ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று முனைப் புள்ளிகள் A(1, –6), B(–5, 2) மற்றும் C(x₃ , y₃) என்க.
முக்கோணத்தின் நடுக்கோட்டு மையம் (-2, 1) ஆனது கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. எனவே நாம் பெறுவது,
\(\frac { { x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 }+{ x }_{ 3 } }{ 3 } \)=-2
\(\frac { 1-5+{ x }_{ 3 } }{ 3 } \)=-2
−4 + x₃ = −6
x₃ = −2
\(\frac { { y }_{ 1 }+{ y }_{ 2 }+{ y }_{ 3 } }{ 3 } \)=1
\(\frac { -6+2+{ y }_{ 3 } }{ 3 } \)=1
−4 + y₃ = 3
y₃ = 7
எனவே மூன்றாவது முனைப் புள்ளி (-2, 7) ஆகும் .

A(6,−1), B(8,3) மற்றும் C(10,−5) ஆகியவற்றை முனைப் புள்ளிகளாகக்  கொண்ட முக்கோணத்தின் நடுக்கோட்டு மையம் G(x, y)
G(x, y) =G\(\left( \frac { { x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 }+{ x }_{ 3 } }{ 3 } ,\frac { { y }_{ 1 }+{ y }_{ 2 }+{ y }_{ 3 } }{ 3 } \right) \)
கொடுக்கப்பட்டது  (x₁, y₁) = (6,−1); (x₂ , y₂ ) = (8,3);

(x₃ , y₃) = (10,−5)
முக்கோணத்தின் நடுக்கோட்டு மையம்
G(x, y) =G\(\left( \frac { 6+8+10 }{ 3 } ,\frac { -1+3-5 }{ 3 } \right) \)
=G\(\left( \frac { 24 }{ 3 } ,\frac { -3 }{ 3 } \right) \) =G=(8, -1)

A(x,3), B(6,y), C(8,2) மற்றும் D(9,4) என்பவை இணைகரம் ABCD இன் உச்சிகள் என்க. வரையறையின்படி, மூலைவிட்டங்கள் AC மற்றும் BD ஒன்றையொன்று இருசமக் கூறிடும்.
AC இன் நடுப்புள்ளி = BD இன் நடுப்புள்ளி

\((\frac {x +8}{2},\frac {3+2}{2})=(\frac {6+9}{2},\frac {y+4}{2})\)
இருபுறமும் ஆயத் தொலைவுகளைச் சமப்படுத்த, நாம் பெறுவது
\(\frac{x+8}{2}=\frac {15}{2}\)
x + 8 = 15
x = 7 மற்றும் 
\(\frac{5}{2}=\frac {y+4}{2}\)
5 = y + 4
y = 1
இதிலிருந்து, x = 7 மற்றும் y = 1.

POQ ஒரு செங்கோண முக்கோணம், அதன் செங்கோணம் ஆதிப்புள்ளி O இல் அமைந்துள்ளது. இங்கு OQ=a அலகுகள் மற்றும் OP ஆனது b அலகுகள் என்க. P, Q இன் ஆயத்தொலைவுகள் முறையே (0, b)  மற்றும் (a, 0) இன் எனப் பெயரிடுக.
நடுபப்புள்ளி சூத்திரத்தின்படி, கர்ணம்  PQ இன் நடுப்புள்ளி M எனில [PM=MQ] , M ஆனது

\(\left( \frac { a+0 }{ 2 } ,\frac { b+0 }{ 2 } \right) =\left( \frac { a }{ 2 } ,\frac { b }{ 2 } \right) \)
தொலைவு சூத்திரத்தை பயன்படுத்த நாம் காண்பது
OM =\(\sqrt { { \left( \frac { a }{ 2 } -0 \right) }^{ 2 }+{ \left( \frac { b }{ 2 } -0 \right) }^{ 2 } } =\sqrt { \frac { { a }^{ 2 } }{ 4 } +\frac { { b }^{ 2 } }{ 4 } } \) இந்த மதிப்பானது 
QM = \(\sqrt { { \left( a-\frac { a }{ 2 } \right) }^{ 2 }+{ \left( 0-\frac { b }{ 2 } \right) }^{ 2 } } =\sqrt { \frac { { a }^{ 2 } }{ 4 } +\frac { { b }^{ 2 } }{ 4 } } \)என்பதற்குச் சமமாகிறது. மேலும் இதேபோல்,
PM=\(\sqrt { \frac { { a }^{ 2 } }{ 4 } +\frac { { b }^{ 2 } }{ 4 } } \)
இதிலிருந்து OM=QM =PM, எனக் காண்கிறோம். இதுவே நாம் நிறுவ வேண்டியதாகும்.

A இன் ஆயத்தொலைவு (x₁, y₁) என்க , B(5,−6) எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது விட்டம் AB இன் நடுப்புள்ளி வட்டத்தின் மையம் என்பதால், நாம் பெறுவது,
\(\frac { { x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 } }{ 2 } =3\)
x₁ + 5 = 6

x₁ = 6 − 5
x₁ = 1
\(\frac { { y }_{ 1 }+{ y }_{ 2 } }{ 2 } =-4\)
y₁ − 6 = −8
y₁ = −8 + 6
y₁ = −2
எனவே, A இன் ஆயத்தொலைவுகள் (1, -2) ஆகும்.

A (x_1,y₂) ,B(x₂,y₂) மற்றும் C(x₃,y₃) என்பது முக்கோணத்தின் ஆயத்தொலைவு என்க. 
\(D \left( \frac { 3 }{ 2 } ,5 \right) ,E \left( 7,\frac { -9 }{ 2 } \right) \) மற்றும் \(F \left( \frac { 13 }{ 2 } ,\frac { -13 }{ 2 } \right) \)
ABC  யின் நடுப்புள்ளி \( =\left( \frac { { x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 } }{ 2 } ,\frac { { y }_{ 1 }+{ y }_{ 2 } }{ 2 } \right) \)
\(\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{3}{2} \Rightarrow x_1+x_2=3 \text {; } \)
\(\frac{y_1+y_2}{2}=\frac{5}{1} \Rightarrow y_1+y_2=10 \)
\(\frac{x_2+x_3}{2}=\frac{7}{2} \Rightarrow x_2+x_3=14\)
\(\frac{y_2+y_1}{2} \equiv \frac{-9}{2} \Rightarrow y_2+y_3=-9 \)
\(\frac{x_3+x_1}{2}=\frac{13}{2} \Rightarrow x_3+x_1=13 \text {; } \)
\(\frac{y_1+y_1}{2}=\frac{-13}{2} \Rightarrow y_3+y_1=-13 \)
\(2\left(x_1+x_2+x_3\right)=30 ; \quad 2\left(y_1+y_2+y_3\right)=-12 \)
\(x_1+x_2+x_3=15 \quad ; \quad y_1+y_2+y_3=-6 \)
\(x_1=15-14=1 \quad ; \quad y_1=-6-(-9)=3 \)
\(x_2=15-13=2 \quad \text {; } \quad y_2=-6-(-13)=7 \)
\(x_3=15-3=12 \quad ; \quad y_3=-6-10=-16 \)
A (1,3), B (2,7) மற்றும் C (12,-16) என்பன Δன் உச்சிகள் ஆகும்.
Δ ABC ன் நடுக்கோட்டு மையம்
\(\left(\frac{x_1+x_2+x_6}{3}, \frac{y_1+y_2+y_5}{3}\right)\)
\(=\left(\frac{1+2+12}{3}, \frac{3+7-16}{3}\right) \)
\(=\left(\frac{15}{3}, \frac{-6}{3}\right)=(5,-2) \)

செங்கோட்டு மையம் A(-3,5), நடுக்கோட்டு மையம் B(3,3) சுற்றவட்டமையம் C(x,y) என்க.
நடுக்கோட்டு மையம் B ஆனது விட்டம் AC ஐ 2:1(m : n) என்ற விகிதத்தில் பிரிக்கிறது.
x₁=3, y₁=5, x₂=x, y₂=y, m=2, n=1
பிரிவு சூத்திரப்படி
\(\left( \frac { { mx }_{ 2 }+{ n }x_{ 1 } }{ m+n } ,\frac { { my }_{ 2 }+{ ny }_{ 1 } }{ m+n } \right) =\left( \frac { 2x-3 }{ 2+1 } ,\frac { 2y+5 }{ 2+1 } \right) \)
\(\frac { 2x-3 }{ 3 } \)=3/1; \(\frac { 2y+5 }{ 3 } \)=3/1
2x - 3 = 9 ; 2y + 5 = 9
2x = 9 + 3 = 12, 2y = 9 - 5 = 4
x = 6, y= 2
சுற்றுவட்டமையம் C(6,2)
விட்டம் A(-3,5) and C(6,2) ஆனது 
தொலைவு d =\(\sqrt { ({ x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 })^{ 2 }+({ y }_{ 2 }-{ y }_{ 1 })^{ 2 } } \)
விட்டம் AC =\(\sqrt { (6+3)^{ 2 }+(2-5)^{ 2 } } \)
=\(\sqrt { { 9 }^{ 2 }+(-3)^{ 2 } } \)
=\(\sqrt { 81+9 } =\sqrt { 90 } =\sqrt { 9\times 10 } =3\sqrt { 10 } \)
விட்டத்தின் விட்டம் AC =\(\\ 3\sqrt { 10 } \)

வட்டத்தின் ஆரம் =\(3\sqrt { \frac { 5 }{ 2 } } \) அலகுகள்.

கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் A( -1, 3), B( 1, -1) மற்றும் C(5,1)
A வழியே செல்லக்கூடிய நடுக்கோடு AD
BC யின் நடுப்புள்ளி L\(\left( \frac { { x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 } }{ 2 } ,\frac { { y }_{ 1 }+{ y }_{ 2 } }{ 2 } \right) \)
\(\left( \frac { 1+5 }{ 2 } ,\frac { -1+1 }{ 2 } \right) =\left( \frac { 6 }{ 2 } ,\frac { 0 }{ 2 } \right) \)=(,0)
A(-1,3) மற்றும் D(3,0) x₁=3, y₁=0, x₂=-1, y₂=3
தொலைவு d =\(\sqrt { ({ x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 })^{ 2 }({ y }_{ 2 }-{ y }_{ 1 })^{ 2 } } \)
நடுக்கோட்டின் நீளம் AD =\(\sqrt { (-1-)^{ 2 }+(3-0)^{ 2 } } \)
=\(\sqrt { (-4)^{ 2 }+3^{ 2 } } =\sqrt { 16+9 } =\sqrt { 25 } \)=5 அலகுகள்.
நடுக்கோட்டின் நீளம் AD =5 அலகுகள்

முக்கோணத்தின் மூன்று முனைப்புள்ளிகள் A(3,-2), B(5,2) மற்றும் c(x,y) என்க.
முக்கோணத்தின் நடுக்கோட்டு மையம்=(4,-2)
G\(\left( \frac { { x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 }+{ x }_{ 3 } }{ 3 } ,\frac { { y }_{ 1 }+{ y }_{ 2 }+{ y }_{ 3 } }{ 3 } \right) \)
\(\left( \frac { 3+5+x }{ 3 } ,\frac { -2+2+y }{ 3 } \right) \)
\(\left( \frac { 8+x_3 }{ 3 } ,\frac { y_3 }{ 3 } \right) \)=(4,-2)
ஆயத்தொலைவுகளை சமப்படுத்த,
\(\frac { 8+x_ 3 }{ 3 } \)=4, \(\frac { y_3 }{ 3 } \)=-2 = y₃ = -6
x = 12 - 8 = 4
x=4
மூன்றாவது முனைப்புள்ளி C(4,-6)

புறப்பட்ட இடம் A(0,0)
2 மணிக்கு 180 கிமீ B(2,180)
6 மணிக்கு 360 கிமீ C(6,360)
கோட்டுத்துண்டு BD ஐ C என்ற புள்ளி m:n என்ற விகிதத்தில் பிரிக்கிறது.
பிரிவுச் சூத்திரப்படி
\(\left( \frac { { mx }_{ 2 }+{ nx }_{ 1 } }{ m+n } ,\frac { { my }_{ 2 }+{ ny }_{ 1 } }{ m+n } \right) \)=(6,360)
\(\left( \frac { 12m+2m }{ m+n } ,\frac { mx+180n }{ m+n } \right) \)=(6,360)
x இன் ஆயத்தொலைவை சமப்படுத்த
\(\frac { 12m+2n }{ m+n } \)=6
12m + 2n= 6(m + n) = 6m + 6n
12m-6m=6n-2n
6m=4n
\(\\ \frac { m }{ n } =\frac { 4 }{ 6 } =\frac { 2 }{ 3 } \)
m:n = 2:3
m:n = 2:3 என y இன் ஆயத் தொலைவில் பிரதியிட
\(\frac { mx+180n }{ m+n } =\frac { 2x+180(3) }{ 2+3 } \)=360
\(\frac { 2x+540 }{ 5 } \)=360
2x + 540 = 360 x 5 = 1800
2x = 1800 - 540 = 1260
x =\(\frac { 1260 }{ 2 } \)=630
x=630
நள்ளிரவு 12 மணியளவில் 630 கிமீ தொலைவில் இருக்கும்.

\(\overline {AB} = \sqrt {(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\)
= \( \sqrt{(9-7)^2+(-3-(-5))^2}\)
\(=\sqrt {2^2 + (-3 + 5)^2} = \sqrt{4+4}\)
\(=\sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2}\)
\(\overline{BC}\)= \( \sqrt{(13-7)^2+(1-(-5))^2}\)
\(=\sqrt {4^2 +4^2} = \sqrt{16+16}\)
\(=\sqrt{32} = \sqrt{2 \times 16} = 4\sqrt{2}\)
\(\overline{BC}\)= \( \sqrt{(13-7)^2+(1-(-5))^2}\)
\(=\sqrt {6^2 +6^2} = \sqrt{36+36}\)
\(=\sqrt{72} = \sqrt{2 \times 36} = 6\sqrt{2}\)
\(2 \sqrt{2}, 4\sqrt{2}, 6\sqrt{2}\)
AB + BC = AC இங்கு B ஆனது பொதுப்புள்ளி 
A, B, C ஒரே கோட்டில் அமையும் 

எனவே மூன்று புள்ளிகளும் ஒரே நேர்க்கோட்டில் அமையும்

A(6,3) மற்றும் B(-1,-4) என்பன கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் இரு முனைகளிலும் AP மற்றும் BQ என்பது படத்தில் இணைக்கப்பட்டுள்ளது.

A(6,3) என்பது P(x₁,y₁) மற்றும் \(M =\left(\frac{5}{2}, \frac{-1}{2}\right) \) ன் நடுப்புள்ளி எனக்.கொள்க.
\(\left(\frac{x_1+\frac{5}{2}}{2}, \frac{y_1+\frac{-1}{2}}{2}\right)=(6,3) \)
\(\frac{x_1+\frac{5}{2}}{2}=\frac{6}{1} \text {; } \ \frac{y_1+\left(\frac{-1}{2}\right)}{2}=\frac{3}{1} \)
\(\frac{x_1}{1}+\frac{5}{2}=\frac{12}{1} \text {; } \ \frac{y_1}{1}-\frac{1}{2}=\frac{6}{1} \)
\(\frac{2 x_1+5}{2}=\frac{12}{1} \text {; } \ \frac{2 y_{\mathrm{t}}-1}{2}=\frac{6}{1} \)
\(2 x_1+5=24 \text {; } \ 2 \mathrm{y}-1=12 \)
\(x_1=\frac{19}{2} \ y_1=\frac{13}{2} \)
B(-1,-4) என்பது P(x₂,y₂) மற்றும் \(M =\left(\frac{5}{2}, \frac{-1}{2}\right) \) ன் நடுப்புள்ளி எனக்.கொள்க.
\(\left(\frac{x_1+\frac{5}{2}}{2}, \frac{y_1+\frac{-1}{2}}{2}\right)=(-1,-4) \)
\(\frac{x_1+\frac{5}{2}}{2}=\frac{-1}{1} ; \frac{y_1-\frac{1}{2}}{2}=\frac{-4}{1} \)
\(\frac{x_1}{1}+\frac{5}{2}=\frac{-2}{1} ; \frac{y_2}{1}-\frac{1}{2}=\frac{-8}{1} \)
\(\frac{2 x_1+5}{2}=\frac{-2}{1} ; \frac{2 y_1-1}{2}=\frac{-8}{1} \)
\(2 x_2+5=-4 ; 2 y_2-1=-16 \)
\(2 x_2=-9 ; 2 y_2=-15 \)
\(x_2=\frac{-9}{2} ; y_2=\frac{-15}{2} \)
புதிய முனைகளின் ஆயத் தொலைவுகள், \(P\left( \frac { 19 }{ 2 } ,\frac { 13 }{ 2 } \right) \) மற்றும் \(Q\left( \frac { -9 }{ 2 } ,\frac { -15 }{ 2 } \right) \).

AP/1 =\(\frac { 2 }{ 5 } \) AB
\(\frac { AP }{ AB } =\frac { 2 }{ 5 } \)
AP: AB=2:5
இங்கு x₁=1, y₁=2, x₂=6, y₂=7
m=2, n=3
A(1, 2), B(6, 7) என்பன கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் P(x, y) என்பது கோட்டுத்துண்டு AB யை உட்புறமாக 2:3 என்ற விகிதத்தில் பிரிக்கிறது என்க.
பிரிவுச் சூத்திரத்தின்படி,
P(x,y)=\(P\left( \frac { { mx }_{ 2 }+{ nx }_{ 1 } }{ m+n } ,\frac { { my }_{ 2 }+{ ny }_{ 1 } }{ m+n } \right) \)
=\(P\left( \frac { 2(6)+3(1) }{ 2+ } ,\frac { 2(7)+3(2) }{ 2+3 } \right) \)
=\(P\left( \frac { 12+3 }{ 5 } ,\frac { 14+6 }{ 5 } \right) \)
=\(P\left( \frac { 15 }{ 5 } ,\frac { 20 }{ 5 } \right) \)
=P(3,4)
P இன் ஆயத் தொலைவுகள் (3,4)

கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் A(-5,11) மற்றும் B(4,-7) என்க. மேலும் புள்ளி P(x,y) ஆனது கோட்டுத்துண்டு AB ஐ 7:2 என்ற விகிதத்தில் உட்புறமாக பிரிக்கும் புள்ளி என்க.
பிரிவுச் சூத்திரத்தின் படி,
P(x,y)=P\(\left( \frac { { mx }_{ 2 }+{ nx }_{ 1 } }{ m+n } ,\frac { { my }_{ 2 }+{ ny }_{ 1 } }{ m+n } \right) \)
இங்கு x₁=5, y₁=-11
x₂=4, y₂=-7
m=7, n=2
∴ P(x,y)=P\(\left( \frac { 7(4)+2(-5) }{ 7+2 } ,\frac { 7(-7)+2(11) }{ 7+2 } \right) \)
=P\(\left( \frac { 28-10 }{ 9 } ,\frac { -49+22 }{ 9 } \right) \)
=P\(\left( \frac { 18 }{ 9 } ,\frac { -27 }{ 9 } \right) \)
=P(2,-3)
உட்புறமாகப் பிரிக்கும் புள்ளி P(2,-3)

கொடுக்கபட்டவை: இணைகரம் ABCD இன் இந்த மூலைவிட்டங்கள் AC மற்றும் BD ஒன்றையொன்று O வில் வெட்டிக் கொள்கின்றன.
நிரூபிக்க: மூலைவிட்டங்கள் ஒன்றை ஒன்று இரு சமக் கூறிடும் OA = OC மற்றும் OB = OD.
நிரூபணம்: ΔAOB மற்றும் ΔCOD இலிருந்து
ㄥOAB = ㄥOCD         ........(1) (ஒன்றுவிட்ட கோணங்கள் AB || DC)
∴ AB=CD  .......(2) (இணைகரத்தின் எதிரிபக்கங்கள்)
ㄥOBA = ㄥODC    .......(3) (ஒன்றுவிட்ட கோணங்கள் AB || DC)
ΔAOB ≅ ㄥCOD (கோபகோ விதிப்படி)
∴ OA = OC மற்றும் OB = OD (CPCT)

M என்பது BC ன் நடுப்புள்ளி என்க.
நடுப்புள்ளி M = \(\left( \frac { { x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 } }{ 2 } ,\frac { { y }_{ 1 }+{ y }_{ 2 } }{ 2 } \right) \)
\(=\left(\frac{3-3}{2}, \frac{2-2}{2}\right)=(0,0)\)
தொலைவு d =\(\sqrt { ({ x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 })^{ 2 }+({ y }_{ 2 }-{ y }_{ 1 })^{ 2 } } \)
AD இன் தொலைவு =\(\sqrt { (-3-0)^{ 2 }+(2-0)^{ 2 } } \)
=\(\sqrt { 9+4 } =\sqrt { 13 } \) அலகுகள் 
BD இன் தொலைவு =\(\\ \sqrt { (-3-0)^{ 2 }+(2-0)^{ 2 } } \)
=\(\sqrt { 9+4 } =\sqrt { 13 } \) அலகுகள் 
CD இன் தொலைவு=\(\sqrt { (-3-0)^{ 2 }+(2-0)^{ 2 } } \)
=\(\sqrt { 9+4 } =\sqrt { 13 } \) அலகுகள் 
தொலைவு AD= BD =CD=\(\sqrt { 13 } \)

எனவே கர்ணத்தின் நடுப்புள்ளி உச்சியிலிருந்து சமதொலைவில் உள்ளது. 

ABC என்பது இருசமபக்க செங்கோண முக்கோணம் 
D(x, y) என்பது  ஒரு புள்ளி மேலும் ABCD ஒரு சதுரம் மூலைவிட்டங்கள் AC மற்றும் BD ம் M ல் இருசமக் கூறிடும்.
AC நடுப்புள்ளி \(\left( \frac { { x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 } }{ 2 } ,\frac { { y }_{ 1 }+{ y }_{ 2 } }{ 2 } \right) \)
\(\left( \frac { -5+5 }{ 2 } ,\frac { 4+2 }{ 2 } \right) \)
\(\left( \frac { 0 }{ 2 } ,\frac { 6 }{ 2 } \right) = (0,3)\)
M என்பது BD ன் நடுப்புள்ளி ஆகும் 
\([\frac { -1+x }{ 2 } , \frac { -2+y }{ 2 } ] = (0,3)\)
\(\frac { -1+x }{ 2 }= 0 ⇒ x = 1\)
\( \frac { -2+y }{ 2 } = 0 ⇒ y = 8\)
D யின் ஆயத்தொலைவுகள் (1,8)

OD ⊥ AB ∴  D ஆனது நாண் AB ஐ இரு சமக்கூறிடும்.
நடுப்புள்ளி D \(\left( \frac { { x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 } }{ 2 } ,\frac { { y }_{ 1 }+{ y }_{ 2 } }{ 2 } \right) =\left( \frac { 8+10 }{ 2 } ,\frac { 6+0 }{ 2 } \right) \)
=\(\left( \frac { 18 }{ 2 } ,\frac { 6 }{ 2 } \right) \)=(9,3)
O (0,0), D (9, 3)
M என்பது  ODன் மையப்புள்ளி என்க.
நடுப்புள்ளி \(\left( \frac { { x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 } }{ 2 } ,\frac { { y }_{ 1 }+{ y }_{ 2 } }{ 2 } \right) =\left( \frac { 0+9 }{ 2 } ,\frac { 0+3 }{ 2 } \right) \)
=\(\left( \frac { 9 }{ 2 } ,\frac { 3 }{ 2 } \right) \)
ODயின் மையப்புள்ளி \(\left( \frac { 9 }{ 2 } ,\frac { 3 }{ 2 } \right) \).

புள்ளிகள் (3,4) மற்றும் (p,7) என்க.M என்பது AB ன் நடுப்புள்ளி.
நடுப்புள்ளி =\(\left( \frac { { x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 } }{ 2 } ,\frac { { y }_{ 1 }+{ y }_{ 2 } }{ 2 } \right) \)
\(\left( \frac { 3+p }{ 2 } ,\frac { 4+7 }{ 2 } \right) \)
\(= (\frac { 3+p }{ 2 },\frac { 11 }{ 2 } )\)
புள்ளி M  =\(\frac { 3+p }{ 2 } \),\(\frac { 11 }{ 2 } \) ஆனது 2x + 2y +1 = 0 என்ற சமன்பாட்டின் மேல் அமைந்துள்ளது.
கொடுக்கப்பட்டுள்ளது 
\(2\left( \frac { 3+p }{ 2 } ,\frac { 11 }{ 2 } \right) + 1 = 0\) 
3+p+11+1 =0
p+ 15 = 0
p =-15

O (-4,2) என்பது வட்டத்தின் மையம் A  (-3,7) மற்றும் B (-3,7) என்பது வட்டத்தின் விட்டம் 
O என்பது AB ன் நடுப்புள்ளி (OA = OB = ஆரம்)
நடுப்புள்ளி M = \(\left( \frac { { x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 } }{ 2 } ,\frac { { y }_{ 1 }+{ y }_{ 2 } }{ 2 } \right) \)
நடுப்புள்ளி O =\(\\ \left( \frac { x-3 }{ 2 } ,\frac { y+7 }{ 2 } \right) \)=(-4,2)
\(\frac { -3+ x }{ 2 } =-4/1\)
-3 + x₂ = -8
x₂ = -8 + 3
x = -5 
\(\frac { y_ 1+y _ 2 }{ 2 } =2/1\) 
7 + y₂ = 4
y₂ = 4 - 7
y = -3
விட்டத்தின் மறுமுனை (-5,-3)

புள்ளிகள் A(−3,5) மற்றும் B(x₂ , y₂ ) என்க.
புள்ளி P(-2, 3) ஆனது AB ஐ உட்புறமாக 1:6 என்ற விகிதத்தில் பிரிக்கின்றது எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
பிரிவுச் சூத்திரத்தின் படி P\(\left( \frac { { mx }_{ 2 }+{ nx }_{ 1 } }{ m+n } ,\frac { { my }_{ 1 }+{ ny }_{ 1 } }{ m+n } \right) \)=P(-2, 3)
\(p\left(\frac{1\left(x_2\right)+6(-3)}{1+6}, \frac{1\left(y_2\right)+6(5)}{1+6}\right)=P(-2,3)\)
ஆயத் தொலைவுகளைச் சமப்படுத்த
\(\frac { { x }_{ 2 }-18 }{ 7 } \)=-2
x₂ −18 = −14
x₂ = 4
\(\frac { { y }_{ 2 }+30 }{ 7 } \)=3
y₂ + 30 = 21
y₂ = −9
ஆகவே, புள்ளி B இன் ஆயத்தொலைவுகள் (4, -9) ஆகும்.

கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் A(3, 5), B(8, -10) என்க. மேலும் புள்ளி P(x,y) ஆனது கோட்டுத்துண்டு AB ஐ 3:2 என்ற விகிதத்தில் உட்புறமாகப் பிரிக்கும் புள்ளி என்க.
பிரிவுச் சூத்திரத்தின்படி,
P(x, y)=P\(\left( \frac { m{ x }_{ 2 }+n{ x }_{ 1 } }{ m+n } ,\frac { m{ y }_{ 2 }+n{ y }_{ 1 } }{ m+n } \right) \)
இங்கு, x₁ = 3, y₁ = 5, x₂ = 8, y₂ = −10 மற்றும் m = 3, n = 2
ஆகையால், P(x, y) = P\(\left( \frac { 3(8)+2(3) }{ 3+2 } ,\frac { 3(-10)+2(5) }{ 3+2 } \right) \)
= P\(\left( \frac { 24+6 }{ 5 } ,\frac { -30+10 }{ 5 } \right) \)=P(6, -4)

கொடுக்கப்பட்டுள்ள புள்ளிகள் A(−2,−1) மற்றும் B(4,8) என்க.
AB ஐ மூன்று சமப் பாகங்களாகப் பிரிக்கும் புள்ளிகள் P(a, b) மற்றும் Q(c, d) என்க.
ஆகவே AP=PQ=QB ஆகும்.
மேலே நிறுவப்பட்ட சூத்திரத்தின்படி, புள்ளி P ஆனது 
\(\left( \frac { { x }_{ 2 }+{ 2x }_{ 1 } }{ 3 } ,\frac { { y }_{ 2 }+{ 2y }_{ 1 } }{ 3 } \right) =\left( \frac { 4+2(-2) }{ 3 } ,\frac { 8+2(-1) }{ 3 } \right) =(\frac {4-4}{3},\frac {8-2}{3})\) = (0, 2)
மற்றும் புள்ளி Q ஆனது
\(\left( \frac { { 2x }_{ 2 }+{ x }_{ 1 } }{ 3 } ,\frac { 2{ y }_{ 2 }+{ 2y }_{ 1 } }{ 3 } \right) =\left( \frac { 2(4)-2 }{ 3 } ,\frac { 2(8)(-1) }{ 3 } \right)=(\frac {8-2}{3},\frac {16-1}{3}) \) = (2, 5)

AC ன் நடுப்புள்ளி
x + 1/2 , 3 + 3/2
x + 1 = 6
x = 5

\(\left(\frac{m x_2+n x_1}{m+n}, \frac{m y_2+n y_1}{m+n}\right)\) பிரிவுச் சூத்திரப்படி 
x அச்சுத் தொலைவு = 0
\(\frac{\mathrm{m}(2)+(-5) \mathrm{n}}{\mathrm{m}+\mathrm{n}} =0 \)
\(\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{n}} =\frac{5}{2} \)
\(\mathrm{~m}: \mathrm{n} =5: 2 \)
BD ன் நடுப்புள்ளி (3, 4) 

\(\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right) =\left(\frac{-a-3 a}{2}, \frac{2 b-4 b}{2}\right) =(-2 a,-b) \)

\(\left(\frac{m x_2+n x_1}{m+n}, \frac{m y_2+n y_1}{m+n}\right)\) பிரிவுச் சூத்திரப்படி 
y அச்சுத் தொலைவு = 0
\(\left(\frac{m (1)+n (6)}{m+n}, \frac{m (-7)+n (4)}{m+n}\right)\)
\(\therefore \frac{m(-7)+n(4)}{m+n}=0 \)
\(\Rightarrow -7 m+4 n=0 \)
\(\therefore m: n=4: 7 \)

\(\left(\frac{m a _2+n a _1}{m+n}, \frac{m b _2+n b _1}{m+n}\right) =(x ,0) \)
\(\frac{m b _2+n b _1}{m+n} = 0\)
\(\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_1}{2}\right)\) = (x, 0)
\(\Rightarrow m b_2+n b_1 =0 \)
\(\Rightarrow \frac{m}{n}=-\frac{b_1}{b_2}\)

\(\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_1}{2}\right)\) நடுப்புள்ளி
\(\Rightarrow \left(\frac{x_1+3}{2}, \frac{y_1+4}{2}\right) =(-3,2) \)
\(\frac{x_1+3}{2} = -3\)
x + 3 = -6
x = 9
\(\frac{y_1+4}{2} = 2\)
y + 4 = 4
y = 0
\(\Rightarrow x_1 =-9 ; y_1=0 \)

\(\left(\frac{m x_2+n x_1}{m+n}, \frac{m y_2+n y_1}{m+n}\right) =(1,6) \)
(1, 6) = \((\frac {m(-2) +n (2)}{m + n}, \frac {m(3) +n (7)}{m + n})\)
\((\frac {-2m +2n }{m + n}, \frac {3m +7n }{m + n})\)
x அச்சுத் தொலைவு \(=\frac{-2 m+2 n}{m+n}=\frac{1}{1} \)
\(-3 m =-n \)
\(\frac{m}{n} =\frac{1}{3} \Rightarrow 1: 3\)

\(\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_1}{2}\right)\) நடுப்புள்ளி
\(\Rightarrow \left(\frac{-4-2}{2}, \frac{3+4}{2}\right)=\left(\frac{a }{3}, \frac{b}{2}\right) = \left(\frac{-6 }{2}, \frac{7}{2}\right) \)
\(\Rightarrow \ a=-9 ; b=7 \)

m : n = 2 : 1
\(\left(\frac{m x_2+mx_1}{m+n}, \frac{m y_2+n y_1}{m+n}\right) =\left(\frac{2(5)+1[2)}{2+1}, \frac{2(7)+1(4)}{2+1}\right) =(4,6) \)