Term 3 Algebra Solutions

Download Tamil Nadu 9th Standard Maths question papers, model tests, one-mark questions, important questions, and public exam papers in PDF format. Free study materials and answer keys for TN State Board students.

Questions:

Generic 2

20 x 2 = 40

புத்தகங்களை வாடகைக்கு வழங்கும் ஒரு நூலகம் முதல் இரண்டு நாள்களும் ஒரு குறிப்பிட்ட நிலையான வாடகைக் கட்டணத்தையும், அதற்குப் பிறகு ஒவ்வொரு நாளுக்கும் கூடுதல் கட்டணத்தையும் வசூலிக்கும் அமுதா 6 நாட்களுக்கு ரூ 22 உம், சாகர் 4 நாள்களுக்கு ரூ 16 உம் வாடகையாகச் செலுத்தினால், ஒரு நாளுக்குரிய கட்டணத்தையும், குறிப்பிட்ட நிலையான கட்டணத்தையும் காண்க.

ஒரு தொடர் வண்டியின முன்பதிவில் அரை மற்றும் முழுப் பயணச் சீட்டிற்கான முன்திவுக் கட்டணம் சமமானது. மும்பையிலிருந்து அகமதாபாத்திற்கான ஒரு முழுப் பயணச் சீட்டின் விலை ரூ 216. ஒரு முழு மற்றும் ஓர் அரைப் பயணச் சீட்டின் மொத்த விலை ரூ 327 எனில், ஒரு முழுப் பயணச் சீட்டு மற்றும் முன்பதிவிற்கான கட்டணங்கள் எவ்வளவு?

ஒரு நகரத்தில் உள்ள வாடகை மகிழுந்துக்கான கட்டண ம், பயணம் செய்த தூரத்திற்கான கட்டணத்தோடு ஒரு குறிப்பிட்ட நிலையான கட்டணமும் சேர்ந்ததாகும். 10 கி.மீ தூரப் பயணத்திற்கு ரூ75 மற்றும் 15 கி.மீ பயணத்திற்கு ரூ110 வாடகை யாக வசூலிக்கப்பட்டால், 25 கி.மீ தூரம் பயணம் செய்ய ஒருவர் எவ்வளவு வாடகைப் பணத்தைச் செலுத்த வேண்டியிருக்கும்? (வரைபடம் மூலமும் விளக்க முயற்சிக்கலாம்).

அர்ச்சுனன் வயது அவரது இரு மகன்களுடைய வயதுகளின் கூடுதலின் இரு மடங்காகும். 20 ஆண்டுகள் கழித்து அவரது வயது அவரின் இரு மகன்களுடைய வயதுகளின் கூடுதலுக்குச் சமம் எனில், அர்ச்சுனனின் வயது என்ன?

இரு எண்கள் 5 : 6 என்ற விகிதத்தில் உள்ளன. அவை ஒவ்வொன்றிலிருந்தும் முறையே 8 ஐக் கழித்தால் அவற்றின் விகிதம் 4 : 5 என மாறும் எனில், அந்த எண்களைக் காண்க.

ஒரு தொலைக்காட்சிப் பெட்டியை 5% இலாபத்திற்கும், ஒரு குளிர்சாதனப் பெட்டியை 10% இலாபத்திற்கும் விற்பதால் கடைக்காரருக்கு நிகர இலாபம் ரூ2,000 கிடைக்கிறது. ஆனால் அவர் ஒரு தொலைக்காட்சிப் பெட்டியை 10% இலாபத்திற்கும், ஒரு குளிர்சாதனப் பெட்டியை 5% நட்டத்திற்கும் விற்பதால் அவரின் நிகர இலாபம் ரூ1,500 கிடைக்கிறது எனில், தொலைக்காட்சிப் பெட்டி மற்றும் குளிர்சாதனப் பெட்டியின் சரியான விலைகளைக் காண்க .

ABCD என்ற வட்ட நாற்கரத்தில் \(\angle \)A = (4y + 20)°, \(\angle \)B = (3y –5)°, \(\angle \)C =(4x)° மற்றும் \(\angle \)D = (7x + 5)° எனில், நான்கு கோணங்களையும் காண்க.

A மற்றும் B என்ற புள்ளிகள் நெடுஞ்சாலையில் 70 கி.மீ இடைவெளியில் அமைந்துள்ளன . A இலிருந்து ஒரு மகிழுந்தும் B இலிருந்து மற்றொரு மகிழுந்தும் ஒரே நேரத்தில் புறப்படுகின்றன . அவை இரண்டும் ஒரே திசையில் பயணித்தால் 7 மணி நேரத்தில் ஒன்றையயொன்று சந்திக்கும். அவை இரண்டும் ஒன்றை நோக்கி மற்றொன்று பயணித்தால் 1 மணி நேரத்தில் சந்திக்கும் எனில், அம்மகிழுந்துகளின் வேகங்களைக் காண்க .

ஒரு பின்னத்தின் பகுதி மற்றும் தொகுதியின் கூடுதல் 12. அப்பின்னத்தின் பகுதியுடன் 3 ஐக் கூட்டினால் அதன் மதிப்பு \(\frac { 1 }{ 2 } \) ஆகும் எனில், அப்பின்னத்தைக் காண்க.

10.

ஓர் ஈரிலக்க எண்ணையும் அதன் இலக்கங்களை மாற்றுவதால் கிடைக்கும் எண்ணையும் கூட்டினால் 110 கிடைக்கும். கொடுக்கப்பட்ட அந்த ஈரிலக்க எண்ணிலிருந்து 10 ஐக் கழித்தால் அது கொடுக்கப்பட்ட ஈரிலக்க எண்ணின் இலக்கங்களின் கூடுதலின் 5 மடங்கை விட 4 அதிகம் எனில், அந்த எண்ணைக் காண்க.

11.

x= 3, x = 5 மற்றும் 2x – y – 4 = 0 என்ற சமன்பாடுகளுக்கு வரைபடம் வரைக. இந்தக் கோடுகளும் x - அச்சும் இணைந்து ஏற்படுத்தும் நாற்கரத்தின் பரப்பைக் காண்க.

12.

இரு வெவ்வேறு அளவு விட்டமுடைய குழாய்கள் மூலம் ஒரு நீச்சல் குளத்தில் முழுமையாக நீர் நிரப்ப 24 மணி நேரம் ஆகும். அதிக விட்டமுடைய குழாயை 8 மணி நேரமும் குறைந்த விட்டமுடைய குழாயை 18 மணி நேரமும் பயன்படுத்தி நீர் நிரப்பினால் நீச்சல் குளத்தில் பாதி அளவு நீர் நிரம்பும் எனில், தனித்தனியாக அந்த குழாய்களைக் கொண்டு நீச்சல் குளம் முழுவதிலும் நீர் நிரப்ப ஆகும் கால அளவுகளைக் காண்க.

13.

அட்சயா தனது பணப்பையில் (purse) இரண்டு ரூபாய் நாணயங்களையும், ஐந்து ரூபாய் நாணயங்களையும் வைத்திருந்தாள். அவள் மொத்தமாக ரூ. 220 மதிப்புடைய 80 நாணயங்களை வைத்திருந்தாள் எனில், ஒவ்வொன்றிலும் எத்தனை நாணயங்கள் வைத்திருந்தாள்.

14.

5 வருடங்களுக்கு முன்பு, ஒருவருடைய வயதானது அவருடைய மகனின் வயதைப் போல் 7 மடங்காகும். 5 வருடங்கள் கழித்து அவருடைய வயதானது மகனின் வயதைப் போல் 4 மடங்காக இருக்கும் எனில், அவர்களுடைய தற்போதைய வயது என்ன?

15.

A மற்றும் B ஆகியோரது மாத வருமானங்களின் விகிதம் 3:4 ஆகவும் அவர்களுடைய செலவுகளின் விகிதம் 5:7 ஆகவும் இருக்கின்றன. ஒவ்வொருவரும் மாதம் ரூ.5,000 சேமிக்கிறார்கள் எனில், அவர்களுடைய மாத வருமானத்தைக் காண்க.

16.

100 மற்றும் 1000 இக்கு இடையே அமையும் ஒரு மூன்றிலக்க எண்ணின் நடு இலக்கம் பூச்சியமாகவும் மற்ற இரு இலக்கங்களின் கூடுதல் 13 ஆகவும் இருக்கின்றன. இலக்கங்களை இடம் மாற்றி அமைக்கும்போது கிடைக்கும் எண்ணானது, அந்த எண்ணை விட 495 அதிகம் எனில், அந்த எண்ணைக் காண்க.

17.

இராமனின் வயது அவருடைய இரு மகன்களுடைய வயதுகளின் கூடுதலைப் போல் மூன்று மடங்காகும். ஐந்தாண்டுகள் கழித்து அவரின் வயது தனது மகன்களுடைய வயதுகளின் கூடுதலைப் போல் இரு மடங்காகும் எனில், இராமனின் தற்போதைய வயதைக் காண்க.

18.

இரண்டு மகிழுந்துகளுக்கு இடைப்பட்ட தொலைவு 100 மைல்கள். இரண்டும் ஒன்றையொன்று நோக்கிப் பயணித்தால் ஒரு மணி நேரத்தில் சந்தித்துக்கொள்ளும். இரண்டும் ஒரே திசையில் செல்லும்போது 2 மணி நேரத்தில் ஓரிடத்தில் சந்தித்து ஒன்றாகப் பயணிக்குமெனில், இரண்டு மகிழுந்துகளின் வேகங்களைக் (வரைபட முறையில்) கணக்கிடுக.

19.

\(\frac { 1 }{ 4 } \)என்பது 3(x + 1) = 3( 5–x) – 2( 5 + x) என்ற சமன்பாட்டின் தீர்வாகுமா என்பதைச் சோதித்துப் பார்.

20.

ஒரு மாறியில் அமைந்த நேரிய சமன்பாட்டிற்கு இரண்டு எடுத்துக்காட்டுகள் தருக.

Generic 3

10 x 3 = 30

21.

8x + 5y = 9; kx +10y = 15 என்ற சமன்பாடுகளின் தொகுப்பிற்குத் தீர்வுகள் இல்லையெனில் k இன் மதிப்பு காண்க.

22.

2x − 3y = 7; (k + 2)x − (2k +1)y = 3(2k −1) என்ற சமன்பாடுகளின் தொகுப்பிற்கு எண்ணற்ற தீர்வுகள் உண்டெனில் k இன் மதிப்பு காண்க.

23.

kx + 2y = 3; 2x − 3y = 1 என்ற சமன்பாடுகளின் தொகுப்பிற்கு ஒரேயொரு தீர்வு மட்டும் உண்டெனில் k இன் மதிப்பைக் காண்க.

24.

நீக்கல் முறையில் தீர்வு காண்க: 2x + 3y = 14 மற்றும் 3x - 4y = 4

25.

நீக்கல் முறையில் தீர்வு காண்க: 4a + 3b = 65 மற்றும் a + 2b = 35

26.

ஒருங்கமைந்த நேரிய சமன்பாடுகளைப் பிரதியிடல் முறையில் தீர்க்க: x + 3y = 16 மற்றும் 2x - y = 4

27.

x – 2y = 7 மற்றும் 2x + 3y = 7 என்ற ஒருங்கமைந்த சமன்பாடுகளுக்கு (5, −1) என்பது தீர்வாகுமா என்பதைச் சரிபார்க்க.

28.

கீழ்க்காண்பவற்றிற்கு வரைபடம் வரைக
(i) y = 2x
(ii) y = 4x -1
(iii) \(y=\left( \frac { 3 }{ 2 } \right) x+3\)
(iv) 3x + 2y = 14

29.

(வரைபடம் வரைதல் எளிதே!) y=4x-3 என்ற கோட்டின் சமன்பாட்டிற்கு வரைபடம் வரைக.

30.

கொடுக்கப்பட்ட படத்தில் இருக்கும் அமைத்துக் கோடுகளின் சாய்வுகளைக் காண்க.

Generic 5

6 x 5 = 30

31.

குறுக்குப் பெருக்கல் முறையைப் பயன்படுத்தித் தீர்க்க 2x = -7y + 5 மற்றும் -3x = -8y - 11.

32.

நீக்கல் முறையைப் பயன்படுத்தித் தீர்வு காண்க: 8x - 3y = 5xy மற்றும் 6x - 5y = - 2xy

33.

பிரதியிடல் முறையில் தீர்க்க
(i) 2x − 3y = 7; 5x + y = 9
(ii) 1.5x + 0.1y = 6.2; 3x − 0.4y = 11.2
(iii) x-ன் 10% + y-இன் 20%; 3x − y = 20
(iv) \(\sqrt { 2 } \)x - \(\sqrt { 3 } \)y =1; \(\sqrt { 3 } \)x - \(\sqrt { 8 } \)y =0

34.

ஓர் ஈரிலக்க எண்ணின் இலக்கங்களின் கூடுதல் 5. அதன் இலக்கங்கள் இடமாற்றப்பட்டால் கிடைக்கும் புதிய எண்ணானது கொடுக்கப்பட்ட எண்ணை விட 27 குறைவு எனில் அந்த எண்ணைக் காண்க.

35.

ஒரு செவ்வகத்தின் சுற்றளவு 36 மீட்டர் மற்றும் நீளமானது அகலத்தின் மூன்று மடங்கை விட 2 மீட்டர் அதிகமெனில், செவ்வகத்தின் பக்க அளவுகளை வரைபட முறையைப் பயன்படுத்திக் காண்க.

36.

ஒருங்கமைந்த நேரிய சமன்பாடுகளுக்கு வரைபடம் மூலம் தீர்வு காண்க. x + y = 5; 2x – y = 4

Visit QB365-SLMS - https://www.qb365.in/slms/

Answers Key:

Generic 2

20 x 2 = 40

ஒரு நாளுக்குரிய கட்டணம் =x என்க
குறிப்பிட்ட நிலையான கட்டணம் =y என்க
அமுதா 6 நாட்களுக்கு செலுத்திய தொகை =22
(2+4 நாட்கள்), 4x + y = 22 .........(1)
சாகர் 4 நாட்களுக்கு செலுத்திய தொகை =16
(2+2 நாட்கள்), 2x + y = 16......(2)
சமன்பாடு (1)-(2)
4x+. y= 22
(-)2x +(-)y = (-)16
2x =6
x =3
x =3 என சமன்பாடு (1) ல் பிரதியிட,
4x+y =22
4(3)+ y = 22
12 +y = 22
y = 22 -12 = 10
y= 10
ஒரு நாளுக்குரிய கட்டணம் =3
குறிப்பிட்ட நிலையான கட்டணம் =10

ஒரு முழுப்பயணச்சீட்டுக்கான கட்டணம் =x என்க
முன்பதிவிற்கான கட்டணம் =y என்க
ஒரு முழுப்பயணகிசீட்டின் விலை =216
x +y = 216 ..........(1)
ஒரு முழு மற்றும் அரை பயணச்சீட்டின் விலை =327
x +1/2x +2y =327
\(\frac{3}{2}\)x +2y =327
2ஆல் பெருக்க
3x + 4y = 654 ..........(2)
சமன்பாடு (1) x 3 - (2)
3x+ 3y= 648
(-)3x +(-)4y =(-)654
-y =-6
y =6 என சமன்பாடு (1) ல் பிரதியிட
x+y=216
x+6=216
x=216-6=210
x=210
ஒரு முழுப்பயணச் சீட்டுக்கான கட்டணம் =210
முன்பதிவிற்கான கட்டணம் =6

குறிப்பிட்ட நிலையான கட்டணம் ரூ. x என்க.
பயணம் செய்த துரத்திற்கான கட்டணம் ரூ.y என்க
10 கி.மீ தூரப் பயணத்திற்கு வசூலிக்கப்பட்ட வாடகை 75
x+10y=75 ............(1)
15கி.மீ தூரப் பயணத்திற்கு வசூலிக்கப்பட்ட வாடகை 110
x + 15y = 110 ........(2)
சமன்பாடு (2)-(1)
x+ 15y= 110
(-)x +(-)10y =(-) 75
5y=35
y =7
y=7 என சமன்பாடு (1) ல் பிரதியிட,
x + 10y = 75
x+ 10(7) = 75
x+70 =75
x= 75 -70 = 5
x=5
x= 5, y=7
25 கி.மீ தூரப் பயணத்திற்கு வசூலிக்கப்பட்ட வாடகை
x + 25y = 5 + 25(7)
= 5 + 175
= 180
25 கி.மீ தூரப் பயணத்திற்கு வசூலிக்கப்பட்ட வாடகை=180.

அர்ச்சுனனின் வயது =x என்க
இரு மகன்களுடைய வயதுகளின் கூடுதல் =y என்க.
கணக்கின் படி, x = 2y
x - 2y = 0 ----- (1)
20 ஆண்டுகள் கழித்து, அர்ச்சுனன் வயது =x +20
இரு மகன்களுடைய வயதுகளின் கூடுதல் =y + 20 + 20 = y + 40
கணக்கின் படி, x + 20 =y + 40
x - y = 40 - 20 = 20
x - y = 20 ...........(2)
சமன்பாடு (1) - (2)
x-2y = 0
(-) x (+) Y = (-) 20
-y =-20
y =20
y =20 என சமன்பாடு (1) ல் பிரதியிட
x - 2y =0
x - 2(20)= 0
x-40 = 0
x=40
அர்ச்சுனனின் வயது =40

இரண்டு எண்களின் விகிதங்கள் x, y என்க.
\(\frac{x}{y}=\frac{5}{6}\)
\(\Rightarrow\) 6x = 5y
6x - 5y =0 ....(1)
\(\frac{x-8}{y-8}=\frac{4}{5}\)
\(\Rightarrow\) 5(x - 8) = 4(y - 8)
5x - 40 = 4y - 32
5x - 4y = 40 - 32
5x - 4y = 8 .....(2)

y = 48 என (1) ல் பிரதியிட
6x - 5(48) = 0
6x - 240 = 0
6x = 240
x = \(\frac{240}{6}=40\)
\(\therefore\) அந்த எண்கள் 40 : 48 என்ற விகிதத்தில் இருக்கும்.

தொலைக்காட்சிப் பெட்டியின் விலை = x என்க
குளிர்சாதனப் பெட்டியின் விலை = y என்க
\(\begin{aligned} \frac{5}{100} x+\frac{10}{100} y & =2000 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \frac{5}{100}(x+2 y) & =2000 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} x+2 y & =2000 \times \frac{100}{5} \end{aligned}\)
x + 2y = 40000 ....(1)
\(\begin{aligned} \frac{10}{100} x-\frac{5}{100} y & =1500 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \frac{5}{100}(2 x-y) & =1500 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} 2 x-y & =1500 \times \frac{100}{5} \end{aligned}\)
2x - y = 30000 .....(2)

y = 10000
y = 10000 என (1) ல் பிரதியிட
x + 2(10000) = 40000
x + 20000 = 40000
x = 40000 - 20000
x = 20000
\(\therefore\) தீர்வு: தொலைக்காட்சிப் பெட்டியின் விலை = ரூ 20000,
குளிர்சாதனப்பெட்டியின் விலை = ரூ 10000

ஓர் வட்ட நாற்கரத்தின் எதிர்கோணங்களின் கூடுதல் 180°.
\(\angle\)A + \(\angle\)C = 180°
4y + 20° + 4x = 180
4x + 4y = 180 - 20

x + y = 40° ....(1)
\(\angle\)B + \(\angle\)D = 180°
3y - 5 + 7x + 5 = 180
73 + 3y = 180 .....(2)

y = 25°
y = 25° என (1) ல் பிரதியிட
x + 25° = 40°
x = 40° - 25°
x = 15°
\(\angle\)A = (4y + 20)° = (4 \(\times\) 25° + 20°) = 100° + 20° = 120°
\(\angle\)B = (3y - 5)° = (3 \(\times\) 25° - 5) = 75° - 5° = 70°
\(\angle\)C = (4x)° = 4 \(\times\) 15° = 60°
\(\angle\)D = (7x + 5)° = (7 \(\times\) 15° + 5°) = 105° + 5° = 110°
\(\therefore\) \(\angle\)A = 120°, \(\angle\)B = 70°, \(\angle\)C = 60°, \(\angle\)D = 110°

நெடுஞ்சாலையில் A மற்றும் B என்ற புள்ளிகளுக்கு இடையேயுள்ள தூரம் =70 கி.மீ
இரு மகிழுந்துகளின் வேகங்கள் =x கி.மீ/மணி, y கி.மீ/மணி
இரு மகிழுந்துகளும் ஒரே திசையில் பயணித்தால் இவற்றின் நெருங்கும் வேகம் =x -y கி.மீ/மணி

கணக்கின் படி, =\(\frac { +70 }{ x-y } \)=7
x-y=\(\frac { +70 }{ 7 } \)=10
x-y=10 ........(1)

இரு மகிழுந்துகளும் ஒன்றை நோக்கி மற்றொன்று பயணித்தால் நெருங்கும் வேகம் =x +y கி.மீ/மணி

கணக்கின் படி, 1=\(\frac { 70 }{ x+y } \)
x+y=70 ......(2)
சமன்பாடு (2) + (1)
x - y = 10
x + y = 70
_________
2x =80
x =40
x=40 என சமன்பாடு (2)ல் பிரதியிட
x+y=70
40+y=10
y=70-40=30
y=30
x=40; y=30
இரு மகிழுந்துகளின் வேகங்கள் =40 கி.மீ/மணி, 30 கி.மீ/மணி.

ஒரு பின்னத்தின் தொகுதி x என்க.
அதன் பகுதி y என்க
x + y = 12 ....(1)
\(\frac{x}{y+3}=\frac{1}{2}\)
2x = y + 3
2x - y = 3 ....(2)

y = 7
y = 7 என (1) ல் பிரதியிட
x + 7 = 12
x = 12 - 7 = 5
\(\therefore\) \(\frac{x}{y}=\frac{5}{7}\)

10.

ஈரிலக்க எண் = xy என்க
அதன் இட மதிப்பு = 10x + y
இலக்கங்களை இடமாற்றம் செய்தபின் அந்த எண் yx என்க.
அதன் இடமதிப்பு = 10y +x
அவற்றின் கூடுதல் = 10x + y + 10y + x = 110
11x + 11y = 110
x + y = 10 ... (1)
எண் 10 ஐ முதல் எண்ணிலிருந்து கழித்தபின் அந்த எண்ணின் மதிப்பு = 10x + y - 10
முதல் எண்ணின் இலக்கங்களின் கூடுதல் = x + y.
5 மடங்குடன் 4 ஐ கூட்ட = 5(x + y) + 4
\(\therefore\) 10x + y - 10 = 5x + 5y + 4
10x + y - 5x - 5y = 4 + 10
5x - 4y = 14 ....(2)

y = 4 என (1) ல் பிரதியிட
x + 4 = 10
x = 10 - 4 = 6
\(\therefore\) முதல் எண் 64

11.

x=3, x=5 மற்றும் 2x-y-4=0
x=3

x	3	3	3	3	3
y	-2	-1	0	1	2

புள்ளிகள் (3, -2), (3, -1), (3, 0), (3, 1), (3, 2)
x =5

x	5	5	5	5	5
y	-2	-1	0	1	2

புள்ளிகள் (5, -2), (5, -1), (5, 0), (5, 1), (5, 2)
2x - y - 4 = 0, y = 2x - 4

x	-2	-1	0	1	2
y	-8	-6	-4	-2	0

ABCD என்ற நாற்கரத்தின் பரப்பு =8 சதுர அலகுகள்.

12.

அதிக விட்டமுடைய குழாய் நீர் நிரப்ப எடுக்கும் நேரம் x என்க
குறைந்த விட்டமுடைய குழாய் நீர் நிரப்ப எடுக்கும் நேரம் y என்க.
1 மணி நேரத்தில் அதிக விட்டமுடைய குழாயால் நீர் நிரம்புவது = \(\frac{1}{a}\)
1 மணி நேரத்தில் குறைந்த விட்டமுடைய குழாயால் நீர் நிரம்புவது = \(\frac{1}{b}\)
\(\begin{aligned} \therefore \quad \frac{1}{x}+\frac{1}{y} & =\frac{1}{24} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \frac{8}{x}+\frac{18}{y} & =\frac{1}{2} \end{aligned}\)
\(\frac{1}{x}=a, \frac{1}{y}=b\) எனில்
a + b = \(\frac{1}{24}\)
24a + 24b = 1
24a + 24b - 1 = 0 ......(1)
8a + 18b = \(\frac{1}{2}\)
16a + 36b = 1
16a + 36b - 1 = 0 ......(2)
குறுக்குப் பெருக்கல் முறைக்காகக் கெழுக்களைப் பின்வருமாறு எழுதலாம்
\(\begin{aligned} \frac{a}{-24+36} & =\frac{b}{-16+24}=\frac{1}{864-384} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \frac{a}{12} & =\frac{b}{8}=\frac{1}{480} \end{aligned}\)

\(\begin{array}{l|l} \therefore \frac{a}{12}=\frac{1}{480} & \frac{b}{8}=\frac{1}{480} \end{array}\)

\( a=\frac{1}{a}=40\) \(b=\frac{1}{b}=60\)
\(\therefore\) x = 40 y = 60
\(\therefore\) நீச்சல் குளத்தை நிரப்ப அதிக விட்டமுடைய குழாய் எடுத்துக் கொள்ளும் நேரம் 40 மணி நேரம் நீச்சல் குளத்தை நிரப்ப குறைந்த விட்டமுடைய குழாய் எடுத்துக் கொள்ளும் நேரம் 60 மணி நேரம்

13.

2 ரூபாய் நாணயங்களின் எண்ணிக்கை = x
5 ரூபாய் நாணயங்களின் எண்ணிக்கை = y
x + y = 80

2x + 5y = 220
x + y - 80 = 0
2x + 5y - 220 = 0
\(\begin{aligned} \frac{x}{-220+400} & =\frac{y}{-160+220}=\frac{1}{5-2} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \frac{x}{180} & =\frac{y}{60}=\frac{1}{3} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \frac{x}{180} & =\frac{1}{3} \quad \frac{y}{60}=\frac{1}{3} \end{aligned}\)

x = 60 y = 20
\(\therefore\) 2 ரூபாய் நாணயங்கள் = 60, 5 ரூபாய் நாணயங்கள் = 20

14.

ஒரு மனிதனின் தற்போதைய வயது = x என்க
5 வருடங்களுக்கு முன் அவருடைய வயது = x - 5
அவருடைய மகனின் தற்போதைய வயது = y என்க
5 வருடங்களுக்கு முன் மகனின் வயது = y - 5
x - 5 = 7(y - 5)
x - 5 = 7y - 35
x - 7y = -35 + 5
x - 7y = - 30 ... (1)
5 ஆண்டுகளுக்குப் பிறகு தந்தையின் வயது = x + 5
5 ஆண்டுகளுக்குப் பிறகு மகனின் வயது = y + 5
\(\therefore\) x + 5 = 4 (y + 5)
x + 5 = 4y + 20
x - 4y = 20 - 5
x - 4y = 15 ... (2)

y = 15
y = 15 என (1) ல் பிரதியிட
x - 7 (15) = -30
x - 105 = -30
x = -30 + 105 = 75
\(\therefore\) தந்தையின் வயது = 75, மகனின் வயது = 15

15.

A, B யின் மாதாந்திர வருமானம் = x என்க
A, B யின் மாதாந்திர செலவுகள் = y என்க
3x - 5y = 5000 ....(1)
4x - 7y = 5000 ....(2)

y = 5000 என (1) ல் பிரதியிட
3x - 5 (5000) = 5000
3x - 25000 = 5000
3x = 5000 + 25000

\(\therefore\) A ன் மாதாந்திர வருமானம் = 3x = 3 \(\times\) 10000 = ரூ 30000
B ன் மாதாந்திர வருமானம் = 4x = 4 \(\times\) 10000 = ரூ 40000

16.

தேவையான எண் x0y என்க.
x + y = 13 ....(1)
இலக்கங்களை இடம் மாற்றம் செய்தபின் உருவான புதிய எண் y0x என்க.
x0y = 100x + 10 \(\times\) 0 + 1 \(\times\)y
y0x = 100y + 10 \(\times\) 0 + 1 \(\times\)x
100y + x - (100x + y) = 495
100y + x - 100x - y = 495
-99x + 99y = 495
(1) \(\times\) -99 \(\Rightarrow\) -99x - 99y = -1287
(2) \(\Rightarrow\) -99x + 99y = 495
\(\not -\) 198 x = \(\not -\) 792
x = \(\frac{792}{198}=4\)
x = 4 என (1)-ல் பிரதியிட
4 + y = 13
y = 13 - 4 = 9
\(\therefore\) தேவையான எண் 409

17.

இராமனின் வயது = X என்க.
இரு மகன்களின் வயதின் கூடுதல் = y
இப்பொழுது x = 3y \(\Rightarrow\) x - 3y = 0 ....(1)
5 ஆண்டுகளுக்குப் பிறகு,
x + 5 = 2(y + 10)
x + 5 = 2y + 20
x - 2y = 20 - 5
x - 2y = 15 .....(2)
படி (1)
சமன்பாடு (1) லிருந்து
x = 3y
படி (2)
x = 3y என (2) ல் பிரதியிட
3y - 2y = 15
y = 15
படி (3)
y = 15 என (1) ல் பிரதியிட
x = 3y = 3 \(\times\) 15
x = 45
\(\therefore\) இராமனின் வயது 45 ஆகும்.

18.

இரண்டு மகிழுந்துகளின் வேகம் x, y என்க, அவை ஒன்றையொன்று எதிர்நோக்கி பயணித்தால்
அவை 1 மணி நேரத்தில் சந்திக்கும் எனில் d = 100; \(\frac{d}{s}=t\)
i.e., \(\frac{100}{x+y}=1 \Rightarrow x+y=100\) ....(1)
இரண்டு மகிழுந்துகளும் ஒரே திசையில் பயணித்தால் அவை 2 மணி நேரத்தில் சந்திக்கும்.

(1) \(\Rightarrow\) x + y = 100
y = -x + 100

x	100	0
-x	-100	0
100	100	100
y=-x+100	0	100

வரைபடத்தில் குறிக்க வேண்டிய புள்ளிகள்
(0, 100), (100, 0)
(2) \(\Rightarrow\) x - y = 50
-y = -x + 50
y = x - 50

x	50	0
-50	-50	-50
y=x-50	0	-50

வரைபடத்தில் குறிக்க வேண்டிய புள்ளிகள் (0, -50), (50, 0)
x + y = 100 ....(1)
x = 0 என (1) ல் பிரதியிட, 0 + y = 100 \(\Rightarrow\) y = 100
A(0, 100) ஆனது நேர்க்கோடு (1) ன் மீது அமையும் புள்ளி
y = 0 என (1) ல் பிரதியிட, x + 0 = 100 \(\Rightarrow\) x = 100
B (100, 0) ஆனது மற்றொரு புள்ளியாகும் (1)
வரைபடத்தில் A & B புள்ளிகளைக் குறித்து அவற்றை இணைக்க நேர்க்கோடு (1) கிடைக்கும்.
மேலும் x - y = 50 .....(2)
x = 0 என (2), ல் பிரதியிட 0 - y = 50
\(\Rightarrow\) y = -50
P(0, -50) ஆனது ஒரு புள்ளியாகும் (2)
y = 0 என (2) ல் பிரதியிட, x - 0 = 50
\(\Rightarrow\) x = 50
Q (50, 0) ஆனது மற்றொரு புள்ளியாகும்
வரைபடத்தில் P & Q புள்ளிகளைக் குறித்து அவற்றை இணைக்க நேர்க்கோடு (2) கிடைக்கும்
இரண்டு கோடுகளும் ஒன்றையொன்று (75, 25) என்ற புள்ளியில் வெட்டிக்கொள்கின்றன. எனவே நேர்கோடுகள் (1) & (2) ன் தீர்வு (75, 25) ஆகும்
எனவே இரண்டு மகிழ்ந்துகளின் வேகம் முறையே x மற்றும் y ஆனது
x = 75 கி.மீ
y = 25 கி.மீ

19.

கொடுக்கப்பட்டுள்ள சமன்பாடு 3(x+1)=3(5-x)-2(5+x)
x=1/4 என பிரதியிட,
3(x+1)=3(5-x)-2(5+x)
3(1/4+1)=3(5-1/4)-2(5+1/4)
\(3\left( \frac { 1+4 }{ 4 } \right) =3\left( \frac { 20-1 }{ 4 } \right) -2\left( \frac { 20+1 }{ 4 } \right) \)
\(3\times \frac { 5 }{ 4 } =3\times \frac { 19 }{ 4 } -2\times \frac { 21 }{ 2 } \)
\(\frac { 15 }{ 4 } =\frac { 57 }{ 4 } -\frac { 42 }{ 4 } =\frac { 15 }{ 4 } \)
=\(\frac { 15 }{ 4 } =\frac { 15 }{ 4 } \) சமம்
எனவே 1/4 என்பது 3(x + 1) = 3( 5–x) – 2( 5 + x) என்ற சமன்பாட்டின் தீர்வாகும்.

20.

5x-3=0; 4P=-12

Generic 3

10 x 3 = 30

21.

கொடுக்கப்பட்ட இரு நேரிய சமன்பாடுகள்
8x + 5y = 9
5x + 10y = 15
\(\left[ \begin{matrix} { a }_{ 1 }x+{ b }_{ 1 }y+{ c }_{ 1 }=0 \\ { a }_{ 2 }x+{ b }_{ 2 }y+{ c }_{ 2 }=0 \end{matrix} \right] \)
இங்கு a₁ = 8, b₁ = 5, c₁ = 9, a₂ = k,b₂ = 10,c₂ = 15
தீர்வுகள் இல்லையெனில் \(\frac { { a }_{ 1 } }{ { a }_{ 2 } } =\frac { { b }_{ 1 } }{ { b }_{ 2 } } \neq \frac { { c }_{ 1 } }{ { c }_{ 2 } } \) ஆகவே, \(\frac { 8 }{ k } =\frac { 5 }{ 10 } \neq \frac { 9 }{ 15 } \)
80 = 5k
k = 16

22.

கொடுக்கப்பட்ட இரு நேரிய சமன்பாடுகள்
2x - 3y = 7
(k+2)x-(2k+1)y=3(2k-1)
\(\left[ \begin{matrix} { a }_{ 1 }x+{ b }_{ 1 }y+{ c }_{ 1 }=0 \\ { a }_{ 2 }x+{ b }_{ 2 }y+{ c }_{ 2 }=0 \end{matrix} \right] \)
இங்கு a₁ = 2, b₁ = −3, a₂ = (k + 2), b₂ = −(2k +1), c₁ = 7, c₂ = 3(2k −1)
எண்ணற்ற தீர்வுகள் உண்டெனில், \(\frac { { a }_{ 1 } }{ { a }_{ 2 } } =\frac { { b }_{ 1 } }{ { b }_{ 2 } } =\frac { { c }_{ 1 } }{ { c }_{ 2 } } \) எனக் கருதுவோம்.
\(\frac { 2 }{ k+2 } =\frac { -3 }{ -(2k+1) } =\frac { 7 }{ 3(2k-1) } \)
\(\frac { 2 }{ k+2 } =\frac { -3 }{ -(2k+1) } \)
2(2k +1) = 3(k + 2)
4k + 2 = 3k + 6
k = 4
\(\frac { -3 }{ -(2k+1) } =\frac { 7 }{ 3(2k-1) } \)
9(2k −1) = 7(2k +1)
18k − 9 = 14k + 7
4k = 16
k = 4

23.

கொடுக்கப்பட்ட நேரிய சமன்பாடுகள்
kx + 2y = 3 ......(1)
2x - 3y = 1 .......(2)
\(\left[ \begin{matrix} { a }_{ 1 }x+{ b }_{ 1 }y+{ c }_{ 1 }=0 \\ { a }_{ 2 }x+{ b }_{ 2 }y+{ c }_{ 2 }=0 \end{matrix} \right] \)
இங்கு a₁ = k, b₁ = 2, a₂ = 2, b₂ = −3 ;
ஒரேயொரு தீர்வு உண்டெனில் \(\frac { { a }_{ 1 } }{ { a }_{ 2 } } ↑ \frac { { b }_{ 1 } }{ { b }_{ 2 } } \) எனக் கருதுவோம். எனவே \(\frac { k }{ 2 } \neq \frac { 2 }{ -3 } \); ஆகவே \(k\neq \frac { 4 }{ -3 } \)

24.

கொடுக்கப்பட்டவை,
2x + 3y = 14 ...(1)
3x − 4y = 4 ...(2)
y ஐ நீக்க:
(1) ஐ 4 ஆல் பெருக்க, கிடைப்பது 8x +12y = 56
(2) ஐ 3 ஆல் பெருக்க, கிடைப்பது 9x - 12y = 12
-----------------------
இரண்டையும் கூட்ட நமக்குக் கிடைப்பது, 17x = 68
ஆகவே, x =4
x = 4 என (1) இல் பிரதியிட நாம் பெறுவது
2x + 3y = 14
2(4) + 3y = 14
8 + 3y = 14
y = 2
ஆகவே தீரவு x = 4, y = 2 ஆகும்.
சரிபார்த்தல்:
2x+3y = 14 ...(1)
2(4)+3(2) = 14
8 + 6 = 14
14 = 14 மெய்
3x – 4y = 4 ...(2)
3(4) – 4(2) = 4
12–8 = 4
4 = 4 மெய்

25.

கொடுக்கப்பட்டவை, 4a + 3b = 65 .....(1)
a + 2b = 35 .....(2)
(2) ஐ 4 ஆல் பெருக்க 4a + 8b = 140
(1) இலிருநது 4a + 3b = 65
(-) (-) (-)
----------------------
5b = 75 இதிலிருந்து b = 15
b = 15 என (2) இல் பிரதியிட,
a + 2(15) = 35 இதிலிருந்து a = 5
ஆகவே, தீர்வு a = 5, b = 15.
சரிபார்த்தல்:
4a+3b = 65 ...(1)
4(5)+3(15) = 65
20 + 45 = 65
65 = 65 மெய்
a + 2b = 35 ...(2)
5 + 2(15) = 35
5+30 = 35
35 = 35 மெய்

26.

கொடுக்கப்பட்டவை
x + 3y = 16 ... (1)
2x – y = 4 ... (2)

படி 1	படி 2	படி 3	தீர்வு
சமன்பாடு (2) இலிருந்து 2x −y = 4 –y = 4–2x y = 2x − 4 ...(3)	(3) ஐ (1) இல் பிரதியிட x + 3y = 16 x + 3(2x − 4) = 16 x + 6x −12 = 16 7x = 28 x = 4	x =4 என (3) இல் பிரதியிட y = 2x − 4 y = 2(4) − 4 y = 4	x = 4 மற்றும் y = 4

27.

கொடுக்கப்பட்டவை
x – 2y = 7 …(1)
2x + 3y = 7 …(2)
x =5, y =-1 எனில், நமக்குக் கிடைப்பது,
(1) இலிருந்து x – 2y = 5 – 2(−1) = 5 + 2 = 7 (வலது பக்கம்)
(2) இலிருந்து 2x + 3y = 2(5) + 3(−1) = 10−3 = 7 (வலது பக்கம்)
ஆகவே, x = 5, y = -1 என்ற மதிப்புகளானது சமன்பாடுகள் (1) மற்றும் (2) ஐ ஒரே நேரத்தில் நிறைவு செய்கிறது. ஆகவே, (5, -1) என்பது கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடுகளின் தீர்வாகும்.

28.

(i) y = 2x
x = -1, எனில் y = 2 \(\times\) -1 = -2
x = 0, y = 2 \(\times\) 0 = 0
x = 1, y = 2 \(\times\) 1 = 2

x	-1	0	1
y	-2	0	2

வரைபடத்தில் (x, y) புள்ளிகளைக் குறிக்க:
(-1, -2), (0, 0), (1, 2)
(ii) y = 4x - 1
x = -1 \(\Rightarrow\) y = 4 (-1) - 1
y = -4 - 1 = -5
x = 0 \(\Rightarrow\) y = 4 \(\times\) 0 - 1 = -1
x = 1 \(\Rightarrow\) y = 4 \(\times\) 1 - 1 = 3

x	-1	0	1
y	-5	-1	3

வரைபடத்தில் (x, y) புள்ளிகளைக் குறிக்க:
(-1, -5), (0, -1), (1, 3)
(iii) \( y=\left ( \frac{3}{2} \right )x+3\)
x = -2 \(\Rightarrow y=\left ( \frac{3}{2} \right )(-2)+3=-3+3=0\)
x = 0 \(\Rightarrow y=\left ( \frac{3}{2} \right )(0)+3\)
y = 0 + 3 = 3
x = 2 \(\Rightarrow y=\left ( \frac{3}{2} \right )(2)+3=3+3 \Rightarrow y=6\)

x	-2	0	2
y	0	3	6

வரைபடத்தில் (x, y) புள்ளிகளைக் குறிக்க: (-2, 0), (0,3), (2, 6)
(iv) 3x + 2y = 14
2y = -3x + 14
\(y=\frac{-3x+14}{2}\)
\(\Rightarrow y=\left ( \frac{-3}{2} \right )x+7 \)
x = -2, எனில் \(y=\left ( \frac{-3}{2} \right )(-2)+7\)
= 3 + 7 = 10
x = 0, எனில் \(y=\left ( \frac{-3}{2} \right )(0)+7=7\)
x = 2, எனில் y = -3 + 7 = 4

x	-2	0	2
y	10	7	4

வரைபடத்தில் (x, y) புள்ளிகளைக் குறிக்க:
(-2, 10), (0, 7), (2, 4)

29.

இதற்கு முன்பே அட்டவணையை அமைத்து, புள்ளிகளை வரிசைப் படுத்துவதுடன், சோடிப் புள்ளிகளை வரைபடத்தில் குறித்து அவற்றை இணைப்பது பற்றிய ஒரு வழிமுறையை நாம் கடந்து வந்திருக்கிறோம். ஆனால், ஒரு கோட்டை நிர்ணயிக்க குறைந்தது எத்தனை புள்ளிகள் நமக்குத் தேவை? இரண்டு புள்ளிகள் போதுமானதே. ஒரு கோடு y = mx + c என்ற வடிவில் இருந்தால் இதனை எளிதில் காணலாம்.
கொடுக்கப்பட்ட கோடு y = 4x - 3
y - வெட்டுத்துண்டைப் பெற
x = 0 எனப் பிரதியிட, y =4(0) - 3
y = -3
இதிலிருந்து (0, -3) என்ற புள்ளியும்
y - வெட்டுத்துண்டு = -3 எனவும் கிடைக்கிறது
x - வெட்டுத்துண்டைப் பெற
y = 0 எனப் பிரதியிட, 0 = 4x - 3
3 = 4x
\(\frac { 3 }{ 4 } =x\)

இதிலிருந்து \(\left( \frac { 3 }{ 2 } ,0 \right) \) என்ற புள்ளி மற்றும் x - வெட்டுத்துண்டு =\(\frac { 3 }{ 4 }\) எனவும் கிடைக்கிறது.
இப்பொழுது (0, -3) மற்றும் \(\left( \frac { 3 }{ 4 } ,0 \right) \) என்ற இரண்டு புள்ளிகளின் வழியே வரைபடத்தை வரையலாம்.

30.

AB இன் சாய்வு = \(\frac { { y }_{ 2 }-{ y }_{ 1 } }{ { x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 } } =\frac { 3 }{ 5 } \)

EF இன் சாய்வு =\(\frac { 4 }{ 7 } \)
PQ இன் சாய்வு = வரையறுக்கப்படாதது
RS இன் சாய்வு =0.

Generic 5

6 x 5 = 30

31.

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடுகளின் தொகுப்பைப் பின்வருமாறு எழுதலாம்
2x + 7y − 5 = 0
−3x + 8y +11 = 0
குறுக்குப் பெருக்கல் முறைக்காகக் கெழுக்களைப் பின்வருமாறு எழுதலாம்

\(\\ \frac { x }{ (7)(11)-(8)(-5) } =\frac { y }{ (-5)(-3)-(11)(2) } =\frac { 1 }{ (2)(8)-|(-3)(7) } \)
\(\frac { x }{ 77+40 } =\frac { y }{ 15-22 } =\frac { 1 }{ 16+21 } \)
\(\frac { x }{ 117 } =\frac { y }{ -7 } =\frac { 1 }{ 37 } \)
\(\frac { x }{ 117 } =\frac { 1 }{ 37 } ,\frac { y }{ -7 } =\frac { 1 }{ 37 } \)
ஆகவே தீர்வு \(\\ \left( \frac { 117 }{ 37 } ,\frac { -7 }{ 37 } \right) \) ஆகும்.
சரிபார்த்தல்:
2x + 7y -5 = 0 ....(1)
\(2\left( \frac { 117 }{ 37 } \right) +7\left( \frac { -7 }{ 37 } \right) -5=0\)
\(\frac { 234 }{ 57 } -\frac { 49 }{ 37 } -5=0\)
\(\frac { 185 }{ 37 } -5=0\)
5 - 5 = 0 மெய்
3x+8y+11 = 0 ...(2)
\(3\left( \frac { 117 }{ 37 } \right) +8\left( \frac { -7 }{ 37 } \right) +11=0\)
\(\frac { -351 }{ 37 } -\frac { 56 }{ 37 } +11=0\)
\(\frac { -407 }{ 37 } +11=0\)
-11 + 11 = 0 மெய்

32.

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடுகள்
8x − 3y = 5xy ...(1)
6x − 5y = −2xy ...(2)
கொடுக்கப்பட்ட தொகுப்பில் xy என்ற உறுப்பு உள்ளதால் இது ஒரு நேரிய சமன்பாட்டில் அமைந்த தொகுப்பு அல்ல. மேலும், x = 0 எனில், y = 0 இதே போல் y = 0 எனில், x = 0 என்பதையும் கவனிக்க. ஆகவே, (0, 0) என்பது தொகுப்பின் ஒரு தீர்வாகும். மேலும் x ↑ 0 மற்றும் y ↑ 0 என்றவாறு வேறொரு தீர்வும் இருக்க இயலும்.
x ↑ 0, y ↑ 0 என்பனவற்றைக் கருத்தில் கொள்வோம்.
ஒவ்வொரு சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களையும் xy ஆல் வகுக்க,
(1) இலிருந்து \(\frac { 8x }{ xy } -\frac { 3y }{ xy } =\frac { 5xy }{ xy } \) நாம் பெறுவது, \(\frac { 8 }{ y } -\frac { 3 }{ x } =5\) .....(3)
(2) இலிருந்து \(\frac { 6x }{ xy } -\frac { 5y }{ xy } =\frac { -2xy }{ xy } \) நாம் பெறுவது, \(\frac { 6 }{ y } -\frac { 5 }{ x } =-2\) ....(4)
\(a=\frac { 1 }{ x } ,b=\frac { 1 }{ y } \) என்க.
(3) மற்றும் (4) ஆனது,
8b - 3a = 5 .....(5)
6b - 5a = -2 ......(6) என ஆகும்.
இவை a மற்றும் b ஆல் அமைந்த நேரிய சமன்பாடுகள் ஆகும்.
a ஐ நீக்குவதற்காக,
(5) \(\times\) 5\(\Rightarrow\) 40b −15a = 25 .....(7)
(6) \(\times\) 3\(\Rightarrow\)18b −15a = −6 .....(8)
கடந்த எடுத்துக்காட்டுகளைப் போலவே இதைத் தொடர \(\left( \frac { 11 }{ 23 } ,\frac { 22 }{ 31 } \right) \) என்ற தீர்வைப் பெறலாம்.
ஆகவே, இந்தத் தொகுப்பானது  \(\left( \frac { 11 }{ 23 } ,\frac { 22 }{ 31 } \right) \)மற்றும் (0, 0) ஆகிய இருதீர்வுகளைப் பெற்றிருக்கும்.

33.

(i) 2x - 3y = 7 ....(1)
5x + y = 9 .....(2)
படி (1)
சமன்பாடு (2) லிருந்து
5x + y = 9
y = -5x + 9 .....(3)
படி (2)
(3) ஐ (1) ல் பிரதியிட
2x - 3 (-5x + 9) = 7
2x + 15x - 27 = 7
17x = 7 + 27
17x = 34
x = \(\frac{34}{17}\) = 2; x = 2
படி (3)
x = 2 என (3) ல் பிரதியிட
y = -5(2) + 9
= -10 + 9 = -1
y = -1
\(\therefore\) x = 2; y = -1
(ii) 1.5x + 0.1y = 6.2 ....(1)
3x - 0.4y = 11.2 ....(2)
(1) \(\times\) 10 \(\Rightarrow\) 15x + y = 62 ....(3)
(2) \(\times\) 10 \(\Rightarrow\) 30x - 4y = 112 ....(4)
படி (1)
சமன்பாடு (3) லிருந்து
15x + y = 62
y = -15x + 62 .....(5)
படி (2)
(5) ஐ (4) ல் பிரதியிட
30x - 4(-15x + 62) = 112
30x + 60x - 248 = 112
90x = 112 + 248
90x = 360

படி (3)
x = 4 என (5) ல் பிரதியிட
y = -15(4) + 62
= -60 + 62 = 2
\(\therefore\) x = 4 மற்றும் y = 2
(iii) 10% x + 20% y = 24

\(\frac{x}{10}+\frac{y}{5}=24\)
\(\frac{x+2y}{10}=24\)
x + 2y = 240 ...(1)
3x - y = 20 ...(2)
படி (1)
சமன்பாடு (2) லிருந்து
3x - y = 20
-y = 20 - 3x
y = 3x - 20 .....(3)
படி (2)
(3) ஐ (1) ல் பிரதியிட
x + 2 (3x - 20) = 240
x + 6x - 40 = 240
7x = 240 + 40
\(x=\frac{280}{7}\)
x = 40
படி (3)
x = 40 என (3) ல் பிரதியிட
y = 3 (40) - 20
= 120 - 20 = 100
\(\therefore\) x = 40 மற்றும் y = 100
(iv) \(\begin{aligned} \sqrt{2} x-\sqrt{3} y=1 ; \sqrt{3} x-\sqrt{8} y & =0 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \sqrt{2} x-\sqrt{3} y & =1 \end{aligned}\) ....(1)
\(\begin{aligned} \sqrt{3} x-\sqrt{8} y & =0 \end{aligned}\) .....(2)
படி (1)
சமன்பாடு (2) லிருந்து
\(\begin{aligned} \sqrt{3} x-\sqrt{8} y & =0 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \not -\sqrt{8} y & =\not - \sqrt{3} x \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} y & =\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{8}} x \end{aligned}\) .....(3)
படி (2)
(3) ஐ (1) ல் பிரதியிட
\(\begin{aligned} \sqrt{2} x-\sqrt{3} y & =1 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \sqrt{2} x-\sqrt{3}\left(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{8}}\right) x & =1 \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \frac{\sqrt{2} x}{1}-\frac{3}{\sqrt{8}} x & =1 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \frac{\sqrt{16} x-3 x}{\sqrt{8}} & =1 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \frac{4 x-3 x}{\sqrt{8}} & =1 \Rightarrow x=\sqrt{8} \end{aligned}\)
படி (3)
x = \(\sqrt{8}\) என (1) ல் பிரதியிட
\(\begin{aligned} \sqrt{2}(\sqrt{8})-\sqrt{3} y & =1 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \sqrt{16}-\sqrt{3} y & =1 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} 4-\sqrt{3} y & =1 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} -\sqrt{3} y & =1-4 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} -\sqrt{3} y & =-3 ; y=\sqrt{3} \end{aligned}\)
\(\therefore\) x = \(\sqrt{8}\) மற்றும் y = \(\sqrt{3}\)

34.

x என்பது பத்தாம் இலக்க எண் என்றும் y என்பது ஒன்றாம் இலக்க எண் என்றும் கொள்க,
கொடுக்கப்பட்டவை x + y = 5 ......(1)

	பத்தாம் இலக்கம்	ஒன்றாம் இலக்கம்	மதிப்பு
கொடுக்கப்பட்ட எண்	x	y	10x+y
புதிய எண் (இலக்கங்களை இடமாற்றிய பின்பு)	y	x	10y+x

கொடுக்கப்பட்ட எண் - இடமாற்றப்பட்ட எண் =27
(10x + y) − (10y + x) = 27
10x − x + y −10y = 27
9x − 9y = 27
\(\Rightarrow\) x − y = 3 ... (2)
x + y = 5 … (1) இலிருந்து, y = 5 – x ... (3)
(3) ஐ (2) இல் பிரதியிட x − (5 − x) = 3
x − 5 + x = 3
2x = 8
x = 4
x = 4 என (3) இல் பிரதியிட y = 5 − x = 5 − 4
y = 1
ஆகவே , 10x + y = 10 \(\times\) 4 +1 = 40 +1 = 41.
ஆகையால் கொடுக்கப்பட்ட ஈரிலக்க எண் = 41 ஆகும்.
சரிபார்த்தல்:
இலக்கங்களின் கூடுதல் = 5
x + y = 5
4 + 1 = 5
5 = 5 மெய்
கொடுக்கப்பட்ட எண் − புதிய எண் = 27
41 - 14 = 27
27 = 27 மெய்

35.

கொடுக்கப்பட்ட கூற்றுகளுக்கு நாம் சமன்பாடுகளை அமைப்போம்.
செவ்வகத்தின் நீளம் மற்றும் அகலத்தை முறையே l மற்றும் b என்க.
முதல் கூற்றுக்குச் சமன்பாடு அமைத்தல்
செவ்வகத்தின் சுற்றளவு = 36 மீ
2(l + b) = 36
\(l+b=\frac { 36 }{ 2 } \)
l = 18 - b .....(1)

b	2	4	5	8
18	18	18	18	18
-b	-2	-4	-5	-8
l=18-b	16	14	13	10

புள்ளிகள்: (2,16), (4,14), (5,13), (8,10)
இரண்டாவது கூற்றுக்குச் சமன்பாடு அமைத்தல்:
இரண்டாவது கூற்றின்படி, நீளமானது அகலத்தின் மூன்று மடங்கை விட 2 மீ அதிகம் எனவே l = 3b + 2 .....(2)
சமன்பாடு (2) இக்கு அட்டவணை அமைப்போம்

b	2	4	5	8
3b	6	12	15	24
2	2	2	2	2
l=3b+2	8	14	17	26

இரண்டு கோடுகளுக்கும் பொதுவான ஒரு புள்ளியே தீர்வாக அமையும். இங்கு (4, 14) என்பதே தீர்வாக இருப்பதைக் காணலாம்.
எனவே தீர்வானது b = 4, l = 14

சரிபார்த்தல்:
2(l+b) = 36 ...(1)
2(14+4) = 36
2 \(\times\) 18 = 36
36 = 36 மெய்
l = 3b + 2 ...(2)
14 = 3(4) +2
14 = 12 + 2
14 = 14 மெய்

36.

கொடுக்கப்பட்டவை
x + y = 5 ...(1)
2x – y = 4 ...(2)
சமன்பாடு (1) இக்கு வரைபடம் வரைதல் எளிது.
முதற்கோட்டின் x மற்றும் y மதிப்புகளை பின்வருமாறு காணலாம்.
x = 0 எனில், (1) இலிருந்து y = 5 எனக் கிடைக்கும் எனவே, A(0, 5) என்பது கோட்டின் மீதுள்ள ஒரு புள்ளியாகும்.
y = 0 எனில் (1) இலிருந்து x = 5 எனக் கிடைக்கும். எனவே, B(5, 0) என்பது கோட்டின் மீதுள்ள மற்றோரு புள்ளியாகும்.
வரைபடத்தில் A மற்றும் B ஆகிய இரண்டு புள்ளிகளைக் குறித்து அவற்றை இணைத்துக் கோடு (1) வரைக.

இதே முறையைப் பயன்படுத்திச் சமன்பாடு (2) இக்கும் வரைபடம் வரையலாம்.
x = 0 எனில், (2) இலிருந்து y = -4 எனக் கிடைக்கும்.
எனவே (0, -4) என்பது கோட்டின் மீதுள்ள ஒரு புள்ளி.
y =0 எனில், (2) இலிருந்து x = 2 எனக் கிடைக்கும்.
எனவே Q (2, 0) என்பது அந்தக் கோட்டின் மீதுள்ள மற்றோரு புள்ளி ஆகும்.
வரைபடத்தில் P மற்றும் Q ஆகிய புள்ளிகளைக் குறித்து இரண்டு புள்ளிகளையும் இணைத்துக் கோடு (2) வரைக.
இந்த இரு கோடுகளும் ஒன்றையொன்று வெட்டிக்கொள்ளும் புள்ளியான (3, 2) என்பது சமன்பாடுகள் (1) மற்றும் (2) இன் தீர்வாகும். இரு கோடுகளுக்கும் ஒரே ஒரு புள்ளி தீர்வாக அமைகிறது ஆகவே, தீர்வு x =3, y = 2 ஆகும்.