(i) கனசதுரத்தின் பக்க அளவு (a) =5செமீ
கன அளவு a³=5³
= 5 x 5 x 5 = 125செமீ³
கனசதுரத்தின் கன அளவு = 25 செமீ³
(ii) கனசதுரத்தின் பக்க அளவு (a) =3.5செமீ³
கன அளவு a³=(3.5)³
=3.5 x 3.5 x 3.5 மீ³
= 42.875மீ³
கனசதுரத்தின் கன அளவு =42.875 மீ³
(iii)கனசதுரத்தின் பக்க அளவு (a) =21செ.மீ 
கன அளவு a³=(21)³
= 21 x 21 x 21 மீ³
= 9261 மீ³
கனசதுரத்தின் கன அளவு = 9261 செமீ³

பானையில் உள்ள பந்துகளின் எண்ணிக்கை n(S)=24
சிவப்புநிற பந்துகளின் எண்ணிக்கை n(R) =3
நீலநிற பந்துகளின் எண்ணிக்கை n(B) = 5
பச்சை நிற பந்துகளின் எண்ணிக்கை n(G)=16
1. ஒரு நீலநிறப் பந்து எடுப்பதற்கான நிகழ்தகவு \(P(B)=\frac { n(B) }{ n(S) } =\frac { 5 }{ 24 } \)
2. ஒரு சிவப்புநிறப் பந்து எடுப்பதற்கான நிகழ்தகவு\(P(R)=\frac { n(R) }{ n(S) } =\frac { 3 }{ 24 } =\frac{1}{8}\)
3. ஒரு பச்சைநிறப் பந்து எடுப்பதற்கான நிகழ்தகவு\(P(G)=\frac { n(G) }{ n(S) } =\frac { 16 }{ 24 } =\frac { 2 }{ 3 } \\ \)

ஒரு பின்னத்தின் தொகுதி x என்க.
அதன் பகுதி y என்க
x + y = 12                    ....(1)
\(\frac{x}{y+3}=\frac{1}{2}\)
2x = y + 3
2x - y = 3                     ....(2)

                                           y = 7
y = 7 என (1) ல் பிரதியிட
x + 7 = 12
x = 12 - 7 = 5
\(\therefore\) \(\frac{x}{y}=\frac{5}{7}\)

படத்திலிருந்து, மூலைவிட்டம் AC ஆனது 
இணைகரம் ABCD இருசம பாகங்களாகப் பிரிக்கிறது.
∆ABC யின் பக்கங்கள, a=34மீ, b=20மீ மற்றும் c=42மீ 
\(S=\frac { a+b+c }{ 2 } =\frac { 34+20+42 }{ 2 } =\frac { 96 }{ 2 } =48\)
∆ABC யின் பரப்பளவு \(\sqrt { S(s-a)(s-b)(s-c) } \)
\(=\sqrt { 48(48-34)(48-20)(48-42) } \)
\(=\sqrt { 48\times 14\times 28\times 6 } \)
\(=\sqrt { 112896 } \)
=336 ச.மீ
இணைகரம் ABCDஇன் பரப்பளவு=2 x ∆ABC யின் பரப்பளவு 
=2x 336=672ச.மீ
இணைகரத்தின் பரப்பளவு = 672 மீ²

விளைவுகளானது , S = { 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6} 
E என்பது  4 ஐ விடப் பெரிய  எண் கிடைக்கும்  நிகழச்சி என்க 
E  = { 5, 6} 

P(E) = \(\frac { n\left( E \right) }{ n\left( S \right) } \) = \(\frac { 2 }{ 6 } \) = 0.333...  

a = 28 மீ, b = 15 மீ மற்றும் c = 41மீ என்க.
இப்போது, s = \(\frac {a +b |+c }{2}=\frac {28+15+41}{2}=\frac {84}{2}\)= =42 மீ 
முக்கோண வயலின் பரப்பளவு=\(\sqrt { s(s-a)(s-b)(s-c) } \)
=\(\sqrt {42(42-28)(42-15)(42-41)}\)
=\(\sqrt {42 \times 14\times17\times1}\)
=\(\sqrt {2 \times 3\times 7\times 7\times 2\times 3\times 3\times 3\times 1}\)
=126 ச.மீ
1 ச.மீ வயலைச் சமப்படுத்த ஆகும் செலவு = ₹ 20
126 ச.மீ சமப்படுத்த ஆகும் செலவு = 20 × 126 = ₹ 2520.

ΔABC ன் முனைப்புள்ளிகள் A(x₁, y₁,), B(x₂, y₂) மற்றும் C(x₃,y₃) என்க. AB, BC மற்றும் CA ன் நடுப்புள்ளிகள் (2,4), (-2, 3) மற்றும் (5, 2) ஆகும்.
நடுப்புள்ளி \(\left( \frac { { x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 } }{ 2 } ,\frac { { y }_{ 1 }+{ y }_{ 2 } }{ 2 } \right) \)
\(\frac { { x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 } }{ 2 } \) ⇒ x₁ + x₂ = 4  ...(1)
\(\frac { { x }_{ 2 }+{ x }_{ 3 } }{ 2 } \) ⇒ x₂ + x₂ = -4   .....(2)
\(\frac { { x }_{ 3 }+{ x }_{ 1 } }{ 2 } \) ⇒ x₂ + x₁ = 10......(3)
(1), (2) மற்றும் (3) ஐ கூட்ட
2x₁+ 2x₂ + 2x₃ = 4 - 4+ 10 = 10
x₁ + x₂ + x₃ = 5   -----(4)
(4)-(2) ⇒ x₁ = 5-(-4)= 9
(4)-(3) ⇒ x₂ = 5 - 10 = -5
(4)-(1) ⇒ x₃ = 5 - 4 = 1
\(\frac { { y }_{ 1 }+{ y }_{ 2 } }{ 2 } =4\) ⇒ y₁+y₂=8   ...(5)
\(\frac { { y }_{ 2 }+{ y }_{ 3 } }{ 2 } =3\) ⇒ y₂+y₃=6  ....(6)
\(\frac { { y }_{ 3 }+{ y }_{ 1 } }{ 2 } =2\) ⇒ y₃+y₁=4 .....(7)
(5), (6) மற்றும் (7) ஐ கூட்ட
2y₁ + 2y₂ + 2y₃ = 8 + 6 + 4 = 18
y₁+y₂+y₃=9      ............(8)
(8)-(6) ⇒ y₁=9-6=3
(8)-(7) ⇒ y₂=9-4=5
(8)-(7) ⇒ y₃ = 9-8=1


y₁ = 3 என (6) - ல் பிரதியிட 
3 + y₃ = 4
y₃ = 1
y₃ = 1 எனில் (4) -ல் பிரதியிட 
1 + y₂ = 6
y₂ = 5
ΔABC ன் முனைப்புள்ளிகள் (9, 3), B (-5, 5) மற்றும் C(1,1)

O (-4,2) என்பது வட்டத்தின் மையம் A  (-3,7) மற்றும் B (-3,7) என்பது வட்டத்தின் விட்டம் 
O என்பது AB ன் நடுப்புள்ளி (OA = OB = ஆரம்)
நடுப்புள்ளி M = \(\left( \frac { { x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 } }{ 2 } ,\frac { { y }_{ 1 }+{ y }_{ 2 } }{ 2 } \right) \)
நடுப்புள்ளி O =\(\\ \left( \frac { x-3 }{ 2 } ,\frac { y+7 }{ 2 } \right) \)=(-4,2)
\(\frac { -3+ x }{ 2 } =-4/1\)
-3 + x₂ = -8
x₂ = -8 + 3
x = -5 
\(\frac { y_ 1+y _ 2 }{ 2 } =2/1\) 
7 + y₂ = 4
y₂ = 4 - 7
y = -3
விட்டத்தின் மறுமுனை (-5,-3)

\(\sin\theta =\frac { a }{ \sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } } } \) எனில் 
பிதாகரஸ் தேற்றத்தின் படி,

\(AB=\sqrt { { AC }^{ 2 }{ -BC }^{ 2 } } \\ =\sqrt { { { \sqrt { ({ { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } }) } } }^{ 2 }{ -a }^{ 2 } } \\ =\sqrt { { a }^{ 2 }{ +b }^{ 2 }{ -a }^{ 2 } } \\ =\sqrt { { b }^{ 2 } } =2\)

b sin θ = a cos θ
\(b \sin\theta =b\times \frac { a }{ \sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } } } =\frac { a }{ \sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } } } \)
\(\sin\theta =b\times \frac { a }{ \sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } } } =\frac { a }{ \sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } } } \)
∴ b sin θ = a cos θ
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

ΔABD யில், பிதாகரஸ் தேற்றப்படி,
AD = \(\sqrt{AB^2-BD^2}\)
      = \(\sqrt{13^2-5^2}\)
      = \(\sqrt{169-25}\)
      = \(\sqrt{144}\) = 12

ΔADC யில்
\(AC=\sqrt { { AD }^{ 2 }{ +DC }^{ 2 } } \)
\(=\sqrt { { 12 }^{ 2 }{ +16 }^{ 2 } } \)
\(=\sqrt { 144+256 } \)
\(=\sqrt { 400 } =20\)

 

கொடுக்கப்பட்டுள்ள சமன்பாடு 3(x+1)=3(5-x)-2(5+x)
x=1/4 என பிரதியிட,
3(x+1)=3(5-x)-2(5+x)
3(1/4+1)=3(5-1/4)-2(5+1/4)
\(3\left( \frac { 1+4 }{ 4 } \right) =3\left( \frac { 20-1 }{ 4 } \right) -2\left( \frac { 20+1 }{ 4 } \right) \)
\(3\times \frac { 5 }{ 4 } =3\times \frac { 19 }{ 4 } -2\times \frac { 21 }{ 2 } \)
\(\frac { 15 }{ 4 } =\frac { 57 }{ 4 } -\frac { 42 }{ 4 } =\frac { 15 }{ 4 } \)
=\(\frac { 15 }{ 4 } =\frac { 15 }{ 4 } \) சமம்
எனவே 1/4 என்பது 3(x + 1) = 3( 5–x) – 2( 5 + x) என்ற சமன்பாட்டின் தீர்வாகும்.

கனச்செவ்வகத்தின் பக்க அளவுகள் l = 7x, b = 5x மற்றும் h =2x என்க
இங்குக் கனச்செவ்வகத்தின் கனஅளவு = 35840 செமீ³
l\(\times\) b \(\times\) h = 35840
(7x) (5x) (2x) = 35840
70x³ = 35840
\({ x }^{ 3 }=\frac { 35840 }{ 70 } \)
x³ = 512
\(x=\sqrt [ 3 ]{ 8\times 8\times 8 } \)
x = 8 செமீ
கனச்செவ்வகத்தின் நீளம் = 7x = 7 \(\times\) 8 = 56 செமீ
கனச்செவ்வகத்தின் அகலம் = 5x = 5 \(\times\) 8 = 40 செமீ
கனச்செவ்வகத்தின் உயரம் = 2x = 2 \(\times\) 8 = 16 செமீ

கனச்சதுரத்தின் பக்க அளவு (a) = 5 செமீ
மொத்தபரப்பு  = 6a² = 6(5² ) = 150 ச.செமீ
பக்கப்பரப்பு= 4a² = 4(5² ) = 100 ச.செமீ

70⁰13' = 70⁰12' + 1' என எழுதலாம் 
அட்டவணையிலிருந்து  tan 70⁰12'  = 2.7776
பொது வித்தியாசம்                      1'  =        26  (tan -ற்குப் பொது வித்தியாசத்தைக் கூட்டவும்  )
                                               __________________
                                              tan 70⁰13' = 2.7802
                                              ___________________ 

64⁰34' = 64⁰30' + 4' என எழுதலாம் 
அட்டவணையிலிருந்து  sin 64⁰30'  = 0.9026
பொது வித்தியாசம்                4 = 5  (sine-ற்குப் பொது வித்தியாசத்தைக் கூட்டவும் )
                                          __________________
                                         sin 64⁰34 = 0.9031
                                        ___________________ 

A(−11,4) மற்றும் B(9,8)ஐ இணைக்கும் கோட்டுத் துண்டை நான்கு சமப் பாகங்களாகப் பிரிக்கும் புள்ளிகள் P, Q, R என்க. இங்கு AP = PQ = QR = RB .
இங்கு AB இன் நடுப்புள்ளி P மற்றும் QB இன் நடுப்புள்ளி R என்க.
AB இன் நடுப்புள்ளி Q=\((\frac {-11+9}{2}, \frac{4+8}{2})=(\frac {-2}{2},\frac{12}{2})\)=(-1, 6)
AQ இன் நடுப்புள்ளி P=\((\frac {-11-1}{2}, \frac{4+6}{2})=(\frac {-12}{2},\frac{10}{2})\)=(-6, 5)
QB இன் நடுப்புள்ளி R=\((\frac {-1+9}{2}, \frac{6+8}{2})=(\frac {8}{4},\frac{14}{2})\)=(4, 7)
எனவே கோட்டுத்துண்டு AB ஐ நான்கு சமபாகங்களாகப் பிரிக்கும் புள்ளிகள் P(-6, 5), Q(-1, 6) மற்றும் R(4, 7) ஆகும்.

A இன் ஆயத்தொலைவு (x₁, y₁) என்க , B(5,−6) எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது விட்டம் AB இன் நடுப்புள்ளி வட்டத்தின் மையம் என்பதால், நாம் பெறுவது,
\(\frac { { x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 } }{ 2 } =3\)
x₁ + 5 = 6

x₁ = 6 − 5
x₁ = 1
\(\frac { { y }_{ 1 }+{ y }_{ 2 } }{ 2 } =-4\)
y₁ − 6 = −8
y₁ = −8 + 6
y₁ = −2
எனவே, A இன் ஆயத்தொலைவுகள் (1, -2) ஆகும்.

இதற்கு முன்பே அட்டவணையை அமைத்து, புள்ளிகளை வரிசைப் படுத்துவதுடன், சோடிப் புள்ளிகளை வரைபடத்தில் குறித்து அவற்றை இணைப்பது பற்றிய ஒரு வழிமுறையை நாம் கடந்து வந்திருக்கிறோம். ஆனால், ஒரு கோட்டை நிர்ணயிக்க குறைந்தது எத்தனை புள்ளிகள் நமக்குத் தேவை? இரண்டு புள்ளிகள் போதுமானதே. ஒரு கோடு y = mx + c என்ற வடிவில் இருந்தால் இதனை எளிதில் காணலாம்.
கொடுக்கப்பட்ட கோடு y = 4x - 3
y - வெட்டுத்துண்டைப் பெற
x = 0 எனப் பிரதியிட, y =4(0) - 3
y = -3
இதிலிருந்து (0, -3) என்ற புள்ளியும்
y - வெட்டுத்துண்டு = -3 எனவும் கிடைக்கிறது
x - வெட்டுத்துண்டைப் பெற
y = 0 எனப் பிரதியிட, 0 = 4x - 3
3 = 4x
\(\frac { 3 }{ 4 } =x\)

இதிலிருந்து \(\left( \frac { 3 }{ 2 } ,0 \right) \) என்ற புள்ளி மற்றும் x - வெட்டுத்துண்டு =\(\frac { 3 }{ 4 }\) எனவும் கிடைக்கிறது.
இப்பொழுது (0, -3) மற்றும் \(\left( \frac { 3 }{ 4 } ,0 \right) \) என்ற இரண்டு புள்ளிகளின் வழியே வரைபடத்தை வரையலாம்.

AB இன் சாய்வு = \(\frac { { y }_{ 2 }-{ y }_{ 1 } }{ { x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 } } =\frac { 3 }{ 5 } \)

EF இன் சாய்வு =\(\frac { 4 }{ 7 } \)
PQ இன் சாய்வு = வரையறுக்கப்படாதது
RS இன் சாய்வு =0.
   

இங்கு இனிப்புப் பெட்டியின் நீளம் (l) = 22செமீ, அகலம் (b) = 18 செமீ, உயரம் (h) = 10செமீ.
ஓர் இனிப்புப் பெட்டியின் கன அளவு = l \(\times\) b \(\times\) h
= 22 \(\times\) 18 \(\times\) 10 செமீ³
அட்டைப் பெட்டியின் நீளம் (l) = 1மீ = 100 செமீ,

அகலம் (b) = 88 செமீ, உயரம் (h) = 63 செமீ.
அட்டைப் பெட்டியின் கனஅளவு =  l \(\times\) b \(\times\) h
= 100 \(\times\) 88 \(\times\) 63 செமீ³
அட்டைப் பெட்டியில் அடுக்க இயலும் இனிப்புப் பெட்டிகளின் எண்ணிக்கை

\(=\frac { 100\times 88\times 63 }{ 22\times 18\times 10 } \)
= 140 பெட்டிகள்

நூற்றுக்கு நூறு பெற்ற மாணவர்கள்  = 1184 ஆகவே  n  = 1184
(i) E₁ என்பது கணிதத்தில் நூற்றுக்கு நூறு பெற்ற மாணவர்கள் உள்ள நிகழ்ச்சி என்க.
ஆகையால் n(E₁)  = 233, அதாவது  r₁ = 233
P(E₁) = \(\frac { { r }_{ 1 } }{ n } =\frac { 233 }{ 1184 } \)
(ii) E₂ என்பது அறிவியலில் நூற்றுக்கு நூறு பெற்ற மாணவர்கள் உள்ள நிகழ்ச்சி என்க.
ஆகையால்  n(E₂ ) = 1069 , அதாவது , r₂ = 106
P(E₂) = \(\frac { { r }_{ 2 } }{ n } =\frac { 106 }{ 1184 } \)
ஆகவே அறிவியலில் நூற்றுக்கு நூறு பெறாதவராக இருக்க  நிகழ்தகவு
 P(E'₂) = 1 - P(E₂)
= 1 - \(\frac { 106 }{ 1184 } \) = \(\frac { 1078 }{ 1184 } \)

ABCD என்பது ஒரு சாய்சதுரம் என்க.
அதன் சுற்றளவு = 4 × பக்கம் = 400 மீ

ஆகவே சாய்சதுரத்தின் ஒவ்வொரு பக்கமும் 100 மீ ஆகும்.
இங்கு, மூலைவிட்டம் AC= 120 மீ
\(\triangle \)ABC இல் a =100 மீ, b =100 மீ, c =120 மீ எனில்,
அரைச் சுற்றளவு s = \(\frac {a +b +c }{2}=\frac {100+100+120}{2}\)=160 மீ 
\(\triangle \)ABC இன் பரப்பு =\(\sqrt {160(160-100)(160-100)(160-120)}\)
=\(\sqrt {160 \times 60\times 60\times 40}\)
=\(\sqrt {40\times 2\times 2\times 60\times 60\times 40}\)
=40 × 2 × 60 = 4800மீ²
ஆகவே, சாய்சதுர நிலம் ABCD இன் பரப்பு = 2 × \(\triangle \)ABC இன் பரப்பு =× 4800 = 9600 மீ²

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடுகளின் தொகுப்பு 3x + 5y − 21 = 0; −7x − 6y + 49 = 0
கெழுக்களைக் குறுக்குப் பெருக்கல் முறைக்காக எழுத நாம் பெறுவது,

\(\Rightarrow \frac { x }{ (5)(49)-(-6)(-21) } =\frac { y }{ (-21)(-7)-(49)(3) } =\frac { 1 }{ (3)(-6)-(-7)(5) } \)
\(\frac { x }{ 119 } =\frac { y }{ 0 } =\frac { 1 }{ 17 } \)
\(\Rightarrow \frac { x }{ 119 } =\frac { 1 }{ 17 } ,\frac { y }{ 0 } =\frac { 1 }{ 17 } \)
\(\Rightarrow x=\frac { 119 }{ 17 } ,y=\frac { 0 }{ 17 } \)
\(\Rightarrow \) x = 7, y = 0
சரிபார்த்தல்:
3x+5y = 21 ...(1)
3(7)+5(0) = 21
21 + 0 = 21
21 = 21 மெய்
–7x – 6y = –49 ...(2)
–7(7) – 6(0) = –49
–49 + 0 = –49
–49 = –49 மெய்

(i) \(\left( \frac { \cos47° }{ \sin43° } \right) ^{ 2 }\left( \frac { \sin72° }{ \cos18° } \right) ^{ 2 }-2{ \cos }^{ 2 }45°\)
\(=\left( \frac { \cos({ 90 }^{ \circ }-{ 43 }^{ \circ }) }{ { \sin43 }^{ \circ } } \right) +{ \left( \frac { \sin({ 90 }^{ \circ }-{ 18 }^{ \circ }) }{ { \cos18 }^{ \circ } } \right) }^{ 2 }-{ 2\cos }^{ 2 }{ 45 }^{ \circ }\)
\(={ \left( \frac { { \sin43 }^{ \circ } }{ { \sin43 }^{ \circ } } \right) }^{ 2 }{ +\left( \frac { { \cos18 }^{ \circ } }{ { \cos18 }^{ \circ } } \right) }^{ 2 }-{ 2\cos }^{ 2 }{ 45 }^{ \circ }\)
\({ (1) }^{ 2 }+{ (2) }^{ 2 }-2{ \left( \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \right) }^{ 2 }\)
1 + 1 - 2 x 1/2 = 2 - 1 = 1
(ii) \(\frac { \cos70° }{ \sin20° } +\frac { \cos59° }{ \sin31° } +\frac { \cos \theta }{ \sin\left( 90°-\theta \right) } -8{ \cos }^{ 2 }60°\)
\(\left( \frac { \cos({ 90 }^{ \circ }-{ 20 }^{ \circ }) }{ { \sin20 }^{ \circ } } \right) +{ \left( \frac { \sin({ 90 }^{ \circ }-{ 31 }^{ \circ }) }{ { \sin31 }^{ \circ } } \right) }^{ 2 }+\frac { \cos\theta }{ \cos\theta } -8\times { \left( \frac { 1 }{ 2 } \right) }^{ 2 }\)
\(\left( \frac { \sin { 20 }^{ \circ } }{ { \sin20 }^{ \circ } } \right) +{ \left( \frac { \sin({ 31 }^{ \circ }) }{ { \sin31 }^{ \circ } } \right) }+\frac { \cos\theta }{ \cos\theta } -8\times { \left( \frac { 1 }{ 4 } \right) }\)
1 + 1 + 1 - 2 = 3 - 2 = 1
(iii) tan15⁰ tan30⁰ tan45⁰ tan60⁰ tan75⁰  

(iv)  \(\frac { \cot\theta }{ \tan\left( 90°-\theta \right) } +\frac { \cos\left( 90°-\theta \right) \tan\theta \sec(90°-\theta ) }{ \sin\left( 90°-\theta \right) \cot\left( 90°-\theta \right) cosec(90°-\theta ) } \)

(i) sin 30⁰ + cos30⁰ = \(\frac { 1 }{ 2 } +\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } =\frac { 1+\sqrt { 3 } }{ 2 } \)
(ii)  tan60°.cot60° = \(\sqrt { 3 } \times \frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } =1\)
(iii) \(\frac { \tan45° }{ \tan30°+\tan60° } \) = \(\frac { 1 }{ \frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } +\frac { \sqrt { 3 } }{ 1 } } \)
= \(\frac { 1 }{ \frac { 1+\left( \sqrt { 3 } \right) ^{ 2 } }{ \sqrt { 3 } } } =\frac { 1 }{ \frac { 1+3 }{ \sqrt { 3 } } } =\frac { \sqrt { 3 } }{ 4 } \)
(iv) sin²45⁰ + cos²45⁰   = \(\left( \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \right) ^{ 2 }+\left( \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \right) ^{ 2 }\quad \)
= \(\frac { { 1 }^{ 2 } }{ \left( \sqrt { 2 } \right) ^{ 2 } } +\frac { { 1 }^{ 2 } }{ \left( \sqrt { 2 } \right) ^{ 2 } } =\frac { 1 }{ 2 } +\frac { 1 }{ 2 } =1\)

ØABC இன் முனைகள் A(x₁, y₁), B(x₂ , y₂ ) மற்றும் C(x₃ , y₃) என்க. மேலும் பக்கங்கள் AB, BC மற்றும் CA இன் நடுப்புள்ளிகள் முறையே (5, 1), (3, -5) மற்றும் (-5, -1) என்க.
\(\frac { { x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 } }{ 2 } =5\)\(\Rightarrow \)x₁ + x₂ = 10 ----(1)
\(\frac { { x }_{ 2 }+{ x }_{ 3 } }{ 2 } =3\)\(\Rightarrow \)x₂ + x₃ = 6 ----(2)
\(\frac { { x }_{ 3 }+{ x }_{ 1 } }{ 2 } =-5\)\(\Rightarrow \)x₃ + x₁ = –10 ----(3)
(1), (2) மற்றும் (3) ஐக் கூட்டக் கிடைப்பது, 
2x₁ + 2x₂ + 2x₃ = 6
2 ஆல் வகுக்க,
x₁ + x₂ + x₃ = 3 -----(4)
(4) − (2) \(\Rightarrow \) x₁ = 3 − 6 = −3
(4) − (3) \(\Rightarrow \) x₂ = 3 + 10 = 13
(4) − (1) \(\Rightarrow \) x₃ = 3 −10 = −7
\(\frac { { y }_{ 1 }+{ y }_{ 2 } }{ 2 } =1\)\(\Rightarrow \)y₁ + y₂ = 2 ------(5)
\(\frac { { y }_{ 2 }+{ y }_{ 3 } }{ 2 } =-5\)\(\Rightarrow \)y₂ + y₃ = –10 -----(6)
\(\frac { { y }_{ 3 }+{ y }_{ 1 } }{ 2 } =-1\)\(\Rightarrow \)y₃ + y₁ = –2 …(7)
(5), (6) மற்றும் (7) ஐக் கூட்ட கிடைப்பது
2y₁ + 2y₂ + 2y₃ = −10
2 ஆல் வகுக்க
y₁ + y₂ + y₃ = −5 ------(8)
(8) − (6) \(\Rightarrow \) y₁ = −5 +10 = 5
(8) − (7) \(\Rightarrow \) y₂ = −5 + 2 = −3
(8) − (5) \(\Rightarrow \) y₃ = −5 − 2 = −7
முக்கோணத்தின் மூன்று முனைகள் A(-3, 5), B(13, -3) மற்றும் C(-7, -7) ஆகும்.

தேவையான செங்கற்கள் 

4a² = 600 ⇒ a² = 150
6a² = 6 x 150 = 900

ஒரு சோதனையின் ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட விளைவுகளின் தொகுப்பு நிகழ்ச்சி ஆகும்.(வரையறை)

P (A) + P (A)′ = 1

இரண்டும் இணைகோடுகள் 

a மற்றும் b இரண்டும் பூஜ்ஜியமாக இருக்கக்கூடாது.

2x + 3y = k
2(2) + 3(3) = k 
= 4 + 9 = 13

2 sin 2θ = \(\sqrt { 3 } \)
sin 2θ = \(\sqrt { 3 } \)/2 = sin 60^o ⇒ 2θ = 60^o
⇒ θ = 30^o

AC ன் நடுப்புள்ளி
x + 1/2 , 3 + 3/2
x + 1 = 6
x = 5

\(\left(\frac{m x_2+n x_1}{m+n}, \frac{m y_2+n y_1}{m+n}\right) =(1,6) \)
(1, 6) = \((\frac {m(-2) +n (2)}{m + n}, \frac {m(3) +n (7)}{m + n})\)
\((\frac {-2m +2n }{m + n}, \frac {3m +7n }{m + n})\)
x அச்சுத் தொலைவு \(=\frac{-2 m+2 n}{m+n}=\frac{1}{1} \)
\(-3 m =-n \)
\(\frac{m}{n} =\frac{1}{3} \Rightarrow 1: 3\)

\(\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_1}{2}\right)\) நடுப்புள்ளி
\(\Rightarrow \left(\frac{-4-2}{2}, \frac{3+4}{2}\right)=\left(\frac{a }{3}, \frac{b}{2}\right) = \left(\frac{-6 }{2}, \frac{7}{2}\right) \)
\(\Rightarrow \ a=-9 ; b=7 \)