A (x_1,y₂) ,B(x₂,y₂) மற்றும் C(x₃,y₃) என்பது முக்கோணத்தின் ஆயத்தொலைவு என்க. 
\(D \left( \frac { 3 }{ 2 } ,5 \right) ,E \left( 7,\frac { -9 }{ 2 } \right) \) மற்றும் \(F \left( \frac { 13 }{ 2 } ,\frac { -13 }{ 2 } \right) \)
ABC  யின் நடுப்புள்ளி \( =\left( \frac { { x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 } }{ 2 } ,\frac { { y }_{ 1 }+{ y }_{ 2 } }{ 2 } \right) \)
\(\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{3}{2} \Rightarrow x_1+x_2=3 \text {; } \)
\(\frac{y_1+y_2}{2}=\frac{5}{1} \Rightarrow y_1+y_2=10 \)
\(\frac{x_2+x_3}{2}=\frac{7}{2} \Rightarrow x_2+x_3=14\)
\(\frac{y_2+y_1}{2} \equiv \frac{-9}{2} \Rightarrow y_2+y_3=-9 \)
\(\frac{x_3+x_1}{2}=\frac{13}{2} \Rightarrow x_3+x_1=13 \text {; } \)
\(\frac{y_1+y_1}{2}=\frac{-13}{2} \Rightarrow y_3+y_1=-13 \)
\(2\left(x_1+x_2+x_3\right)=30 ; \quad 2\left(y_1+y_2+y_3\right)=-12 \)
\(x_1+x_2+x_3=15 \quad ; \quad y_1+y_2+y_3=-6 \)
\(x_1=15-14=1 \quad ; \quad y_1=-6-(-9)=3 \)
\(x_2=15-13=2 \quad \text {; } \quad y_2=-6-(-13)=7 \)
\(x_3=15-3=12 \quad ; \quad y_3=-6-10=-16 \)
A (1,3), B (2,7) மற்றும் C (12,-16) என்பன Δன் உச்சிகள் ஆகும்.
Δ ABC ன் நடுக்கோட்டு மையம்
\(\left(\frac{x_1+x_2+x_6}{3}, \frac{y_1+y_2+y_5}{3}\right)\)
\(=\left(\frac{1+2+12}{3}, \frac{3+7-16}{3}\right) \)
\(=\left(\frac{15}{3}, \frac{-6}{3}\right)=(5,-2) \)

A(3, 4), B(-2, -1) மற்றும் C(5, 3) என்பன ΔABC ன் முனைப்புள்ளிகள் 
நடுக்கோட்டு மையம்\(\left( \frac { { x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 }+{ x }_{ 3 } }{ 3 } ,\frac { y_{ 1 }+{ y }_{ 2 }+{ y }_{ 3 } }{ 3 } \right) \)
=\(G\left( \frac { 3-2+5 }{ 3 } ,\frac { 4-1+3 }{ 3 } \right) \)
=\(G\left( \frac { 6 }{ 3 } ,\frac { 6 }{ 3 } \right) \)
= (2,2)
BDCG ஆனது ஓர் இணைகரம்
மூலைவிட்டம் BC யும் GD யும் ஒன்றையொன்று இரு சமக்கூறிடும்.
BC யின் நடுப்புள்ளி =\(\left( \frac { x+2 }{ 2 } ,\frac { y+2 }{ 2 } \right) \)
=\(\left( \frac { -2+5 }{ 2 } ,\frac { -1+3 }{ 2 } \right) \)
\( =\left( \frac { 3 }{ 2 } ,1 \right) \)
M \( =\left( \frac { 3 }{ 2 } ,1 \right) \) என்பது G(2,2) மற்றும் D(x,y) ன் நடுப்புள்ளி ஆகும்.
\(\left(\frac{2+x}{2}, \frac{2+y}{2}\right)=\left(\frac{3}{2}, 1\right) \)
\(\frac{2+x}{2}=\frac{3}{2} \quad ; \quad \frac{2+y}{2}=\frac{1}{1} \)
\(4+2 x=6 \quad ; \quad 2+y=2 \)
\(2 x=2 \quad ; \quad y=2-2 \)
\(x=1 \quad ; \quad y=0 \)
D யின் ஆயத் தொலைவு  D(x,y)=(1,0)

கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் A( -1, 3), B( 1, -1) மற்றும் C(5,1)
A வழியே செல்லக்கூடிய நடுக்கோடு AD
BC யின் நடுப்புள்ளி L\(\left( \frac { { x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 } }{ 2 } ,\frac { { y }_{ 1 }+{ y }_{ 2 } }{ 2 } \right) \)
\(\left( \frac { 1+5 }{ 2 } ,\frac { -1+1 }{ 2 } \right) =\left( \frac { 6 }{ 2 } ,\frac { 0 }{ 2 } \right) \)=(,0)
A(-1,3) மற்றும் D(3,0) x₁=3, y₁=0, x₂=-1, y₂=3
தொலைவு d =\(\sqrt { ({ x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 })^{ 2 }({ y }_{ 2 }-{ y }_{ 1 })^{ 2 } } \)
நடுக்கோட்டின் நீளம் AD =\(\sqrt { (-1-)^{ 2 }+(3-0)^{ 2 } } \)
=\(\sqrt { (-4)^{ 2 }+3^{ 2 } } =\sqrt { 16+9 } =\sqrt { 25 } \)=5 அலகுகள்.
நடுக்கோட்டின் நீளம் AD =5 அலகுகள்

முக்கோணத்தின் மூன்று முனைப்புள்ளிகள் A(3,-2), B(5,2) மற்றும் c(x,y) என்க.
முக்கோணத்தின் நடுக்கோட்டு மையம்=(4,-2)
G\(\left( \frac { { x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 }+{ x }_{ 3 } }{ 3 } ,\frac { { y }_{ 1 }+{ y }_{ 2 }+{ y }_{ 3 } }{ 3 } \right) \)
\(\left( \frac { 3+5+x }{ 3 } ,\frac { -2+2+y }{ 3 } \right) \)
\(\left( \frac { 8+x_3 }{ 3 } ,\frac { y_3 }{ 3 } \right) \)=(4,-2)
ஆயத்தொலைவுகளை சமப்படுத்த,
\(\frac { 8+x_ 3 }{ 3 } \)=4, \(\frac { y_3 }{ 3 } \)=-2 = y₃ = -6
x = 12 - 8 = 4
x=4
மூன்றாவது முனைப்புள்ளி C(4,-6)

கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் A(2,-4), (-3,-7) மற்றும் (7,2) என்க.
முக்கோணத்தின் நடுக்கோட்டு மையம் G (x, y)
\(\left( \frac { { x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 }+{ x }_{ 3 } }{ 3 } ,\frac { { y }_{ 1 }+{ y }_{ 2 }+{ y }_{ 3 } }{ 3 } \right) \)
(x₁,y₁)=(2,-4), (x₂,y₂)=(-3,-7), (x₃,y₃)=(7,2)
முக்கோணத்தின் நடுக்கோட்டு மையம்
G(x,y)=\(G\left( \frac { 2-3+7 }{ 3 } ,\frac { -4-7+2 }{ 3 } \right) \)
=\(G\left( \frac { 6 }{ 3 } ,\frac { -9 }{ 3 } \right) \)
=G(2,-3)
(ii) (-5, -5), (1, -4) மற்றும் D(-4, -2)
கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் A(-5,-5), (1,-4) மற்றும் (-4,-2) என்க.
(x₁,y₁)=(-5,-5), (x₂,y₂)=(1,-4), (x₃,y₃)=(-4,-2)
முக்கோணத்தின் நடுக்கோட்டு மையம்
G(x,y) =G\(\left( \frac { { x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 }+{ x }_{ 3 } }{ 3 } ,\frac { { y }_{ 1 }+{ y }_{ 2 }+{ y }_{ 3 } }{ 3 } \right) \)
=\(G\left( \frac { -5+1-4 }{ 3 } ,\frac { -5-4-2 }{ 3 } \right) \)
=\(G\left( \frac { -8 }{ 3 } ,\frac { -11 }{ 3 } \right) \)
முக்கோணத்தின் நடுக்கோட்டு மையம் \(G\left( \frac { -8 }{ 3 } ,\frac { -11 }{ 3 } \right) \).

A(-5, 6) மற்றும் B(4, -3) என்பன கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள். p(a, b), Q(c, d) என்பன கோட்டுத்துண்டை மூன்று சம பாகங்களாகப் பிரிக்கும் புள்ளிகள் என்க. எனவே,
AP=PQ=QB.
பிரிவுச் சூத்திரத்தின்படி,
\( P = \left( \frac { { x }_{ 2 }+2{ x }_{ 1 } }{ 3 } +\frac { { y }_{ 2 }+2{ y }_{ 1 } }{ 3 } \right) =P\left( \frac { 4+2(-5) }{ 3 } +\frac { -3+2(6) }{ 3 } \right) \)
=\(P\left( \frac { 4-10 }{ 3 } +\frac { -3+12 }{ 3 } \right) \)
=\(P\left( \frac { -6 }{ 3 } +\frac { 9 }{ 3 } \right) \)
= P(-2,3)
\(Q = \left( \frac { 2{ x }_{ 2 }+{ x }_{ 1 } }{ 3 } +\frac { 2{ y }_{ 2 }+{ y }_{ 1 } }{ 3 } \right) =Q\left( \frac { 2(4)-5 }{ 3 } +\frac { 2(-3)+6 }{ 3 } \right) \)
=\(Q\left( \frac { 8-5 }{ 3 } +\frac { -6+6 }{ 3 } \right) \)
=\(Q\left( \frac { 3 }{ 3 } ,0 \right) \)
=Q(1,0)
மூன்று சமப் பாகங்களாகப் பிரிக்கும் புள்ளிகள் ஆயத் தொலைவுகள் P-2,3) மற்றும் Q(1,0)

A(-3, 5) மற்றும் B(4, -9) என்பன கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள். P(2, -5) ஆனது AB யை உட்புறமாக m : n என்ற விகிதத்தில் பிரிக்கிறது.
பிரிவுச் சூத்திரத்தின்படி,
P(x,y)=P\(\left( \frac { { mx }_{ 2 }+{ nx }_{ 1 } }{ m+n } ,\frac { { my }_{ 2 }+{ ny }_{ 1 } }{ m+n } \right) \)=P(2,-5)
இங்கு x₁=-3, y₁=5 , x₂=4, y₂=-9
m=7, n=2
= \(\left( \frac { m(4)+n(-3) }{ m+n } ,\frac { m(-9)+n(5) }{ m+n } \right) \)=P(2,-5)
y -அச்சுத் தொலையை சமப்படுத்த.
\(\frac { 4m-3n }{ m+n } \) = 2/1
4m-3n=2(m+n)
4m-2m=2n+3n
2m=5n
\(\frac { m }{ n } =\frac { 5 }{ 2 } \)
m : n = 5 : 2
எனவே P ஆனது AB யை 5 : 2 என்ற விகிதத்தில் உட்புறமாகப் பிரிக்கிறது.

கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் A(-5,11) மற்றும் B(4,-7) என்க. மேலும் புள்ளி P(x,y) ஆனது கோட்டுத்துண்டு AB ஐ 7:2 என்ற விகிதத்தில் உட்புறமாக பிரிக்கும் புள்ளி என்க.
பிரிவுச் சூத்திரத்தின் படி,
P(x,y)=P\(\left( \frac { { mx }_{ 2 }+{ nx }_{ 1 } }{ m+n } ,\frac { { my }_{ 2 }+{ ny }_{ 1 } }{ m+n } \right) \)
இங்கு x₁=5, y₁=-11
x₂=4, y₂=-7
m=7, n=2
∴ P(x,y)=P\(\left( \frac { 7(4)+2(-5) }{ 7+2 } ,\frac { 7(-7)+2(11) }{ 7+2 } \right) \)
=P\(\left( \frac { 28-10 }{ 9 } ,\frac { -49+22 }{ 9 } \right) \)
=P\(\left( \frac { 18 }{ 9 } ,\frac { -27 }{ 9 } \right) \)
=P(2,-3)
உட்புறமாகப் பிரிக்கும் புள்ளி P(2,-3)

A(4, -3), B(9, 7) என்பன கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் P(x, y) என்பது கோட்டுத்துண்டு AB யை உட்புறமாக 3:2 என்ற விகிதத்தில் பிரிக்கிறது என்க.
பிரிவுச் சூத்திரத்தின்படி,
P(x,y)=P\(\left( \frac { { mx }_{ 2 }+{ nx }_{ 1 } }{ m+n } ,\frac { { my }_{ 2 }+{ ny }_{ 1 } }{ m+n } \right) \)
இங்கு x₁=4, y₁=-3 ,x₂=9, y₂=7
m = 3, n = 2
∴ P(x,y)=P\(\left( \frac { 3(9)+2(4) }{ 3+2 } ,\frac { 3(7)+2(-3) }{ 3+2 } \right) \)
=P\(\left( \frac { 27+8 }{ 5 } ,\frac { 21-6 }{ 5 } \right) \)
= P(7,3)

D(x₁,y₁) E(x₂,y₂) மற்றும் F(x₃,y₃) என்பன DEF ன் முலைப்புள்ளிகள் என்க.
A B மற்றும் C என்பதன் DE, EF மற்றும் DF ன் நடுப்புள்ளி
\(\left( \frac { { x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 } }{ 2 } ,\frac { { y }_{ 1 }+{ y }_{ 2 } }{ 2 } \right) \)=(-3,6)
\(\frac { { x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 } }{ 2 } \)=-3 ⇒ x₁+x₂=-6  ....(1)
\(\frac { { x }_{ 2 }+{ x }_{ 3 } }{ 2 } \)=0 ⇒x₂+x₃=0   ..(2)
\(\frac { { x }_{ 3 }+{ x }_{ 1 } }{ 2 } \)=0 ⇒ x₃+x₁=2  ......(3)
கூட்ட நமக்கு கிடைப்பது 
\(2\left(x_1+x_2+x_3\right)=-4 \)
\(x_1+x_2+x_3=-2 \)
\(x_1+0=-2 \)
\(\therefore x_1=-2 \)
\(\frac { { y }_{ 1 }+{ y }_{ 2 } }{ 2 } \)=6 ⇒ y₁+y₂=12...(5)
\(\frac { { y }_{ 2 }+{ y }_{ 3 } }{ 2 } \)=7 ⇒ y₂+y₃=14   .....(6)
\(\frac { { y }_{ 3 }+{ y }_{ 1 } }{ 2 } \)=9 ⇒ y₃+y₁=18   .....(7)

இணைக்கரத்தில் மூலைவிட்டங்களின் நடுப்புள்ளிகள் சமம்,இதை நிரூபிக்க பின்வருமாறு காண்போம் .
​​​​​​​
AC யின் நடுப்புள்ளி =BD யின் நடுப்புள்ளி
∴ ABCD ஓர் இணைகரம்.

ABC என்பது இருசமபக்க செங்கோண முக்கோணம் 
D(x, y) என்பது  ஒரு புள்ளி மேலும் ABCD ஒரு சதுரம் மூலைவிட்டங்கள் AC மற்றும் BD ம் M ல் இருசமக் கூறிடும்.
AC நடுப்புள்ளி \(\left( \frac { { x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 } }{ 2 } ,\frac { { y }_{ 1 }+{ y }_{ 2 } }{ 2 } \right) \)
\(\left( \frac { -5+5 }{ 2 } ,\frac { 4+2 }{ 2 } \right) \)
\(\left( \frac { 0 }{ 2 } ,\frac { 6 }{ 2 } \right) = (0,3)\)
M என்பது BD ன் நடுப்புள்ளி ஆகும் 
\([\frac { -1+x }{ 2 } , \frac { -2+y }{ 2 } ] = (0,3)\)
\(\frac { -1+x }{ 2 }= 0 ⇒ x = 1\)
\( \frac { -2+y }{ 2 } = 0 ⇒ y = 8\)
D யின் ஆயத்தொலைவுகள் (1,8)

OD ⊥ AB ∴  D ஆனது நாண் AB ஐ இரு சமக்கூறிடும்.
நடுப்புள்ளி D \(\left( \frac { { x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 } }{ 2 } ,\frac { { y }_{ 1 }+{ y }_{ 2 } }{ 2 } \right) =\left( \frac { 8+10 }{ 2 } ,\frac { 6+0 }{ 2 } \right) \)
=\(\left( \frac { 18 }{ 2 } ,\frac { 6 }{ 2 } \right) \)=(9,3)
O (0,0), D (9, 3)
M என்பது  ODன் மையப்புள்ளி என்க.
நடுப்புள்ளி \(\left( \frac { { x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 } }{ 2 } ,\frac { { y }_{ 1 }+{ y }_{ 2 } }{ 2 } \right) =\left( \frac { 0+9 }{ 2 } ,\frac { 0+3 }{ 2 } \right) \)
=\(\left( \frac { 9 }{ 2 } ,\frac { 3 }{ 2 } \right) \)
ODயின் மையப்புள்ளி \(\left( \frac { 9 }{ 2 } ,\frac { 3 }{ 2 } \right) \).

ΔABC ன் முனைப்புள்ளிகள் A(x₁, y₁,), B(x₂, y₂) மற்றும் C(x₃,y₃) என்க. AB, BC மற்றும் CA ன் நடுப்புள்ளிகள் (2,4), (-2, 3) மற்றும் (5, 2) ஆகும்.
நடுப்புள்ளி \(\left( \frac { { x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 } }{ 2 } ,\frac { { y }_{ 1 }+{ y }_{ 2 } }{ 2 } \right) \)
\(\frac { { x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 } }{ 2 } \) ⇒ x₁ + x₂ = 4  ...(1)
\(\frac { { x }_{ 2 }+{ x }_{ 3 } }{ 2 } \) ⇒ x₂ + x₂ = -4   .....(2)
\(\frac { { x }_{ 3 }+{ x }_{ 1 } }{ 2 } \) ⇒ x₂ + x₁ = 10......(3)
(1), (2) மற்றும் (3) ஐ கூட்ட
2x₁+ 2x₂ + 2x₃ = 4 - 4+ 10 = 10
x₁ + x₂ + x₃ = 5   -----(4)
(4)-(2) ⇒ x₁ = 5-(-4)= 9
(4)-(3) ⇒ x₂ = 5 - 10 = -5
(4)-(1) ⇒ x₃ = 5 - 4 = 1
\(\frac { { y }_{ 1 }+{ y }_{ 2 } }{ 2 } =4\) ⇒ y₁+y₂=8   ...(5)
\(\frac { { y }_{ 2 }+{ y }_{ 3 } }{ 2 } =3\) ⇒ y₂+y₃=6  ....(6)
\(\frac { { y }_{ 3 }+{ y }_{ 1 } }{ 2 } =2\) ⇒ y₃+y₁=4 .....(7)
(5), (6) மற்றும் (7) ஐ கூட்ட
2y₁ + 2y₂ + 2y₃ = 8 + 6 + 4 = 18
y₁+y₂+y₃=9      ............(8)
(8)-(6) ⇒ y₁=9-6=3
(8)-(7) ⇒ y₂=9-4=5
(8)-(7) ⇒ y₃ = 9-8=1


y₁ = 3 என (6) - ல் பிரதியிட 
3 + y₃ = 4
y₃ = 1
y₃ = 1 எனில் (4) -ல் பிரதியிட 
1 + y₂ = 6
y₂ = 5
ΔABC ன் முனைப்புள்ளிகள் (9, 3), B (-5, 5) மற்றும் C(1,1)

புள்ளிகள் (3,4) மற்றும் (p,7) என்க.M என்பது AB ன் நடுப்புள்ளி.
நடுப்புள்ளி =\(\left( \frac { { x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 } }{ 2 } ,\frac { { y }_{ 1 }+{ y }_{ 2 } }{ 2 } \right) \)
\(\left( \frac { 3+p }{ 2 } ,\frac { 4+7 }{ 2 } \right) \)
\(= (\frac { 3+p }{ 2 },\frac { 11 }{ 2 } )\)
புள்ளி M  =\(\frac { 3+p }{ 2 } \),\(\frac { 11 }{ 2 } \) ஆனது 2x + 2y +1 = 0 என்ற சமன்பாட்டின் மேல் அமைந்துள்ளது.
கொடுக்கப்பட்டுள்ளது 
\(2\left( \frac { 3+p }{ 2 } ,\frac { 11 }{ 2 } \right) + 1 = 0\) 
3+p+11+1 =0
p+ 15 = 0
p =-15

(i) (-2,3) மற்றும் (-6, -5)
புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டுத் துண்டின் நடுப்புள்ளி \(M = \left( \frac { { x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 } }{ 2 } ,\frac { { y }_{ 1 }+{ y }_{ 2 } }{ 2 } \right) \)
A (-2,3) மற்றும் B (-6, -5) என்பன புள்ளிகள் 
=\(\left( \frac { -2-6 }{ 2 } ,\frac { 3-5 }{ 2 } \right) \)
=\(\left( \frac { -8 }{ 2 } ,\frac { -2 }{ 2 } \right) \)
=(-4,1)
கோட்டுத்துண்டின் நடுப்புள்ளி (-4,-1)
(ii) (8,-2) மற்றும் (-8,0)
புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டுத் துண்டின் நடுப்புள்ளி \(M = \left( \frac { { x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 } }{ 2 } ,\frac { { y }_{ 1 }+{ y }_{ 2 } }{ 2 } \right) \)
A (8,-2) மற்றும் B (-8,0) என்பன புள்ளிகள் 
=\(\left( \frac { 8-8 }{ 2 } ,\frac { -2+0 }{ 2 } \right) \)
=\(\left( \frac { 0 }{ 2 } ,\frac { -2 }{ 2 } \right) \)
=(0,1)
கோட்டுத்துண்டின் நடுப்புள்ளி=(0,-1)
iii) (a,b) மற்றும் (a + 2b, 2a - b)
புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டுத் துண்டின் நடுப்புள்ளி \(M = \left( \frac { { x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 } }{ 2 } ,\frac { { y }_{ 1 }+{ y }_{ 2 } }{ 2 } \right) \)
A (a,b) மற்றும் B (a + 2b, 2a - b) என்பன புள்ளிகள் 
=\(\left( \frac { a+a+2b }{ 2 } ,\frac { b+2a-b }{ 2 } \right) \)
=\(\left( \frac { 2a+2b }{ 2 } ,\frac { 2a }{ 2 } \right) \)
=(a + b, a)
கோட்டுத்துண்டின் நடுப்புள்ளி ((a + b), a)
iv) \(\left( \frac { 1 }{ 2 } ,\frac { -3 }{ 7 } \right) \) மற்றும் \(\left( \frac { 3 }{ 2 } ,\frac { -11 }{ 7 } \right) \)
புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டுத் துண்டின் நடுப்புள்ளி \(M = \left( \frac { { x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 } }{ 2 } ,\frac { { y }_{ 1 }+{ y }_{ 2 } }{ 2 } \right) \)
A  \(\left( \frac { 1 }{ 2 } ,\frac { -3 }{ 7 } \right) \) மற்றும் B \(\left( \frac { 3 }{ 2 } ,\frac { -11 }{ 7 } \right) \)என்பன புள்ளிகள் 
=\(\left( \frac { \frac { 1 }{ 2 } +\frac { 3 }{ 2 } }{ 2 } ,\frac { \frac { -3 }{ 9 } -\frac { 11 }{ 7 } }{ 2 } \right) \)
=\(\left( \frac { 2 }{ 2 } ,\frac { -2 }{ 2 } \right) \)
கோட்டுத்துண்டின் நடுப்புள்ளி (1,-1)