(2) = (5)
\(\therefore\) (A \(\cap\) B)' = A' U B'

U = (-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4}
A = {-3,-2,-1,0,1,2}
B = {-2,1,0,1,2,3}
(i) \(\left( A\cup B \right) '=A'\cap B'\) 
\(A\cup B\) = {-3,-2,-1,0,1,2,3}
\(\left( A\cup B \right) '\) = {-4,4}  ...(1)
A' = {-4,3,4}
B' = {-4,-3,4}
\(A'\cap B'\) = {-4,4}   ....(1)
(ii) \(\left( A\cap B \right) '=A'\cup B'\)
\(A\cap B\) = {-2,-1,0,1,2}
\(\left( A\cap B \right) '\) = {-4,-3,3,4}    ....(1)
A' = {-4,3,4}
B' = {-4,-3,4}
\(A'\cup B'\) = {-4,-3,3,4}   ....(2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து , நாம் அறிவது \(\left( A\cap B \right) '=A'\cup B'\)

L.H.S \(A\cup (B\cap C)\)

(2) மற்றும் (5) லிருந்து,
\(A\cup (B\cap C)=\left( A\cup B \right) \cap (A\cup C)\) என நிரூபிக்கப்பட்டது. 

A = {x : x ∈ Z, -2 < x ≤ 4} ={ -1,0,1,2,3,4}
B = {x:x ∈ W,x ≤ 5}  = {0,1,2,3,4,5}
C = {-4,-1,0,2,3,4}
A ∩ (B U C)
B U C = {0,1,2,3,4,5} U {-4,-1,0,2,3,4} = {-4, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}
A ∩ (B U C) = { -1,0,1,2,3,4} ∩ {-4, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}
= { -1,0,1,2,3,4}                                     ....(1)
(A∩B ) ∪ (A∩C) 
A∩B = { 0,1,2,3,4}
A∩C = {-1,0,2,3,4}
(A∩B ) ∪ (A∩C) = {0,1,2,3,4} U {-1, 0, 2, 3, 4} = {-1, 0,1, 2, 3, 4}  .....(2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து
A ∩ (B U C) = (A∩B ) ∪ (A∩C) என நிரூபிக்கப்பட்டது.

A - சதுரங்கம் விளையாடுபவர்கள்
B - சுண்டாட்டம்
C - மேசை வரிப்பந்து
n(A) = 22
n(B) = 21
n(C) = 15
n (A ∩ C)=10
n (B ∩ C)=8
n( A ∩ B ∩ C)=6
y = 22 - (x + 6 + 4) = 22 - (x + 10)= 22 - x - 10 = 12 - x
z = 21 - (x + 6 + 2) = 21 - (8 + x) = 21 - 8 - x = 13 - x
y + z + 3 + x + 2 + 4 + 6 = 35
12 - x + 13 - + 15 +  = 35
40 - x = 35
x = 40 - 35 = 5
சதுரங்கம் மற்றும் சுண்டாட்டம் விளையாடி மேசை வரிப்பந்து விளையாடாதவர்கள் = 5 பேர்
(ii) சதுரங்கம் மட்டும் விளையாடுபவர்கள் = 12 - x = 12 - 5 = 7
(iii) சுண்டாட்டம் மட்டும் விளையாடுபவர்களின் எண்ணிக்கை = 13 - x = 13 - 5 = 8

a = 600 - (120 - +  + 80 - x)
= 600 - (200 - x) = 600 - 200 + x = 400 + x
b = 350 - (250 -  +  + 100 - x)

= 350 - (220 - x) = 350 - 220 + x = 130 + x
c = 280 - (80 - +  + 100 - x)
= 2800 - (180 - x) = 280 - 180 + x = 100 + x
a + b + c + 120 - x + 100 - x + 80 - x + x = 1000
400 + +130 + + 100 +  + 120 - +100 -  + 80 -  + x = 1000
930 + x = 1000
x = 1000 - 930 = 70
\(\therefore\) 70 பேர் மூன்று பயிர்களையும் பயிரிட்டனர்.

மொத்த சந்தாதாரர்களின் எண்ணிக்கை =200

வென்படத்திலிருந்து,
ஒரே ஓர் இதழை மட்டும் வாங்குபவர்களின் எண்ணிக்கை = a +b +c 
சரியாக, இரண்டு இதழ்களை வாங்குபவர்களின் எண்ணிக்கை =x +y +z 
மற்றும் 125 பேர் குறைந்தது இரண்டு இதழ்களையாவது வாங்குகின்றனர்.
அதாவது, x +y +z +r =125   ......(1)
கொடுக்கப்பட்டவை: n(A∪B∪C)=200,n(A)=125, n(B)=100 ,n(C)=150,
n(A∩B)=x+r , n(B∩C) = y+r, n(A∩C)=z+r, n(A∩B∩C)=r
இப்பொழுது,
n(A∪B∪C)=n(A)+n(B)+n(C) - n(A∩B)- n(B∩C) -n(A∩C)+n(A∩B∩C)
200=125+100+150-x-r-y-r-z-r+r
375-(x+y+z+r) - r
=375-125-r [∵x+y+z+r=125]
200-250-r ⇒ r=50
(1) இலிருந்து, x+y+z+50=125
x+y+z=75
ஆகவே, சரியாக இதழ்களை மட்டும் வாங்கும் சந்தாதார்களின் எண்ணிக்கை =75.
வென்படத்திலிருந்து,
(a+b+c)+(x+y+z+r)=200  ....... (2)
(1) -ஐ (2) இல் பிரதியிட,
a+b+c+125=200
a+b+c=75
ஆகவே,ஒரே ஓர் இதழை மட்டும் வாங்கும் சந்தாதார்களின் எண்ணிக்கை =75

a = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
\(\Rightarrow \quad y=\frac{a+1}{2}=\frac{0+1}{2}=\frac{1}{2}\)
\(\begin{aligned} y & =\frac{1+1}{2}=\frac{2}{2}=1 \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} y & =\frac{2+1}{2}=\frac{3}{2} \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} y & =\frac{3+1}{2}=\frac{4}{2}=2 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} y & =\frac{4+1}{2}=\frac{5}{2} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} y & =\frac{5+1}{2}=\frac{6}{2}=3 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \therefore \mathrm{A} & =\left\{\frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}, 2, \frac{5}{2}, 3\right\} \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \mathrm{B} & =\left\{y: y=\frac{2 n-1}{2}, n \in \mathbb{W}, n<5\right\} \\ \end{aligned}\)
n = {0, 1, 2, 3, 4}
\(\Rightarrow\)   \(\begin{aligned} y & =\frac{2 \times 0-1}{2}=\frac{-1}{2} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} y & =\frac{2 \times 1-1}{2}=\frac{1}{2} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} y & =\frac{2 \times 2-1}{2}=\frac{3}{2} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} y & =\frac{2 \times 3-1}{2}=\frac{5}{2} \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} y & =\frac{2 \times 4-1}{2}=\frac{7}{2} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \therefore \mathrm{B} & =\left\{-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{3}{2}, \frac{5}{2}, \frac{7}{2}\right\} \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \mathrm{C} & =\left\{-1,-\frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}, 2\right\} \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \mathrm{B} \cup \mathrm{C} & =\left\{-1,-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}, 2, \frac{5}{2}, \frac{7}{2}\right\} \\ \end{aligned}\)
A - (BUC) = {3}            .............(1)
A - B = {1, 2, 3}
\(\begin{aligned} \mathrm{A}-\mathrm{C} & =\left\{\frac{1}{2}, \frac{5}{2}, 3\right\} \end{aligned}\)
(A - B) \(\cap\) (A - C) = {3}    ...........(2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து
\(A-(B\cup C)=(A-B)\cap (A-C)\) என நிரூபிக்கபட்டது.

A  = {x : x = 6n, n∈W n<6 }
x = 6n
n = {0, 1, 2, 3, 4, 5} ⇒ x = 6 x 0 = 0
x = 6 x 1 = 6
x = 6 x 2 = 12
x = 6 x 3 = 18
x = 6 x 4 = 24
x = 6 x 5 = 30
\(\therefore\) A = {0,6,12,18,24,30}
B = {x : x = 2n , n ∈ N, 2 < n \(\leq\) 9 } 
n = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
x = 2n ⇒ x = 2 x 3 = 6
2 x 4 = 8
2 x 5 = 10
2 x 6 = 12
2 x 7 = 14
2 x 8 = 16
2 x 9 = 18
\(\therefore\)B ={6,8,10,12,14,16,18}
C = {x : x =3n , n∈N  4< n <10}
N = {4, 5, 6, 7, 8, 9}
x = 3 x 4 = 12
x = 3 x 5 = 15
x = 3 x 6 = 18
x = 3 x 7 = 21
x = 3 x 8 = 24
x = 3 x 9 = 27
\(\therefore\)C = {12,15,18,21,24,27}
A -(B⋂C) = (A - B) ∪ (A- C)
\(B\cap C\) = {12,18}
L.H.S =\(A-(B\cap C)\) = {0,6,12,18,24,30} - {12,18} = {0,6,24,30} ....(1)
(A-B) = {0,24,30}
(A-C) = {0,6,30}
R.H.S = \((A-B)\cup (A-C)\) = {0,6,24,30}...(2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து \(A-(B\cap C)=(A-B)\cup (A-C)\) என நிரூபிக்கப்பட்டது.