(i) இயலும் 
எ.கா :\(4^ 3\sqrt { 21 } + (-3 ^3\sqrt {21}) = 3\sqrt {21}\) ஒரு முழுமையான முறுடு
(i) இயலும். 
எ.கா : \(7^ 4\sqrt { 25 } - 6 ^4\sqrt {25} = 4\sqrt {25}(7 - 6) = 4\sqrt {25}\) ஒரு முழுமையான முறுடு
(iii) இயலும் 
எ.கா : \(3\sqrt { 5 } \times 3 \sqrt { 4 } =3\sqrt { 20 } \) ஒரு முழுமையான முறுடு
(iv) இயலும் 
எ.கா :  \(\sqrt { \frac { 10 }{ 2 } } =\frac {\sqrt { 2 \times 5 }}{\sqrt {2}} =\frac {\sqrt {2} \times \sqrt {5}}{\sqrt{2}} = 5 \), ஒரு முழுமையான முறுடு

(i) \(\sqrt[3]{5}, \sqrt[9]{4}, \sqrt[6]{3}\)
\(\sqrt[3]{5}, \sqrt[9]{4}, \sqrt[6]{3}\) ஆகியவற்றின் வரிசைகள் 3, 9, 6. 3, 9, 6 ன் மீ.பொ.ம = 18
\(\begin{aligned} \sqrt[3]{5} & =\sqrt[3 \times 6]{5^6}=\sqrt[18]{15625} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \sqrt[9]{4} & =\sqrt[9 \times 2]{4^2}=\sqrt[18]{16} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \sqrt[6]{3} & =\sqrt[6 \times 3]{3^3}=\sqrt[18]{27} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \sqrt[18]{15625} & >\sqrt[18]{27}>\sqrt[18]{16} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \text { i.e, } \sqrt[3]{5} & >\sqrt[6]{3}>\sqrt[9]{4} \end{aligned}\)

(ii) \(\sqrt[2]{\sqrt[3]{5}}, \sqrt[3]{\sqrt[4]{7}}, \sqrt{\sqrt{3}}\)
\(\sqrt[2]{\sqrt[3]{5}}, \sqrt[3]{\sqrt[4]{7}}, \sqrt{\sqrt{3}}\) ஆகியவற்றின் வரிசைகள் 6, 12, 4
6, 12, 4 ன் மீ.பொ.ம = 12
\(\begin{aligned} \sqrt[2]{\sqrt[3]{5}} & =\sqrt[6]{5}=\sqrt[6 \times 2]{5^2}=\sqrt[12]{25} \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \sqrt[3]{\sqrt[4]{7}} & =\sqrt[12]{7}=\sqrt[12]{7^1}=\sqrt[12]{7} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \sqrt{\sqrt{3}} & =\sqrt[4]{3}=\sqrt[4 \times 3]{3^3}=\sqrt[12]{27} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \sqrt[12]{27} & >\sqrt[12]{25}>\sqrt[12]{7} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \text { i.e, } \sqrt{\sqrt{3}} & >\sqrt[2]{\sqrt[3]{5}}>\sqrt[3]{\sqrt[4]{7}} \end{aligned}\)

(i) \(\sqrt{3} \times \sqrt{5} \times \sqrt{2}=\sqrt{3 \times 5 \times 2}=\sqrt{30}\)
(ii) \(\sqrt{35} \div \sqrt{7}=\sqrt{\frac{35}{7}}=\sqrt{5}\)
(iii) \(\sqrt[3]{27} \times \sqrt[3]{8} \times \sqrt[3]{125}=\sqrt[3]{27 \times 8 \times 125}=\sqrt[3]{3^3 \times 2^3 \times 5^3}=3 \times 2 \times 5=30\)
(iv) \((7 \sqrt{a}-5 \sqrt{b})(7 \sqrt{a}+5 \sqrt{b})=(7 \sqrt{a})^2-(5 \sqrt{b})^2=49 a-25 b\)
(v)\(\begin{aligned} {\left[\sqrt{\frac{225}{729}}-\sqrt{\frac{25}{144}}\right] \div \sqrt{\frac{16}{81}} } & =\left[\sqrt{\frac{15^2}{27^2}}-\sqrt{\frac{5^2}{12^2}}\right] \times \sqrt{\frac{9^2}{4^2}} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} =\left(\frac{15}{27}-\frac{5}{12}\right) \times \frac{9}{4}=\left(\frac{5}{9}-\frac{5}{12}\right) \times \frac{9}{4} \end{aligned}\)

(i) \(5 \sqrt{3}+18 \sqrt{3}-2 \sqrt{3}=(5+18-2) \sqrt{3}=21 \sqrt{3}\)
(ii) \(4 \sqrt[3]{5}+2 \sqrt[3]{5}-3 \sqrt[3]{5}=(4+2-3) \sqrt[3]{5}=3 \sqrt[3]{5}\)
(iii) \(3 \sqrt{75}+5 \sqrt{48}-\sqrt{243}\)
\(=3 \sqrt{5 \times 5 \times 3}+5 \sqrt{3 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2}-\sqrt{3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3}\)
\(\begin{aligned} & =\quad 3 \times 5 \sqrt{3}+5 \times 2 \times 2 \sqrt{3}-3 \times 3 \sqrt{3} \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} & =\quad 15 \sqrt{3}+20 \sqrt{3}-9 \sqrt{3} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} & =\quad(15+20-9) \sqrt{3} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} =\quad 26 \sqrt{3} \end{aligned}\)

(iv) \(\begin{array}{ll} 5 \sqrt[3]{40}+2 \sqrt[3]{625}-3 \sqrt[3]{320} \end{array}\)
\(\begin{array}{ll} = & 5 \sqrt[3]{2^3 \times 5}+2 \sqrt[3]{5^3 \times 5}-3 \sqrt[3]{2^3 \times 2^3 \times 5} \end{array}\)
\(\begin{array}{ll} = & 5 \times 2 \times \sqrt[3]{5}+2 \times 5 \sqrt[3]{5}-3 \times 2 \times 2 \sqrt[3]{5} \\ \end{array}\)
\(\begin{array}{ll} = & 10 \sqrt[3]{5}+10 \sqrt[3]{5}-12 \sqrt[3]{5} \end{array}\)
\(\begin{array}{ll} = & (10+10-12) \sqrt[3]{5} \end{array}\)
\(\begin{array}{ll} =\quad & 8 \sqrt[3]{5} \end{array}\)

(i) 32 = \(\sqrt [ 5 ]{ 32 } =\left( 32 \right) ^{ 1/5 }=\left( { 2 }^{ 5 } \right) ^{ 1/5 }=2\)
(ii) 243 = \(\sqrt [ 5 ]{ 243 } =\left( 243 \right) ^{ 1/5 }=({ 3 }^{ 5 })^{ 1/5 }=3\)
(iii) 10000 = \(\sqrt [ 5 ]{ 100000 } =(100000)^{ 1/5 }\left( { 10 }^{ 5 } \right) ^{ 1/5 }=10\)
(iv) \(\cfrac { 1024 }{ 3125 } \) = \(\sqrt { \cfrac { 1024 }{ 3125 } } =\left( \cfrac { 1024 }{ 3125 } \right) ^{ 1/5 }=\left( \cfrac { { 2 }^{ 10 } }{ { 5 }^{ 5 } } \right) ^{ 1/5 }=\cfrac { \left( { 2 }^{ 10 } \right) ^{ 1/5 } }{ \left( { 5 }^{ 5 } \right) ^{ 1/5 } } =\cfrac { { 2 }^{ 2 } }{ 5 } =\cfrac { 4 }{ 5 } \)

(i) \(\begin{aligned} (300000)^2 \times(20000)^4 & =\left(3.0 \times 10^5\right)^2 \times\left(2.0 \times 10^4\right)^4=3^2 \times 10^{10} \times 2^4 \times 10^{16} \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} =9 \times 16 \times 10^{10+16}=144 \times 10^{26}=1.44 \times 10^{28} \end{aligned}\)
(ii) (0.000001)¹¹\(\div\)(0.005)³
\(\begin{aligned} \frac{(0.000001)^{11}}{(0.005)^3} & =\frac{(0.000001)^{11}}{(0.005)^3}=\frac{\left(1.0 \times 10^{-6}\right)^{11}}{\left(5.0 \times 10^{-3}\right)^3}=\frac{1.0 \times 10^{-66}}{125.0 \times 10^{-9}}=\frac{1.0 \times 10^{-66}}{1.25 \times 10^2 \times 10^{-9}} \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} =\frac{1.0}{1.25} \times 10^{-66-2+9}=0.8 \times 10^{-59}=8.0 \times 10^{-1} \times 10^{-59}=8.0 \times 10^{-60} \end{aligned}\)
(iii) \(\begin{aligned} \left\{(0.00003)^6 \times(0.00005)^4\right\} & \div\left\{(0.009)^3 \times(0.05)^2\right\} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} =\frac{\left(3.0 \times 10^{-5}\right)^6 \times\left(5.0 \times 10^{-5}\right)^4}{\left(9.0 \times 10^{-3}\right)^3 \times\left(5.0 \times 10^{-2}\right)^2}=\frac{3^6 \times 10^{-30} \times 5^4 \times 10^{-20}}{9^3 \times 10^{-9} \times 5^2 \times 10^{-4}} \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} =\frac{3^6 \times 5^4 \times 10^{-30-20}}{\left(3^2\right)^3 \times 10^{-9-4} \times 5^2}=\frac{\not 3^ {\not 6} \times 5^4 \times 10^{-50}}{\not 3^ {\not 6} \times 5^2 \times 10^{-13}} \\ \end{aligned}\)
= 5^4-2 \(\times\) 10^-50+13 = 5² \(\times\)10^-37 = 25 \(\times\) 10^-37
= 2.5 \(\times\) 10¹ \(\times\) 10^-37 = 2.5 \(\times\) 10^-36

(i) 
தசமப் புள்ளியானது 6 இடங்கள் இடப்பக்கமாக நகர்த்தப்பட்டுள்ளது. எனவே,n = 6.
(ii)

தசமப் புள்ளியானது இரண்டு இடங்கள் வலப்பக்கமாக நகர்த்தப்பட்டுள்ளது. எனவே,n = -2.
(iii)

தசமப் புள்ளியானது 7 இடங்கள் இடப்பக்கமாக நகர்த்தப்பட்டுள்ளது. எனவே,n = 7.

\({5\sqrt{3}+\sqrt{2}\over \sqrt{3}+\sqrt{2}}\) \(=\frac{5 \sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} \)
\(=\frac{(5 \sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{3-2} \)
\(=\frac{5 \times 3-5 \sqrt{6}+\sqrt{6}-2}{1} \)
\(=\frac{15-4 \sqrt{6}-2}{1}=13-4 \sqrt{6} \)

i) இயலும்.
\(3\sqrt { 27 } + 4\sqrt {16} = 3 + 2 = 5 \) ஒரு விகிதமுறு எண்
ii) இயலும்.
 \(4\sqrt {625 } - 3\sqrt {8 } = 5 - 2 = 3\) ஒரு விகிதமுறு எண்
iii) இயலும்.
 \(3\sqrt { 16 } \times 3\sqrt { 4} = 3\sqrt { 64 } = 4\) ஒரு விகிதமுறு எண்
iv) இயலும்.
\(​​​​\frac {4\sqrt 243}{4 \sqrt 3} =4 \sqrt {243/3} = 4\sqrt {81} = 3\) ஒரு விகிதமுறு எண் ஆகும்.

\(\sqrt[3]{({1024})^{-2}}=[\sqrt[3]{(2^3\times2^3\times2^3\times2)^{-2}}]\)
\(=[\sqrt[3]{2^3\times2^3\times2^3\times2}]^{-2}\)[மூலக்குறியீட்டு விதி -(i)]
\(=[\sqrt[3]{2^3}\times \sqrt[3]{2^3} \times \sqrt[3]{2^3} \times \sqrt[3]{2}]^{-2}\)[மூலக்குறியீட்டு விதி -(ii)]
\(=[2\times2\times2\times\sqrt[3]{2}]^{-2}\) [மூலக்குறியீட்டு விதி -(i)]
\(=[8\times \sqrt[3]{2}]^{-2}=[{1\over8}]^{2}\times ({1\over \sqrt[3]{2}})^2\)
\(={1\over 64}\sqrt[3]{1\over4}\)
வரிசை=3; மூல அடிமானம்=\({1\over4}\) ;கெழு=\({1\over 64}\) 

(அடுக்கு வடிவத்தைப் பயன்படுத்தியும் இதே முடிவுகளைப் பெற இயலும்).