A(-1, 1) B(1, 3) மற்றும் C(3, a) என்பன கொடுக்கப்பட்டுள்ள புள்ளிகள் 

தொலைவு d = \(\sqrt {(x _2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\)
தொலைவு AB = \(\sqrt {(1-(-1))^2+(3-1)^2}=\sqrt {(1+1)^2+2^2}\)
= \(\sqrt {2^2+2^2}=\sqrt {4+4}=\sqrt {8}\) அலகுகள்
தொலைவு BC = \(\sqrt {(3-1)+(a-3)}=\sqrt {2^2+a^2+3^2-2(a)(3)}\)
= \(\sqrt {4+a^2+9-6a}\)
= \(\sqrt {a^2-6a+13}\)
AB = BC (கொடுக்கப்பட்டது)
AB² = BC²
இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த
\((\sqrt {8})^2=a^2-6a+13\)
8 = a² - 6a + 13
0 = a² - 6a + 13 - 8
a² - 6a + 5 = 0
a - 1 = 0 (அல்லது) a - 5 =0
a = 1 அல்லது a = 5
a ன் மதிப்பு = 1 அல்லது 5.

P(4, 3), A(9, 3), B(7, –1) மற்றும் C(–1, 3) என்க
புள்ளிகள் A, B, மற்றும் C வழிச் செல்லும் வட்டத்தின் மையம் P என்பதால் அப்புள்ளிகள் P இல் இருந்து சம தூரத்தில் அமையும். அதாவது PA = PB = PC
தொலைவு வாய்ப்பாட்டைப் பயன்படுத்த,
\(d=\sqrt{(x_2 -x_1)^2 +(y_2 -y_1)^2}\)
\(AP=PA =\sqrt{(4-9)^2+(3-3)^2}=\sqrt{(-5)^2+0}=\sqrt{25}=5\)
\(BP=PB =\sqrt{(4-7)^2+(3+1)^2}=\sqrt{(3)^2+(4)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\)
\(CP=CB =\sqrt{(4+1)^2+(3-3)^2}=\sqrt{(5)^2+0}=\sqrt{25}=5\)
PA = PB = PC  = 5. ஆரம் = 5
எனவே , P என்ற புள்ளி A, B மற்றும் C என்ற புள்ளிகள் வழிச் செல்லும் வட்டத்தின் மையமாகும்.

A(3,5), B(6,2), C(3, –1), மற்றும் D(0,2) என்பன ஏதேனும் ஒரு நாற்கரம் ABCD இன் உச்சிகள் என்க
\(d=\sqrt{(x_2 -x_1)^2 +(y_2 -y_1)^2}\)
தொலைவு வாய்ப்பாட்டைப் பயன்படுத்த,
\(AB=\sqrt{(6-3)^2+(2-5)^2}=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}\)
\(BC=\sqrt{(3-6)^2 +(-1-2)^2}=\sqrt{(-3)^2 +(-3)^2}=\sqrt{9+9}\sqrt{18}=3\sqrt{2}\)
\(CD=\sqrt{(0-3)^2 +(2+1)^2}=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}\)
\(AD=\sqrt{(0-3)^2 +(2-5)^2}=\sqrt{(-3)^2 +(-3)^2}=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=\sqrt3{2}\)
மேலே உள்ள முடிவுகளில் இருந்து, AB=BC=CD=DA=\(3\sqrt{2}\)
.ஆகவே அதன் நான்குப் பக்க ங்களும் சமம்.
மேலும், புள்ளிகள் A(3, 5), C(3, –1)
மூலை விட்ட ம் AC=\(\sqrt{(3-3)^2 +(-1-5)^2}=\sqrt{(0)^2 +(-6)^2}=\sqrt{36}=6\)
மூலை விட்ட ம் BD=  \(\sqrt{(0-6)^2 +(2-2)^2}=\sqrt{(-6)^2 +(0)^2}=\sqrt{36}=6\)
மேலே உள்ள வற்றிலிருந்து நாம் காண்பது, AB = CD = 6
எனவே , ABCD என்ப து ஒரு சதுரம்

A = (7, 10), B = (–2, 5), C = (3,–4)
\(AB=\sqrt { \left( { x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 } \right) ^{ 2 }+\left( y_{ 2 }-y_{ 1 } \right) ^{ 2 } } \)
\(=\sqrt { \left( -2-7 \right) ^{ 2 }+\left( 5-10 \right) ^{ 2 } } \)
\(=\sqrt { \left( -9 \right) ^{ 2 }+\left( -5 \right) ^{ 2 } } \)
\(=\sqrt { \left( 81+25 \right) } \)
\(=\sqrt { 106 } \)
\(A{ B }^{ 2 }=106\)......1
\(BC=\sqrt { \left( { x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 } \right) ^{ 2 }+\left( y_{ 2 }-y_{ 1 } \right) ^{ 2 } } \)
\(=\sqrt { \left( 3-\left( -2 \right) \right) ^{ 2 }+\left( -4-5 \right) ^{ 2 } } \)
\(=\sqrt { \left( 5 \right) ^{ 2 }+\left( -9 \right) ^{ 2 } } \)
\(=\sqrt { \left( 81+25 \right) } \)
\(=\sqrt { 106 } \)
\({ BC }^{ 2 }=106\)   ......(2)
\(BC=\sqrt { \left( { x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 } \right) ^{ 2 }+\left( y_{ 2 }-y_{ 1 } \right) ^{ 2 } } \)
\(=\sqrt { \left( 3-7 \right) ^{ 2 }+\left( -4-10 \right) ^{ 2 } } \)
\(=\sqrt { \left( -4 \right) ^{ 2 }+\left( -14 \right) ^{ 2 } } \)
\(=\sqrt { \left( 16+196 \right) } \)
\(=\sqrt { 212 } \)
\({ AC }^{ 2 }=212\).....(3)
(1),(2) மற்றும் (3) இல் இருந்து
AB² + BC² = 106 + 106 = 212 = AC²
அதாவது AB² + BC² = AC² 
ஆகவே தரப்பட்டுள்ள புள்ளிகள் உச்சி  B இல் செங்கோணத்தைக் கொண்ட செங்கோண ΔABC ஐ அமைக்கும்.

அனைத்துப் புள்ளிகளும் x-அச்சின் மேல் அமைந்துள்ளன .

\(A\left( \sqrt { 3 } ,2 \right) ,B\left( 0,1 \right) ,C\left( 0,3 \right) \) என்பன கொடுக்கப்பட்டுள்ள புள்ளிகள் 
தொலைவு d = \(\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\)
தொலைவு AB = \(\sqrt {(0-\sqrt {3})^ 2+(1-2)^ 2}\)
= \(\sqrt {(-\sqrt {3})^ 2+(-1)^ 2}\)
= \(\sqrt {3+1}\)
= \(\sqrt {4}\)
= 2 அலகுகள் 
தொலைவு BC = \(\sqrt {(0-0)^ 2+(3-1)^ 2}\)
= \(\sqrt {(0)^ 2+(2)^ 2}\)
= \(\sqrt {4}\)
= 2 அலகுகள்
தொலைவு AC = \(\sqrt {(0-\sqrt {3})^ 2+(3-2)^ 2}\)
= \(\sqrt {(-\sqrt {3})^ 2+(1)^ 2}\)
= \(\sqrt {3+1}\)
= \(\sqrt {4}\)
= 2 அலகுகள்
AB = BC = CA
\(\therefore \) A, B, மற்றும் C என்ற  புள்ளிகள் சமபக்க முக்கோணத்தை அமைக்கும்.

(i) \(A\left( 2,2 \right) ,B\left( -2,-2 \right) ,C\left( -2\sqrt { 3 } ,2\sqrt { 3 } \right) \)  கொடுக்கப்பட்டுள்ள புள்ளிகள் 
தொலைவு d = \(\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\)
தொலைவு AB = \(\sqrt {(-2-2)^ 2+(-2-2)^ 2}\)
= \(\sqrt {(-4)^ 2+(-4)^ 2}\)
= \(\sqrt {16+16}\)
= \(\sqrt {32} = 4\sqrt {2}\)
தொலைவு BC = \(\sqrt {(-2\sqrt {3}-(-2))^ 2+(2\sqrt {3}-((-2))^ 2}\)
= \(\sqrt {(-2\sqrt {3}+2)^ 2+(2\sqrt {3}+2)^ 2}\)
= \(\sqrt {(-2\sqrt {3})^ 2+2^ 2+2(-2\sqrt {3})(2)+(2\sqrt {3})^ 2+2^ 2+2(2\sqrt {3})(2)}\)
= 
= \(\sqrt {32}= 4\sqrt {2}\)
தொலைவு AC = \(\sqrt {(-2\sqrt {3}-2)^ 2+(2\sqrt {3}-2)^ 2}\)
= \(\sqrt {(-2\sqrt {3})^ 2+2^ 2-2(-2\sqrt {3})(2)+(2\sqrt {3})^ 2+2^ 2-2(2\sqrt {3})(2)}\)
= 
= \(\sqrt {32} = 4\sqrt {2}\)
AB = BC = CA
அனைத்து பக்கங்களும் சமம்.
\(\therefore \)  எனவே ஒரு சமபக்க முக்கோணத்தை அமைக்கும்.

(ii) \(A\left( \sqrt { 3 } ,2 \right) ,B\left( 0,1 \right) ,C\left( 0,3 \right) \) என்பன கொடுக்கப்பட்டுள்ள புள்ளிகள் 
தொலைவு d = \(\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\)
தொலைவு AB = \(\sqrt {(0-\sqrt {3})^ 2+(1-2)^ 2}\)
= \(\sqrt {(-\sqrt {3})^ 2+(-1)^ 2}\)
= \(\sqrt {3+1}\)
= \(\sqrt {4}\)
= 2 அலகுகள் 
தொலைவு BC = \(\sqrt {(0-0)^ 2+(3-1)^ 2}\)
= \(\sqrt {(0)^ 2+(2)^ 2}\)
= \(\sqrt {4}\)
= 2 அலகுகள்
தொலைவு AC = \(\sqrt {(0-\sqrt {3})^ 2+(3-2)^ 2}\)
= \(\sqrt {(-\sqrt {3})^ 2+(1)^ 2}\)
= \(\sqrt {3+1}\)
= \(\sqrt {4}\)
= 2 அலகுகள்
AB = BC = CA
அனைத்து பக்கங்களும் சமம்.
\(\therefore \) A, B, மற்றும் C என்ற  புள்ளிகள் சமபக்க முக்கோணத்தை அமைக்கும்.

O(0, 0) என்பது வட்டத்தின் மையம்
A என்ற புள்ளி x அச்சில் அமைந்துள்ளது = A(30, 0)
B என்ற புள்ளி x அச்சில் அமைந்துள்ளது = B(0, 30) 
A(30, 0) மற்றும் B(0, 30) க்கு இடையே உள்ள தொலைவு
\(\sqrt {(x -0)^ 2+(0-0)^ 2} = 30\)
\(\sqrt {x ^ 2-y^2}\) = 30
x² + 0² = 900
x² = 900 (x வெட்டும் அச்சுப்புள்ளி)
x = 土 30
\(\sqrt {(y -0)^ 2+(0-0)^ 2} = 30\)
\( \sqrt{y^2} = 30\)
y² = 900
y = 土 30
தொலைவு = \(\sqrt {(x _ 2-x _ 2)^ 2+(y _ 2-y _ 1)^ 2}\)
\(\sqrt {(x -0)^ 2+(0-0)^ 2}=\sqrt {(-30^ 2)+(30)^ 2}\)


= \(\sqrt{900+900}\)
= \(\sqrt{1800}\)
= \(\sqrt{900\times 2}\)
= \(30\sqrt{2}\)
\(\therefore \) A, B என்ற புள்ளிகளுக்கிடையே உள்ள தொலைவு  = \(30\sqrt{2}\) அலகுகள்

A(1, 2), B(3, -4), மற்றும் C(5, -6)  என்ற புள்ளிகள் வட்டத்தின் பரீதியில் அமைந்துள்ள என்க.
தொலைவு d = \(\sqrt {(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\)
OA = \(\sqrt {(11-1)^2+(2-2)^2}=\sqrt {10^2+0}=\sqrt {100}=10\) அலகுகள்
தொலைவு OB = \(\sqrt {(11-3)^2+(2-(-4))^2}=\sqrt {8^2+(2+4)^2}\)
= \(\sqrt {8^2+6^2}=\sqrt {64+36}=\sqrt {100}=10\) அலகுகள்
தொலைவு OC = \(\sqrt {(11-5)^2+(2-(-6))^2}=\sqrt {6^2+(2+6)^2}\)
= \(\sqrt {6^2+8^2}=\sqrt {36+64}=\sqrt {100}=10\) அலகுகள் 
OA = OB = OC எனவே ஆரம் = 10 அலகுகள்
\(\therefore\) எனவே வட்டத்தின் மையம் (11, 2) என்ற புள்ளி ஆகும்.

A(3, 2), B(7, 2), C(7, 5) ஆகியன \(\Delta ABC \) ன் உச்சிகள் என்க.
இரு புள்ளிகளுக்கு இடையே உள்ள தொலைவு d = \(\sqrt {(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\)
AB = \(\sqrt {(7-3)^2+(2-2)^2}=\sqrt {4^2+0^2}=\sqrt {16}=4\)
BC = \(\sqrt {(7-7)^2+(5-2)^2}=\sqrt {0^2+3^2}=\sqrt {9}=3\)
AC = \(\sqrt {(7-3)^2+(5-2)^2}=\sqrt {4^2+3^2}=\sqrt {16+9}=\sqrt {25}=5\)
\(\Delta ABC\) ன் சுற்றளவு = AB + BC + CA
= 4 + 3 + 5
= 12 அலகுகள்.