a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab (a + b)
\(a^{3}+\left ( \frac{1}{a} \right )^{3}=\left ( a+\frac{1}{a} \right )^{3}-3 \not a\times \frac{1}{\not a}\left ( a+\frac{1}{a} \right )\)
\(a^{3}+\frac{1}{a^{3}}=6^{3}-3\times 6=216-18=198\)

3a + 4b = 10, ab = 2
(3a + 4b)³ = (3a)³ + 3(3a)²(4b)+3(3a)(4b)² + (4b)³
(27a³ + 64b³) = (3a + 4b)³ - 3 (3a)(4b)(3a + 4b)
\(\because\) x³ + y³ \(\equiv\) (x + y)³ - 3xy(x + y)
= 10³ - 36 ab (10) = 1000 - 36 \(\times\) 2 \(\times\) 10 = 1000 - 720 = 280

(a+b+c)² இன் விரிவில் 'b' ஐ '-b'எனப் பிரதியிட,
முற்றொருமை(a+b+c)² =a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca இன் படி,
(a+(-b)+c)²=a²+(-b)²+c²+2a(-b)+2(-b)+2(-b)c+2ca
=a²+b²+c²-2ab-2bc+2ca

P(x) = kx³ - 2x² + 25x - 26 என்க.
காரணி தேற்றத்தின்படி (x - 1) ஆனது P(x)ஐ மீதியின்றி வகுக்குமெனில், P(1) = 0
P(1) = k(1)³ - 2(1)² + 25(1)-26 = 0
k - 2 + 25 - 26 = 0
k - 3 = 0
k = 3

(x + a)(x + b)(x + c) = x³ + 14x² + 59x + 70                                      ......(1)
(x + a) (x + b) (x + c) \( \equiv\) x³ + (a + b + c) x² + (ab + bc + ca) x + abc .....(2)
(i) (1) மற்றும் (2) ஐ ஒப்பிட நமக்கு கிடைப்பது.
a + b + c = 14
(ii) \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{bc+ac+ab}{abc}=\frac{59}{70}\)
(iii) (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca
a² + b² + c² = (a + b + c)² - 2 (ab + bc + ca)
= 14² - 2(59) = 196 - 118 = 78
(iv) \(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}=\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{abc}=\frac{78}{70}\)

p(x) = x³ + 13x² +32x + 20 என்க.
அனைத்து உறுப்புகளின் கெழுக்களின் கூடுதல் = 1+ 13 + 32 +20 =66 ≠ 0
எனவே, (x - 1) என்பது ஒரு காரணியல்ல.
இரட்டைப்படை அடுக்குகள் கொண்ட உறுப்பின் கெழு மற்றும் மாறிலியின் கூடுதல் =13+20=33
ஒற்றைப்படை அடுக்குகள் கொண்ட உறுப்புகளின் கெழுக்களின் கூடுதல் = 1+ 32 = 33
ஆகவே, (x + 1) என்பது p(x) இன் ஒரு காரணி.
மற்ற நேரிய காரணிகளைக் காணத் தொகுமுறை வகுத்தல் முறையைப் பயன்படுத்துவோம்.

p(x) = 8x⁴ - 2x² + 6x - 7 என்க.
திட்ட வடிவம் = 8x⁴ + 0x³ - 2x² + 6x - 7
மெழுக்கள்  8   0   -2   6   -7
q(x) = 2x + 1 - ன் பூச்சியம் காண 2x + 1 = 0 என்க. 2x + 1 = 0; 2x = -1; x = -\(\frac{1}{2}\)தொகுமுறை வகுத்தல்

ஈவு = \(\frac{1}{2}\)[8x³ - 4x² + 6] = 4x³ - 2x² + 3
ஈவு = 4x³ - 2x² + 3 - ஆனது கொடுக்கப்பட்டுள்ள ஈவுடன் ஒப்பிட 4x³ + px² - qx + 3
p = -2
q = 0
​​​​​​​r = -10
x² - ன் கெழு p = -2
x - ன் கெழு -q = 0
மீதி = -10

\(p(x)={ 3x }^{ 3 }-{ 4x }^{ 2 }-5,d(x)=(3x+1)\)
திட்ட வடிவம் \(p(x)={ 3x }^{ 3 }-{ 4x }^{ 2 }-0x-5\) மற்றும் \(d(x)=3x+1\)
 
    
\({ 3x }^{ 3 }-4x^{ 2 }-5=\left( x+\frac { 1 }{ 3 } \right) \left( { 3x }^{ 3 }-5x+\frac { 5 }{ 3 } \right) -\frac { 50 }{ 9 } \)
\(=\frac { \left( 3x+1 \right) }{ 3 } \times 3\left( { x }^{ 2 }-\frac { 5 }{ x } x+\frac { 5 }{ 9 } \right) -\left( \frac { 50 }{ 9 } \right) \)
\({ 3x }^{ 3 }-{ 4 }x^{ 2 }-5=(3x+1)\left( { x }^{ 2 }-\frac { 5 }{ 3 } x+\frac { 5 }{ 9 } \right) -\left( \frac { 50 }{ 9 } \right) \) [குறிப்பு \((p(x)=d(x)q(x)+r]\)
எனவே, ஈவு \(\left( { x }^{ 2 }-\frac { 5 }{ 3 } x+\frac { 5 }{ 9 } \right) \) மற்றும் மீதி \(\frac { -50 }{ 9 } \)

x + y + z = 0 எனில் x³ + y³ + z³ = 3xyz
8x³ - 27y³ - 64z³ = (2x)³ + (-3y)³ + (-4z)³ = 3 \(\times\) 2x \(\times\) -3y \(\times\) -4z = 72 xyz

p(-5) = a(-5²) + b(-5) + c = 25a - 5b + c = 0 ....(1)
p(+3) = a(+3²) + b(3) + c = 9a + 3b + c = 0 ....(2)
25a - 5b = 9a + 3b
25a - 9a = 3b + 5b
16a = 8b
a/b = 8/16 = 1/2
a = 1 b = 2 என (1) ல் பிரதியிட 
25(1) - 5(2) = -c
25 - 10 = 15 = -c
c = -15

x³+y³ ≡ (x+y)(x²−xy+y²)

x -3 = 0
x = 3

p(x) = 3x - 3
p(1) = 3(1) - 3 = 0
(x - 1) ஆனது 3x - 3 - ன் காரணி 

2 - 3x = 0 ⇒ 3x = 2
x = 2/3