கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடுகளின் தொகுப்பைப் பின்வருமாறு எழுதலாம்
2x + 7y − 5 = 0
−3x + 8y +11 = 0
குறுக்குப் பெருக்கல் முறைக்காகக் கெழுக்களைப் பின்வருமாறு எழுதலாம்

\(\\ \frac { x }{ (7)(11)-(8)(-5) } =\frac { y }{ (-5)(-3)-(11)(2) } =\frac { 1 }{ (2)(8)-|(-3)(7) } \)
\(\frac { x }{ 77+40 } =\frac { y }{ 15-22 } =\frac { 1 }{ 16+21 } \)
\(\frac { x }{ 117 } =\frac { y }{ -7 } =\frac { 1 }{ 37 } \)
\(\frac { x }{ 117 } =\frac { 1 }{ 37 } ,\frac { y }{ -7 } =\frac { 1 }{ 37 } \)
ஆகவே தீர்வு \(\\ \left( \frac { 117 }{ 37 } ,\frac { -7 }{ 37 } \right) \) ஆகும்.
சரிபார்த்தல்:
2x + 7y -5 = 0 ....(1)
\(2\left( \frac { 117 }{ 37 } \right) +7\left( \frac { -7 }{ 37 } \right) -5=0\)
\(\frac { 234 }{ 57 } -\frac { 49 }{ 37 } -5=0\)
\(\frac { 185 }{ 37 } -5=0\)
5 - 5 = 0 மெய்
3x+8y+11 = 0 ...(2)
\(3\left( \frac { 117 }{ 37 } \right) +8\left( \frac { -7 }{ 37 } \right) +11=0\)
\(\frac { -351 }{ 37 } -\frac { 56 }{ 37 } +11=0\)
\(\frac { -407 }{ 37 } +11=0\)
-11 + 11 = 0 மெய்

x என்பது பத்தாம் இலக்க எண் என்றும் y என்பது ஒன்றாம் இலக்க எண் என்றும் கொள்க,
கொடுக்கப்பட்டவை x + y = 5 ......(1)

கொடுக்கப்பட்ட எண் - இடமாற்றப்பட்ட எண் =27
(10x + y) − (10y + x) = 27
10x − x + y −10y = 27
9x − 9y = 27
\(\Rightarrow\) x − y = 3 ... (2)
x + y = 5 … (1) இலிருந்து, y = 5 – x ... (3)
(3) ஐ (2) இல் பிரதியிட x − (5 − x) = 3
x − 5 + x = 3
2x = 8
x = 4
x = 4 என (3) இல் பிரதியிட y = 5 − x = 5 − 4
y = 1
ஆகவே , 10x + y = 10 \(\times\) 4 +1 = 40 +1 = 41.
ஆகையால் கொடுக்கப்பட்ட ஈரிலக்க எண் = 41 ஆகும்.
சரிபார்த்தல்:
இலக்கங்களின் கூடுதல் = 5
x + y = 5
4 + 1 = 5
5 = 5 மெய்
கொடுக்கப்பட்ட எண் − புதிய எண் = 27
41 - 14 = 27
27 = 27 மெய்

கொடுக்கப்பட்ட கூற்றுகளுக்கு நாம் சமன்பாடுகளை அமைப்போம்.
செவ்வகத்தின் நீளம் மற்றும் அகலத்தை முறையே l மற்றும் b என்க.
முதல் கூற்றுக்குச் சமன்பாடு அமைத்தல்
செவ்வகத்தின் சுற்றளவு = 36 மீ
2(l + b) = 36
\(l+b=\frac { 36 }{ 2 } \)
l = 18 - b .....(1)

புள்ளிகள்: (2,16), (4,14), (5,13), (8,10)
இரண்டாவது கூற்றுக்குச் சமன்பாடு அமைத்தல்:
இரண்டாவது கூற்றின்படி, நீளமானது அகலத்தின் மூன்று மடங்கை விட 2 மீ அதிகம் எனவே l = 3b + 2 .....(2)
சமன்பாடு (2) இக்கு அட்டவணை அமைப்போம்

இரண்டு கோடுகளுக்கும் பொதுவான ஒரு புள்ளியே தீர்வாக அமையும். இங்கு (4, 14) என்பதே தீர்வாக இருப்பதைக் காணலாம்.
எனவே தீர்வானது b = 4, l = 14

சரிபார்த்தல்:
2(l+b) = 36 ...(1)
2(14+4) = 36
2 \(\times\) 18 = 36
36 = 36 மெய் 
l = 3b + 2 ...(2)
14 = 3(4) +2
14 = 12 + 2
14 = 14 மெய்

ஒவ்வொரு கோட்டிற்கும் அட்டவணை தயாரித்து வரிசைச் சோடிப் புள்ளிகளைக் குறிக்கவும்.
y = 2x + 1 இன் வரைபடம் 

குறிக்கவேண்டிய புள்ளிகள்;
 (−2, −3), (−1, −1), (0,1), (1,3), (2, 5)
−4x + 2y = 2 இன் வரைபடம்
2y = 4x + 2
y = 2x + 1

குறிக்கவேண்டிய புள்ளிகள்:
(−2, −3), (−1, −1), (0, 1), (1, 3), (2, 5)
இங்கு, இரு சமன்பாடுகளும் ஒன்றே; ஆனால் இரண்டும் வெவ்வேறு வடிவில் அமைந்துள்ளன. சமன்பாடுகள் இரண்டும் ஒன்றே என்பதால் தீர்வுகளும் ஒரே மாதிரியானவை. இங்கு ஒரு கோட்டின் மீதமைந்த அனைத்துப் புள்ளிகளும் மற்றொரு கோட்டின் மீதே உள்ளன.
எனவே, இங்கு கோட்டின் மீது அமைந்துள்ள அனைத்து வரிசைச் சோடிப் புள்ளிகளும் எண்ணற்ற தீர்வுகளாக அமைகின்றன.
   

(i) y = 3x −1 என்ற கோட்டிற்கான புள்ளிகளின் வரிசைக்கு சோடிகளைக் காண்பதற்கு அட்டவணையைத் தயாரிக்கலாம்.
x - இன் மதிப்பாக எந்த மதிப்பை வேண்டுமென்றாலும் எடுத்துக்கொள்ளலாம், இங்கு -1, 0 மற்றும் 1 ஐ மட்டுமே எடுத்துக்கொள்வோம்.
x = −1 எனில், y = 3(–1)–1 = –4
x = 0 எனில், y = 3(0)–1 = –1
x = 1 எனில், y = 3(1)–1 = 2

குறிக்க வேண்டிய புள்ளிகள் (x,y):
(−1, −4), (0, −1), (1, 2).

(ii) \(y=\left( \frac { 2 }{ 3 } \right) x+3\) என்ற கோட்டின் புள்ளிகளின் வரிசைச் சோடிகளைக் காண்பதற்கான அட்டவணைத் தயாரிக்கலாம்.
x இன் மதிப்புகளை -3, 0, 3 என எடுத்துக்கொள்கிறோம் (ஏன்?)
x = -3 எனில், \(y=\frac { 2 }{ 3 } (-3)+3=1\)
x = 0 எனில், \(y=\frac { 2 }{ 3 } (0)+3=3\)
x = 3 எனில், \(y=\frac { 2 }{ 3 } (3)+3=5\)

குறிக்க வேண்டிய புள்ளிகள் (x,y) :(−3,1), (0,3), (3,5).
 

கொடுக்கப்பட்ட நேரிய சமன்பாடுகள்
kx + 2y = 3 ......(1)
2x - 3y = 1 .......(2)
\(\left[ \begin{matrix} { a }_{ 1 }x+{ b }_{ 1 }y+{ c }_{ 1 }=0 \\ { a }_{ 2 }x+{ b }_{ 2 }y+{ c }_{ 2 }=0 \end{matrix} \right] \)
இங்கு a₁ = k, b₁ = 2, a₂ = 2, b₂ = −3 ;
ஒரேயொரு தீர்வு உண்டெனில் \(\frac { { a }_{ 1 } }{ { a }_{ 2 } } ↑ \frac { { b }_{ 1 } }{ { b }_{ 2 } } \) எனக் கருதுவோம். எனவே \(\frac { k }{ 2 } \neq \frac { 2 }{ -3 } \); ஆகவே \(k\neq \frac { 4 }{ -3 } \)

(i) 8x - 3y = 12; 5x - 2y = 7
8x - 3y = 12     .......(1)
5x - 2y  = 7      .......(2)
8x - 3y - 12 = 0
5x - 2y - 7 = 0
குறுக்குப் பெருக்கல் முறையில் சமன்பாட்டில் உள்ள கெழுக்களை பின்வருமாறு அமைப்போம்
\(\begin{gathered} \frac{x}{(-3)(-7)-(-2)(-12)}=\frac{y}{(-12)(5)-(-7)(8)}=\frac{1}{(8)(-2)-(5)(-3)} \end{gathered}\)
\(\begin{gathered} \frac{x}{21-24}=\frac{y}{-60+56}=\frac{1}{-16+15} \end{gathered}\)
\(\begin{gathered} \frac{x}{-3}=\frac{y}{-4}=\frac{1}{-1} \end{gathered}\)
\(\begin{gathered} \therefore \frac{x}{-3}=\frac{1}{-1}=\frac{y}{-4}=\frac{1}{-1} \end{gathered}\)
-x = -3 -y = -4
\(\therefore\) x = 3; y = 4

(ii) 6x + 7y - 11 = 0; 5x + 2y - 13 = 0
6x + 7y - 11 = 0
5x + 2y - 13 = 0
\(\begin{aligned} \frac{x}{-91-(-22)} & =\frac{y}{-55-(-78)}=\frac{1}{12-35} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \frac{x}{-91+22} & =\frac{y}{-55+78}=\frac{1}{-23} \end{aligned}\)
\(\frac{x}{-69}=\frac{y}{23}=\frac{1}{-23}\)


x = 3    y = -1
\(\therefore\) x = 3; y = -1
(iii) \(\begin{aligned} \frac{2}{x}+\frac{3}{y}=5 ; \frac{3}{x}-\frac{1}{y}+9 & =0 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \frac{2}{x}+\frac{3}{y}-5 & =0 \end{aligned}\)                       ....(1)
\(\begin{aligned} \frac{3}{x}-\frac{1}{y}+9 & =0 \end{aligned}\)                       ....(2)
(1), (2) ல் \(\frac{1}{x}\) = a, \(\frac{1}{y}\) = b எனக் கொள்க
(1) \(\Rightarrow\) 2a + 3b - 5 = 0
(2) \(\Rightarrow\) 3a - b + 9 = 0
குறுக்கு பெருக்கல் முறையைப் பயன்படுத்தி
\(\begin{aligned} \frac{a}{(3)(9)-(-1)(-5)} & =\frac{b}{(-5)(3)-(9)(2)}=\frac{1}{(2)(-1)-(3)(3)} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \frac{a}{27-5} & =\frac{b}{-15-18}=\frac{1}{-2-9} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \frac{a}{22} & =\frac{b}{-33}=\frac{1}{-11} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \therefore \frac{a}{22} & =\frac{1}{-11} \left\lvert\, \frac{b}{-33}=\frac{1}{-11}\right. \end{aligned}\)


a = -2 b = 3
\(\begin{aligned} \therefore x=\frac{1}{a}=\frac{-1}{2} & y=\frac{1}{b}=\frac{1}{3} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \therefore x=-\frac{1}{2} \quad y=\frac{1}{3} \end{aligned}\)

கொடுக்கப்பட்டவை, 
2x + 3y = 14 ...(1)
3x − 4y = 4 ...(2)
y ஐ நீக்க:
(1) ஐ 4 ஆல் பெருக்க, கிடைப்பது 8x +12y = 56
(2) ஐ 3 ஆல் பெருக்க, கிடைப்பது 9x - 12y = 12
                                                       -----------------------
இரண்டையும் கூட்ட நமக்குக் கிடைப்பது, 17x = 68
ஆகவே, x =4
x = 4 என (1) இல் பிரதியிட நாம் பெறுவது
2x + 3y = 14
2(4) + 3y = 14
8 + 3y = 14
y = 2
ஆகவே தீரவு x = 4, y = 2 ஆகும்.
சரிபார்த்தல்:
2x+3y = 14 ...(1)
2(4)+3(2) = 14
8 + 6 = 14
14 = 14 மெய்
3x – 4y = 4 ...(2)
3(4) – 4(2) = 4
12–8 = 4
4 = 4 மெய்

கொடுக்கப்பட்டவை 
x + 3y = 16 ... (1)
2x – y = 4 ... (2)

கொடுக்கப்பட்டவை 
x – 2y = 7 …(1)
2x + 3y = 7 …(2)
x =5, y =-1 எனில், நமக்குக் கிடைப்பது,
(1) இலிருந்து x – 2y = 5 – 2(−1) = 5 + 2 = 7 (வலது பக்கம்)
(2) இலிருந்து 2x + 3y = 2(5) + 3(−1) = 10−3 = 7 (வலது பக்கம்)
ஆகவே, x = 5, y = -1 என்ற மதிப்புகளானது சமன்பாடுகள் (1) மற்றும் (2) ஐ ஒரே நேரத்தில் நிறைவு செய்கிறது. ஆகவே, (5, -1) என்பது கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடுகளின் தீர்வாகும்.