கனச்சதுரம்
பக்க அளவு (a) = 12 செமீ
கனச்செவ்வகம்
நீளம் (l) = 18 செமீ
அகலம் (b) = 16 செமீ
உயரம் (h) = ?
இங்கு, கனச்செவ்வகத்தின் கனஅளவு = கனச்சதுரத்தின் கனஅளவு
  l \(\times\) b \(\times\) h = a³
18 \(\times\)16 \(\times\) h = 12 \(\times\)12 \(\times\)12
\(h=\frac { 12\times 12\times 12 }{ 18\times 16 } \)
h = 6 செமீ
எனவே, கனச்செவ்வகத்தின் உயரம் 6 செமீ ஆகும்.

இங்கு கனச்செவ்வகத்தின் நீளம் (l) = 7.5 மீ, அகலம் (b) = 3 மீ மற்றும் உயரம் (h) = 5 மீ.
மொத்த பரப்பு = 2(lb + bh + lh)
= 2[(7.5 × 3) + (3 × 5) + (7.5 × 5)]

= 2(22.5 +15 + 37.5)
= 2 × 75
= 150 மீ²
பக்கபரப்பு  = 2(l + b) × h
= 2(7.5 + 3) × 5
= 2 ×10.5 × 5
= 105 மீ²

A(6,−1), B(8,3) மற்றும் C(10,−5) ஆகியவற்றை முனைப் புள்ளிகளாகக்  கொண்ட முக்கோணத்தின் நடுக்கோட்டு மையம் G(x, y)
G(x, y) =G\(\left( \frac { { x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 }+{ x }_{ 3 } }{ 3 } ,\frac { { y }_{ 1 }+{ y }_{ 2 }+{ y }_{ 3 } }{ 3 } \right) \)
கொடுக்கப்பட்டது  (x₁, y₁) = (6,−1); (x₂ , y₂ ) = (8,3);

(x₃ , y₃) = (10,−5)
முக்கோணத்தின் நடுக்கோட்டு மையம்
G(x, y) =G\(\left( \frac { 6+8+10 }{ 3 } ,\frac { -1+3-5 }{ 3 } \right) \)
=G\(\left( \frac { 24 }{ 3 } ,\frac { -3 }{ 3 } \right) \) =G=(8, -1)

(i) sin74° = sin(90° - 16° ) (ஏனெனில், 90° - 16° = 74° )
வலப்பக்கமானது sin(90°- θ) cos θ என்ற வடிவில் உள்ளது.
எனவே, sin74° = cos16°
(ii) tan12° = tan(90° - 78° ) (ஏனெனில், , 12° - 90° = 78° )
வலப்பக்கமானது tan(90° - θ ) cot θ என்ற வடிவில் உள்ளது.
எனவே, tan12° = cot78°
(iii) cosec39° = cosec(90° - 51°) (ஏனெனில், 39° - 90° = 51°)
வலப்பக்கமானது cosec(90° - θ ) sec θ என்ற வடிவில் உள்ளது.
எனவே, cosec39° = sec51°

(i) y = 2x
x = -1, எனில் y = 2 \(\times\) -1 = -2
x = 0,             y = 2 \(\times\) 0 = 0
x = 1,             y = 2 \(\times\) 1 = 2

வரைபடத்தில் (x, y) புள்ளிகளைக் குறிக்க:
(-1, -2), (0, 0), (1, 2)
(ii) y = 4x - 1
x = -1 \(\Rightarrow\) y = 4 (-1) - 1
y = -4 - 1 = -5
x = 0                     \(\Rightarrow\) y = 4 \(\times\) 0 - 1 = -1
x = 1                     \(\Rightarrow\) y = 4 \(\times\) 1 - 1 = 3

வரைபடத்தில் (x, y) புள்ளிகளைக் குறிக்க:
(-1, -5), (0, -1), (1, 3)
(iii) \( y=\left ( \frac{3}{2} \right )x+3\)
x = -2   \(\Rightarrow y=\left ( \frac{3}{2} \right )(-2)+3=-3+3=0\)
x = 0     \(\Rightarrow y=\left ( \frac{3}{2} \right )(0)+3\)
y = 0 + 3 = 3
x = 2 \(\Rightarrow y=\left ( \frac{3}{2} \right )(2)+3=3+3 \Rightarrow y=6\)

வரைபடத்தில் (x, y) புள்ளிகளைக் குறிக்க: (-2, 0), (0,3), (2, 6)
(iv) 3x + 2y = 14
2y = -3x + 14
\(y=\frac{-3x+14}{2}\)
\(\Rightarrow y=\left ( \frac{-3}{2} \right )x+7 \)
x = -2, எனில் \(y=\left ( \frac{-3}{2} \right )(-2)+7\)
= 3 + 7 = 10
x = 0, எனில்  \(y=\left ( \frac{-3}{2} \right )(0)+7=7\)
x = 2, எனில் y = -3 + 7 = 4

வரைபடத்தில் (x, y) புள்ளிகளைக் குறிக்க:
(-2, 10), (0, 7), (2, 4)

A இன் ஆயத்தொலைவு (x₁, y₁) என்க , B(5,−6) எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது விட்டம் AB இன் நடுப்புள்ளி வட்டத்தின் மையம் என்பதால், நாம் பெறுவது,
\(\frac { { x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 } }{ 2 } =3\)
x₁ + 5 = 6

x₁ = 6 − 5
x₁ = 1
\(\frac { { y }_{ 1 }+{ y }_{ 2 } }{ 2 } =-4\)
y₁ − 6 = −8
y₁ = −8 + 6
y₁ = −2
எனவே, A இன் ஆயத்தொலைவுகள் (1, -2) ஆகும்.

AB இன் சாய்வு = \(\frac { { y }_{ 2 }-{ y }_{ 1 } }{ { x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 } } =\frac { 3 }{ 5 } \)

EF இன் சாய்வு =\(\frac { 4 }{ 7 } \)
PQ இன் சாய்வு = வரையறுக்கப்படாதது
RS இன் சாய்வு =0.
   

BC = 13 மற்றும் AB = 5 என்க 

பிதாகரஸ்  தேற்றத்தின்படி 
\(AC=\sqrt { { BC }^{ 2 }-{ AB }^{ 2 } } \)
= \(\sqrt { { 13 }^{ 2 }-{ 5 }^{ 2 } } \)
= \(\sqrt { 169-25 } \) = \(\sqrt { 144 } \) = 12
எனவே , \(\sin\theta -\frac { AC }{ BC } =\frac { 12 }{ 13 } ;\cos\theta \frac { AB }{ BC } =\frac { 5 }{ 13 } \quad \)
இடப்பக்கம் = \(\frac { 2\sin\theta -3\cos\theta }{ 4\sin\theta -9\cos\theta } =\frac { 2\times \frac { 12 }{ 13 } -3\times \frac { 5 }{ 13 } }{ 4\times \frac { 12 }{ 13 } -9\times \frac { 5 }{ 13 } } =\frac { \frac { 24-15 }{ 13 } }{ \frac { 48-15 }{ 13 } } =\frac { 9 }{ 3 } =3\)= வலப்பக்கம்.    

சரியான விடையை ஊகிப்பதற்கான  நிகழ்தகவு\(P(A)=\frac { x }{ 3 } \)
சரியான  விடையை  ஊகிக்காமல்  இருப்பதற்கான  நிகழ்தகவு \(P(A')=\frac { x }{ 5 } \)
p(A)+p(A')=1
\(\frac{x}{3}+\frac{x}{5} = 1\)
\(\frac {5x + 3x }{15} = 1\)
\(\frac {8x }{15} = 1\)
8x  = 15
x=\(\frac{15}{8}\)

கனச்சதுரவடிவிலான பால்தொட்டியானது கொள்ளளவு = 1,25,000 லிட்டர்
a³=125000 லிட்டர்  =125மீ³ (1000 லி =1மீ³)
a = \(3 \sqrt{125} = 3\sqrt {5 \times 5 \times 5}\)
a³=5³
a=5மீ 
தொட்டியின் பக்க அளவு = 5 மீ

ஒரு சாக்லேட் பெட்டியின் நீளம், அகலம் உயரங்களின் விகிதம் 5:4:3
நீளம் (l) = 5x அகலம் (b) = 4x  உயரம்(h) = 3x 
கணக்கின் படி, கனஅளவு =7500 செமீ³
l x b x h =7500
5x  x 4x  x 3x =7500
60x³= 7500

x = 5செமீ
கன சதுரத்தின் நீளம் 5x =5 x 5 = 25செமீ
கனசதுரத்தின் அகலம் 4x = 4 x 5 = 20செமீ
கனசதுரத்தின் உயரம் 3x = 3 x 5 = 15 செமீ
ஒரு சாக்லேட் பெட்டியின் அளவு = 25செமீ x 20செமீ x 15செமீ

நெடுஞ்சாலையில் A மற்றும் B என்ற புள்ளிகளுக்கு இடையேயுள்ள தூரம் =70 கி.மீ
இரு மகிழுந்துகளின் வேகங்கள் =x கி.மீ/மணி, y கி.மீ/மணி
இரு மகிழுந்துகளும் ஒரே திசையில் பயணித்தால் இவற்றின் நெருங்கும் வேகம் =x -y  கி.மீ/மணி

கணக்கின் படி, =\(\frac { +70 }{ x-y } \)=7
x-y=\(\frac { +70 }{ 7 } \)=10
x-y=10     ........(1)

இரு மகிழுந்துகளும் ஒன்றை நோக்கி மற்றொன்று பயணித்தால் நெருங்கும் வேகம் =x +y கி.மீ/மணி

கணக்கின் படி,  1=\(\frac { 70 }{ x+y } \)
x+y=70   ......(2)
சமன்பாடு (2) + (1)
x - y = 10
x + y = 70
_________
2x    =80
x     =40
x=40 என சமன்பாடு (2)ல் பிரதியிட
x+y=70
40+y=10
y=70-40=30
y=30
x=40; y=30
இரு மகிழுந்துகளின் வேகங்கள் =40 கி.மீ/மணி, 30 கி.மீ/மணி.

படத்திலிருந்து நாற்கரம் ABCD இன் பரப்பு 
=∆ ABDயின் பரப்பு + ∆ BCD யின் பரப்பு 
∆ABD யின் பக்கங்கள a=13செமீ, b=15 செமீ மற்றும் c=14 செமீ
∆ABD யின் பரப்பு\(=\sqrt { S(s-a)(s-b)(s-c) } \)
\(S=\frac { a+b+c }{ 2 } =\frac { 13+14+15 }{ 2 } =\frac { 42 }{ 2 } =21\)செமீ 
∆ABD யின் பரப்பு\(​​​​=\sqrt { 21(21-13)(21-14)(21-15) } \)
\(=\sqrt { 21\times 8\times 7\times 6 } \)
\(=\sqrt { 7056 } \)
= 84 ச.செமீ 
∆BCD யின் பக்கங்கள் a=12செமீ, b=9செமீ மற்றும் c=15செமீ 
∆BCD யின் பரப்பு =\(\sqrt { S(s-a)(s-b)(s-c) } \)
\(S=\frac { a+b+c }{ 2 } =\frac { 9+12+15 }{ 2 } =\frac { 36 }{ 2 } =18\)செமீ 
∆BCD யின் பரப்பு \(=\sqrt { 18(18-9)(18-12)(18-15) } \)
\(=\sqrt { 18\times 9\times 6\times 3 } \)
\(=\sqrt { 2916} \)
=54ச.செமீ 
நாற்கரம் ABCD யின் பரப்பு =∆ABD யின் பரப்பு +∆BCD யின் பரப்பு
=84+54=138ச.செமீ 
நாற்கரம் ABCD யின் பரப்பு =138 செ மீ²

இந்தச் சோதனையில் ஒவ்வொரு முயற்சியிலும் அணி I ஆனது அணி II ஐ எதிர்கொள்கிறது. அணி I வெற்றி பெறுவதற்கான நிலையைக் கருதுவோம்.
இங்கே மொத்தம் 10 முயற்சிகள் உள்ளன. அவற்றில் அணி I முதலாவது, ஆறாவது மற்றும் ஒன்பதாவது ஆட்டங்களில் வெற்றி பெற்றுள்ளது. அணி I வெற்றி பெறுவதற்கான ஒப்பீட்டு நிகழ்வெண் நிகழ்தகவு = \(\frac { 3 }{ 10 } \) அல்லது  0.3        

(i) sinθ = 0.9975
(i) sinθ = 0.9975 + 0.0001
அட்டவணையிலிருந்து 0.9974 = 85⁰54'
பொது வித்தியாசம்                           = 3'(கூட்ட)
0.997 = 85057'
sinθ = 0.9975 = sin85⁰57'
θ = 85⁰57^'
(ii) cos θ =0.6763
cos θ =0.6763 = 0.6769-0.0006
அட்டவணையிலிருந்து 0.9974 = 85⁰54'
பொது வித்தியாசம்                           = 3'(கூட்ட)
0.6763 = 47⁰27'
sinθ = 0.9975 = sin85⁰57'
cos θ =0.6763 = cos 47⁰27'
(iii) tanθ = 0.0720
 tanθ = 0.0720 = 0.0717 + 0.0003
அட்டவணையிலிருந்து 0.9974 = 4^o 6'
பொது வித்தியாசம்                        = 1'(கூட்ட)
0.0720 = 4⁰7'
tanθ = 0.0720 - tan4⁰7'
θ = 4⁰7'
(iv) cos θ = 0.0410
cos θ = 0.0410 = 0.0419 - 0.0009
அட்டவணையிலிருந்து 0.9974  = 4⁰ 6'
பொது வித்தியாசம்                         = 1'(கூட்ட)
0.0410 = 87⁰39'
cos θ = 0.0410 = cos 87^o39'
θ =82^o39'
v) tanθ =7.5958
tanθ = 7.5958
அட்டவணையிலிருந்து 0.9974  =82⁰30'
பொது வித்தியாசம்                         = 1'(கூட்ட)
θ =82⁰30'

கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் A( -1, 3), B( 1, -1) மற்றும் C(5,1)
A வழியே செல்லக்கூடிய நடுக்கோடு AD
BC யின் நடுப்புள்ளி L\(\left( \frac { { x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 } }{ 2 } ,\frac { { y }_{ 1 }+{ y }_{ 2 } }{ 2 } \right) \)
\(\left( \frac { 1+5 }{ 2 } ,\frac { -1+1 }{ 2 } \right) =\left( \frac { 6 }{ 2 } ,\frac { 0 }{ 2 } \right) \)=(,0)
A(-1,3) மற்றும் D(3,0) x₁=3, y₁=0, x₂=-1, y₂=3
தொலைவு d =\(\sqrt { ({ x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 })^{ 2 }({ y }_{ 2 }-{ y }_{ 1 })^{ 2 } } \)
நடுக்கோட்டின் நீளம் AD =\(\sqrt { (-1-)^{ 2 }+(3-0)^{ 2 } } \)
=\(\sqrt { (-4)^{ 2 }+3^{ 2 } } =\sqrt { 16+9 } =\sqrt { 25 } \)=5 அலகுகள்.
நடுக்கோட்டின் நீளம் AD =5 அலகுகள்

இரண்டு மகிழுந்துகளின் வேகம் x, y என்க, அவை ஒன்றையொன்று எதிர்நோக்கி பயணித்தால்
அவை 1 மணி நேரத்தில் சந்திக்கும் எனில் d = 100; \(\frac{d}{s}=t\)
i.e., \(\frac{100}{x+y}=1 \Rightarrow x+y=100\)                ....(1)
இரண்டு மகிழுந்துகளும் ஒரே திசையில் பயணித்தால் அவை 2 மணி நேரத்தில் சந்திக்கும்.

(1) \(\Rightarrow\) x + y = 100
y = -x + 100

வரைபடத்தில் குறிக்க வேண்டிய புள்ளிகள் 
(0, 100), (100, 0)
(2) \(\Rightarrow\) x - y = 50
-y = -x + 50
y = x - 50

வரைபடத்தில் குறிக்க வேண்டிய புள்ளிகள் (0, -50), (50, 0)
x + y = 100                                    ....(1)
x = 0 என (1) ல் பிரதியிட, 0 + y = 100 \(\Rightarrow\) y = 100
A(0, 100) ஆனது நேர்க்கோடு (1) ன் மீது அமையும் புள்ளி
y = 0 என (1) ல் பிரதியிட, x + 0 = 100 \(\Rightarrow\) x = 100
B (100, 0) ஆனது மற்றொரு புள்ளியாகும் (1)
வரைபடத்தில் A & B புள்ளிகளைக் குறித்து அவற்றை இணைக்க நேர்க்கோடு (1) கிடைக்கும்.
மேலும்   x - y = 50                 .....(2)
x = 0  என (2), ல் பிரதியிட 0 - y = 50
\(\Rightarrow\) y = -50
P(0, -50) ஆனது ஒரு புள்ளியாகும் (2)
y = 0 என (2) ல் பிரதியிட, x - 0 = 50
\(\Rightarrow\) x = 50
Q (50, 0) ஆனது மற்றொரு புள்ளியாகும்
வரைபடத்தில் P & Q புள்ளிகளைக் குறித்து அவற்றை இணைக்க நேர்க்கோடு (2) கிடைக்கும்
இரண்டு கோடுகளும் ஒன்றையொன்று (75, 25) என்ற புள்ளியில் வெட்டிக்கொள்கின்றன. எனவே நேர்கோடுகள் (1) & (2) ன் தீர்வு (75, 25) ஆகும்
எனவே இரண்டு மகிழ்ந்துகளின் வேகம் முறையே x மற்றும் y ஆனது
x = 75 கி.மீ
y = 25 கி.மீ

M என்பது BC ன் நடுப்புள்ளி என்க.
நடுப்புள்ளி M = \(\left( \frac { { x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 } }{ 2 } ,\frac { { y }_{ 1 }+{ y }_{ 2 } }{ 2 } \right) \)
\(=\left(\frac{3-3}{2}, \frac{2-2}{2}\right)=(0,0)\)
தொலைவு d =\(\sqrt { ({ x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 })^{ 2 }+({ y }_{ 2 }-{ y }_{ 1 })^{ 2 } } \)
AD இன் தொலைவு =\(\sqrt { (-3-0)^{ 2 }+(2-0)^{ 2 } } \)
=\(\sqrt { 9+4 } =\sqrt { 13 } \) அலகுகள் 
BD இன் தொலைவு =\(\\ \sqrt { (-3-0)^{ 2 }+(2-0)^{ 2 } } \)
=\(\sqrt { 9+4 } =\sqrt { 13 } \) அலகுகள் 
CD இன் தொலைவு=\(\sqrt { (-3-0)^{ 2 }+(2-0)^{ 2 } } \)
=\(\sqrt { 9+4 } =\sqrt { 13 } \) அலகுகள் 
தொலைவு AD= BD =CD=\(\sqrt { 13 } \)

எனவே கர்ணத்தின் நடுப்புள்ளி உச்சியிலிருந்து சமதொலைவில் உள்ளது. 

ΔABC யில்,
AC = 15, BC = 20, AB = 9 + 16 = 25
பிதாகரஸ் தேற்றத்தின் படி,
AB² = AC² + BC²
25² = 15² + 20²
625 = 225 + 400 = 625
ΔADC யில், AD = 9, DC = 12, AC = 15
பிதாகரஸ் தேற்றத்தின் படி,
AC² = AD² + CD²
15² = 9² + 12²
225 = 81 + 144
225 = 225
∴ ΔADC ஒரு செங்கோண முக்கோணம்
ΔBCD யில், BD = 16, DC = 12, BC = 20
பிதாகரஸ் தேற்றத்தின் படி,
BC² = BD² + CD²
20² = 12² + 16²
400 = 144 + 256
400 = 400
∴ΔBCD ஒரு செங்கோண முக்கோணம்.
இப்படத்தில் ΔADC, ΔBCD என இரு செங்கோண முக்கோணங்கள் உள்ளன.
\(\sinα=\frac{CD}{AC}=\frac{12}{15}=\frac45\)
\(\cosβ=\frac{BD}{BC}=\frac{16}{20}=\frac45\)
\(\tanφ=\frac{BD}{CD}=\frac{16}{12}=\frac43\)

பிதாகரஸ் தேற்றத்தின் படி,

\(BC=\sqrt { { AC }^{ 2 }-{ AB }^{ 2 } } \\ =\sqrt { { 5 }^{ 2 }-{ 3 }^{ 2 } } =\sqrt { 25-9 } =\sqrt { 16=4 } \)
BC = 4

cos A = \(\frac 35\)

\(\frac { \sin A-\cos A }{ 2 \tan A } =\frac { \frac { 4 }{ 5 } -\frac { 3 }{ 5 } }{ 2\times \frac { 4 }{ 3 } } \frac { \frac { 1 }{ 5 } }{ \frac { 8 }{ 3 } } \)
\(=\frac { 1 }{ 5 } \times \frac { 3 }{ 8 } =\frac { 3 }{ 40 }\)
\(\frac { \sin A -\cos A }{ 2\tan A } =\frac { 3 }{ 40 } \)

இங்கு இனிப்புப் பெட்டியின் நீளம் (l) = 22செமீ, அகலம் (b) = 18 செமீ, உயரம் (h) = 10செமீ.
ஓர் இனிப்புப் பெட்டியின் கன அளவு = l \(\times\) b \(\times\) h
= 22 \(\times\) 18 \(\times\) 10 செமீ³
அட்டைப் பெட்டியின் நீளம் (l) = 1மீ = 100 செமீ,

அகலம் (b) = 88 செமீ, உயரம் (h) = 63 செமீ.
அட்டைப் பெட்டியின் கனஅளவு =  l \(\times\) b \(\times\) h
= 100 \(\times\) 88 \(\times\) 63 செமீ³
அட்டைப் பெட்டியில் அடுக்க இயலும் இனிப்புப் பெட்டிகளின் எண்ணிக்கை

\(=\frac { 100\times 88\times 63 }{ 22\times 18\times 10 } \)
= 140 பெட்டிகள்

நூற்றுக்கு நூறு பெற்ற மாணவர்கள்  = 1184 ஆகவே  n  = 1184
(i) E₁ என்பது கணிதத்தில் நூற்றுக்கு நூறு பெற்ற மாணவர்கள் உள்ள நிகழ்ச்சி என்க.
ஆகையால் n(E₁)  = 233, அதாவது  r₁ = 233
P(E₁) = \(\frac { { r }_{ 1 } }{ n } =\frac { 233 }{ 1184 } \)
(ii) E₂ என்பது அறிவியலில் நூற்றுக்கு நூறு பெற்ற மாணவர்கள் உள்ள நிகழ்ச்சி என்க.
ஆகையால்  n(E₂ ) = 1069 , அதாவது , r₂ = 106
P(E₂) = \(\frac { { r }_{ 2 } }{ n } =\frac { 106 }{ 1184 } \)
ஆகவே அறிவியலில் நூற்றுக்கு நூறு பெறாதவராக இருக்க  நிகழ்தகவு
 P(E'₂) = 1 - P(E₂)
= 1 - \(\frac { 106 }{ 1184 } \) = \(\frac { 1078 }{ 1184 } \)

இங்கு பக்கங்களின் விகிதம் 9:10:11, எனபவை அதன் பக்க அளவுகள் 9k, 10k, 11k என்க
முக்கோண வடிவப் பூங்காவின் சுற்றளவு = 300 மீ
அதாவது, 9k +10k +11k = 300 மீ
30k = 300
k = 10 மீ
ஆகவே, பக்கங்கள் a = 90 மீ, b = 100 மீ, c = 110 மீ என்போம்.
s==150 மீ
முக்கோண வடிவப் பூங்காவின் பரப்பு =\(\sqrt { s(s-a)(s-b)(s-c) } \)
=\(\sqrt {150(150-90)(150-100)(150-110)}\)
=\(\sqrt {150 \times60\times50\times40 }\)
=\(\sqrt {3\times50\times20\times3\times50\times2\times20}\)
=\(\sqrt {50 \times 20 \times 3\sqrt{2}}\)
=3000 ×1.414 = 4242 மீ²

(i) 2x - y = 3; 3x + y = 7
2x - y = 3                                  ...(1)
3x + y = 7                                 ...(2)
(1) + (2) \(\Rightarrow\) 2x - y = 3
                   3x + y = 7
                   _________
                       5x    = 10
                         x=\(\frac{10}{5}\) =2
x = 2 என (1) ல் பிரதியிட
2(2) - y = 3
4 - y = 3
-y = 3 - 4
y = 1
\(\therefore\) x = 2; y = 1
சரிபார்த்தல்:
x = 2, y = 1 என (2) ல் பிரதியிட
3(2) + 1 = 7 = RHS
\(\therefore\) சரிபார்க்கப்பட்டது.
(ii) x - y = 5; 3x + 2y = 25
x - y = 5                                                                                                                    ....(1)
3x + 2y = 25                                                                                                             ....(2)

y = 2
y = 2 என (1) ல் பிரதியிட
x - 2 = 5
x = 5 + 2
x = 7
\(\therefore\) x = 7, y = 2
சரிபார்த்தல்:
x = 7, y = 2 என (2) ல் பிரதியிட
3(7) + 2(2) = 21 + 4 = 25 = RHS
\(\therefore\) சரிபார்க்கப்பட்டது.
(iii) \(\begin{aligned} \frac{x}{10}+\frac{y}{5}=14 ; \frac{x}{8}+\frac{y}{6}=15 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \frac{x}{10}+\frac{y}{5}=14 \Rightarrow \frac{x+2 y}{10}=14 \end{aligned}\)
x + 2y = 140
\(\frac{x}{8}+\frac{y}{6}=15 \Rightarrow \frac{3 x+4 y}{24}=15\)

y = 30 என (1) ல் பிரதியிட 
x + 2(30) = 140
x + 60 = 140
x = 140 - 60 = 80
\(\therefore\) x = 80; y = 30
சரிபார்த்தல்:
x = 80, y = 30 என (2) ல் பிரதியிட
3(80) + 4(30) = 240 + 120 = 360 = RHS
\(\therefore\) சரிபார்க்கப்பட்டது
(iv) 3(2x + y) = 7xy; 3(x + 3y) = 11xy                                   
3(2x + y) = 7xy \(\Rightarrow\) 6x + 3y = 7 xy                                         .....(1)
3(x + 3y) = 11 xy \(\Rightarrow\) 3x + 9y = 11xy                                      .....(2)

\(\frac{6}{y}+\frac{3}{x}=7\)                                                            .....(3)

\(\frac{3}{y}+\frac{9}{x}=11\)                                                                       ......(4)
(3), (4) ல் \( \frac{1}{x}=a,\frac{1}{y}=b\) எனக் கொள்க
(3)  \(\Rightarrow\)  6b + 3a = 7                                                               ......(5)
(4) \(\Rightarrow\)  3b + 9a = 11                                                               ......(6)

                                                  15a = 15
                                                      a = \(\frac{15}{15}\) = 1
a = 1 என (5) ல் பிரதியிட
6b + 3 (1) = 7
6b + 3      = 7
6b = 7 - 3

\(\begin{aligned} \therefore \quad \frac{1}{a}=1 \Rightarrow x=1 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \frac{1}{b}=\frac{3}{2} \Rightarrow y=\frac{3}{2} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \therefore x=1 ; y=\frac{3}{2} \end{aligned}\)
(v) \(\frac{4}{x}+5 y=7 ; \frac{3}{x}+4 y=5\)
\(\frac{1}{x}\)= a எனக
\(\begin{aligned} & \frac{4}{x}+5 y=7 \Rightarrow 4 a+5 y=7 \end{aligned}\)               ....(1)
\(\begin{aligned} \frac{3}{x}+4 y=5 \Rightarrow 3 a+4 y=5 \end{aligned}\)                ....(2)

                                                      -1 y = 1
                                                          y = -1
y = -1 என (1) ல் பிரதியிட
4a + 5(-1) = 7
4a - 5 = 7
4a = 7 + 5
a = \(\frac{12}{4}=3\)
\(\frac{1}{a}=\frac{1}{3} \Rightarrow\) x = \(\frac{1}{3}\)
y = -1
\(\therefore \quad x=\frac{1}{3} ; y=-1\)
(vi) 13x + 11y = 70; 11x + 13y = 74
             13x + 11y = 70                .....(1)
             11x + 13y = 74                .....(2)

\(y=\frac{192}{48}=4\)
y = 4 என (1) ல் பிரதியிட
13x + 11 (4) = 70
13x + 44 = 70
13x = 70 - 44 = 26
\(x=\frac{26}{13}=2\)
\(\therefore\) x = 2; y = 4

கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் A(3, 5), B(8, -10) என்க. மேலும் புள்ளி P(x,y) ஆனது கோட்டுத்துண்டு AB ஐ 3:2 என்ற விகிதத்தில் உட்புறமாகப் பிரிக்கும் புள்ளி என்க.
பிரிவுச் சூத்திரத்தின்படி,
P(x, y)=P\(\left( \frac { m{ x }_{ 2 }+n{ x }_{ 1 } }{ m+n } ,\frac { m{ y }_{ 2 }+n{ y }_{ 1 } }{ m+n } \right) \)
இங்கு, x₁ = 3, y₁ = 5, x₂ = 8, y₂ = −10 மற்றும் m = 3, n = 2
ஆகையால், P(x, y) = P\(\left( \frac { 3(8)+2(3) }{ 3+2 } ,\frac { 3(-10)+2(5) }{ 3+2 } \right) \)
= P\(\left( \frac { 24+6 }{ 5 } ,\frac { -30+10 }{ 5 } \right) \)=P(6, -4)

(i) (cos0⁰ + sin 45⁰ + sin30⁰ ) (sin90⁰ - cos45⁰ +cos60⁰)
= \(\left[ 1+\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } +\frac { 1 }{ 2 } \right] \left[ 1\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } +\frac { 1 }{ 2 } \right] \)
= \(\left[ \frac { 2\sqrt { 2 } +2+\sqrt { 2 } }{ 2\sqrt { 2 } } \right] \left[ \frac { 2\sqrt { 2 } -2+\sqrt { 2 } }{ 2\sqrt { 2 } } \right] \left[ \frac { 3\sqrt { 2 } +2 }{ 2\sqrt { 2 } } \right] \left[ \frac { 3\sqrt { 2 } -2 }{ 2\sqrt { 2 } } \right] \)
= \(\frac { 18-4 }{ 4\left( \sqrt { 2 } \right) ^{ 2 } } =\frac { 14 }{ 4\times 2 } =\frac { 7 }{ 4 } \)
(ii) tan²60⁰ -2tan²45⁰ - cot²30⁰ + 2sin² 30⁰ + \(\frac { 3 }{ 4 } \) cosec²45⁰ 
= \(\left( \sqrt { 3 } \right) ^{ 2 }-2\left( 1 \right) ^{ 2 }-\left( \sqrt { 3 } \right) ^{ 2 }+2\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) ^{ 2 }+\frac { 3 }{ 4 } \left( \sqrt { 2 } \right) ^{ 2 }\)
= 3- 2-3 + \(\frac { 1 }{ 2 } +\frac { 3 }{ 2 } \)
= -2 + \(\frac { 4 }{ 2 } \) = -2 +2 =0

a1 : a2 = 2 : 3
a₁² : a₂² = 4 : 9
6a₁² : 6a₂² = 24 : 54 ⇒ 12 : 27 ⇒ 4 : 9

4a² = 600 ⇒ a² = 150
6a² = 6 x 150 = 900

ஒரு சமபக்க Δ - ன் சுற்றளவு = 30 செமீ 
a = 60 செமீ 
\(A = \frac {\sqrt 3}{4} a ^ 2 =\frac {\sqrt 3}{4} \times 10 \times 10 = 25\sqrt {3}\) செமீ²

நிகழ்தகவின் மதிப்பு இடைவெளி 0 மற்றும் 1

நிகழ்தகவின் மதிப்பு இடைவெளி 0 மற்றும் 1

a மற்றும் b இரண்டும் பூஜ்ஜியமாக இருக்கக்கூடாது.

\(x+\frac { 1 }{ x } =2\) ⇒ x² - 2x + 1 = 0 ; x(x - 1) = 2 ⇒ x² - x - 2 = 0; x³ - x = 5 என்பன நேரிய சமன்பாடுகள் அல்ல.

\(\left(\frac{m x_2+n x_1}{m+n}, \frac{m y_2+n y_1}{m+n}\right) =(1,6) \)
(1, 6) = \((\frac {m(-2) +n (2)}{m + n}, \frac {m(3) +n (7)}{m + n})\)
\((\frac {-2m +2n }{m + n}, \frac {3m +7n }{m + n})\)
x அச்சுத் தொலைவு \(=\frac{-2 m+2 n}{m+n}=\frac{1}{1} \)
\(-3 m =-n \)
\(\frac{m}{n} =\frac{1}{3} \Rightarrow 1: 3\)