படத்திலிருந்து, PHT ஒரு முக்கோணம்,

 

TP = 60 மீ
மரத்தின் உயரம் = HT என்க
tan 42^o \(\frac{h}{60}\) = 0.9004
HT = tan 42^o x 60'
= 0.9004 x 60
=54.0240 மீ
மரத்தின் உயரம் = 54.02 மீ

ஏணியின் நீளம் = 5 மீ
Δ ABC யிலிருந்து,
BC = 4 மீ, AC = 5 மீ

cos θ = \(\frac{BC}{AC}\) = \(\frac 45\) = 0.8000
cos θ = 8.000 = 0.80007 - 0.0007
அட்டவணையிலிருந்து 0.8007 = 36^o 48'
பொதுவித்தியாசம் 7                   =          4'
                                                          -------------
cos θ = 0.8000                                  = 36^o 52'
                                                          --------------
cos θ = cos 36^o 52'
θ = 36^o 52'

கொடுக்கப்பட்ட \(\triangle\) ABC,
கர்ணம் BC = 10செ.மீ 
θ =24⁰ 4'
\(\sin\theta =\frac { AC }{ BC } \)
sin24⁰24' = \(\cfrac { AC }{ BC } \)
0.4131 = \(\cfrac { AC }{ 10 } \)
AC = 0.4131 x 10 = 4.131 செ.மீ 
\(\cos\theta =\frac { AB }{ BC } \)
cos24^o24' = \(\cfrac { AB }{ 10 } \)
0.9107 = \(\cfrac { AB }{ 10 } \)
AB = 0.9107 x 10=9.107
செங்கோண \(\triangle\)- ன் பரப்பு = 1/2 bh 
முக்கோணத்தின் பரப்பு  = 1/2 x அடிப்பக்கம் x உயரம் 
= 1/2 x 4.131 x 9.107 செ.மீ ²
= \(\frac { 37.62 }{ 2 } \) = 18.81செ.மீ 
முக்கோணத்தின் பரப்பு = 18.81 செ.மீ ²

(i)  sin65⁰39' + cos24⁰57' + tan10⁰10'
= 0.9111+ 0.9066 + 0.1793 = 1.9970
sin65⁰39' + cos24⁰57' + tan10⁰10'
(ii)  tan70⁰58' + cos15⁰26' - sin84⁰59'
tan 70^o58' = 2.8982 + 0.9639 = 0.9962
= 3.8621 - 0.9962 = 2.8659
tan70⁰58' + cos15⁰26' - sin84⁰59' = 2.8659

(i) sinθ = 0.9975
(i) sinθ = 0.9975 + 0.0001
அட்டவணையிலிருந்து 0.9974 = 85⁰54'
பொது வித்தியாசம்                           = 3'(கூட்ட)
0.997 = 85057'
sinθ = 0.9975 = sin85⁰57'
θ = 85⁰57^'
(ii) cos θ =0.6763
cos θ =0.6763 = 0.6769-0.0006
அட்டவணையிலிருந்து 0.9974 = 85⁰54'
பொது வித்தியாசம்                           = 3'(கூட்ட)
0.6763 = 47⁰27'
sinθ = 0.9975 = sin85⁰57'
cos θ =0.6763 = cos 47⁰27'
(iii) tanθ = 0.0720
 tanθ = 0.0720 = 0.0717 + 0.0003
அட்டவணையிலிருந்து 0.9974 = 4^o 6'
பொது வித்தியாசம்                        = 1'(கூட்ட)
0.0720 = 4⁰7'
tanθ = 0.0720 - tan4⁰7'
θ = 4⁰7'
(iv) cos θ = 0.0410
cos θ = 0.0410 = 0.0419 - 0.0009
அட்டவணையிலிருந்து 0.9974  = 4⁰ 6'
பொது வித்தியாசம்                         = 1'(கூட்ட)
0.0410 = 87⁰39'
cos θ = 0.0410 = cos 87^o39'
θ =82^o39'
v) tanθ =7.5958
tanθ = 7.5958
அட்டவணையிலிருந்து 0.9974  =82⁰30'
பொது வித்தியாசம்                         = 1'(கூட்ட)
θ =82⁰30'

(i)  sin49° = .7547
(ii) 74°39' = 74°+36'+3'
அட்டவணையிலிருந்து cos 74036' = 0.2656(-)
பொது வித்தியாசம் 3'                               = 8
cos 74°39'                                              = 0.2648
 (iii) tan54°26'
அட்டவணையிலிருந்து tan54°26'= 01.3968(+)
பொது வித்தியாசம் 3'                            = 17
tan54°26'                                               = 1.3985
(iv) sin21°21'
அட்டவணையிலிருந்து sin21°21'' =0.3633(+)
பொது வித்தியாசம் 3'                            = 8
sin21°21'                                              = 0.3641
(v) cos33°53'
அட்டவணையிலிருந்து cos33°53'' = 0.8310 (-)
பொது வித்தியாசம் 3'                              = 8
cos 33°53'                                             = 0.8302
(vi) tan70°17'   
அட்டவணையிலிருந்து tan70°17' = 2.7776(+)
பொது வித்தியாசம் 3'                             = 8
tan70°17'                                             = 2.7907

8sin 2x. cos 4x .sin 6x
8sin 2(15^o) cos 4(15^o) sin 6(15^o) (இங்கு x = 15^o)
8 sin 30^о cos 60^o sin 90^о

cos 3A =4 cos³ A - 3cos A, A = 30^о
இடப்பக்கம் cos 3A  = cos 3(30^o) = cos 90^o = 0
வலப்பக்கம் 4 cos³A  - 3 cos A  = 4 cos³ (30^o) - 3 cos 30^o
\(4{ \left( \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \right) }^{ 3 }-3\left( \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \right) \)

\(\frac { 3\sqrt { 3 } }{ 2 } -\frac { 3\sqrt { 3 } }{ 2 } =0\)
(1) = (2) எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது 

(i) tan 45^o = 1 sec 60^o = 2 sin 90^o = 1
cosec 30^o = 2 cot 45^о = 1 cos 0^o = 1
\(\frac {\tan45° }{ cosec30° } +\frac { \sec60° }{ \cot45° } -\frac { 5\sin90° }{ 2\cos0° } \)
= \(\frac12+\frac12-\frac{5\times1}{2\times1}\)
\(\frac 12+\frac21-\frac52=\frac{1+4-5}{2}=\frac{5-5}{2}=0\)
(ii)  sin90° = 1, cos60° = 1/2 cos 45° = 1/2
sin30° = 1/2, cos0° = 1, cos 45° = \(\frac{1}{\sqrt2}\)
(sin90° + cos60° + cos 45°) X (sin30° − cos0° + cos 45°)
\(=\left( 1+\frac { 1 }{ 2 } +\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \right) \left( \frac { 1 }{ 2 } -1+\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \right) \)
\(=\left( \frac { 2\sqrt { 2 } +\sqrt { 2 } +2 }{ 2\sqrt { 2 } } \right) \left( \frac { \sqrt { 2 } -2\sqrt { 2 } +2 }{ 2\sqrt { 2 } } \right) \)
\(\left( \frac { 2+3\sqrt { 2 } }{ 2\sqrt { 2 } } \right) \left( \frac { 2\sqrt { 2 } }{ 2\sqrt { 2 } } \right) \)
\(\frac { 4+6\sqrt { 2 } -2\sqrt { 2 } -6 }{ 8 } =\frac { 4\sqrt { 2 } -2 }{ 8 } \)
\(\frac { 2(2\sqrt { 2 } -1) }{ 8 } \frac { 2\sqrt { 2 } -1 }{ 4 } \)
(iii) \({ \left( \frac { 1 }{ 2 } \right) }^{ 2 }{ -2\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) }^{ 3 }+3(1)4\)

\(\left( \frac { 1 }{ 4 } \right) -\left( \frac { 1 }{ 4 } \right) +3=3\)

(i) \(\sin^260^о=\frac{\sqrt{3}}{2}\), cos 60^o = 1/2
இடப்பக்கம் sin² 60^o + cos^o = \({ \left( \frac { { \sqrt { 3 } } }{ 2 } \right) }^{ 2 }+{ \left( \frac { 1 }{ 2 } \right) }^{ 2 }\)
= \(\frac34+\frac14=\frac14\) = 1 = வலப்பக்கம் சரிபார்க்கப்பட்டது.
(ii) tan 30^o ₌  \(\frac{1}{\sqrt3}\) , sec² 60^о = \(\frac{2}{\sqrt3}\)
இடப்பக்கம் 1 + tan² 30^o = 1 + \({ \left( \frac { { 1 } }{ \sqrt { 3 } } \right) }^{ 2 }\)
= 1+ \(\frac13\)=\(\frac{3+1}{3}=\frac43\)
வலப்பக்கம் sec² 30^o = \({ \left( \frac { { 2 } }{ \sqrt { 3 } } \right) }^{ 2 }=\frac43\)
இடப்பக்கம் = வலப்பக்கம் சரிபார்க்கப்பட்டது.
(iii) cos90⁰ =1- 2sin² 45⁰ = 2cos² 45⁰ -1
cos 90^o = 0 ...(1)
sin 45^o = \(\frac{1}{\sqrt2}\)
cos 45^o = \(\frac{1}{\sqrt2}\)
1 - 2 sin² 45^o = 1 - 2\(\left ( \frac{1}{\sqrt2} \right )^2\)- 1
= 1 - 2 x 1/2 = 1 - 1 = 0 ........(2)
2 cos² 45^o - 1 = 2\(\left ( \frac{1}{\sqrt2} \right )^2\)- 1
=2 x 1/2 - 1 = 1 - 1 = 0
(1) = (2) = (3)
∵ cos 90^o = 1 - 2 sin² 45^o = 2 cos 45^o - 1 சரிபார்க்கப்பட்டது.
(iv) sin30⁰cos60⁰ + cos30⁰sin60⁰ = sin90⁰
sin 30^o = 1/2
cos 60^ο = 1/2
sin 90^о = 1
cos 30^o = \(\frac{\sqrt3}{2}\) 
sin 60^о = \(\frac{\sqrt3}{2}\)
இடப்பக்கம் sin30⁰ cos60⁰ + cos30⁰sin60⁰ sin90⁰
\(1/2\times1/2+\frac{\sqrt3}{2} \times \frac{\sqrt3}{2}\)
\(1/4+3/4=\frac44=1\)
வலப்பக்கம் sin 90^о = 1
இடப்பக்கம் = வலப்பக்கம் சரிபார்க்கப்பட்டது.

செங்கோண முக்கோணம் OMP யில், OP = 25மீ, PM = 5மீ
\(\sinθ=\frac{PM}{OP}=\frac{5}{25}=\frac15\)......(1)
செங்கோணமுக்கோணம் OQN, OQ = 3மீ, QN = h
\(\sinθ=\frac{QN }{OQ }=\frac{h }{35}\)......(2)
(1) = (2)
\(\frac {h}{35}=\frac 15\)
\(h =\frac {35}{5}\) = 7மீ
உயரம் h  = 7மீ.

ΔABC யில்,
AC = 15, BC = 20, AB = 9 + 16 = 25
பிதாகரஸ் தேற்றத்தின் படி,
AB² = AC² + BC²
25² = 15² + 20²
625 = 225 + 400 = 625
ΔADC யில், AD = 9, DC = 12, AC = 15
பிதாகரஸ் தேற்றத்தின் படி,
AC² = AD² + CD²
15² = 9² + 12²
225 = 81 + 144
225 = 225
∴ ΔADC ஒரு செங்கோண முக்கோணம்
ΔBCD யில், BD = 16, DC = 12, BC = 20
பிதாகரஸ் தேற்றத்தின் படி,
BC² = BD² + CD²
20² = 12² + 16²
400 = 144 + 256
400 = 400
∴ΔBCD ஒரு செங்கோண முக்கோணம்.
இப்படத்தில் ΔADC, ΔBCD என இரு செங்கோண முக்கோணங்கள் உள்ளன.
\(\sinα=\frac{CD}{AC}=\frac{12}{15}=\frac45\)
\(\cosβ=\frac{BD}{BC}=\frac{16}{20}=\frac45\)
\(\tanφ=\frac{BD}{CD}=\frac{16}{12}=\frac43\)

cos θ : sin θ = 1 : 2
\(\frac{\cosθ}{\sinθ}=1/2\)


பிதாகரஸ் தேற்றத்தின் படி,
\(AB=\sqrt { AB^{ 2 }{ -BC }^{ 2 } } \\ =\sqrt { { 2 }^{ 2 }+{ 1 }^{ 2 } } =\sqrt { { 4+1 } } =\sqrt { 5 } \)

\(\frac { 8\cos\theta -2\sin\theta }{ 4\cos\theta +2\sin\theta } =\frac { 8\times \frac { 1 }{ \sqrt { 5 } } -2\times \frac { 2 }{ \sqrt { 5 } } }{ 4\times \frac { 1 }{ \sqrt { 5 } } +2\times \frac { 2 }{ \sqrt { 5 } } } \)

\(\frac { 8\cos\theta -2\sin\theta }{ 4\cos\theta +2\sin\theta } =1/2\)

3 cot A = 2


\(AB=\sqrt { { BC }^{ 2 }{ -AC }^{ 2 } } \\ =\sqrt { { 3 }^{ 2 }+{ 2 }^{ 2 } } =\sqrt { { 9+4 } } =\sqrt { 13 } \)

\(\frac { 4\sin A-3\cos A }{ 2\sin A+3\cos A } =\frac { 4+\frac { 3 }{ \sqrt { 13 } } -3\times \frac { 2 }{ \sqrt { 13 } } }{ 2\times \frac { 3 }{ \sqrt { 13 } } +3\times \frac { 2 }{ \sqrt { 13 } } } \)

\(\frac { 4\sin A-3\cos A }{ 2\sin A+3\cos A } =1/2\)

\(\sin\theta =\frac { a }{ \sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } } } \) எனில் 
பிதாகரஸ் தேற்றத்தின் படி,

\(AB=\sqrt { { AC }^{ 2 }{ -BC }^{ 2 } } \\ =\sqrt { { { \sqrt { ({ { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } }) } } }^{ 2 }{ -a }^{ 2 } } \\ =\sqrt { { a }^{ 2 }{ +b }^{ 2 }{ -a }^{ 2 } } \\ =\sqrt { { b }^{ 2 } } =2\)

b sin θ = a cos θ
\(b \sin\theta =b\times \frac { a }{ \sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } } } =\frac { a }{ \sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } } } \)
\(\sin\theta =b\times \frac { a }{ \sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } } } =\frac { a }{ \sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } } } \)
∴ b sin θ = a cos θ
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

பிதாகரஸ் தேற்றத்தின் படி,

பிதாகரஸ் தேற்றத்தின் படி,

\(BC=\sqrt { { AC }^{ 2 }-{ AB }^{ 2 } } \\ =\sqrt { { 5 }^{ 2 }-{ 3 }^{ 2 } } =\sqrt { 25-9 } =\sqrt { 16=4 } \)
BC = 4

cos A = \(\frac 35\)

\(\frac { \sin A-\cos A }{ 2 \tan A } =\frac { \frac { 4 }{ 5 } -\frac { 3 }{ 5 } }{ 2\times \frac { 4 }{ 3 } } \frac { \frac { 1 }{ 5 } }{ \frac { 8 }{ 3 } } \)
\(=\frac { 1 }{ 5 } \times \frac { 3 }{ 8 } =\frac { 3 }{ 40 }\)
\(\frac { \sin A -\cos A }{ 2\tan A } =\frac { 3 }{ 40 } \)

2cos θ = \(\sqrt{3}\)


பிதாகரஸ் தேற்றத்தின் படி,
AB =\(\sqrt{AC^2-BC^2}\)
=\(\sqrt{2^2-(\sqrt3)^2}\)
=\(\sqrt{4^2-3^2}\) =\(\sqrt{1}\)=1

ΔABD யில், பிதாகரஸ் தேற்றப்படி,
AD = \(\sqrt{AB^2-BD^2}\)
      = \(\sqrt{13^2-5^2}\)
      = \(\sqrt{169-25}\)
      = \(\sqrt{144}\) = 12

ΔADC யில்
\(AC=\sqrt { { AD }^{ 2 }{ +DC }^{ 2 } } \)
\(=\sqrt { { 12 }^{ 2 }{ +16 }^{ 2 } } \)
\(=\sqrt { 144+256 } \)
\(=\sqrt { 400 } =20\)

 

பிதாகரஸ் தேற்றத்தின் படி,
OA=\(\sqrt { { OB }^{ 2 }+{ AB }^{ 2 } } \)
=\(\sqrt { { 10 }^{ 2 }-{ 8 }^{ 2 } } =\sqrt { 100+64 } =\sqrt { 36 } \)=6
OA=6

பிதாகரஸ் தேற்றத்தின்படி,
\(AC=\sqrt { { AB }^{ 2 }-{ BC }^{ 2 } } \)
= \(\sqrt { { 3 }^{ 2 }+{ 2 }^{ 2 } } =\sqrt { 9+4 } =\sqrt { 13 } \)
AC = \(\sqrt { 13 } \)

பிதாகரஸ் தேற்றத்தின் படி 
\(AB=\sqrt { { BC }^{ 2 }-{ AC }^{ 2 } } \)
= \(\sqrt { \left( 25 \right) ^{ 2 }-{ 7 }^{ 2 } } \)
= \(\sqrt { 625-49 } =\sqrt { 576 } \) = 24


ஆறு முக்கோணவியல் விகிதங்களைப் பின்வருமாறு நாம் எழுதலாம். 
    

கொடுக்கப்பட்டுள்ள செங்கோண முக்கோணம் PQR இல் கோணம் \(\theta \) விற்கு  எதிர்ப்பக்கம்  PR, அடுத்துள்ள பக்கம் PQ  ஆகும் .

 

முக்கோணவியல் விகிதங்களைப் பின்னங்களாவே குறிப்பிடலாம். தேவைப்பட்டால்  அவற்றைச் சுருக்கியும் எழுதலாம்.               

(i) sin38⁰36' + tan12⁰12'
sin38⁰36' = 0.6239
tan12⁰12' = 0.2162
sin38⁰36' + tan12⁰12' = 0.8401
(ii) tan60⁰25' - cos 49⁰20'
tan60⁰25' =1.7603 + 0.0012 =1.7615
cos 49⁰20' = 0.6521 - 0.0004 = 0.6517
tan60⁰25' - cos 49⁰20' =1.1098

70⁰13' = 70⁰12' + 1' என எழுதலாம் 
அட்டவணையிலிருந்து  tan 70⁰12'  = 2.7776
பொது வித்தியாசம்                      1'  =        26  (tan -ற்குப் பொது வித்தியாசத்தைக் கூட்டவும்  )
                                               __________________
                                              tan 70⁰13' = 2.7802
                                              ___________________ 

19⁰59' = 19⁰5' + 5' என எழுதலாம் 
அட்டவணையிலிருந்து  cos 19⁰54'  = 0.9403
பொது வித்தியாசம்                       4'  =           5  (cosine - ற்குப் பொது வித்தியாசத்தைக் கழிக்கவும்)
                                               __________________
                                              cos 19⁰59' = 0.9398
                                              ___________________ 

64⁰34' = 64⁰30' + 4' என எழுதலாம் 
அட்டவணையிலிருந்து  sin 64⁰30'  = 0.9026
பொது வித்தியாசம்                4 = 5  (sine-ற்குப் பொது வித்தியாசத்தைக் கூட்டவும் )
                                          __________________
                                         sin 64⁰34 = 0.9031
                                        ___________________ 

(i) cosec A = sec (90⁰ - A ) என நாம்  அறிவோம்.
sec (90⁰ - A ) = sec (34⁰)
90⁰ - A = 34⁰
A = 90⁰ - 34
A = 56⁰
(ii) tan B = cot (90⁰ - B ) என நாம் அறிவோம்
cot (90⁰ - B) = cot 47⁰
90⁰ - B = 47⁰
B = 90⁰ - 47⁰ 
B  = 43⁰

(i)  tan7° tan23° tan60° tan67° tan83°
= tan7⁰tan83⁰tan23⁰tan67⁰tan60⁰ (நிரப்புக் கோணங்களைக் குழுப்படுத்த)
=  tan7⁰tan(90⁰ - 7⁰)tan23⁰tan(90⁰ - 23⁰)tan60⁰
= (tan7⁰ cot7⁰)(tan23⁰ cot23⁰)tan60⁰
=  (1)x  (1)x  tan60⁰
= tan 60⁰ \(\sqrt { 3 } \)
(ii) \(\frac { \cos35° }{ \sin55° } +\frac { \sin12° }{ \cos78° } -\frac { \cos18° }{ \sin72° } \)
\(\frac { \cos\left( { 90 }^{ 0 }-{ 55 }^{ 0 } \right) }{ \sin{ 55 }^{ 0 } } +\frac { \sin\left( 90°-78° \right) }{ \cos78° } -\frac { \cos\left( 90°-72° \right) }{ \sin72° }\)
ஏனெனில் 
\( \left[ \begin{matrix} \cos35°=\cos(90°-55°) \\ \sin12°=\sin\left( 90°-78° \right) \\ \cos18°=\cos\left( 90°-72° \right) \end{matrix} \right] \)
= \(\frac { \sin55° }{ \sin55° } +\frac { \cos78° }{ \cos78° } +\frac { \sin72° }{ \sin72° } \) 
= 1 + 1 - 1 = 1

(i) \(\frac { \sin49° }{ \cos41° } \)
sin49⁰ = sin (90⁰- 41⁰) = cos41⁰  ஏனெனில் , 49⁰ + 41⁰ = 90⁰ (நிரப்புக் கோணங்கள்),
sin 49⁰ = cos 41⁰ எனப் பிரதியிட  நாம் பெறுவது  \(\frac { \cos41° }{ \cos41° } \) = 1   
(ii) \(\frac { \sec63° }{ cosec \ 27° } \)
sec63⁰  = sec  (90⁰ - 27⁰) = cosec 27⁰ எனப் பிரதியிட,
(இங்கு, 63⁰ மற்றும் 27⁰ நிரப்புக் கோணங்கள் )நாம் பெறுவது.
\(\frac { \sec63° }{ cosec \ 27° } =\frac { cosec \ 27° }{ cosec \ 27° } \) = 1    

(i) sin74° = sin(90° - 16° ) (ஏனெனில், 90° - 16° = 74° )
வலப்பக்கமானது sin(90°- θ) cos θ என்ற வடிவில் உள்ளது.
எனவே, sin74° = cos16°
(ii) tan12° = tan(90° - 78° ) (ஏனெனில், , 12° - 90° = 78° )
வலப்பக்கமானது tan(90° - θ ) cot θ என்ற வடிவில் உள்ளது.
எனவே, tan12° = cot78°
(iii) cosec39° = cosec(90° - 51°) (ஏனெனில், 39° - 90° = 51°)
வலப்பக்கமானது cosec(90° - θ ) sec θ என்ற வடிவில் உள்ளது.
எனவே, cosec39° = sec51°

BC = 13 மற்றும் AB = 5 என்க 

பிதாகரஸ்  தேற்றத்தின்படி 
\(AC=\sqrt { { BC }^{ 2 }-{ AB }^{ 2 } } \)
= \(\sqrt { { 13 }^{ 2 }-{ 5 }^{ 2 } } \)
= \(\sqrt { 169-25 } \) = \(\sqrt { 144 } \) = 12
எனவே , \(\sin\theta -\frac { AC }{ BC } =\frac { 12 }{ 13 } ;\cos\theta \frac { AB }{ BC } =\frac { 5 }{ 13 } \quad \)
இடப்பக்கம் = \(\frac { 2\sin\theta -3\cos\theta }{ 4\sin\theta -9\cos\theta } =\frac { 2\times \frac { 12 }{ 13 } -3\times \frac { 5 }{ 13 } }{ 4\times \frac { 12 }{ 13 } -9\times \frac { 5 }{ 13 } } =\frac { \frac { 24-15 }{ 13 } }{ \frac { 48-15 }{ 13 } } =\frac { 9 }{ 3 } =3\)= வலப்பக்கம்.    

படத்திலிருந்து,
sin \(\theta \)  = \(\frac { AB }{ AC } \)
sin 48°30' = \(\frac { AB }{ 5 } \)
0.7490 = \(\frac { AB }{ 5 } \)
5 x 0.7940 = AB 
AB =3..7450 செமீ 
cos \(\theta \) = \(\frac { BC }{ AC } \)
cos48°30' = \(\frac { BC }{ 5 } \)
0.6626 = \(\frac { BC }{ 5 } \)
0.6626 x 5 = BC 
BC  = 3.313 செமீ 
முக்கோணத்தின்  = \(\frac { 1 }{ 2 } \)bh  அடிப்பக்கம் உயரம் 
= \(\frac { 1 }{ 2 } \) x BC x AB 
= \(\frac { 1 }{ 2 } \) x 3.3130 x 3.7450
= 1.6565 x  3.7450 = 6.2035925 செமீ² 

(i) sin θ = 0.9858 = 0.9857 + 0.0001
அட்டவணையிலிருந்து  0.9857 = 80⁰18'
பொது வித்தியாசம்                 1 =        2'  (பொது வித்தியாசத்தை கூட்டவும் )
                                              _______________ 
                                             0.9858  = 80⁰20'
                                              ________________
sin θ = 0.9858 = sin 80⁰20'
θ = 80⁰20'
(ii)  cosθ = 0.7656= 0.7660 + 0.0004
அட்டவணையிலிருந்து  0.7660= 40⁰0'
பொது வித்தியாசம்                 4 =     2'  (பொது வித்தியாசத்தை கழிக்கவும் )
                                              _______________ 
                                             0.7656 = 40⁰2'
                                              ________________
cos θ = 0.7656 = cos 40⁰2'
θ = 40⁰2'

(i) \(\left( \frac { \cos47° }{ \sin43° } \right) ^{ 2 }\left( \frac { \sin72° }{ \cos18° } \right) ^{ 2 }-2{ \cos }^{ 2 }45°\)
\(=\left( \frac { \cos({ 90 }^{ \circ }-{ 43 }^{ \circ }) }{ { \sin43 }^{ \circ } } \right) +{ \left( \frac { \sin({ 90 }^{ \circ }-{ 18 }^{ \circ }) }{ { \cos18 }^{ \circ } } \right) }^{ 2 }-{ 2\cos }^{ 2 }{ 45 }^{ \circ }\)
\(={ \left( \frac { { \sin43 }^{ \circ } }{ { \sin43 }^{ \circ } } \right) }^{ 2 }{ +\left( \frac { { \cos18 }^{ \circ } }{ { \cos18 }^{ \circ } } \right) }^{ 2 }-{ 2\cos }^{ 2 }{ 45 }^{ \circ }\)
\({ (1) }^{ 2 }+{ (2) }^{ 2 }-2{ \left( \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \right) }^{ 2 }\)
1 + 1 - 2 x 1/2 = 2 - 1 = 1
(ii) \(\frac { \cos70° }{ \sin20° } +\frac { \cos59° }{ \sin31° } +\frac { \cos \theta }{ \sin\left( 90°-\theta \right) } -8{ \cos }^{ 2 }60°\)
\(\left( \frac { \cos({ 90 }^{ \circ }-{ 20 }^{ \circ }) }{ { \sin20 }^{ \circ } } \right) +{ \left( \frac { \sin({ 90 }^{ \circ }-{ 31 }^{ \circ }) }{ { \sin31 }^{ \circ } } \right) }^{ 2 }+\frac { \cos\theta }{ \cos\theta } -8\times { \left( \frac { 1 }{ 2 } \right) }^{ 2 }\)
\(\left( \frac { \sin { 20 }^{ \circ } }{ { \sin20 }^{ \circ } } \right) +{ \left( \frac { \sin({ 31 }^{ \circ }) }{ { \sin31 }^{ \circ } } \right) }+\frac { \cos\theta }{ \cos\theta } -8\times { \left( \frac { 1 }{ 4 } \right) }\)
1 + 1 + 1 - 2 = 3 - 2 = 1
(iii) tan15⁰ tan30⁰ tan45⁰ tan60⁰ tan75⁰  

(iv)  \(\frac { \cot\theta }{ \tan\left( 90°-\theta \right) } +\frac { \cos\left( 90°-\theta \right) \tan\theta \sec(90°-\theta ) }{ \sin\left( 90°-\theta \right) \cot\left( 90°-\theta \right) cosec(90°-\theta ) } \)

(i) (cos0⁰ + sin 45⁰ + sin30⁰ ) (sin90⁰ - cos45⁰ +cos60⁰)
= \(\left[ 1+\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } +\frac { 1 }{ 2 } \right] \left[ 1\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } +\frac { 1 }{ 2 } \right] \)
= \(\left[ \frac { 2\sqrt { 2 } +2+\sqrt { 2 } }{ 2\sqrt { 2 } } \right] \left[ \frac { 2\sqrt { 2 } -2+\sqrt { 2 } }{ 2\sqrt { 2 } } \right] \left[ \frac { 3\sqrt { 2 } +2 }{ 2\sqrt { 2 } } \right] \left[ \frac { 3\sqrt { 2 } -2 }{ 2\sqrt { 2 } } \right] \)
= \(\frac { 18-4 }{ 4\left( \sqrt { 2 } \right) ^{ 2 } } =\frac { 14 }{ 4\times 2 } =\frac { 7 }{ 4 } \)
(ii) tan²60⁰ -2tan²45⁰ - cot²30⁰ + 2sin² 30⁰ + \(\frac { 3 }{ 4 } \) cosec²45⁰ 
= \(\left( \sqrt { 3 } \right) ^{ 2 }-2\left( 1 \right) ^{ 2 }-\left( \sqrt { 3 } \right) ^{ 2 }+2\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) ^{ 2 }+\frac { 3 }{ 4 } \left( \sqrt { 2 } \right) ^{ 2 }\)
= 3- 2-3 + \(\frac { 1 }{ 2 } +\frac { 3 }{ 2 } \)
= -2 + \(\frac { 4 }{ 2 } \) = -2 +2 =0

(i) sin 30⁰ + cos30⁰ = \(\frac { 1 }{ 2 } +\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } =\frac { 1+\sqrt { 3 } }{ 2 } \)
(ii)  tan60°.cot60° = \(\sqrt { 3 } \times \frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } =1\)
(iii) \(\frac { \tan45° }{ \tan30°+\tan60° } \) = \(\frac { 1 }{ \frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } +\frac { \sqrt { 3 } }{ 1 } } \)
= \(\frac { 1 }{ \frac { 1+\left( \sqrt { 3 } \right) ^{ 2 } }{ \sqrt { 3 } } } =\frac { 1 }{ \frac { 1+3 }{ \sqrt { 3 } } } =\frac { \sqrt { 3 } }{ 4 } \)
(iv) sin²45⁰ + cos²45⁰   = \(\left( \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \right) ^{ 2 }+\left( \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \right) ^{ 2 }\quad \)
= \(\frac { { 1 }^{ 2 } }{ \left( \sqrt { 2 } \right) ^{ 2 } } +\frac { { 1 }^{ 2 } }{ \left( \sqrt { 2 } \right) ^{ 2 } } =\frac { 1 }{ 2 } +\frac { 1 }{ 2 } =1\)

sin \(\alpha \) = \(\frac { 1 }{ 2 } \) 
cos \(\beta \) = \(\frac { 1 }{ 2 } \) 
 \(\alpha \) + \(\beta \) = 90°

tan (90° - 89°) tan (90° - 88°)
tan (90° - 46°) tan 45° tan 46° tan 88° tan 89°
= cot 89° cot 88° ....cot 46°(1)
tan 46° .... tan 88° tan 89° = 1

2 sin 2θ = \(\sqrt { 3 } \)
sin 2θ = \(\sqrt { 3 } \)/2 = sin 60^o ⇒ 2θ = 60^o
⇒ θ = 30^o

\(\frac { 2\tan30° }{ 1-\tan^{ 2 }30° } \)

tan 72^o tan18^o = tan (90^o -18^o)
tan18^o = cot 18^o , tan 18^o = 1

tan θ = cot 37^o 
tan (90^o - 37^o) = cot 37^o 
θ = 90^o - 37^o = 53^o

x = sin 30^o = 1/2
y = cos 60^o = 1/2
x² + y² = \((\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 = 1/4 + 1/4 = 1/2\)