A(6,−1), B(8,3) மற்றும் C(10,−5) ஆகியவற்றை முனைப் புள்ளிகளாகக்  கொண்ட முக்கோணத்தின் நடுக்கோட்டு மையம் G(x, y)
G(x, y) =G\(\left( \frac { { x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 }+{ x }_{ 3 } }{ 3 } ,\frac { { y }_{ 1 }+{ y }_{ 2 }+{ y }_{ 3 } }{ 3 } \right) \)
கொடுக்கப்பட்டது  (x₁, y₁) = (6,−1); (x₂ , y₂ ) = (8,3);

(x₃ , y₃) = (10,−5)
முக்கோணத்தின் நடுக்கோட்டு மையம்
G(x, y) =G\(\left( \frac { 6+8+10 }{ 3 } ,\frac { -1+3-5 }{ 3 } \right) \)
=G\(\left( \frac { 24 }{ 3 } ,\frac { -3 }{ 3 } \right) \) =G=(8, -1)

A(−11,4) மற்றும் B(9,8)ஐ இணைக்கும் கோட்டுத் துண்டை நான்கு சமப் பாகங்களாகப் பிரிக்கும் புள்ளிகள் P, Q, R என்க. இங்கு AP = PQ = QR = RB .
இங்கு AB இன் நடுப்புள்ளி P மற்றும் QB இன் நடுப்புள்ளி R என்க.
AB இன் நடுப்புள்ளி Q=\((\frac {-11+9}{2}, \frac{4+8}{2})=(\frac {-2}{2},\frac{12}{2})\)=(-1, 6)
AQ இன் நடுப்புள்ளி P=\((\frac {-11-1}{2}, \frac{4+6}{2})=(\frac {-12}{2},\frac{10}{2})\)=(-6, 5)
QB இன் நடுப்புள்ளி R=\((\frac {-1+9}{2}, \frac{6+8}{2})=(\frac {8}{4},\frac{14}{2})\)=(4, 7)
எனவே கோட்டுத்துண்டு AB ஐ நான்கு சமபாகங்களாகப் பிரிக்கும் புள்ளிகள் P(-6, 5), Q(-1, 6) மற்றும் R(4, 7) ஆகும்.

A(x,3), B(6,y), C(8,2) மற்றும் D(9,4) என்பவை இணைகரம் ABCD இன் உச்சிகள் என்க. வரையறையின்படி, மூலைவிட்டங்கள் AC மற்றும் BD ஒன்றையொன்று இருசமக் கூறிடும்.
AC இன் நடுப்புள்ளி = BD இன் நடுப்புள்ளி

\((\frac {x +8}{2},\frac {3+2}{2})=(\frac {6+9}{2},\frac {y+4}{2})\)
இருபுறமும் ஆயத் தொலைவுகளைச் சமப்படுத்த, நாம் பெறுவது
\(\frac{x+8}{2}=\frac {15}{2}\)
x + 8 = 15
x = 7 மற்றும் 
\(\frac{5}{2}=\frac {y+4}{2}\)
5 = y + 4
y = 1
இதிலிருந்து, x = 7 மற்றும் y = 1.

A இன் ஆயத்தொலைவு (x₁, y₁) என்க , B(5,−6) எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது விட்டம் AB இன் நடுப்புள்ளி வட்டத்தின் மையம் என்பதால், நாம் பெறுவது,
\(\frac { { x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 } }{ 2 } =3\)
x₁ + 5 = 6

x₁ = 6 − 5
x₁ = 1
\(\frac { { y }_{ 1 }+{ y }_{ 2 } }{ 2 } =-4\)
y₁ − 6 = −8
y₁ = −8 + 6
y₁ = −2
எனவே, A இன் ஆயத்தொலைவுகள் (1, -2) ஆகும்.

புள்ளிகள் A(−3,5) மற்றும் B(x₂ , y₂ ) என்க.
புள்ளி P(-2, 3) ஆனது AB ஐ உட்புறமாக 1:6 என்ற விகிதத்தில் பிரிக்கின்றது எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
பிரிவுச் சூத்திரத்தின் படி P\(\left( \frac { { mx }_{ 2 }+{ nx }_{ 1 } }{ m+n } ,\frac { { my }_{ 1 }+{ ny }_{ 1 } }{ m+n } \right) \)=P(-2, 3)
\(p\left(\frac{1\left(x_2\right)+6(-3)}{1+6}, \frac{1\left(y_2\right)+6(5)}{1+6}\right)=P(-2,3)\)
ஆயத் தொலைவுகளைச் சமப்படுத்த
\(\frac { { x }_{ 2 }-18 }{ 7 } \)=-2
x₂ −18 = −14
x₂ = 4
\(\frac { { y }_{ 2 }+30 }{ 7 } \)=3
y₂ + 30 = 21
y₂ = −9
ஆகவே, புள்ளி B இன் ஆயத்தொலைவுகள் (4, -9) ஆகும்.

கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் A(3, 5), B(8, -10) என்க. மேலும் புள்ளி P(x,y) ஆனது கோட்டுத்துண்டு AB ஐ 3:2 என்ற விகிதத்தில் உட்புறமாகப் பிரிக்கும் புள்ளி என்க.
பிரிவுச் சூத்திரத்தின்படி,
P(x, y)=P\(\left( \frac { m{ x }_{ 2 }+n{ x }_{ 1 } }{ m+n } ,\frac { m{ y }_{ 2 }+n{ y }_{ 1 } }{ m+n } \right) \)
இங்கு, x₁ = 3, y₁ = 5, x₂ = 8, y₂ = −10 மற்றும் m = 3, n = 2
ஆகையால், P(x, y) = P\(\left( \frac { 3(8)+2(3) }{ 3+2 } ,\frac { 3(-10)+2(5) }{ 3+2 } \right) \)
= P\(\left( \frac { 24+6 }{ 5 } ,\frac { -30+10 }{ 5 } \right) \)=P(6, -4)

ØABC இன் முனைகள் A(x₁, y₁), B(x₂ , y₂ ) மற்றும் C(x₃ , y₃) என்க. மேலும் பக்கங்கள் AB, BC மற்றும் CA இன் நடுப்புள்ளிகள் முறையே (5, 1), (3, -5) மற்றும் (-5, -1) என்க.
\(\frac { { x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 } }{ 2 } =5\)\(\Rightarrow \)x₁ + x₂ = 10 ----(1)
\(\frac { { x }_{ 2 }+{ x }_{ 3 } }{ 2 } =3\)\(\Rightarrow \)x₂ + x₃ = 6 ----(2)
\(\frac { { x }_{ 3 }+{ x }_{ 1 } }{ 2 } =-5\)\(\Rightarrow \)x₃ + x₁ = –10 ----(3)
(1), (2) மற்றும் (3) ஐக் கூட்டக் கிடைப்பது, 
2x₁ + 2x₂ + 2x₃ = 6
2 ஆல் வகுக்க,
x₁ + x₂ + x₃ = 3 -----(4)
(4) − (2) \(\Rightarrow \) x₁ = 3 − 6 = −3
(4) − (3) \(\Rightarrow \) x₂ = 3 + 10 = 13
(4) − (1) \(\Rightarrow \) x₃ = 3 −10 = −7
\(\frac { { y }_{ 1 }+{ y }_{ 2 } }{ 2 } =1\)\(\Rightarrow \)y₁ + y₂ = 2 ------(5)
\(\frac { { y }_{ 2 }+{ y }_{ 3 } }{ 2 } =-5\)\(\Rightarrow \)y₂ + y₃ = –10 -----(6)
\(\frac { { y }_{ 3 }+{ y }_{ 1 } }{ 2 } =-1\)\(\Rightarrow \)y₃ + y₁ = –2 …(7)
(5), (6) மற்றும் (7) ஐக் கூட்ட கிடைப்பது
2y₁ + 2y₂ + 2y₃ = −10
2 ஆல் வகுக்க
y₁ + y₂ + y₃ = −5 ------(8)
(8) − (6) \(\Rightarrow \) y₁ = −5 +10 = 5
(8) − (7) \(\Rightarrow \) y₂ = −5 + 2 = −3
(8) − (5) \(\Rightarrow \) y₃ = −5 − 2 = −7
முக்கோணத்தின் மூன்று முனைகள் A(-3, 5), B(13, -3) மற்றும் C(-7, -7) ஆகும்.

A(3, 4), B(-2, -1) மற்றும் C(5, 3) என்பன ΔABC ன் முனைப்புள்ளிகள் 
நடுக்கோட்டு மையம்\(\left( \frac { { x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 }+{ x }_{ 3 } }{ 3 } ,\frac { y_{ 1 }+{ y }_{ 2 }+{ y }_{ 3 } }{ 3 } \right) \)
=\(G\left( \frac { 3-2+5 }{ 3 } ,\frac { 4-1+3 }{ 3 } \right) \)
=\(G\left( \frac { 6 }{ 3 } ,\frac { 6 }{ 3 } \right) \)
= (2,2)
BDCG ஆனது ஓர் இணைகரம்
மூலைவிட்டம் BC யும் GD யும் ஒன்றையொன்று இரு சமக்கூறிடும்.
BC யின் நடுப்புள்ளி =\(\left( \frac { x+2 }{ 2 } ,\frac { y+2 }{ 2 } \right) \)
=\(\left( \frac { -2+5 }{ 2 } ,\frac { -1+3 }{ 2 } \right) \)
\( =\left( \frac { 3 }{ 2 } ,1 \right) \)
M \( =\left( \frac { 3 }{ 2 } ,1 \right) \) என்பது G(2,2) மற்றும் D(x,y) ன் நடுப்புள்ளி ஆகும்.
\(\left(\frac{2+x}{2}, \frac{2+y}{2}\right)=\left(\frac{3}{2}, 1\right) \)
\(\frac{2+x}{2}=\frac{3}{2} \quad ; \quad \frac{2+y}{2}=\frac{1}{1} \)
\(4+2 x=6 \quad ; \quad 2+y=2 \)
\(2 x=2 \quad ; \quad y=2-2 \)
\(x=1 \quad ; \quad y=0 \)
D யின் ஆயத் தொலைவு  D(x,y)=(1,0)

முக்கோணத்தின் மூன்று முனைப்புள்ளிகள் A(3,-2), B(5,2) மற்றும் c(x,y) என்க.
முக்கோணத்தின் நடுக்கோட்டு மையம்=(4,-2)
G\(\left( \frac { { x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 }+{ x }_{ 3 } }{ 3 } ,\frac { { y }_{ 1 }+{ y }_{ 2 }+{ y }_{ 3 } }{ 3 } \right) \)
\(\left( \frac { 3+5+x }{ 3 } ,\frac { -2+2+y }{ 3 } \right) \)
\(\left( \frac { 8+x_3 }{ 3 } ,\frac { y_3 }{ 3 } \right) \)=(4,-2)
ஆயத்தொலைவுகளை சமப்படுத்த,
\(\frac { 8+x_ 3 }{ 3 } \)=4, \(\frac { y_3 }{ 3 } \)=-2 = y₃ = -6
x = 12 - 8 = 4
x=4
மூன்றாவது முனைப்புள்ளி C(4,-6)

A(-5, 6) மற்றும் B(4, -3) என்பன கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள். p(a, b), Q(c, d) என்பன கோட்டுத்துண்டை மூன்று சம பாகங்களாகப் பிரிக்கும் புள்ளிகள் என்க. எனவே,
AP=PQ=QB.
பிரிவுச் சூத்திரத்தின்படி,
\( P = \left( \frac { { x }_{ 2 }+2{ x }_{ 1 } }{ 3 } +\frac { { y }_{ 2 }+2{ y }_{ 1 } }{ 3 } \right) =P\left( \frac { 4+2(-5) }{ 3 } +\frac { -3+2(6) }{ 3 } \right) \)
=\(P\left( \frac { 4-10 }{ 3 } +\frac { -3+12 }{ 3 } \right) \)
=\(P\left( \frac { -6 }{ 3 } +\frac { 9 }{ 3 } \right) \)
= P(-2,3)
\(Q = \left( \frac { 2{ x }_{ 2 }+{ x }_{ 1 } }{ 3 } +\frac { 2{ y }_{ 2 }+{ y }_{ 1 } }{ 3 } \right) =Q\left( \frac { 2(4)-5 }{ 3 } +\frac { 2(-3)+6 }{ 3 } \right) \)
=\(Q\left( \frac { 8-5 }{ 3 } +\frac { -6+6 }{ 3 } \right) \)
=\(Q\left( \frac { 3 }{ 3 } ,0 \right) \)
=Q(1,0)
மூன்று சமப் பாகங்களாகப் பிரிக்கும் புள்ளிகள் ஆயத் தொலைவுகள் P-2,3) மற்றும் Q(1,0)

A(-3, 5) மற்றும் B(4, -9) என்பன கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள். P(2, -5) ஆனது AB யை உட்புறமாக m : n என்ற விகிதத்தில் பிரிக்கிறது.
பிரிவுச் சூத்திரத்தின்படி,
P(x,y)=P\(\left( \frac { { mx }_{ 2 }+{ nx }_{ 1 } }{ m+n } ,\frac { { my }_{ 2 }+{ ny }_{ 1 } }{ m+n } \right) \)=P(2,-5)
இங்கு x₁=-3, y₁=5 , x₂=4, y₂=-9
m=7, n=2
= \(\left( \frac { m(4)+n(-3) }{ m+n } ,\frac { m(-9)+n(5) }{ m+n } \right) \)=P(2,-5)
y -அச்சுத் தொலையை சமப்படுத்த.
\(\frac { 4m-3n }{ m+n } \) = 2/1
4m-3n=2(m+n)
4m-2m=2n+3n
2m=5n
\(\frac { m }{ n } =\frac { 5 }{ 2 } \)
m : n = 5 : 2
எனவே P ஆனது AB யை 5 : 2 என்ற விகிதத்தில் உட்புறமாகப் பிரிக்கிறது.

ΔABC இன் முனைகள் A(0,0), B(2a,0) மற்றும் C(2b,2c) என்க.
D, E முறையே AC, BC யின் நடுப்புள்ளிகள்
AC யின் நடுப்புள்ளிகள் D\(\left( \frac { 0+2b }{ 2 } ,\frac { 0+2c }{ 2 } \right) \)
=D(b,c)
BC யின் நடுப்புள்ளிகள் E \(\left( \frac { 2a+2b }{ 2 } ,\frac { 0+2c }{ 2 } \right) \)
=(a+b,c)
தொலைவு d =\(\sqrt { ({ x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 })^{ 2 }+({ y }_{ 2 }-{ y }_{ 1 })^{ 2 } } \)
ABயின் தொலைவு =\(\sqrt { (2a-0)^{ 2 }+(0-0)^{ 2 } } \)
=\(\sqrt { (2a)^{ 2 } } =2a\)
DE யின் தொலைவு =\(\sqrt { (a+b-b)^{ 2 }+(c-c)^{ 2 } } \)
=\(\sqrt { a^{ 2 } } \)=a
தொலைவு DE =a =1/2 x 2a =1/2 x AB யின் தொலைவு.

D(x₁,y₁) E(x₂,y₂) மற்றும் F(x₃,y₃) என்பன DEF ன் முலைப்புள்ளிகள் என்க.
A B மற்றும் C என்பதன் DE, EF மற்றும் DF ன் நடுப்புள்ளி
\(\left( \frac { { x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 } }{ 2 } ,\frac { { y }_{ 1 }+{ y }_{ 2 } }{ 2 } \right) \)=(-3,6)
\(\frac { { x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 } }{ 2 } \)=-3 ⇒ x₁+x₂=-6  ....(1)
\(\frac { { x }_{ 2 }+{ x }_{ 3 } }{ 2 } \)=0 ⇒x₂+x₃=0   ..(2)
\(\frac { { x }_{ 3 }+{ x }_{ 1 } }{ 2 } \)=0 ⇒ x₃+x₁=2  ......(3)
கூட்ட நமக்கு கிடைப்பது 
\(2\left(x_1+x_2+x_3\right)=-4 \)
\(x_1+x_2+x_3=-2 \)
\(x_1+0=-2 \)
\(\therefore x_1=-2 \)
\(\frac { { y }_{ 1 }+{ y }_{ 2 } }{ 2 } \)=6 ⇒ y₁+y₂=12...(5)
\(\frac { { y }_{ 2 }+{ y }_{ 3 } }{ 2 } \)=7 ⇒ y₂+y₃=14   .....(6)
\(\frac { { y }_{ 3 }+{ y }_{ 1 } }{ 2 } \)=9 ⇒ y₃+y₁=18   .....(7)

இணைக்கரத்தில் மூலைவிட்டங்களின் நடுப்புள்ளிகள் சமம்,இதை நிரூபிக்க பின்வருமாறு காண்போம் .
​​​​​​​
AC யின் நடுப்புள்ளி =BD யின் நடுப்புள்ளி
∴ ABCD ஓர் இணைகரம்.

ΔABC ன் முனைப்புள்ளிகள் A(x₁, y₁,), B(x₂, y₂) மற்றும் C(x₃,y₃) என்க. AB, BC மற்றும் CA ன் நடுப்புள்ளிகள் (2,4), (-2, 3) மற்றும் (5, 2) ஆகும்.
நடுப்புள்ளி \(\left( \frac { { x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 } }{ 2 } ,\frac { { y }_{ 1 }+{ y }_{ 2 } }{ 2 } \right) \)
\(\frac { { x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 } }{ 2 } \) ⇒ x₁ + x₂ = 4  ...(1)
\(\frac { { x }_{ 2 }+{ x }_{ 3 } }{ 2 } \) ⇒ x₂ + x₂ = -4   .....(2)
\(\frac { { x }_{ 3 }+{ x }_{ 1 } }{ 2 } \) ⇒ x₂ + x₁ = 10......(3)
(1), (2) மற்றும் (3) ஐ கூட்ட
2x₁+ 2x₂ + 2x₃ = 4 - 4+ 10 = 10
x₁ + x₂ + x₃ = 5   -----(4)
(4)-(2) ⇒ x₁ = 5-(-4)= 9
(4)-(3) ⇒ x₂ = 5 - 10 = -5
(4)-(1) ⇒ x₃ = 5 - 4 = 1
\(\frac { { y }_{ 1 }+{ y }_{ 2 } }{ 2 } =4\) ⇒ y₁+y₂=8   ...(5)
\(\frac { { y }_{ 2 }+{ y }_{ 3 } }{ 2 } =3\) ⇒ y₂+y₃=6  ....(6)
\(\frac { { y }_{ 3 }+{ y }_{ 1 } }{ 2 } =2\) ⇒ y₃+y₁=4 .....(7)
(5), (6) மற்றும் (7) ஐ கூட்ட
2y₁ + 2y₂ + 2y₃ = 8 + 6 + 4 = 18
y₁+y₂+y₃=9      ............(8)
(8)-(6) ⇒ y₁=9-6=3
(8)-(7) ⇒ y₂=9-4=5
(8)-(7) ⇒ y₃ = 9-8=1


y₁ = 3 என (6) - ல் பிரதியிட 
3 + y₃ = 4
y₃ = 1
y₃ = 1 எனில் (4) -ல் பிரதியிட 
1 + y₂ = 6
y₂ = 5
ΔABC ன் முனைப்புள்ளிகள் (9, 3), B (-5, 5) மற்றும் C(1,1)

O (-4,2) என்பது வட்டத்தின் மையம் A  (-3,7) மற்றும் B (-3,7) என்பது வட்டத்தின் விட்டம் 
O என்பது AB ன் நடுப்புள்ளி (OA = OB = ஆரம்)
நடுப்புள்ளி M = \(\left( \frac { { x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 } }{ 2 } ,\frac { { y }_{ 1 }+{ y }_{ 2 } }{ 2 } \right) \)
நடுப்புள்ளி O =\(\\ \left( \frac { x-3 }{ 2 } ,\frac { y+7 }{ 2 } \right) \)=(-4,2)
\(\frac { -3+ x }{ 2 } =-4/1\)
-3 + x₂ = -8
x₂ = -8 + 3
x = -5 
\(\frac { y_ 1+y _ 2 }{ 2 } =2/1\) 
7 + y₂ = 4
y₂ = 4 - 7
y = -3
விட்டத்தின் மறுமுனை (-5,-3)

\(\left(\frac{m x_2+n x_1}{m+n}, \frac{m y_2+n y_1}{m+n}\right)\) பிரிவுச் சூத்திரப்படி 
x அச்சுத் தொலைவு = 0
\(\frac{\mathrm{m}(2)+(-5) \mathrm{n}}{\mathrm{m}+\mathrm{n}} =0 \)
\(\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{n}} =\frac{5}{2} \)
\(\mathrm{~m}: \mathrm{n} =5: 2 \)
BD ன் நடுப்புள்ளி (3, 4) 

\(\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right) =\left(\frac{-a-3 a}{2}, \frac{2 b-4 b}{2}\right) =(-2 a,-b) \)

\(\left(\frac{m x_2+n x_1}{m+n}, \frac{m y_2+n y_1}{m+n}\right)\) பிரிவுச் சூத்திரப்படி 
y அச்சுத் தொலைவு = 0
\(\left(\frac{m (1)+n (6)}{m+n}, \frac{m (-7)+n (4)}{m+n}\right)\)
\(\therefore \frac{m(-7)+n(4)}{m+n}=0 \)
\(\Rightarrow -7 m+4 n=0 \)
\(\therefore m: n=4: 7 \)

\(\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_1}{2}\right)\) நடுப்புள்ளி
\(\Rightarrow \left(\frac{x_1+3}{2}, \frac{y_1+4}{2}\right) =(-3,2) \)
\(\frac{x_1+3}{2} = -3\)
x + 3 = -6
x = 9
\(\frac{y_1+4}{2} = 2\)
y + 4 = 4
y = 0
\(\Rightarrow x_1 =-9 ; y_1=0 \)

\(\left(\frac{m x_2+n x_1}{m+n}, \frac{m y_2+n y_1}{m+n}\right) =(1,6) \)
(1, 6) = \((\frac {m(-2) +n (2)}{m + n}, \frac {m(3) +n (7)}{m + n})\)
\((\frac {-2m +2n }{m + n}, \frac {3m +7n }{m + n})\)
x அச்சுத் தொலைவு \(=\frac{-2 m+2 n}{m+n}=\frac{1}{1} \)
\(-3 m =-n \)
\(\frac{m}{n} =\frac{1}{3} \Rightarrow 1: 3\)

m : n = 2 : 1
\(\left(\frac{m x_2+mx_1}{m+n}, \frac{m y_2+n y_1}{m+n}\right) =\left(\frac{2(5)+1[2)}{2+1}, \frac{2(7)+1(4)}{2+1}\right) =(4,6) \)