 மற்றும் 1

a மற்றும் b இரண்டும் பூஜ்ஜியமாக இருக்கக்கூடாது.

a = 0 , b = 0 ,c ≠ 0 = (0)x + (0)y + c = 0 = c = 0 தவறு 

2x − y = 6
2(4) - 2 = 8 - 2 = 6 = RHS 

tan 72^o tan18^o = tan (90^o -18^o)
tan18^o = cot 18^o , tan 18^o = 1

tan θ = cot 37^o 
tan (90^o - 37^o) = cot 37^o 
θ = 90^o - 37^o = 53^o

\(\left(\frac{m x_2+n x_1}{m+n}, \frac{m y_2+n y_1}{m+n}\right)\) பிரிவுச் சூத்திரப்படி 
x அச்சுத் தொலைவு = 0
\(\frac{\mathrm{m}(2)+(-5) \mathrm{n}}{\mathrm{m}+\mathrm{n}} =0 \)
\(\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{n}} =\frac{5}{2} \)
\(\mathrm{~m}: \mathrm{n} =5: 2 \)
BD ன் நடுப்புள்ளி (3, 4) 

\(\left(\frac{m x_2+n x_1}{m+n}, \frac{m y_2+n y_1}{m+n}\right)\) பிரிவுச் சூத்திரப்படி 
y அச்சுத் தொலைவு = 0
\(\left(\frac{m (1)+n (6)}{m+n}, \frac{m (-7)+n (4)}{m+n}\right)\)
\(\therefore \frac{m(-7)+n(4)}{m+n}=0 \)
\(\Rightarrow -7 m+4 n=0 \)
\(\therefore m: n=4: 7 \)

ABCD என்பது ஒரு சாய்சதுரம் என்க.
அதன் சுற்றளவு = 4 × பக்கம் = 400 மீ

ஆகவே சாய்சதுரத்தின் ஒவ்வொரு பக்கமும் 100 மீ ஆகும்.
இங்கு, மூலைவிட்டம் AC= 120 மீ
\(\triangle \)ABC இல் a =100 மீ, b =100 மீ, c =120 மீ எனில்,
அரைச் சுற்றளவு s = \(\frac {a +b +c }{2}=\frac {100+100+120}{2}\)=160 மீ 
\(\triangle \)ABC இன் பரப்பு =\(\sqrt {160(160-100)(160-100)(160-120)}\)
=\(\sqrt {160 \times 60\times 60\times 40}\)
=\(\sqrt {40\times 2\times 2\times 60\times 60\times 40}\)
=40 × 2 × 60 = 4800மீ²
ஆகவே, சாய்சதுர நிலம் ABCD இன் பரப்பு = 2 × \(\triangle \)ABC இன் பரப்பு =× 4800 = 9600 மீ²

இங்கு பக்கங்களின் விகிதம் 9:10:11, எனபவை அதன் பக்க அளவுகள் 9k, 10k, 11k என்க
முக்கோண வடிவப் பூங்காவின் சுற்றளவு = 300 மீ
அதாவது, 9k +10k +11k = 300 மீ
30k = 300
k = 10 மீ
ஆகவே, பக்கங்கள் a = 90 மீ, b = 100 மீ, c = 110 மீ என்போம்.
s==150 மீ
முக்கோண வடிவப் பூங்காவின் பரப்பு =\(\sqrt { s(s-a)(s-b)(s-c) } \)
=\(\sqrt {150(150-90)(150-100)(150-110)}\)
=\(\sqrt {150 \times60\times50\times40 }\)
=\(\sqrt {3\times50\times20\times3\times50\times2\times20}\)
=\(\sqrt {50 \times 20 \times 3\sqrt{2}}\)
=3000 ×1.414 = 4242 மீ²