(i) p(x) =x³ - 7x² + 13x - 7 என்க.
கெழுக்களின் கூடுதல் =1- 7+13 - 7=0
எனவே, (x - 1) என்பது p(x) இன் ஒரு காரணி.
(ii) q(x)= x³ + 7x² + 13x +7 என்க.
இரட்டைப்படை அடுக்குகள் கொண்ட உறுப்புகளின் கெழுக்களின் கூடுதல் = 7 + 7=14
ஒற்றைப்படை அடுக்குகள் கொண்ட உறுப்புகளின் கெழுக்களின் கூடுதல் =1+ 13=14
எனவே, (x + 1) என்பது q(x) இன் ஒரு காரணி.

\(p(x)={ x }^{ 4 }+10{ x }^{ 3 }+35{ x }^{ 2 }+50x+29\)என்க 
திட்ட வடிவம் = \({ x }^{ 4 }+10{ x }^{ 3 }+35{ x }^{ 2 }+50x+29\)
 

ஈவு \({ x }^{ 3 }+{ 6x }^{ 2 }+11x+6\) ஐ \({ x }^{ 3 }-{ ax }^{ 2 }+bx+6\) உடன் ஒப்பிட
x² இன் கெழு 6 = -a  x  இன் கெழு 11 = b 
ஆகவே, a = -6, b =11 மற்றும் மீதி =5

\(p(x)={ 3x }^{ 3 }-{ 4x }^{ 2 }-5,d(x)=(3x+1)\)
திட்ட வடிவம் \(p(x)={ 3x }^{ 3 }-{ 4x }^{ 2 }-0x-5\) மற்றும் \(d(x)=3x+1\)
 
    
\({ 3x }^{ 3 }-4x^{ 2 }-5=\left( x+\frac { 1 }{ 3 } \right) \left( { 3x }^{ 3 }-5x+\frac { 5 }{ 3 } \right) -\frac { 50 }{ 9 } \)
\(=\frac { \left( 3x+1 \right) }{ 3 } \times 3\left( { x }^{ 2 }-\frac { 5 }{ x } x+\frac { 5 }{ 9 } \right) -\left( \frac { 50 }{ 9 } \right) \)
\({ 3x }^{ 3 }-{ 4 }x^{ 2 }-5=(3x+1)\left( { x }^{ 2 }-\frac { 5 }{ 3 } x+\frac { 5 }{ 9 } \right) -\left( \frac { 50 }{ 9 } \right) \) [குறிப்பு \((p(x)=d(x)q(x)+r]\)
எனவே, ஈவு \(\left( { x }^{ 2 }-\frac { 5 }{ 3 } x+\frac { 5 }{ 9 } \right) \) மற்றும் மீதி \(\frac { -50 }{ 9 } \)

(2x-3) ஆனது p(x) ன் காரணி எனில், \(p\left( \cfrac { 3 }{ 2 } \right) =0\)
\(p\left( \cfrac { 3 }{ 2 } \right) =2\left( \cfrac { 3 }{ 2 } \right) ^{ 3 }-9\left( \cfrac { 3 }{ 2 } \right) ^{ 2 }+\left( \cfrac { 3 }{ 2 } \right) +12\)
= \(2\left( \cfrac { 27 }{ 8 } \right) -9\left( \cfrac { 9 }{ 4 } \right) +\left( \cfrac { 3 }{ 2 } \right) +12\)
= \(\cfrac { 27 }{ 4 } -\cfrac { 81 }{ 4 } +\cfrac { 3 }{ 2 } +12\)
= \(\cfrac { 27-81+6+48 }{ 4 } \)
= \(\cfrac { 81-81 }{ 4 } \)
= \(\cfrac { 0 }{ 4 } \)=0
\(p\left( \cfrac { 3 }{ 2 } \right) \) = 0\(\therefore\)(2x-3) ஆனது p(x) ன் காரணி ஆகும்.

p(x)= 2x² - 6x² + mx + 4 என்க 
காரணித் தேற்றத்தின் படி,மீதி p(2)=0 எனில்,(x-2) ஒரு காரணியாகும்.

p(2)=0
2(2)³-6(2)²+m(2)+4=0
2(8)-6(4)+2m+4=0
-4+2m = 0
m = 2

(i) p⁵, p¹¹, p⁹
p⁵, p¹¹, p⁹ - ன் மீ.பெ.வ = p⁵
(ii) 4x³, y³, z³
4x³ - ன் காரணி = 1  \(\times\) 4x³
y³ -  ன் காரணி = 1  \(\times\) y³
z³ - ன் காரணி = 1 \(\times\) z³
4x³, y³, z³ - ன் மீ.பொ.வ = 1
(iii) 9a² b² c², 15 a³b²c⁴
9a²b²c³ = 3 \(\times\) 3a² b² c³
15 a³ b² c⁴ =  3 \(\times\) 5a³ b² c⁴
9 a² b² c³, 15 a³ b² c⁴ - ன் மீ.பொ.வ = 3 \(\times\) a²b²c³ = 3 a² b² c³
(iv) 64x⁸, 240x⁶
64 x⁸ = 2 \(\times\) 2 \(\times\) 2 \(\times\) 2 \(\times\) 2 \(\times\) 2 \(\times\) x⁶ \(\times\) x²
240 x⁶ = 2 \(\times\) 2 \(\times\) 2 \(\times\) 2 \(\times\) 3 \(\times\) 5 x⁶
64 x⁸, 240x⁶ - ன் மீ.பொ.வ = 2 \(\times\) 2 \(\times\)2 \(\times\)2 x⁶ = 16x⁶

(v) ab² c³, a²b³c, a³ bc²
ab²c³ = a \(\times\) b \(\times\) b \(\times\) c \(\times\) c \(\times\) c
a²b³c = a \(\times\) a \(\times\) b \(\times\) b \(\times\) b \(\times\) c
a³ bc² = a \(\times\)a \(\times\) a \(\times\) b \(\times\)c \(\times\) c
ab² c³, a² b³ c, a³ bc² இவற்றின் மீ.பொ.வ = a \(\times\) b \(\times\)c = abc
(vi) 35 x⁵y³z⁴, 49x²yz³, 14xy² z²
35 x⁵ y³ z⁴ = 5 \(\times\) 7 x⁵y³z⁴
49 x² yz³ = 7 \(\times\) 7 x² y z³
14 xy²z² = 2 \(\times\) 7 x y² z²
மீ.பொ.வ = 7x y z²
(vii) 25 ab³c, 100 a² bc, 125 ab
25 ab³ c = 5 \(\times\) 5 ab³ c
100a² bc = 2 \(\times\) 5 \(\times\) 2 \(\times\) 5 a² b c
125 ab = 5  \(\times\) 5 \(\times\) 5 ab
மீ.பொ.வ = 5 \(\times\) 5 ab = 25 ab
(viii) 3abc, 5xyz, 7pqr
3 abc = 1 \(\times\) 3 a bc
5 xyz = 1 \(\times\) 5 x y z
7 p q r = 1 \(\times\) 7 p q r
மீ.பொ.வ = 1

a+b+c = 0 எனில்  a3+b3+c3 = 3xyz

\(\therefore\) (x²-y²)³+(y²-z²)³+(z²-x²)³ = 3x²-y²)(y²-z²)(z²-x²)

\(\therefore\) (x-y)³+(y-z)³+(z-x)³ = 3(x-y)(y-z)(z-x)

 
= (x+y)(y+z)(z+x)

(i) (2a + 3b + 4c) (4a² + 9b² + 16c² - 6ab - 12bc - 12bc - 8ca)
இங்கு முற்றொருமை
(a + b + c) (a² + b² + c² - ab - bc - ca) = a³ + b³ + c³ - 3abc
\(\therefore\) (2a + 3b + 4c) (4a² + 9b² + 16c² - 6ab - 12 bc - 8 ca)
= (2a)³ + (3b)³ + (4c)³ - 3 \(\times\) 2a \(\times\) 3b \(\times\) 4c
= 8a³ + 27b³ + 64c³ - 72 abc
(ii) (x - 2y + 3z) (x² + 4y² + 9z² + 2xy + 6yz - 3xz)
= (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca) \(\equiv\) a³ + b³ + c³ - 3abc
\(\therefore\) (x - 2y + 3z)(x² + 4y² + 9z² + 2xy + 6yz - 3 xz)
=x³ + (-2y)³ + (3z)³ - 3 \(\times\)x \(\times\) (-2y) (3z)
= x³ - 8y³ + 27z³ + 18 xyz

(x + a)(x + b)(x + c) = x³ + 14x² + 59x + 70                                      ......(1)
(x + a) (x + b) (x + c) \( \equiv\) x³ + (a + b + c) x² + (ab + bc + ca) x + abc .....(2)
(i) (1) மற்றும் (2) ஐ ஒப்பிட நமக்கு கிடைப்பது.
a + b + c = 14
(ii) \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{bc+ac+ab}{abc}=\frac{59}{70}\)
(iii) (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca
a² + b² + c² = (a + b + c)² - 2 (ab + bc + ca)
= 14² - 2(59) = 196 - 118 = 78
(iv) \(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}=\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{abc}=\frac{78}{70}\)

முற்றொருமை (x+a)(x+b)(x+c)=x³ +(a+b+c)x² +(ab+bc+ca)x+abc....(1)
(i) (x+5)(x+6)(x+4)

=x³+(5+6+4)x²+(30+24+20)x+(5)(6)(4)
=x³+15x²+74x+120
(ii) (3x−1)(3x+2)(3x −4)
=(3x)³+(-1+2-4)(3x)²+(-2-8+4)(3x)+(-1)(2)(-4)
=27x³(-3)9x²+(-6)(3x)+8

=27x³-27x²-18x+8