p(x) = x³ + 13x² +32x + 20 என்க.
அனைத்து உறுப்புகளின் கெழுக்களின் கூடுதல் = 1+ 13 + 32 +20 =66 ≠ 0
எனவே, (x - 1) என்பது ஒரு காரணியல்ல.
இரட்டைப்படை அடுக்குகள் கொண்ட உறுப்பின் கெழு மற்றும் மாறிலியின் கூடுதல் =13+20=33
ஒற்றைப்படை அடுக்குகள் கொண்ட உறுப்புகளின் கெழுக்களின் கூடுதல் = 1+ 32 = 33
ஆகவே, (x + 1) என்பது p(x) இன் ஒரு காரணி.
மற்ற நேரிய காரணிகளைக் காணத் தொகுமுறை வகுத்தல் முறையைப் பயன்படுத்துவோம்.

p(x) = 3x³ + 11x² + 34x + 106 என்க.
p(x) ஐ திட்டவடிவில் எழுத அவற்றின்
கெழுக்கள்        3   11   34    106
                          q(x) = x - 3, இதன் பூச்சியம் x = 3
தொகுமுறை வகுத்தல்

ஈவு = 3x² + 20x + 94, இதை கொடுக்கப்பட்டுள்ள ஈவான = 3x² + ax + b ஒப்பிட
நமக்கு கிடைப்பது x -ன் கெழு a = 20
மாறிலி உறுப்பு b = 94
மீதி r = 388

\(p(x)={ x }^{ 4 }+10{ x }^{ 3 }+35{ x }^{ 2 }+50x+29\)என்க 
திட்ட வடிவம் = \({ x }^{ 4 }+10{ x }^{ 3 }+35{ x }^{ 2 }+50x+29\)
 

ஈவு \({ x }^{ 3 }+{ 6x }^{ 2 }+11x+6\) ஐ \({ x }^{ 3 }-{ ax }^{ 2 }+bx+6\) உடன் ஒப்பிட
x² இன் கெழு 6 = -a  x  இன் கெழு 11 = b 
ஆகவே, a = -6, b =11 மற்றும் மீதி =5

சதுரத்தின் பரப்பளவு = பக்கம் x பக்கம் 
=(3m+2n-4l) x (3m+2n-4l)
=(3m+2n-4l)²

(a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca என்பது நாம் அறிந்ததே.
[3m+2n+(-4l)]²=(3m)²+(2n)²+(-4l)²+2(3m)(2n)+2(2n)(-4l)+2(-4l)(3m)
=9m²+4n²+16l²+12mn-16ln-24lm
எனவே சதுரத்தின் பரப்பளவு 
=[9m²+4n²+16l²+12mn-16ln-24lm] சதுர அலகுகள்.

p(x)= 3x³+x²-20x+12 என்க 
காரணித் தேற்றத்தின்படி,(3x-2)என்பது p(x) இன் ஒரு காரணி எனில்,மீது \(p({2\over3})=0\)ஆகும் 
\(p({2\over3})=3({2\over3})^3+({2\over3})^2-20({2\over3})+12\)
 
\(=3({8\over27})+({4\over9})-20({2\over3})+12\)
\(={8\over9}+{4\over9}-{120\over9}+{108\over9}\)
\(={({120-120\over 9})}\)
\(p({2\over3})=0\)
ஆகவே,(3x-2)என்பது 
3x³ + x² - 20x +12 இன் ஒரு காரணி​​​​​​​ ஆகும்.

(a +b +1)(a² +b² +1−ab −b −a)

(-5x+2y+3z)² அல்லது (5x-2y-3z)²

a+b=6,ab=5
a³+b³=(a+b)³-3ab(a+b)
=(6)³-3(5)(6)
=126

x³-x = x(x²-1)
= x(x²-1²)
= x(x+1)(x-1)

(x + y + z) = 9, (xy + yz + zx) = 26
x² + y² + z² = (x + y + z)² - 2(xy + yz + zx) = 9² - 2 \(\times\) 26 = 81 - 52 = 29

(x+y)³ =x³ +3 x² y+3xy²​​​​​​​+y³ ​​​​​​​
(2x+3y)³ ​​​​​​​=(2x)³ ​​​​​​​+3(2x)²​​(3y)​​​ +3(2x)(3y)³ ​​​​​​​+(3y)³ ​​​​​​​
=8x³ ​​​​​​​+3(4x²​​​​​​​)(3y)+3(2x) (9y²​​​)+27 y³ ​​​​​​​
=8x³ ​​​​​​+36x²y​​​​​​ +54 xy² ​​​​​​​+27 y³ ​​​​​​​

(a+b+c)² இன் விரிவில் 'b' ஐ '-b'எனப் பிரதியிட,
முற்றொருமை(a+b+c)² =a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca இன் படி,
(a+(-b)+c)²=a²+(-b)²+c²+2a(-b)+2(-b)+2(-b)c+2ca
=a²+b²+c²-2ab-2bc+2ca

(2a-3b)²  [ஏனெனில்,(x-y)²=x²+2xy+y²]
(2a-3b)² =(2a)²-2(2a)(3b)+(3b)²  [x=2a,y=3b எனப் பிரதியிட]
=4a²-12ab+9b²

p(x) = x³ - 3x² - mx + 24 என்க.
காரணி தேற்றத்தின்படி
(x + 3) ஆனது P(x), ன் காரணி எனில். P(-3) = 0 ஆகும்.
p(-3) = (-3)³ - 3 (-3)² - m(-3) + 24 = 0
\(\Rightarrow\) -27 - 3 \(\times\) 9 + 3m + 24 = 0
\(\Rightarrow\) -27 - 27 + 3m + 24 = 0
\(\Rightarrow\)  3m = 54 - 24
\(\Rightarrow\) m = \(\frac{30}{3}\) = 10

P(x) = x³ + 5x² - 10x + 4 என்க.
(x - 1) ஆனது P(x)- ன் காரணி எனில் P(1) = 0 ஆகும்.
P(1) = 1³ + 5 (1²) - 10 (1) + 4 = 1 + 5 - 10 + 4
P(1) = 0
\(\therefore\) (x - 1) ஆனது P(x) = x³ + 5x² - 10x + 4 - ன் ஒரு காரணி ஆகும்.
(ii) P(x) = x⁴ + 5x² - 5x + 1 என்க.
காரணி தேற்றத்தின்படி (x - 1) ஆனது P(x)- ன் காரணி எனில் P(1) = 0
P(1) = I⁴ + 5(I²) - 5(1) + 1 = 1 + 5 - 5 + 1 = 2 \(\not =\) 0
\(\therefore\) (x - 1) ஆனது P(x) = x⁴ + 5x² - 5x + 1 - ன் காரணிஆகாது.

(x + a)(x + b)(x + c) = x³ + 14x² + 59x + 70                                      ......(1)
(x + a) (x + b) (x + c) \( \equiv\) x³ + (a + b + c) x² + (ab + bc + ca) x + abc .....(2)
(i) (1) மற்றும் (2) ஐ ஒப்பிட நமக்கு கிடைப்பது.
a + b + c = 14
(ii) \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{bc+ac+ab}{abc}=\frac{59}{70}\)
(iii) (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca
a² + b² + c² = (a + b + c)² - 2 (ab + bc + ca)
= 14² - 2(59) = 196 - 118 = 78
(iv) \(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}=\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{abc}=\frac{78}{70}\)

P(x) = ax² + 5x + b என்க.
(x - 2) ஆனது P(x)-ன் காரணி எனில் P(2) = 0
P(2) = a(2)² + 5(2) + b = 0
4a + 10 + b = 0
4a + b = -10                 ......(1)
\( \left ( x-\frac{1}{2} \right )\) ஆனது
P(x)- ன் காரணி எனில் \(P\left ( \frac{1}{2} \right )\) = 0 ஆகும்.
\(P\left ( \frac{1}{2} \right )=a\left ( \frac{1}{2} \right )^{2}+5\left ( \frac{1}{2} \right )+b=0\)
\(\frac{a}{4}+\frac{5}{2}+b=0\)
\(\frac{a}{4}+b=\frac{-5}{2}\)
\(\frac{a+4b}{4}=\frac{-5}{2}\)

a + 4b = - 10                .......(2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து
                       4a + b = -10   .....(1)
                       a + 4b = -10   .....(2)
(1) = (2) \(\Rightarrow\) 4a + b = a + 4b = -10
3a = 3b
\(\therefore\) a = b. எனவே நீருபிக்கப்பட்டது.

\(x^4-y^4=\left(x^2\right)^2-\left(y^2\right)^2=\left(x^2+y^2\right)\left(x^2-y^2\right) \)
\(x^2-y^2=x^2-y^2 \)
மீ.பொ.வ \(=x^2-y^2\)

x -3 = 0
x = 3

p(a) = 0 எனில் (x-a) ஆனது p(x) - ன் ஓர் காரணி