\(\Delta\)ABC-யில் AB = BC = 6 செ.மீ, \(\angle\)B = 80°.

வரைமுறை:
படி 1: \(\Delta\)ABC ஐ கொடுத்துள்ள அளவில் வரைக. AB = 6 செ.மீ. \(\angle\)B = 80°, BC = 6 செ.மீ
படி 2: ஏதேனும் இரு கோணங்கள் (\(\angle\)A, \(\angle\)C) -ற்கு கோண இருசம வெட்டி வரைந்து அவை வெட்டும் புள்ளி I ஐக் குறி.
படி 3: I யிலிருந்து ஏதேனும் ஒரு பக்கத்திற்கு (AC) செங்குத்து வரைந்து ID ஐ அளக்க.
படி 4: ID ஐ ஆரமாக வைத்து வட்டம் வரைக. அது மூன்று பக்கங்களையும் உட்புறமாக தொட்டுச் செல்லும். ID - உள்வட்ட ஆரம்.

பக்கம் = 6.5 செ.மீ; I உள்வட்ட மையம் ; உள்வட்ட மையத்தின் ஆரம் = 1.9 செ.மீ

வரைமுறை :
படி 1: \(\Delta\)ABC யில், AB = BC = CA = 6.5 செ.மீ உள்ளவாறு வரைக.
படி 2: ஏதேனும் இரு கோணங்களில் (\(\angle\)A மற்றும் \(\angle\)B) கோண இரு சமவெட்டி வரைக. வெட்டும் புள்ளியைக் குறித்து I எனப் பெயரிடு. அவை I ஆனது முக்கோணம் (ABC)-யின் உள்வட்ட மையம் ஆகும்.
படி 3: I-யிலிருந்து ஏதேனும் ஒரு பக்கத்திற்கு (AB) செங்குத்து வரைந்து ID-ஐ குறி. 
படி 4: IDஐ ஆரமாக வைத்து வட்டம் வரைந்தால் அது மூன்று பக்கங்களையும் தொட்டுச் செல்லும். உள்வட்ட ஆரம் ID = 1.9 செ.மீ.

படத்தில் \(\angle\)POQ = 100°
\(\angle\)PQR = 30°
\(\angle\)PRQ = \(\frac{1}{2}\angle POQ=\frac{1}{2}\times 100=50\)°       ....(1)
\(\Delta\)OPQ - இல்
\(\angle\)OPQ + \(\angle\)OQP + \(\angle\)POQ = 180°
2\(\angle\)OPQ + 100 = 180°
2\(\angle\)OPQ = 180°
2\(\angle\)OPQ = 80°
\(\angle\)OPQ = 40°          (\(\because\) 180° - 80° = 100)
\(\Delta\)PQR - இல்
\(\angle\)R + \(\angle\)P + \(\angle\)= 180°
50° + (40 + x) + 30° = 180°
(40 + x)° = 180° - 80 = 100°
x° = 100° - 40° = 60°
\(\therefore\) \(\angle\)RPO = x = 60°

AB = 8 செ.மீ; CD = 10 மீ; AB \(\perp\) CD; OA = 6 மீ
படத்தில், \(OM=\sqrt{6^{2}-4^{2}}=\sqrt{36-16}=\sqrt{20}\) மீ
\(ON=\sqrt{6^{2}-5^{2}}=\sqrt{36-25}=\sqrt{11}\) மீ
ONPM ஒரு செவ்வகம் (\(\therefore\) நீளம் \(\sqrt{20}\), அகலம் \(\sqrt{11}\))
முலைவிட்டம் OP ஐக் காண 
\(\therefore OP=\sqrt{ON^{2}+NP^{2}} =\sqrt{\sqrt{11^{2}}+\sqrt{20^{2}}}=\sqrt{11+20}=31\)
OP = \(\sqrt{31}\) = 5.56 மீ = 5.6 மீ
 

பின்வளை \(\angle\)AOC = 2 \(\times\) \(\angle\)ABC = 2 \(\times\)120° = 240°
\(\therefore\) \(\angle\)AOC = 360° - 240° = 120°
\(\Delta\)AOC - ல்
\(\angle\)OAC + \(\angle\)ACO = 180° - 120° = 60°
2\(\angle\)OAC = 60°      [\(\angle\)OAC = \(\angle\)ACO]
\(\therefore \) \(\angle\)OAC = \(\frac{60°}{2}\)= 30°

படத்தில்  LM = 7 செ.மீ
OM = (7 - x) செ.மீ என்க.
\( MB=\frac{8}{2}=4 \) செ.மீ
OB = \(\sqrt{4^{2}+(7-x)^{2}}\)
OD = \(\sqrt{3^{2}+x^{2}}\)
OB = OD (\(\because\) ஆரங்கள் சம அளவுடையவை)

இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த 
16 + (7 - x)² = 9 + x²

14x = 65 - 9
14x = 56
\(x=\frac{56}{14}=4\)
\(\therefore\) ஆரம் OD = \(\sqrt{3^{2}}+4^{2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}\) = 5 செ.மீ

ABCD ஒரு வட்ட நாற்கரம் என்க AB||CD
AB=10 செ.மீ, CD=24 செ.மீ
ஆரம் = OA=OD=13செ.மீ 
OP\(\bot \)AB மற்றும் OQ \(\bot \)CD வரைக 
"வட்ட மையத்திலிருந்து நாணிற்கு வரையப்படும் செங்குத்துக் கோடு நாணை இரு சமக் கூறிடும்"
\(\therefore\) AP =PB 5 செ.மீ மற்றும் DQ = QC =12 செ.மீ 
பிதாகரஸ் தேற்றப்படி செங்கோண \(\Delta\)OAP யில் 
OP²+AP² = OA²
OP²+5² = 13²
OP² = 13²-5²
=169-25
= 144
OP = \(\sqrt { 144 } \) = 12செ.மீ 
பிதாகரஸ் தேற்றப்படி செங்கோண \(\Delta\)ODQ யில் 
OQ²+DQ²=OD²
OQ²+12² = 13²
OQ²=13²-12²
= 169-144
=25
OQ = \(\sqrt { 25 } \) = 5செ.மீ 
இரு நாண்களுக்கு இடைப்பட்ட தூரம் PQ = OP +OQ
= 12+5
= 17 செ.மீ 
இரு நாண்களுக்கு இடைப்பட்ட தூரம் = 17  செ.மீ 

வட்ட நாற்கரம் ABCD- யில்
\(\angle\)A + \(\angle\)C = 180°
2y +\(\not 4\) +4y - \(\not 4\) =180°
6y = 180°
y=\(\frac{180°}{6}=30°\)
\(\angle\)B + \(\angle\)D = 6x - 4 + 7x + 2
13x - 2 = 180°
13x = 180 + 2 = 182°
x = \(\frac{182}{13}=14°\)
\(\therefore\) \(\angle\)A = 2(30) + 4° = 64°
\(\angle\)B = 6(14) - 4° = 84 - 4 = 80°
\(\angle\)C = 4(30°) - 4° = 120° - 4° = 116°
\(\angle\)D = 7(14°) + 2° = 98° + 2° = 100°

(i) \(\angle\)ACD = 180^o - (90^o + 35^o) = 180^o - 125^o = 55^o
(ii) \(\angle\)ACB = 180^o - (90^o + 40^o) = 180^o - 130^o = 50^o
(iii) \(\angle\)ADC = 90^o
\(\angle\)CAE = 180^o - 120^o = 60^o
\(\therefore\) \(\angle\)DAE = 60^o - 35^o = 25^o

வட்ட நாற்கரம்  ABCD - ல்
\(\angle\)ABC = 180° - 120° = 60°
\(\angle\)BCA = 90°
\(\therefore\) \(\angle\)BAC = 180° - (90° + 60°) = 30°

\(\mathrm{OD}=\mathrm{DP}=\frac{4}{2}=2\) செ.மீ
\(A D=B D=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}\)
\(=\sqrt{9}=3\) செ.மீ
\(\therefore\) பொது நாணின் நீளம் AB = AD + BD = (3 + 3) செ.மீ = 6 செ.மீ

\(\Delta\)OAC ஓர் இருசமபக்க முக்கோணம்
\(\angle\)AOC = 90°
\(\therefore\) \(\angle\)OAC + \(\angle\)OCA = 180° - 90°
2\(\angle\)OAC = 90°    (\(\therefore\) \(\angle\)OAC = \(\angle\)OCA)
\(\angle\)OAC = 45°
\(\therefore\)\(\angle\)OCA = 45°
நாணின் நீளம் (AC) = \(\sqrt{(4 \sqrt{2})^2+(4 \sqrt{2})^2}=\sqrt{16 \times 2+16 \times 2}=\sqrt{64}=8\) செ.மீ

வட்டத்தின் ஆரம் \(\begin{aligned} =\sqrt{8^2+15^2} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} =\sqrt{64+225} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} =\sqrt{289}=17 \end{aligned}\) செ.மீ

மையத்திலிருந்து நாணிற்கு உள்ள தூரம்
\(\begin{aligned} \mathrm{OD} & =\sqrt{26^2-10^2} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} =\sqrt{676-100} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} =\sqrt{576}=24 \end{aligned}\) செ.மீ

வட்டத்தின் மையம் O என்க AB ஒரு நாண் 
AB = 40 செ.மீ 
ஆரம் OB = 25 செ.மீ 
OC \(\bot \) AB வரைக 
"ஒரு வட்டத்தின் மையத்திலிருந்து நாணிற்கு வரையப்படும் செங்குத்து அந்நாணை இரு சமக்கூறிடும் "
\(\therefore\) AC = CB = 20 செ.மீ 
செங்கோண \(\Delta \)OCB ல் பிதாகரஸ் தேற்றத்தின்படி 
OC²+CB² = CB²
OC²+20² = 25²
OC² = 25²-20²
= 625 -400 = 225
OC = \(\sqrt { 25 } \)
= 15 செ.மீ
மையத்திலிருந்து நாணிற்கு உள்ள தூரம்  = 15செ.மீ