நாண் AB மற்றும் AB இன் நடுப்புள்ளி C என்க.
ஆகை யால், OC ⏊ AB ,
OA மற்றும் OCயை இணைக்க . ஆரம் OA.
OC = 2 \(\sqrt {11}\) செ மீ மற்றும் OA = 12செ மீ எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
செங்கோண ΔOAC இல் பிதாகரஸ் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்த,
AC² =OA² −OC²
= 12² - ( 2 \(\sqrt {11}\) )²
= 144 - 44
= 100செ மீ
AC² = 100செ மீ
AC = 10செ மீ
ஆகவே , நாண் AB இன் நீளம் = 2AC
= 2 × 10செ மீ
= 20செ மீ

வட்ட நாற்கரத்தின் வெளிக் கோணங்களின் பண்பின்படி,
நாம் பெறுவது, y^o =100^o  மேலும்,
x^o+30^o =60^o ஆகையால், x^o =30^o 

வட்ட நாற்கரம் PQRS இல் \(\angle PSR\)=70^o கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
\(\angle PSR\)+\(\angle PQ R\) =180^o (காரணம் கூறுக_____ )
70^o +\(\angle PQ R\) =180^o
\(\angle PQ R\)=180^o -70^o 
\(\angle PQ R\) =110^o 
Δ PQR இல் நாம் பெறுவது 
\(\angle PQ R\)+\(\angle PRQ\)+\(\angle QPR\)=180^o (காரணம் கூறுக _____ ) 
110^o+\(\angle PRQ\) +40^o=180^o
\(\angle PRQ\)=180^o-150^o
\(\angle PQ R\)=30^o

(i) ஒரு வட்டவில் மையத்தில் தாங்கும் கோணம் அந்த வில்லைத் தவிர்த்து வட்டத்தின் மீதிப் பரிதியில் ஏதேனும் ஒரு புள்ளியில் ஏற்படுத்தும் கோணத்தைப் போல் இரு மடங்காகும் என்ற தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்.
\(\angle POR=2\)|PQR  
x^o = 2x 50^o
x^o =100^o

(ii) ஒரு வட்டவில் மையத்தில் தாங்கும் கோணம் அந்த வில்லைத் தவிர்த்து வட்டத்தின் மீதிப் பரிதியில் ஏதேனும் ஒரு புள்ளியில் ஏற்படுத்தும் கோணத்தைப் போல் இரு மடங்காகும் என்ற தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்.
\(\angle MNL\)= \(\frac { 1 }{ 2 } \) பின்வளை \(\angle MOL\) 
=\(\frac { 1 }{ 2 } \)x 260^o  
x^o =130^o
 
(iii) ஒரு வட்டவில் மையத்தில் தாங்கும் கோணம் அந்த வில்லைத் தவிர்த்து வட்டத்தின் மீதிப் பரிதியில் ஏதேனும் ஒரு புள்ளியில் ஏற்படுத்தும் கோணத்தைப் போல் இரு மடங்காகும் என்ற தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்.
XY ஆனது வட்டத்தின் விட்டம்.
எனவே, \(\angle XYZ \) =90^o 
(அரை வட்டத்தில் அமையும் கோணம்)
Δ XYZ இல் 
x^o + 63^o +90^o =180^o 
x^o =27^o 

(iv)  ஒரு வட்டவில் மையத்தில் தாங்கும் கோணம் அந்த வில்லைத் தவிர்த்து வட்டத்தின் மீதிப் பரிதியில் ஏதேனும் ஒரு புள்ளியில் ஏற்படுத்தும் கோணத்தைப் போல் இரு மடங்காகும் என்ற தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்.
OA =OB =OC (ஆரங்கள்)
Δ OAC இல் 
\(\angle OAC \)= \(\angle OCA \) = 35^o 
(சமமான பக்கங்களுக்கு எதிரேயுள்ள கோணங்கள் சமம்)
\(\angle ACB \)=\(\angle OCA \) +\(\angle OCB \) 
x^o =20^o +35^o 
x^o =55^o 

கொடுக்கப்பட்டவை : வெளி வட்டத்தின் நாண் AB ஆனது உள் வட்டத்தை C மற்றும் D இல் சந்திக்கின்றது.
நிறுவ வேண்டியது  : AB - CD =2AC 
அமைப்பு  : OM ⏊ AB வரைக.
மெய்ப்பித்தல் : இங்கு, OM ⏊ AB
மேலும், OM ⏊ CD
ஆகவே, AM = MB   .... (1)
(ஏனெனில், மையத்திலிருந்து வரையப்படும் செங்குத்து நாணை இருசமக் கூறிடும்.)
CM =MD  ..... (2)
இப்பொழுது, AB -CD = 2AM - 2CM 
=2(AM - CM ) (1) மற்றும் (2) இலிருந்து 
AB - CD = 2AC 
 

படி 1 : AB = BC =CA =6 செ.மீ அளவுகளுள்ள \(\Delta\)ABC வரைக 
படி 2 : ஏதேனும் இருபக்கங்களுக்கு (AB மற்றும் BC) மையக்குத்துக்கோடுகள் வரைந்து ABன் நடுப்புள்ளி Pமற்றும் BC ன் நடுப்புள்ளி N ஐக் குறி க்க .
படி 3 : நடுக்கோடுகள் PC மற்றும் QA வரைக. அவை சந்திக்கும் புள்ளி G ஆனது \(\Delta\)ABC நடுக்கோட்டு மையம் ஆகும்.
படி 4 : எவையேனும் இரு கோணங்களுக்கு \(\angle A\) மற்றும் \(\angle B\)  கோண இரு சமவெட்டிகள் வரைக. அவை சந்திக்கும் புள்ளி I ஆனது \(\Delta\) ABC ன் உள்வட்ட மையம் ஆகும்.
படி 5 : நடுக்கோட்டு மையம் G மற்றும் உள்வட்ட மையம் I ஆகியன  ஒன்றே என அறிவோம் .

\(\Delta\)ABC - யில்
AB = 6 செ.மீ
\(\angle\)B = 110°
AC = 9 செ.மீ
வரைமுறை:
படி 1: \(\Delta\)ABC- ஐ வரை
படி 2: ஏதேனும் இருபக்ககங்களுக்கு (AB, BC) மையக் குத்துக் கோடுகள் வரை.
படி 3: பக்கங்களின் மையப்புள்ளியை அவற்றிற்கு எதிர் முனையுடன் சேர் (CE, AD). இவை நடுக்கோடுகள் எனப்படும்.
படி 4: நடுக்கோடுகள் வெட்டிக் கொள்ளும் புள்ளி G ஐக் குறி.
படி 5: G, \(\Delta\)ABC யின் நடுக்கோட்டு மையம் ஆகும்.

AB = 4 செ.மீ
AC = 3 செ.மீ
\(\angle\)A = 90°

வரைமுறை:
படி 1: \(\Delta\)ABC ஐ வரை
படி 2: ஏதேனும் இரு பக்கங்களுக்கு (AB, AC) மையக்குத்து கோடுகள் வரைக.
படி 3: பக்கங்களின் மையப்புள்ளியையும் எதிர்முனையையும் சேர்த்து நடுக்கோடுகள் (CD, BE) வரைக.
படி 4: நடுக்கோடுகள் வெட்டிக் கொள்ளும் புள்ளி G நடுக்கோட்டு மையம் ஆகும்.

கொடுக்கப்பட்டவை \(\angle OQR\)=48^o 
எனவே, \(\angle ORQ\) இன் அளவும் 48^o (ஏன் ?______ )
\(\angle OQR\) = 180^o  -(2 x  48^o ) = 84^o .
நாண் QR ஆனது மையத்தில் உருவாக்கும் கோணம் மீதிப் பரிதியில் உருவாகும் கோணத்தைப் போல் இருமடங்காகும்.
எனவே, \(\angle OPR\) =\(\frac { 1 }{ 2 } \times 84°=42°\)

\(\angle ABC\) = 30^o  கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
\(\angle AO C\) = 2\(\angle ABC\)  (ஏனெனில், வட்டத்தின் ஒரு வில்லானது மையத்தில் தாங்கும் கோணம் மீதிப் பரிதியில் தாங்கும் கோணத்தின் இருமடங்காகும்)
= 2 x 30^o 
= 60^o