ஏணியின் நீளம் = 5 மீ
Δ ABC யிலிருந்து,
BC = 4 மீ, AC = 5 மீ

cos θ = \(\frac{BC}{AC}\) = \(\frac 45\) = 0.8000
cos θ = 8.000 = 0.80007 - 0.0007
அட்டவணையிலிருந்து 0.8007 = 36^o 48'
பொதுவித்தியாசம் 7                   =          4'
                                                          -------------
cos θ = 0.8000                                  = 36^o 52'
                                                          --------------
cos θ = cos 36^o 52'
θ = 36^o 52'

(i)  sin65⁰39' + cos24⁰57' + tan10⁰10'
= 0.9111+ 0.9066 + 0.1793 = 1.9970
sin65⁰39' + cos24⁰57' + tan10⁰10'
(ii)  tan70⁰58' + cos15⁰26' - sin84⁰59'
tan 70^o58' = 2.8982 + 0.9639 = 0.9962
= 3.8621 - 0.9962 = 2.8659
tan70⁰58' + cos15⁰26' - sin84⁰59' = 2.8659

(i)  sin49° = .7547
(ii) 74°39' = 74°+36'+3'
அட்டவணையிலிருந்து cos 74036' = 0.2656(-)
பொது வித்தியாசம் 3'                               = 8
cos 74°39'                                              = 0.2648
 (iii) tan54°26'
அட்டவணையிலிருந்து tan54°26'= 01.3968(+)
பொது வித்தியாசம் 3'                            = 17
tan54°26'                                               = 1.3985
(iv) sin21°21'
அட்டவணையிலிருந்து sin21°21'' =0.3633(+)
பொது வித்தியாசம் 3'                            = 8
sin21°21'                                              = 0.3641
(v) cos33°53'
அட்டவணையிலிருந்து cos33°53'' = 0.8310 (-)
பொது வித்தியாசம் 3'                              = 8
cos 33°53'                                             = 0.8302
(vi) tan70°17'   
அட்டவணையிலிருந்து tan70°17' = 2.7776(+)
பொது வித்தியாசம் 3'                             = 8
tan70°17'                                             = 2.7907

cos 3A =4 cos³ A - 3cos A, A = 30^о
இடப்பக்கம் cos 3A  = cos 3(30^o) = cos 90^o = 0
வலப்பக்கம் 4 cos³A  - 3 cos A  = 4 cos³ (30^o) - 3 cos 30^o
\(4{ \left( \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \right) }^{ 3 }-3\left( \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \right) \)

\(\frac { 3\sqrt { 3 } }{ 2 } -\frac { 3\sqrt { 3 } }{ 2 } =0\)
(1) = (2) எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது 

(i) \(\sin^260^о=\frac{\sqrt{3}}{2}\), cos 60^o = 1/2
இடப்பக்கம் sin² 60^o + cos^o = \({ \left( \frac { { \sqrt { 3 } } }{ 2 } \right) }^{ 2 }+{ \left( \frac { 1 }{ 2 } \right) }^{ 2 }\)
= \(\frac34+\frac14=\frac14\) = 1 = வலப்பக்கம் சரிபார்க்கப்பட்டது.
(ii) tan 30^o ₌  \(\frac{1}{\sqrt3}\) , sec² 60^о = \(\frac{2}{\sqrt3}\)
இடப்பக்கம் 1 + tan² 30^o = 1 + \({ \left( \frac { { 1 } }{ \sqrt { 3 } } \right) }^{ 2 }\)
= 1+ \(\frac13\)=\(\frac{3+1}{3}=\frac43\)
வலப்பக்கம் sec² 30^o = \({ \left( \frac { { 2 } }{ \sqrt { 3 } } \right) }^{ 2 }=\frac43\)
இடப்பக்கம் = வலப்பக்கம் சரிபார்க்கப்பட்டது.
(iii) cos90⁰ =1- 2sin² 45⁰ = 2cos² 45⁰ -1
cos 90^o = 0 ...(1)
sin 45^o = \(\frac{1}{\sqrt2}\)
cos 45^o = \(\frac{1}{\sqrt2}\)
1 - 2 sin² 45^o = 1 - 2\(\left ( \frac{1}{\sqrt2} \right )^2\)- 1
= 1 - 2 x 1/2 = 1 - 1 = 0 ........(2)
2 cos² 45^o - 1 = 2\(\left ( \frac{1}{\sqrt2} \right )^2\)- 1
=2 x 1/2 - 1 = 1 - 1 = 0
(1) = (2) = (3)
∵ cos 90^o = 1 - 2 sin² 45^o = 2 cos 45^o - 1 சரிபார்க்கப்பட்டது.
(iv) sin30⁰cos60⁰ + cos30⁰sin60⁰ = sin90⁰
sin 30^o = 1/2
cos 60^ο = 1/2
sin 90^о = 1
cos 30^o = \(\frac{\sqrt3}{2}\) 
sin 60^о = \(\frac{\sqrt3}{2}\)
இடப்பக்கம் sin30⁰ cos60⁰ + cos30⁰sin60⁰ sin90⁰
\(1/2\times1/2+\frac{\sqrt3}{2} \times \frac{\sqrt3}{2}\)
\(1/4+3/4=\frac44=1\)
வலப்பக்கம் sin 90^о = 1
இடப்பக்கம் = வலப்பக்கம் சரிபார்க்கப்பட்டது.

செங்கோண முக்கோணம் OMP யில், OP = 25மீ, PM = 5மீ
\(\sinθ=\frac{PM}{OP}=\frac{5}{25}=\frac15\)......(1)
செங்கோணமுக்கோணம் OQN, OQ = 3மீ, QN = h
\(\sinθ=\frac{QN }{OQ }=\frac{h }{35}\)......(2)
(1) = (2)
\(\frac {h}{35}=\frac 15\)
\(h =\frac {35}{5}\) = 7மீ
உயரம் h  = 7மீ.

3 cot A = 2


\(AB=\sqrt { { BC }^{ 2 }{ -AC }^{ 2 } } \\ =\sqrt { { 3 }^{ 2 }+{ 2 }^{ 2 } } =\sqrt { { 9+4 } } =\sqrt { 13 } \)

\(\frac { 4\sin A-3\cos A }{ 2\sin A+3\cos A } =\frac { 4+\frac { 3 }{ \sqrt { 13 } } -3\times \frac { 2 }{ \sqrt { 13 } } }{ 2\times \frac { 3 }{ \sqrt { 13 } } +3\times \frac { 2 }{ \sqrt { 13 } } } \)

\(\frac { 4\sin A-3\cos A }{ 2\sin A+3\cos A } =1/2\)

\(\sin\theta =\frac { a }{ \sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } } } \) எனில் 
பிதாகரஸ் தேற்றத்தின் படி,

\(AB=\sqrt { { AC }^{ 2 }{ -BC }^{ 2 } } \\ =\sqrt { { { \sqrt { ({ { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } }) } } }^{ 2 }{ -a }^{ 2 } } \\ =\sqrt { { a }^{ 2 }{ +b }^{ 2 }{ -a }^{ 2 } } \\ =\sqrt { { b }^{ 2 } } =2\)

b sin θ = a cos θ
\(b \sin\theta =b\times \frac { a }{ \sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } } } =\frac { a }{ \sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } } } \)
\(\sin\theta =b\times \frac { a }{ \sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } } } =\frac { a }{ \sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } } } \)
∴ b sin θ = a cos θ
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

பிதாகரஸ் தேற்றத்தின் படி,

2cos θ = \(\sqrt{3}\)


பிதாகரஸ் தேற்றத்தின் படி,
AB =\(\sqrt{AC^2-BC^2}\)
=\(\sqrt{2^2-(\sqrt3)^2}\)
=\(\sqrt{4^2-3^2}\) =\(\sqrt{1}\)=1

ΔABD யில், பிதாகரஸ் தேற்றப்படி,
AD = \(\sqrt{AB^2-BD^2}\)
      = \(\sqrt{13^2-5^2}\)
      = \(\sqrt{169-25}\)
      = \(\sqrt{144}\) = 12

ΔADC யில்
\(AC=\sqrt { { AD }^{ 2 }{ +DC }^{ 2 } } \)
\(=\sqrt { { 12 }^{ 2 }{ +16 }^{ 2 } } \)
\(=\sqrt { 144+256 } \)
\(=\sqrt { 400 } =20\)

 

பிதாகரஸ் தேற்றத்தின்படி,
\(AC=\sqrt { { AB }^{ 2 }-{ BC }^{ 2 } } \)
= \(\sqrt { { 3 }^{ 2 }+{ 2 }^{ 2 } } =\sqrt { 9+4 } =\sqrt { 13 } \)
AC = \(\sqrt { 13 } \)

கொடுக்கப்பட்டுள்ள செங்கோண முக்கோணம் PQR இல் கோணம் \(\theta \) விற்கு  எதிர்ப்பக்கம்  PR, அடுத்துள்ள பக்கம் PQ  ஆகும் .

 

முக்கோணவியல் விகிதங்களைப் பின்னங்களாவே குறிப்பிடலாம். தேவைப்பட்டால்  அவற்றைச் சுருக்கியும் எழுதலாம்.               

(i) \(\left( \frac { \cos47° }{ \sin43° } \right) ^{ 2 }\left( \frac { \sin72° }{ \cos18° } \right) ^{ 2 }-2{ \cos }^{ 2 }45°\)
\(=\left( \frac { \cos({ 90 }^{ \circ }-{ 43 }^{ \circ }) }{ { \sin43 }^{ \circ } } \right) +{ \left( \frac { \sin({ 90 }^{ \circ }-{ 18 }^{ \circ }) }{ { \cos18 }^{ \circ } } \right) }^{ 2 }-{ 2\cos }^{ 2 }{ 45 }^{ \circ }\)
\(={ \left( \frac { { \sin43 }^{ \circ } }{ { \sin43 }^{ \circ } } \right) }^{ 2 }{ +\left( \frac { { \cos18 }^{ \circ } }{ { \cos18 }^{ \circ } } \right) }^{ 2 }-{ 2\cos }^{ 2 }{ 45 }^{ \circ }\)
\({ (1) }^{ 2 }+{ (2) }^{ 2 }-2{ \left( \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \right) }^{ 2 }\)
1 + 1 - 2 x 1/2 = 2 - 1 = 1
(ii) \(\frac { \cos70° }{ \sin20° } +\frac { \cos59° }{ \sin31° } +\frac { \cos \theta }{ \sin\left( 90°-\theta \right) } -8{ \cos }^{ 2 }60°\)
\(\left( \frac { \cos({ 90 }^{ \circ }-{ 20 }^{ \circ }) }{ { \sin20 }^{ \circ } } \right) +{ \left( \frac { \sin({ 90 }^{ \circ }-{ 31 }^{ \circ }) }{ { \sin31 }^{ \circ } } \right) }^{ 2 }+\frac { \cos\theta }{ \cos\theta } -8\times { \left( \frac { 1 }{ 2 } \right) }^{ 2 }\)
\(\left( \frac { \sin { 20 }^{ \circ } }{ { \sin20 }^{ \circ } } \right) +{ \left( \frac { \sin({ 31 }^{ \circ }) }{ { \sin31 }^{ \circ } } \right) }+\frac { \cos\theta }{ \cos\theta } -8\times { \left( \frac { 1 }{ 4 } \right) }\)
1 + 1 + 1 - 2 = 3 - 2 = 1
(iii) tan15⁰ tan30⁰ tan45⁰ tan60⁰ tan75⁰  

(iv)  \(\frac { \cot\theta }{ \tan\left( 90°-\theta \right) } +\frac { \cos\left( 90°-\theta \right) \tan\theta \sec(90°-\theta ) }{ \sin\left( 90°-\theta \right) \cot\left( 90°-\theta \right) cosec(90°-\theta ) } \)