நூற்றுக்கு நூறு பெற்ற மாணவர்கள்  = 1184 ஆகவே  n  = 1184
(i) E₁ என்பது கணிதத்தில் நூற்றுக்கு நூறு பெற்ற மாணவர்கள் உள்ள நிகழ்ச்சி என்க.
ஆகையால் n(E₁)  = 233, அதாவது  r₁ = 233
P(E₁) = \(\frac { { r }_{ 1 } }{ n } =\frac { 233 }{ 1184 } \)
(ii) E₂ என்பது அறிவியலில் நூற்றுக்கு நூறு பெற்ற மாணவர்கள் உள்ள நிகழ்ச்சி என்க.
ஆகையால்  n(E₂ ) = 1069 , அதாவது , r₂ = 106
P(E₂) = \(\frac { { r }_{ 2 } }{ n } =\frac { 106 }{ 1184 } \)
ஆகவே அறிவியலில் நூற்றுக்கு நூறு பெறாதவராக இருக்க  நிகழ்தகவு
 P(E'₂) = 1 - P(E₂)
= 1 - \(\frac { 106 }{ 1184 } \) = \(\frac { 1078 }{ 1184 } \)

(i) தமிழ் செய்தித்தாள் வாங்குபவர்கள் n(A) = 275
ஆங்கில செய்தித்தாள் வாங்குபவர்கள் n(B) = 150
ஹிந்தி செய்தித்தாள் வாங்குபவர்கள் n(C) = 45
தமிழ் மற்றும் ஆங்கிலம் செய்தித்தாள் வாங்குபவர்கள் n(A\(\cap\)B) = 125
ஆங்கிலம் மற்றும் ஹிந்தி செய்தித்தாள் வாங்குபவர்கள் n(B \(\cap\) C) = 17
தமிழ் மற்றும் ஹிந்தி செய்தித்தாள் வாங்குபவர்கள் n(C \(\cap\)A) = 5
மூன்று செய்தித்தாள் வாங்குபவர்கள் n(A\(\cap\)B\(\cap\)C) = 3
(i) ஒரு செய்தித்தாளை மட்டும் வாங்கும் குடும்பங்களின் எண்ணிக்கை
= 148+11+ 26 = 185
(ii) குறைந்தது இரண்டு செய்தித் தாள்களை வாங்கும் குடும்பங்களின் எண்ணிக்கை
= 122 + 14 + 2 + 3 + 141
(iii) குடியிருப்பில் உள்ள மொத்தக் குடும்பங்களின் எண்ணிக்கை
= 148 + 11 + 26 + 122 + 14 + 2 + 3 = 326

\(3.4\bar { 5 } \) = 3.45454545...
 = 3.4545 ((4 தசம இடத் திருத்தமாக)
இது 3 மற்றும் 4 என்ற எண்களுக்கு இடையில் அமையும்

AB மற்றும் DC இன் நடுப்புள்ளிகள் முறையே P மற்றும் Q என்க.
ஆகவே  \(AP=\frac{1}{2}AB\) மற்றும்
\(QC=\frac{1}{2}DC\)  ...(1)
ஆனால், AB = DC (இணைகரத்தின் எதிர்ப் பக்கங்கள் சமம்)
\(\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}DC\)
AP = QC ....(2)
மேலும், AB || DC
AP || QC .....(3) [∵  ABCD ஓர் இணைகரமாகும்]
எனவே, நாற்கரம் APCQ இல் AP || QC மற்றும் AP = QC [ (2) மற்றும் (3) இல் இருந்து]
ஃ  நாற்கரம் APCQ ஓர் இணைகரமாகும்.

A = (7, 10), B = (–2, 5), C = (3,–4)
\(AB=\sqrt { \left( { x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 } \right) ^{ 2 }+\left( y_{ 2 }-y_{ 1 } \right) ^{ 2 } } \)
\(=\sqrt { \left( -2-7 \right) ^{ 2 }+\left( 5-10 \right) ^{ 2 } } \)
\(=\sqrt { \left( -9 \right) ^{ 2 }+\left( -5 \right) ^{ 2 } } \)
\(=\sqrt { \left( 81+25 \right) } \)
\(=\sqrt { 106 } \)
\(A{ B }^{ 2 }=106\)......1
\(BC=\sqrt { \left( { x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 } \right) ^{ 2 }+\left( y_{ 2 }-y_{ 1 } \right) ^{ 2 } } \)
\(=\sqrt { \left( 3-\left( -2 \right) \right) ^{ 2 }+\left( -4-5 \right) ^{ 2 } } \)
\(=\sqrt { \left( 5 \right) ^{ 2 }+\left( -9 \right) ^{ 2 } } \)
\(=\sqrt { \left( 81+25 \right) } \)
\(=\sqrt { 106 } \)
\({ BC }^{ 2 }=106\)   ......(2)
\(BC=\sqrt { \left( { x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 } \right) ^{ 2 }+\left( y_{ 2 }-y_{ 1 } \right) ^{ 2 } } \)
\(=\sqrt { \left( 3-7 \right) ^{ 2 }+\left( -4-10 \right) ^{ 2 } } \)
\(=\sqrt { \left( -4 \right) ^{ 2 }+\left( -14 \right) ^{ 2 } } \)
\(=\sqrt { \left( 16+196 \right) } \)
\(=\sqrt { 212 } \)
\({ AC }^{ 2 }=212\).....(3)
(1),(2) மற்றும் (3) இல் இருந்து
AB² + BC² = 106 + 106 = 212 = AC²
அதாவது AB² + BC² = AC² 
ஆகவே தரப்பட்டுள்ள புள்ளிகள் உச்சி  B இல் செங்கோணத்தைக் கொண்ட செங்கோண ΔABC ஐ அமைக்கும்.

(4x – 5), மற்றும் (2x² + 3x – 6) ஐப் பெருக்குவதற்கு, முதல் பல்லுறுப்புக்கோவையின் ஒவ்வோர் உறுப்பையும் இரண்டாவது பல்லுறுப்புக் கோவையின் ஒவ்வோர் உறுப்புடன் பகிர்ந்து பெருக்குதல் வேண்டும். இந்த எடுத்துக்காட்டில் நாம் 4x மற்றும் –5 ஐப் பகிர வேண்டியது தேவையாகிறது. பிறகு ஒத்த உறுப்புகளை இணைக்க வேண்டும்.

=8x³+12x²-24x+10x²-15x+30
= 8x³ +2x²–39x +30
மாற்றுமுறையாக கெழுக்களைப் பிரித்துப் பெருக்கும் முறையைப் பயன்படுத்தலாம்
   2 +3 -6
      +4 -5
-----------------------
     –10 –15 +30
8   +12 –24
-------------------------
8    +2 –39 +30
-------------------------
∴  (4x –5) (2x²+3x–6) = 8x³ + 2x² – 39x + 30

P (A) + P (A)′ = 1

நிகழ்தகவின் மதிப்பு இடைவெளி 0 மற்றும் 1

\(\frac { { a }_{ 1 } }{ { a }_{ 2 } } \neq \frac { { b }_{ 1 } }{ { b }_{ 2 } } \) ; ஒரே தீர்வு 

2x − y = 6
2(4) - 2 = 8 - 2 = 6 = RHS 

\(\left(\frac{m x_2+n x_1}{m+n}, \frac{m y_2+n y_1}{m+n}\right)\) பிரிவுச் சூத்திரப்படி 
x அச்சுத் தொலைவு = 0
\(\frac{\mathrm{m}(2)+(-5) \mathrm{n}}{\mathrm{m}+\mathrm{n}} =0 \)
\(\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{n}} =\frac{5}{2} \)
\(\mathrm{~m}: \mathrm{n} =5: 2 \)
BD ன் நடுப்புள்ளி (3, 4) 

(a+b−c)² = [- (-a-b+c)]² = (-1)² (-a-b+c)² = (-a-b+c)²

x³+y³ ≡ (x+y)(x²−xy+y²)

4x + 2x = 180^o
6x = 180^o
x = 30^o

\((\because \sqrt{27}+\sqrt{12}=\sqrt{3 \times 9}+\sqrt{3 \times 4} \)
\(=\sqrt{3 \times 3^2}+\sqrt{3 \times 2^2} \)
\(=3 \sqrt{3}+2 \sqrt{3}=5 \sqrt{3}) \)

(i) \(\sqrt{8\over 18} =\sqrt{4\over 9} = 2/3\) ஒரு விகிதமுறு எண் 
(2) 7/3 ஒரு விகிதமுறு எண் 
(3) \( \sqrt{0.01} = \sqrt{1\over 100} = 1/10\) ஒரு விகிதமுறு எண் 
(4) \( \sqrt{13}\) ஒரு விகிதமுறா எண் 
(∵ முடியுறா சூழல் தன்மைக்கொண்டது)

(2)² = 4 மற்றும் (2.5)² = 6.25 = 4 மற்றும் 6.25 - க்கு இடையே 5 சாய்கிறது. 2 மற்றும் 2.5 - க்கு \(\sqrt { 5 } \) இடையே  சாய்கிறது

Δன் கோணங்களின் கூடுதல் = 180°
3x - 40 + x + 20+ 2x - 10 = 180°
6x - 30 = 180°
6x = 210°
x = 210/3
x  = 35°

நாற்கரத்தில் 
\(\angle \mathrm{A}+\angle \mathrm{B}+\angle \mathrm{C}+\angle \mathrm{D}=360\)
இருபக்கமும்  2-ஆல் வகுக்க.
\(\frac{\angle \mathrm{A}}{2}+\frac{\angle \mathrm{B}}{2}+\frac{\angle \mathrm{C}}{2}+\frac{\angle \mathrm{D}}{2}=180 \) 
\(\frac{\angle \mathrm{A}}{2}+\frac{\angle \mathrm{B}}{2} \rightarrow 180-\frac{\angle \mathrm{C}}{2}-\frac{\angle \mathrm{D}}{2} \ldots \text { (1) } \)
\(\triangle \mathrm{AOB}-\) ல் 
\(\angle \mathrm{AOB}+\frac{\angle \mathrm{A}}{2}+\frac{\angle \mathrm{B}}{2}=180 \text { ( } \triangle\) ன் மூன்று கோணங்களில் கூடுதல் = 180^o )
\(\angle \mathrm{AOB} =180-\left(\frac{\angle \mathrm{A}}{2}+\frac{\angle \mathrm{B}}{2}\right) \)
\(=180-\left(180^{\circ}-\frac{\angle \mathrm{C}}{2}-\frac{\angle \mathrm{D}}{2}\right) \) (1) லிருந்து 
\(=\not {180^{\circ}}-\not {180^{\circ}}+\frac{\angle \mathrm{C}}{2}+\frac{\angle \mathrm{D}}{2}\)
நிறுவப்பட்டது 
\(=\frac{1}{2}(\angle \mathrm{C}+\angle \mathrm{D})\)

AC இணைக்கவும் 
\(\triangle \mathrm{ACD},\) ல் \(\angle \mathrm{D}=42^{\circ}\)
\(\therefore \angle \mathrm{DAC}+\angle \mathrm{ACD}=138^{\circ}(180-42) \)
\(\therefore \angle \mathrm{DAC}=\angle \mathrm{ACD}=69^{\circ} \)
(எதிர்பக்கம் சமம் கோணங்கள் சமம்)
\(\triangle \mathrm{ABC} \) ல் \( \angle \mathrm{B}=108^{\circ} \)
\(\therefore \angle \mathrm{BAC}+\angle \mathrm{BCA}=72^{\circ}(180-108) \)
\(\therefore \angle \mathrm{BAC}=\angle \mathrm{BCA}=36^{\circ}\)
(எதிர்பக்கம் சமம் கோணங்கள் சமம்)
\(\angle \mathrm{BCD}=\angle \mathrm{BCA}+\angle \mathrm{ACD} \)
\(=36^{\circ}+69^{\circ}=105^{\circ}\)

சுழலட்டை முள்ளின் மொத்த நிலைகள் n(S) = 8
சுழலட்டை முள் 3ன் மடங்குகளில் நிற்பது (A) = {3, 6}
சுழலட்டை முள் 3ன் மடங்கு அல்லாத 3 இடங்களில் நிலை கொள்வது B = {1, 2, 3,4,5,6, 7, 8}
n(B) = 6
\(P(B )=\frac { n(B) }{ n(S) } =\frac { 6 }{ 8 } =\frac { 3 }{ 4 } \)

LED விளக்குகளின் மொத்த எண்ணிக்கை n(S) =7000
குறைபாடுடைய விலங்குகளின் எண்ணிக்கை n(A) = 25
S = மொத்த விளக்குகளின் எண்ணிக்கை 
A = பழுதமுடைய விளக்குகள் 
ஒரு விளக்கைத் தேர்ந்தெடுக்கும் போது அது குறைபாடுடையதாக இருக்க நிகழ்தகவு \(P(A)=\frac { n(A) }{ n(S) } =\frac { 25 }{ 7000 } =\frac { 1 }{ 280 } \\ \)

இரு பகடைகள் உருட்டப்படும் பொழுது கிடைக்கும் கூறுவெளி
S ={(1,1), (1, 2), (1,3), (1, 4), (1, 5), (1,6)
(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6)
(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3,5), (3, 6)
(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6)
(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)
(6, 1), (6, 2), (6, 3),(6, 4), (6, 5), (6, 6)}
n(S)=36
i) முக எண்களின் கூடுதல் 1க்கு சமமாக இருக்கும் நிகழ்ச்சி A என்க.
A ={ }
n(A) = 0
\(P(A)=\frac { n(A) }{ n(S) } =\frac { 0 }{ 36 } =0\)
ii) முக எண்களின் கூடுதல் 4க்கு சமமாக இருக்கும் நிகழ்ச்சி B என்க.
B = {(1, 3), (2, 2), (3, 1)}
n(B) = 3
\(P(B)=\frac { n(B) }{ n(S) } =\frac { 3 }{ 36 } =\frac { 1 }{ 12 } \\ \)
iii) முகஎண்களின் கூடுதல் 13ஐ விடச் சிறிதாக இருக்கும் நிகழ்ச்சி C என்க.
C = {(1,1), (1, 2), (1,3), (1, 4), (1, 5), (1,6)
(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6)
(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3,5), (3, 6)
(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6)
(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)
(6, 1), (6, 2), (6, 3),(6, 4), (6, 5), (6, 6)}
n(C) = 36
\(P(C)=\frac { n(C) }{ n(S) } =\frac { 36 }{ 36 } =1\)

\(\overline {AB} = \sqrt {(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\)
= \( \sqrt{(9-7)^2+(-3-(-5))^2}\)
\(=\sqrt {2^2 + (-3 + 5)^2} = \sqrt{4+4}\)
\(=\sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2}\)
\(\overline{BC}\)= \( \sqrt{(13-7)^2+(1-(-5))^2}\)
\(=\sqrt {4^2 +4^2} = \sqrt{16+16}\)
\(=\sqrt{32} = \sqrt{2 \times 16} = 4\sqrt{2}\)
\(\overline{BC}\)= \( \sqrt{(13-7)^2+(1-(-5))^2}\)
\(=\sqrt {6^2 +6^2} = \sqrt{36+36}\)
\(=\sqrt{72} = \sqrt{2 \times 36} = 6\sqrt{2}\)
\(2 \sqrt{2}, 4\sqrt{2}, 6\sqrt{2}\)
AB + BC = AC இங்கு B ஆனது பொதுப்புள்ளி 
A, B, C ஒரே கோட்டில் அமையும் 

எனவே மூன்று புள்ளிகளும் ஒரே நேர்க்கோட்டில் அமையும்

ABC என்பது இருசமபக்க செங்கோண முக்கோணம் 
D(x, y) என்பது  ஒரு புள்ளி மேலும் ABCD ஒரு சதுரம் மூலைவிட்டங்கள் AC மற்றும் BD ம் M ல் இருசமக் கூறிடும்.
AC நடுப்புள்ளி \(\left( \frac { { x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 } }{ 2 } ,\frac { { y }_{ 1 }+{ y }_{ 2 } }{ 2 } \right) \)
\(\left( \frac { -5+5 }{ 2 } ,\frac { 4+2 }{ 2 } \right) \)
\(\left( \frac { 0 }{ 2 } ,\frac { 6 }{ 2 } \right) = (0,3)\)
M என்பது BD ன் நடுப்புள்ளி ஆகும் 
\([\frac { -1+x }{ 2 } , \frac { -2+y }{ 2 } ] = (0,3)\)
\(\frac { -1+x }{ 2 }= 0 ⇒ x = 1\)
\( \frac { -2+y }{ 2 } = 0 ⇒ y = 8\)
D யின் ஆயத்தொலைவுகள் (1,8)

கொடுக்கப்பட்டுள்ள சமன்பாடு 3(x+1)=3(5-x)-2(5+x)
x=1/4 என பிரதியிட,
3(x+1)=3(5-x)-2(5+x)
3(1/4+1)=3(5-1/4)-2(5+1/4)
\(3\left( \frac { 1+4 }{ 4 } \right) =3\left( \frac { 20-1 }{ 4 } \right) -2\left( \frac { 20+1 }{ 4 } \right) \)
\(3\times \frac { 5 }{ 4 } =3\times \frac { 19 }{ 4 } -2\times \frac { 21 }{ 2 } \)
\(\frac { 15 }{ 4 } =\frac { 57 }{ 4 } -\frac { 42 }{ 4 } =\frac { 15 }{ 4 } \)
=\(\frac { 15 }{ 4 } =\frac { 15 }{ 4 } \) சமம்
எனவே 1/4 என்பது 3(x + 1) = 3( 5–x) – 2( 5 + x) என்ற சமன்பாட்டின் தீர்வாகும்.

(i)                                   (ii)
 
எனவே, \(\frac { -4 }{ 11 } =-0.\overline { 36 } \)
\(\frac { 11 }{ 75 } =0.14\overline { 6 } \)
எனவே , ஒரு விகிதமுறு எண்ணானது,
(i) முடிவுறும் தசம விரிவாகவோ அல்லது
(ii) முடிவுறாச் சுழல் தசம விரிவாகவோ இருக்கும். இதன் மறுதலையும் உண்மையே. அதாவது, ஓர் எண்ணின் தசம விரிவானது முடிவுற்றோ அல்லது முடிவுறாச் சுழல் தன்மையுடையதாகவோ இருந்தால் அவ்வெண் ஒரு விகிதமுறு எண் ஆகும்.

(a +b +1)(a² +b² +1−ab −b −a)

(-5x+2y+3z)² அல்லது (5x-2y-3z)²

\(\Delta\)OAC ஓர் இருசமபக்க முக்கோணம்
\(\angle\)AOC = 90°
\(\therefore\) \(\angle\)OAC + \(\angle\)OCA = 180° - 90°
2\(\angle\)OAC = 90°    (\(\therefore\) \(\angle\)OAC = \(\angle\)OCA)
\(\angle\)OAC = 45°
\(\therefore\)\(\angle\)OCA = 45°
நாணின் நீளம் (AC) = \(\sqrt{(4 \sqrt{2})^2+(4 \sqrt{2})^2}=\sqrt{16 \times 2+16 \times 2}=\sqrt{64}=8\) செ.மீ

A = {a, {a, b}}
A இன் உட்கணங்கள் = { }, {a}, {a, b} {a, {a, b}}

D = {x : x என்பது ஓர் ஆண்டிலுள்ள தமிழ் மாதம்}

கணமல்ல

சரிவகம் அல்ல

POQ ஒரு செங்கோண முக்கோணம், அதன் செங்கோணம் ஆதிப்புள்ளி O இல் அமைந்துள்ளது. இங்கு OQ=a அலகுகள் மற்றும் OP ஆனது b அலகுகள் என்க. P, Q இன் ஆயத்தொலைவுகள் முறையே (0, b)  மற்றும் (a, 0) இன் எனப் பெயரிடுக.
நடுபப்புள்ளி சூத்திரத்தின்படி, கர்ணம்  PQ இன் நடுப்புள்ளி M எனில [PM=MQ] , M ஆனது

\(\left( \frac { a+0 }{ 2 } ,\frac { b+0 }{ 2 } \right) =\left( \frac { a }{ 2 } ,\frac { b }{ 2 } \right) \)
தொலைவு சூத்திரத்தை பயன்படுத்த நாம் காண்பது
OM =\(\sqrt { { \left( \frac { a }{ 2 } -0 \right) }^{ 2 }+{ \left( \frac { b }{ 2 } -0 \right) }^{ 2 } } =\sqrt { \frac { { a }^{ 2 } }{ 4 } +\frac { { b }^{ 2 } }{ 4 } } \) இந்த மதிப்பானது 
QM = \(\sqrt { { \left( a-\frac { a }{ 2 } \right) }^{ 2 }+{ \left( 0-\frac { b }{ 2 } \right) }^{ 2 } } =\sqrt { \frac { { a }^{ 2 } }{ 4 } +\frac { { b }^{ 2 } }{ 4 } } \)என்பதற்குச் சமமாகிறது. மேலும் இதேபோல்,
PM=\(\sqrt { \frac { { a }^{ 2 } }{ 4 } +\frac { { b }^{ 2 } }{ 4 } } \)
இதிலிருந்து OM=QM =PM, எனக் காண்கிறோம். இதுவே நாம் நிறுவ வேண்டியதாகும்.

p(x) = x³ + 13x² +32x + 20 என்க.
அனைத்து உறுப்புகளின் கெழுக்களின் கூடுதல் = 1+ 13 + 32 +20 =66 ≠ 0
எனவே, (x - 1) என்பது ஒரு காரணியல்ல.
இரட்டைப்படை அடுக்குகள் கொண்ட உறுப்பின் கெழு மற்றும் மாறிலியின் கூடுதல் =13+20=33
ஒற்றைப்படை அடுக்குகள் கொண்ட உறுப்புகளின் கெழுக்களின் கூடுதல் = 1+ 32 = 33
ஆகவே, (x + 1) என்பது p(x) இன் ஒரு காரணி.
மற்ற நேரிய காரணிகளைக் காணத் தொகுமுறை வகுத்தல் முறையைப் பயன்படுத்துவோம்.

S என்பது துள்ளுந்து, C என்பது மகிழுந்து மற்றும் B என்பது மிதிவண்டி வைத்திருக்கும் குடும்பங்களின் கணங்கள் என்க.
கொடுக்கப்பட்டது, n(U) =600; n(S) =\(\frac { 3 }{ 5 } \)x600 =360
n(C) = \(\frac { 1 }{ 3 } \) x 600 = 200, n(B) = \(\frac { 1 }{ 4 } \) x 600 = 150
n(S⋂C∩B) =\(\frac { 2 }{ 15 } \) x 600 = 80
வென்படத்திலிருந்து,
(i) குறைந்தது இரண்டு வகை வாகனங்களை வைத்திருக்கும் குடும்பங்களின் எண்ணிக்கை.
=40+6+10+80=136
(ii) எந்த ஒரு வாகனமும் வைத்திருக்காத குடும்பங்களின் எண்ணிக்கை 
=600 - (குறைந்தது ஒரு வாகனத்தை வைத்திருக்கும் குடும்பங்கள்)
=600 - (230 +40+74+6+54+10+80)
=600-494=106

(2) = (5)
\(\therefore\) (A \(\cap\) B)' = A' U B'

\(\Delta\)PQR - யில்
PQ = 5 செ.மீ
PR = 6 செ.மீ
\(\angle\)QPR = 60°
வரைமுறை:
படி 1: \(\Delta\)PQR - ஐ வரை
படி 2: ஏதேனும் இருபக்ககங்களுக்கு (PR, QR) மையக் குத்துக் கோடுகள் வரை.
படி 3: பக்கங்களின் மையப் புள்ளியையும் எதிர் முனையையும் இணைத்து நடுக்கோடுகள் (PD, QE) வரை.
படி 4: நடுக்கோடுகள் சந்திக்கும் புள்ளி G.
படி 5: நடுக்கோடுகள் சந்திக்கும் G, \(\Delta\)PQR -ன் நடுக்கோட்டு மையம் ஆகும்.

x + y + z = 0 எனில் x³ + y³ + z³ = 3xyz
8x³ - 27y³ - 64z³ = (2x)³ + (-3y)³ + (-4z)³ = 3 \(\times\) 2x \(\times\) -3y \(\times\) -4z = 72 xyz

x =\(0.\overline { 0001 } \)=0.00010001.....   என்க 
   10000x  =   1.00010001   ......
(-)         x   =  0.00010001   ........
\(\overline { \underline { 9999x\quad =\quad 1.0000...... } } \)
9999x  =1
x  = \(\frac { 1 }{ 9999 } \)
\(0.\overline { 0001 } \)=\(\frac { 1 }{ 9999 } \)

P(x, y) A(3, 4) மற்றும் B(-5, 6) என்பன கொடுக்கப்பட்டுள்ள புள்ளிகள் 
தொலைவு d = \(\sqrt {(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\)
தொலைவு \(P A =\sqrt{(3-x)^2+(4-y)^2}=\sqrt{9}+x^2-6 x+16+y^2-8 y \)
\(=\sqrt{x^2+y^2-6 x-8 y+25} \)
தொலைவு \(P B =\sqrt{(-5-x)^2+(6-y)^2}=\sqrt{25+x^2+10 x+36+y^2-12 y} \)
\(=\sqrt{x^2+y^2-10 x-12 y+61}\)
இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த.
\(x^2+y^2-6 x-8 y+25 =x^2+y^2+10 x-12 y+61 \)
\(-8 y+12 y =10 x+6 x+6 1-25 \)
\(4 y =16 x+36 \)
\(y =4 x+9\)