1) கொடுக்கப்பட்ட சுழலட்டையின் முள் இரட்டை எண் இடத்தில் நிலை கொள்வதற்கான நிகழ்தகவு என்ன?
2) கொடுக்கப்பட்ட சுழலட்டை பகா எண்ணில் நிலை கொள்ளாமல் இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு என்ன?

முயற்சிகளின் மொத்த எண்ணிக்கை n(S) =40
இலக்கு காப்பாளரால் தடுக்கப்படும் முயற்சிகள் n(A) =32
எதிரணியால் தடுக்க இயலாத முயற்சிகள் n(B) = 40 - 32 = 8
\(P(A)=\frac { n(A) }{ n(S) } =\frac { 8 }{ 40 } =\frac { 1 }{ 5 } \\ \)

ஒரு சீரான பகடையை உருட்டும்போது கிடைக்கும் கூறுவெளி  S ={1,2,3,4,5,6}
n(S) =6
இரட்டை எண் கிடைக்கும் நிகழ்ச்சி A என்க.
A={2,4,6}
n(A)=3
இரட்டை எண் கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவு \(P(A)=\frac { n(A) }{ n(S) } =\frac { 3 }{ 6 } =\frac { 1 }{ 2 } \)

D(x₁,y₁) E(x₂,y₂) மற்றும் F(x₃,y₃) என்பன DEF ன் முனைப்புள்ளிகள் என்க.
A B மற்றும் C என்பன DE, EF மற்றும் DF ன் நடுப்புள்ளி
\(\left( \frac { { x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 } }{ 2 } ,\frac { { y }_{ 1 }+{ y }_{ 2 } }{ 2 } \right) \)=(-3,6)
\(\frac { { x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 } }{ 2 } \)=-3 ⇒ x₁+x₂=-6  ....(1)
\(\frac { { x }_{ 2 }+{ x }_{ 3 } }{ 2 } \)=0 ⇒x₂+x₃=0   ..(2)
\(\frac { { x }_{ 3 }+{ x }_{ 1 } }{ 2 } \)=0 ⇒ x₃+x₁=2  ......(3)
கூட்ட நமக்கு கிடைப்பது 
\(2\left(x_1+x_2+x_3\right)=-4 \)
\(x_1+x_2+x_3=-2 \)
\(x_1+0=-2 \)
\(\therefore x_1=-2 \)
\(\frac { { y }_{ 1 }+{ y }_{ 2 } }{ 2 } \)=6 ⇒ y₁+y₂=12...(5)
\(\frac { { y }_{ 2 }+{ y }_{ 3 } }{ 2 } \)=7 ⇒ y₂+y₃=14   .....(6)
\(\frac { { y }_{ 3 }+{ y }_{ 1 } }{ 2 } \)=9 ⇒ y₃+y₁=18   .....(7)

இணைக்கரத்தில் மூலைவிட்டங்களின் நடுப்புள்ளிகள் சமம், இதை நிரூபிக்க பின்வருமாறு காண்போம் .
​​​​​​​
AC யின் நடுப்புள்ளி =BD யின் நடுப்புள்ளி
∴ ABCD ஓர் இணைகரம்.

\(\frac { -7 }{ 11 } \) மற்றும் \(\frac { 2 }{ 11 } \)என்ற எண்களுக்கிடையே உள்ள மூன்று விகிதமுறு எண்கள் 
\(\cfrac { -6 }{ 11 } ,\cfrac { -5 }{ 11 } ,\cfrac { -4 }{ 11 } ............................\cfrac { 1 }{ 11 } \)

\(\frac { 1 }{ 4 } \)  = 0.25 மற்றும் \(\frac { 1 }{ 3 } \) =0.3333....=\(0.\bar { 3 } \).
0.25 இக்கும் மற்றும்  \(0.\bar { 3 } \) இக்குமிடையே எண்ணற்ற விகிதமுறா எண்கள் உள்ளன
0.25 இக்கும் மற்றும் \(0.\bar { 3 } \) இக்குமிடையே உள்ள 4 விகிதமுறா எண்கள்
0.2601001000100001…..
0.2701001000100001…..
0.2801001000100001…..
0.3101001000100001…..

x²+4y²+9z²-4xy+12yz-6xz
=(-x)²+(2y)²+(3z)²+2(-x)(2y)+2(2y)(3z)+2(3z)(-x)
=(-x+2y+3z)² (அல்லது)(x-2y-3z)²

p(x) = x³ - 3x² - mx + 24 என்க.
காரணி தேற்றத்தின்படி
(x + 3) ஆனது P(x), ன் காரணி எனில். P(-3) = 0 ஆகும்.
p(-3) = (-3)³ - 3 (-3)² - m(-3) + 24 = 0
\(\Rightarrow\) -27 - 3 \(\times\) 9 + 3m + 24 = 0
\(\Rightarrow\) -27 - 27 + 3m + 24 = 0
\(\Rightarrow\)  3m = 54 - 24
\(\Rightarrow\) m = \(\frac{30}{3}\) = 10

n(A) =m எனில் n(P(A))=2^m
n(A) =0 எனில் n(P(A))=2⁰
=1

கணம்

\(h(x)=a x+b, a \neq 0, a, b \in \mathbb{R} \)
\(h(x) =a x+b \)
\(a x =-b \)
\(x =\frac{-b}{a} \)
\(h\left(\frac{-b}{a}\right) =a \times \frac{-b}{a}+b =0 \)
எனவே \(h\left(\frac{-b}{a}\right)\),x =\(\frac { -b }{ a } \) என்பது h(x) ன் பூச்சியமாகும்

சரிவகம் அல்ல

கொடுக்கப்பட்டுள்ள புள்ளிகளை இணைத்தால், y அச்சின் மீது அமைந்துள்ள நேர்கோடு கிடைக்கிறது.

P={m, n} மற்றும் Q= {m, i, j}

வென் படத்தில் இருந்து
P∪Q={n, m, i, j}.

(x⁰ - 20)⁰ + 60⁰ = 180⁰
x⁰ - 20⁰ + 60⁰ = 180⁰
x⁰ + 40⁰ = 180⁰
x⁰ = 180⁰ - 40⁰
x⁰ = 140⁰

x -ஆயத்தொலை குறை மதிப்பு மற்றும் y – ஆயத்தொலை மிகை மதிப்பு. எனவே , (–7,3) என்ற புள்ளி II ஆவது காற்பகுதியில் அமையும்

POQ ஒரு செங்கோண முக்கோணம், அதன் செங்கோணம் ஆதிப்புள்ளி O இல் அமைந்துள்ளது. இங்கு OQ=a அலகுகள் மற்றும் OP ஆனது b அலகுகள் என்க. P, Q இன் ஆயத்தொலைவுகள் முறையே (0, b)  மற்றும் (a, 0) இன் எனப் பெயரிடுக.
நடுப்புள்ளி சூத்திரத்தின்படி, கர்ணம்  PQ இன் நடுப்புள்ளி M எனில [PM=MQ] , M ஆனது

\(\left( \frac { a+0 }{ 2 } ,\frac { b+0 }{ 2 } \right) =\left( \frac { a }{ 2 } ,\frac { b }{ 2 } \right) \)
தொலைவு சூத்திரத்தை பயன்படுத்த நாம் காண்பது
OM =\(\sqrt { { \left( \frac { a }{ 2 } -0 \right) }^{ 2 }+{ \left( \frac { b }{ 2 } -0 \right) }^{ 2 } } =\sqrt { \frac { { a }^{ 2 } }{ 4 } +\frac { { b }^{ 2 } }{ 4 } } \) இந்த மதிப்பானது 
QM = \(\sqrt { { \left( a-\frac { a }{ 2 } \right) }^{ 2 }+{ \left( 0-\frac { b }{ 2 } \right) }^{ 2 } } =\sqrt { \frac { { a }^{ 2 } }{ 4 } +\frac { { b }^{ 2 } }{ 4 } } \)என்பதற்குச் சமமாகிறது. மேலும் இதேபோல்,
PM=\(\sqrt { \frac { { a }^{ 2 } }{ 4 } +\frac { { b }^{ 2 } }{ 4 } } \)
இதிலிருந்து OM=QM =PM, எனக் காண்கிறோம். இதுவே நாம் நிறுவ வேண்டியதாகும்.

A = {-2, 0, 1, 3, 5}, B = {-1, 0, 2, 5, 6}
C = {-1, 2, 5, 6, 7}
BUC = {-1, 0, 2, 5, 6, 7}
A - (BUC) = {-2, 1, 3}                ....(1)
(A - B) = {-2, 1, 3}
(A - C) = {-2, 0, 1, 3}
(A - B) \(\cap\) (A - C) = {-2, 1, 3}      ....(2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து
A−(B∪C) = ( A - B)⋂(A-C) என நிரூபிக்கப்பட்டது.

a²+b²+c²-ab-bc-ca=\({2[a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca]\over 2}\) (2 ஆல் பெருக்கி 2ஆல் வகுக்க)
\(={1\over2}[2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca]\)
\(={1\over2}[(a^2+b^2-2ab)+(b^2+c^2-2bc)+(c^2+a^2-2ca)]\)
\(={1\over2}[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]\)
\(\therefore a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca={1\over2}[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]\) என நிரூபிக்கப்பட்டது.

ஈவு : x²+7x–3
 மீதி : 0

n(AUB) = n(A) + n(B) - n(A\(\cap \)B) கொடுக்கப்பட்டுள்ளது
\(\Rightarrow\) n(AUB) = 500                                                   ....(1)
n(A) = 400
n(B) = 200
n(A\(\cap \)B) = 50
\(\therefore\) n(A) + n(B) - n(A\(\cap \)B) = 400 + 200 - 50 = 550    ....(2)
(1) \(\neq\) (2)
கொடுக்கப்பட்டுள்ள தகவல் தவறானது.

 x  =\(3.\overline { 17 } \)= 3.1777         ..என்க 
    100x =   317.777 .....
(-)  10x =      31.777 ....
\(\overline { \underline { 90x=\quad 286.000..... } } \) 
90x = 286
x  = \(\frac { 286 }{ 90 } =\frac { 143 }{ 45 } \) 
\(3.\overline { 17 } \)=.\(\frac { 143 }{ 45 } \)

தொலைவு வாய்பாட்டின் படி
\(AB=\sqrt { \left( 6-3 \right) ^{ 2 }+\left( 4-1 \right) ^{ 2 } } =\sqrt { 9+9 } =\sqrt { 18 } =3\sqrt { 2 } \)
\(BC=\sqrt { \left( 8-6 \right) ^{ 2 }+\left( 6-4 \right) ^{ 2 } } =\sqrt { 4+4 } =\sqrt { 8 } =2\sqrt { 2 } \)
\(AC=\sqrt { \left( 8-3 \right) ^{ 2 }+\left( 6-1 \right) ^{ 2 } } =\sqrt { 25+25 } =\sqrt { 50 } =5\sqrt { 2 } \)
\(AB+BC=3\sqrt { 2 } +3\sqrt { 2 } =5\sqrt { 2 } =AC\)
ஆகவே , தரப்பட்டுள்ள புள்ளிகள் ஒரே நேர்க்கோட்டில் அமைகின்றன.

\(\begin{aligned} \angle 1 & =140^{\circ} \end{aligned}\) (\(\therefore\) ஒத்த கோணங்கள் சமம்)
\(\begin{aligned} \angle 2 & =40^{\circ} \quad\left(\therefore \angle 1+\angle 2=180^{\circ}\right) \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \angle 3 & =30^{\circ} \quad\left(\therefore \angle 3+150=180^{\circ}\right) \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \angle 4 & =110^{\circ}\left(\therefore \angle 2+\angle 3+\angle 4=180^{\circ}\right) \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \therefore \angle x & =70^{\circ} \quad\left(\therefore \angle 4+\angle x=180^{\circ}\right) \end{aligned}\)

(ii) படத்திலிருந்து
\(\angle\)1 = 48° 
\(\angle\)3 = 108° (\(\angle\)1 + 24° + \(\angle\)3 = 180°)
\(\angle\)4 = 108° (இரு கோடுகள் ஒன்றையொன்று வெட்டிக்கொண்டால் உண்டாகும் குத்தெதிர்க் கோணங்கள் சமம்) 
\(\angle\)5 = 72° (\(\because\) \(\angle\)3 + \(\angle\)5 = 180°)
\(\therefore\) \(\angle\)3 + \(\angle\)4 + \(\angle\)5 = 108° + 108° + 72°
x = 288°

(iii) படத்திலிருந்து

முக்கோணத்தின் மூன்று கோணங்களின் கூடுதல்=180°
\(\angle\)x = 180° - (38° + 53°) = 180° - 91° = 89°

பகடை சீரானதாக இருக்கும் பொழுது விளைவுகள் சமவாய்ப்பு உடையனவாக இருக்கின்றன.

நிகழ்தகவின் மதிப்பு இடைவெளி 0 மற்றும் 1

P (A) + P (A)′ = 1

நிகழ்தகவின் மதிப்பு இடைவெளி 0 மற்றும் 1

இரண்டும் இணைகோடுகள் 

\(\left(\frac{m a _2+n a _1}{m+n}, \frac{m b _2+n b _1}{m+n}\right) =(x ,0) \)
\(\frac{m b _2+n b _1}{m+n} = 0\)
\(\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_1}{2}\right)\) = (x, 0)
\(\Rightarrow m b_2+n b_1 =0 \)
\(\Rightarrow \frac{m}{n}=-\frac{b_1}{b_2}\)

\(\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_1}{2}\right)\) நடுப்புள்ளி
\(\Rightarrow \left(\frac{x_1+3}{2}, \frac{y_1+4}{2}\right) =(-3,2) \)
\(\frac{x_1+3}{2} = -3\)
x + 3 = -6
x = 9
\(\frac{y_1+4}{2} = 2\)
y + 4 = 4
y = 0
\(\Rightarrow x_1 =-9 ; y_1=0 \)

எ.கா 3 மற்றும் 5
3 = 3 x 1; 5 = 5 x 1
GCD = 1

(a+b−c)² = [- (-a-b+c)]² = (-1)² (-a-b+c)² = (-a-b+c)²

OR = \( \sqrt{17^2-15^ 2} = \sqrt{289-225} = \sqrt{64} = 8\) செமீ
RS = 17 - 8 செமீ = 9 செமீ

40 + 35 + 20 + x = 100%
95 % + x = 100%
x = 5%

(9^x)^1/2 = (9²)^1/2
= 9^x/2 = 9^2/3
= x/2 = 2/3
= 3x = 4
x = 4/3

\(\left(\because \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{2 \sqrt{6}}{6}=\frac{\sqrt{6}}{3}\right)\)

\((\because \sqrt{27}+\sqrt{12}=\sqrt{3 \times 9}+\sqrt{3 \times 4} \)
\(=\sqrt{3 \times 3^2}+\sqrt{3 \times 2^2} \)
\(=3 \sqrt{3}+2 \sqrt{3}=5 \sqrt{3}) \)

x ஆனது 0 மற்றும் y ஆனது + ve 

(A) = 35
n(B) = 20
n (A U B)=50
இரண்டு விளையாட்டையும் விளையாடுபவர்களின் எண்ணிக்கை
n(A ∩ B)=n(A)+n(B)-n(A U B)= 35 + 20 - 50 = 5

ஒரு இணைகரத்தின் எதிர்பக்கங்கள் சமம். இணை ஆனால் உட்கோணங்கள் 90^o அல்ல. அது 90^o இருப்பின் அது ஒரு செவ்வகம்.

∆AOB ≡ ∆COD
∆AOD ≡ ∆BOC
∆DOA ≡ ∆DOC
∆AOB ≡ ∆BOC
∆AOB ≡ ∆AOD
∆BOC ≡ ∆DOC

நூற்றுக்கு நூறு பெற்ற மாணவர்கள்  = 1184 ஆகவே  n  = 1184
(i) E₁ என்பது கணிதத்தில் நூற்றுக்கு நூறு பெற்ற மாணவர்கள் உள்ள நிகழ்ச்சி என்க.
ஆகையால் n(E₁)  = 233, அதாவது  r₁ = 233
P(E₁) = \(\frac { { r }_{ 1 } }{ n } =\frac { 233 }{ 1184 } \)
(ii) E₂ என்பது அறிவியலில் நூற்றுக்கு நூறு பெற்ற மாணவர்கள் உள்ள நிகழ்ச்சி என்க.
ஆகையால்  n(E₂ ) = 1069 , அதாவது , r₂ = 106
P(E₂) = \(\frac { { r }_{ 2 } }{ n } =\frac { 106 }{ 1184 } \)
ஆகவே அறிவியலில் நூற்றுக்கு நூறு பெறாதவராக இருக்க  நிகழ்தகவு
 P(E'₂) = 1 - P(E₂)
= 1 - \(\frac { 106 }{ 1184 } \) = \(\frac { 1078 }{ 1184 } \)

\(n(\cup )\)
\(n(A)=\cfrac { 3 }{ 8 } \times 800=300\)
\(n(B)=\cfrac { 1 }{ 5 } \times 800=160\)
\(n(C)=\cfrac { 1 }{ 2 } \times 800=400\)
\(n(A\cap B)=70:n(B\cap C)=55;n(C\cap A)=60\)
\(n(A\cap B\cap C)=\cfrac { 1 }{ 40 } \times 800=20\)
(i) இரண்டு வகை சோப்புகளை மட்டும் பயன்படுத்துவர்களின் எண்ணிக்கை, = 50+35+40=125
(ii)  குறைந்தது ஒரு வகை சோப்பையாவது பயன்படுத்துவர்களின் எண்ணிக்கை = 190+5055+40+20+35+305=695
(iii)  மூன்று வகை சோப்புகளில் எந்த ஒரு சோப்பையும் பயன்படுத்தாதவர்களின் எண்ணிக்கை ஆகியவற்றைக் காண்க. =800-695=105

(i) 98³ = (100 - 2)³
(a - b)³ \(\equiv\) a³ - 3a² b + 3ab² - b³
98³ = (100 - 2)³ = 100³ - 3 \(\times\) 100² \(\times\) 2 + 3 \(\times\)100 \(\times\) 2² - 2³
= 1000000 - 3 \(\times\) 10000 \(\times\)2 + 300 \(\times\) 4 - 8
= 1000000 - 60000 + 1200 - 8 = 1001200 - 60008 = 941192
(ii) 1001³ = (1000 + 1)³
(a + b)³ \(\equiv\) a³ + 3a²b + 3ab² + b³
(1000 + 1)³ = 1000³ + 3(1000²) \(\times\)1 +3 \(\times\)1000 \(\times\) 1² + 1³
= 1000,000,000 + 3,000,000 + 3000 + 1 = 1,003,003,001

(i) A(3,–2), B (7,6),C (–1,2) மற்றும் D (–5, –6) என்பன கொடுக்கப்பட்டுள்ள புள்ளிகள் 

தொலைவு d = \(\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\)
தொலைவு AB = \(\sqrt{(7-3)^2+(6-(-2))^2}\)
= \(\sqrt{4^2+(6+2)^2}=\sqrt{4^2+8^2}=\sqrt{16+64}=\sqrt{80} = 4\sqrt{5}\) அலகுகள் 
தொலைவு BC = \(\sqrt{(-1-7)^2+(2-6)^2}\)
= \(\sqrt{(-8)^2+(-4)^2}=\sqrt{64+16}=\sqrt{80} = 4\sqrt{5}\) அலகுகள் 
தொலைவு CD = \(\sqrt{(-5-(-1))^2+(-6-2)^2}\)
= \(\sqrt{(-5+1)^2+(-8)^2}=\sqrt{(-4)^2+(-8)^2}=\sqrt{16+64}=\sqrt{80}= 4\sqrt{5}\) அலகுகள் 
தொலைவு AD = \(\sqrt{(-5-3)^2+(-6(-2))^2}\)
= \(\sqrt{(-8)^2+(-6+2)^2}=\sqrt{(-8)^2+(-4)^2}=\sqrt{64+16}=\sqrt{80}= 4\sqrt{5}\)அலகுகள் 
தொலைவு AC = \(\sqrt{(-1-3)^2+(2-(-2))^2}\)
= \(\sqrt{(-4)^2+(2+2)^2}=\sqrt{(-4)^2+4^2}=\sqrt{16+16}=\sqrt{32}\)அலகுகள் 
நான்கு பக்கங்கள் சமம் மூலைவிட்டங்கள் சமமல்ல.
தொலைவு BD = \(\sqrt{(-5-7)^2+(-6-6)^2}\)
= \(\sqrt{(-12)^2+(-12)^2}=\sqrt{144+144}=\sqrt{288}\)அலகுகள் 
AB = BC = CD = AD அனைத்து பக்கங்களும் சமம்.
AC \(\ne \) BD மூலைவிட்டங்கள் சமமல்ல.
எனவே, கொடுக்கப்பட்டுள்ள புள்ளிகள் சாய்சதுரத்தை அமைக்கும்.
(ii) A (1,1), B(2,1),C (2,2) மற்றும் D(1,2) என்பன கொடுக்கப்பட்டுள்ள புள்ளிகள் 

தொலைவு d = \(\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\)
தொலைவு AB = \(\sqrt{(2-1)^2+(1-1)^2}=\sqrt{1^2+0^2}=\sqrt{1}=1\) அலகு 
தொலைவு BC = \(\sqrt{(2-2)^2+(2-1)^2}=\sqrt{0^2+1^2}=\sqrt{1}=1\)அலகு
தொலைவு CD = \(\sqrt{(1-2)^2+(2-2)^2}=\sqrt{(-1)^2+0^2}=\sqrt{1}=1\)அலகு
​​​​​​​தொலைவு AD = \(\sqrt{(1-1)+(2-1)^2}=\sqrt{0^2+1^2}=\sqrt{1}=1\)அலகு
​​​​​​​தொலைவு AC = \(\sqrt{(2-1)^2+(2-1)^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}\) அலகு
​​​​​​​தொலைவு BD = \(\sqrt{(1-2)^2+(2-1)^2}=\sqrt{(-1)^2+1^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}\) அலகு
AB = BC = CD = DA = 1 அலகு மற்றும் விட்டங்கள் சமம்.
AC = BD மூலைவிட்டங்கள் சமம்.
எனவே கொடுக்கப்பட்டுள்ள புள்ளிகள் ஒரு சாய்சதுரத்தை அமைக்காது இது ஒரு சதுரம்.

படி 1:
கொடுக்கப்பட்டுள்ள அளவிற்கு ΔABC வரைக.
படி 2:
எவையேனும் இரண்டு பக்கங்களுக்கு (AC மற்றும் BC) மையக் குத்துக்கோடுகள் வரைக. அவை வெட்டிக் கொள்ளும் புள்ளி S, சுற்று வட்ட மையம் ஆகும்.
படி 3:
Sஐ மையமாகவும், SA = SB = SC ஐ ஆரமாகவும் கொண்டு A, B, மற்றும் C வழியே செல்லும் ஒரு சுற்று வட்டம் வரைக.
சுற்று வட்ட ஆரம் = 3.9 செமீ.

\(3.4\bar { 5 } \) = 3.45454545...
 = 3.4545 ((4 தசம இடத் திருத்தமாக)
இது 3 மற்றும் 4 என்ற எண்களுக்கு இடையில் அமையும்