(i) 2x - 3y = 7                    ....(1)
5x + y = 9                         .....(2)
படி (1)
சமன்பாடு (2) லிருந்து
5x + y = 9
y = -5x + 9                        .....(3)
படி (2)
(3) ஐ (1) ல் பிரதியிட
2x - 3 (-5x + 9) = 7
2x + 15x - 27 = 7
17x = 7 + 27
17x = 34
x = \(\frac{34}{17}\) = 2; x = 2
படி (3)
x = 2 என (3) ல் பிரதியிட
y = -5(2) + 9
= -10 + 9 = -1
y = -1
\(\therefore\) x = 2; y = -1
(ii)   1.5x + 0.1y = 6.2                                     ....(1)
                     3x - 0.4y = 11.2                         ....(2)
(1) \(\times\) 10 \(\Rightarrow\)    15x + y = 62                          ....(3)
(2) \(\times\) 10 \(\Rightarrow\)   30x - 4y = 112                        ....(4)
படி (1)
சமன்பாடு (3) லிருந்து
15x + y = 62
y = -15x + 62                                                .....(5)
படி (2)
(5) ஐ (4) ல் பிரதியிட
30x - 4(-15x + 62) = 112
30x + 60x - 248 = 112
90x = 112 + 248
90x = 360

படி (3)
x = 4 என (5) ல் பிரதியிட
y = -15(4) + 62
= -60 + 62 = 2
\(\therefore\) x = 4 மற்றும் y = 2
(iii) 10% x + 20% y = 24

\(\frac{x}{10}+\frac{y}{5}=24\)
\(\frac{x+2y}{10}=24\)
x + 2y = 240                        ...(1)
3x - y  = 20                          ...(2)
படி (1)
சமன்பாடு (2) லிருந்து
3x - y = 20
-y = 20 - 3x
y = 3x - 20                          .....(3)
படி (2)
(3) ஐ (1) ல் பிரதியிட
x + 2 (3x - 20) = 240
x + 6x - 40 = 240
7x = 240 + 40
\(x=\frac{280}{7}\)
x = 40
படி (3)
x = 40 என (3) ல் பிரதியிட
y = 3 (40) - 20
= 120 - 20 = 100
\(\therefore\) x = 40 மற்றும் y = 100
(iv) \(\begin{aligned} \sqrt{2} x-\sqrt{3} y=1 ; \sqrt{3} x-\sqrt{8} y & =0 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \sqrt{2} x-\sqrt{3} y & =1 \end{aligned}\)                      ....(1)
\(\begin{aligned} \sqrt{3} x-\sqrt{8} y & =0 \end{aligned}\)                     .....(2)
படி (1)
சமன்பாடு (2) லிருந்து
\(\begin{aligned} \sqrt{3} x-\sqrt{8} y & =0 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \not -\sqrt{8} y & =\not - \sqrt{3} x \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} y & =\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{8}} x \end{aligned}\)                               .....(3)
படி (2)
(3) ஐ (1)  ல் பிரதியிட
\(\begin{aligned} \sqrt{2} x-\sqrt{3} y & =1 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \sqrt{2} x-\sqrt{3}\left(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{8}}\right) x & =1 \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \frac{\sqrt{2} x}{1}-\frac{3}{\sqrt{8}} x & =1 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \frac{\sqrt{16} x-3 x}{\sqrt{8}} & =1 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \frac{4 x-3 x}{\sqrt{8}} & =1 \Rightarrow x=\sqrt{8} \end{aligned}\)
படி (3)
x = \(\sqrt{8}\) என (1) ல் பிரதியிட
\(\begin{aligned} \sqrt{2}(\sqrt{8})-\sqrt{3} y & =1 \end{aligned}\) 
\(\begin{aligned} \sqrt{16}-\sqrt{3} y & =1 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} 4-\sqrt{3} y & =1 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} -\sqrt{3} y & =1-4 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} -\sqrt{3} y & =-3 ; y=\sqrt{3} \end{aligned}\)
\(\therefore\) x = \(\sqrt{8}\) மற்றும் y = \(\sqrt{3}\)

ஒவ்வொரு கோட்டிற்கும் அட்டவணை தயாரித்து வரிசைச் சோடிப் புள்ளிகளைக் குறிக்கவும்.
y = 2x + 1 இன் வரைபடம் 

குறிக்கவேண்டிய புள்ளிகள்;
 (−2, −3), (−1, −1), (0,1), (1,3), (2, 5)
−4x + 2y = 2 இன் வரைபடம்
2y = 4x + 2
y = 2x + 1

குறிக்கவேண்டிய புள்ளிகள்:
(−2, −3), (−1, −1), (0, 1), (1, 3), (2, 5)
இங்கு, இரு சமன்பாடுகளும் ஒன்றே; ஆனால் இரண்டும் வெவ்வேறு வடிவில் அமைந்துள்ளன. சமன்பாடுகள் இரண்டும் ஒன்றே என்பதால் தீர்வுகளும் ஒரே மாதிரியானவை. இங்கு ஒரு கோட்டின் மீதமைந்த அனைத்துப் புள்ளிகளும் மற்றொரு கோட்டின் மீதே உள்ளன.
எனவே, இங்கு கோட்டின் மீது அமைந்துள்ள அனைத்து வரிசைச் சோடிப் புள்ளிகளும் எண்ணற்ற தீர்வுகளாக அமைகின்றன.
   

கொடுக்கப்பட்ட இரு நேரிய சமன்பாடுகள்
8x + 5y = 9
5x + 10y = 15
\(\left[ \begin{matrix} { a }_{ 1 }x+{ b }_{ 1 }y+{ c }_{ 1 }=0 \\ { a }_{ 2 }x+{ b }_{ 2 }y+{ c }_{ 2 }=0 \end{matrix} \right] \)
இங்கு a₁ = 8, b₁ = 5, c₁ = 9, a₂ = k,b₂ = 10,c₂ = 15
தீர்வுகள் இல்லையெனில் \(\frac { { a }_{ 1 } }{ { a }_{ 2 } } =\frac { { b }_{ 1 } }{ { b }_{ 2 } } \neq \frac { { c }_{ 1 } }{ { c }_{ 2 } } \) ஆகவே, \(\frac { 8 }{ k } =\frac { 5 }{ 10 } \neq \frac { 9 }{ 15 } \)
80 = 5k
k = 16

கொடுக்கப்பட்ட இரு நேரிய சமன்பாடுகள்
2x - 3y = 7
(k+2)x-(2k+1)y=3(2k-1)
\(\left[ \begin{matrix} { a }_{ 1 }x+{ b }_{ 1 }y+{ c }_{ 1 }=0 \\ { a }_{ 2 }x+{ b }_{ 2 }y+{ c }_{ 2 }=0 \end{matrix} \right] \)
இங்கு a₁ = 2, b₁ = −3, a₂ = (k + 2), b₂ = −(2k +1), c₁ = 7, c₂ = 3(2k −1)
எண்ணற்ற தீர்வுகள் உண்டெனில், \(\frac { { a }_{ 1 } }{ { a }_{ 2 } } =\frac { { b }_{ 1 } }{ { b }_{ 2 } } =\frac { { c }_{ 1 } }{ { c }_{ 2 } } \) எனக் கருதுவோம்.
\(\frac { 2 }{ k+2 } =\frac { -3 }{ -(2k+1) } =\frac { 7 }{ 3(2k-1) } \)
\(\frac { 2 }{ k+2 } =\frac { -3 }{ -(2k+1) } \)
2(2k +1) = 3(k + 2)
4k + 2 = 3k + 6
k = 4
\(\frac { -3 }{ -(2k+1) } =\frac { 7 }{ 3(2k-1) } \)
9(2k −1) = 7(2k +1)
18k − 9 = 14k + 7
4k = 16
k = 4

கொடுக்கப்பட்டவை, 
2x + 3y = 14 ...(1)
3x − 4y = 4 ...(2)
y ஐ நீக்க:
(1) ஐ 4 ஆல் பெருக்க, கிடைப்பது 8x +12y = 56
(2) ஐ 3 ஆல் பெருக்க, கிடைப்பது 9x - 12y = 12
                                                       -----------------------
இரண்டையும் கூட்ட நமக்குக் கிடைப்பது, 17x = 68
ஆகவே, x =4
x = 4 என (1) இல் பிரதியிட நாம் பெறுவது
2x + 3y = 14
2(4) + 3y = 14
8 + 3y = 14
y = 2
ஆகவே தீரவு x = 4, y = 2 ஆகும்.
சரிபார்த்தல்:
2x+3y = 14 ...(1)
2(4)+3(2) = 14
8 + 6 = 14
14 = 14 மெய்
3x – 4y = 4 ...(2)
3(4) – 4(2) = 4
12–8 = 4
4 = 4 மெய்

ஒரு இந்தியர் ஒரு நாளில் செய்யும் வேலையின் வீதத்தை \(\frac{1}{x}\) என்க
ஒரு சீனர் ஒரு நாளில் செய்யும் வேலையின் வீதத்தை \(\frac{1}{y}\) என்க
\(\begin{aligned} \therefore \frac{4}{x}+\frac{4}{y} & =\frac{1}{3} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \frac{2}{x}+\frac{5}{y} & =\frac{1}{4} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \frac{1}{x} & =a, \frac{1}{y}=b \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} 4 a+4 b & =\frac{1}{3} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} 4 a+4 b-\frac{1}{3} & =0 \end{aligned}\)                ....(1)
\(2a+5b=\frac{1}{4}\)
\(\begin{aligned} 2 a+5 b-\frac{1}{4} & =0 \end{aligned}\)                ....(2)
குறுக்குப் பெருக்கல் முறைக்காகக் கெழுக்களைப் பின்வருமாறு எழுதலாம்
\(\begin{gathered} \frac{a}{-1+\frac{5}{3}}=\frac{b}{-\frac{2}{3}+1}=\frac{1}{20-8} \end{gathered}\)
\(\begin{gathered} \frac{3 a}{2}=3 b=\frac{1}{12} \end{gathered}\)
\(\begin{array}{l|r} \therefore \quad \frac{3 a}{2}=\frac{1}{12} & 3 b=\frac{1}{12} \end{array}\)
\(\begin{array}{l|r} a=\frac{1}{12} \times \frac{2}{3}=\frac{1}{18} & b=\frac{1}{36} \end{array}\)

\(\therefore\) ஒரு சீனர் அந்த குறிப்பிட்ட வேலை செய்ய = \(\frac{1}{b}\) = y = 36 நாட்கள் ஆகும்
ஒரு இந்தியர் அந்த குறிப்பிட்ட வேலை செய்ய = \(\frac{1}{a}\) = x = 18 நாட்கள் ஆகும்

ஒரு நாளுக்குரிய கட்டணம் =x என்க
குறிப்பிட்ட நிலையான கட்டணம் =y என்க
அமுதா 6 நாட்களுக்கு செலுத்திய தொகை =22
(2+4 நாட்கள்), 4x + y = 22      .........(1)
சாகர் 4 நாட்களுக்கு செலுத்திய தொகை =16
(2+2 நாட்கள்), 2x + y = 16......(2)
சமன்பாடு (1)-(2)
   4x+. y= 22
(-)2x +(-)y = (-)16
           2x =6
            x =3
x =3 என சமன்பாடு (1) ல் பிரதியிட,
4x+y =22
4(3)+ y = 22
12 +y = 22
y = 22 -12 = 10
y= 10
ஒரு நாளுக்குரிய கட்டணம் =3
குறிப்பிட்ட நிலையான கட்டணம் =10

ஈரிலக்க எண் = xy என்க
அதன் இட மதிப்பு = 10x + y
இலக்கங்களை இடமாற்றம் செய்தபின் அந்த எண் yx என்க.
அதன் இடமதிப்பு = 10y +x
அவற்றின் கூடுதல் = 10x + y + 10y + x = 110
11x + 11y = 110
x + y = 10                  ... (1)
எண் 10 ஐ முதல் எண்ணிலிருந்து கழித்தபின் அந்த எண்ணின் மதிப்பு = 10x + y - 10
முதல் எண்ணின் இலக்கங்களின் கூடுதல் = x + y.
5 மடங்குடன் 4 ஐ கூட்ட = 5(x + y) + 4
\(\therefore\) 10x + y - 10 = 5x + 5y + 4
10x + y - 5x - 5y = 4 + 10
5x - 4y = 14              ....(2)

y = 4 என (1) ல் பிரதியிட
x + 4 = 10
x = 10 - 4 = 6
\(\therefore\) முதல் எண் 64

இரண்டும் இணைகோடுகள் 

\(\frac { { a }_{ 1 } }{ { a }_{ 2 } } \neq \frac { { b }_{ 1 } }{ { b }_{ 2 } } \) ; ஒரே தீர்வு 

a மற்றும் b இரண்டும் பூஜ்ஜியமாக இருக்கக்கூடாது.

\(x+\frac { 1 }{ x } =2\) ⇒ x² - 2x + 1 = 0 ; x(x - 1) = 2 ⇒ x² - x - 2 = 0; x³ - x = 5 என்பன நேரிய சமன்பாடுகள் அல்ல.