தேர்வெழுதிய மாணவர்களின் எண்ணிக்கை 100% என்க.
கணிதத்தில் தேர்ச்சி பெற்ற மாணவர்களின் எண்ணிக்கை M என்க.
அறிவியலில் தேர்ச்சி பெற்ற மாணவர்களின் எண்ணிக்கை S என்க.
இரண்டிலும் தேர்ச்சி பெறாதோர் = 10%
100% = n(M) + n(S) - n(M\(\cap\)S)
= 50% + 70% - n (M\(\cap\)S) + 10%
n(M\(\cap\)S) = 30%
இரண்டிலும் தேர்ச்சி பெற்றவர்களின் சதவீதம் = 30%
\(\Rightarrow\) 30% = 300
\(100 \%=\frac{100 \times 300}{30}=1000\)
\(\therefore\) தேர்வெழுதிய மொத்த மாணவர்களின் எண்ணிக்கை = 1000 மாணவர்கள்

தேநீர் விரும்புகிறவர்களின் எண்ணிக்கை T என்க.
குளம்பி விரும்புகிறவர்களின் எண்ணிக்கை C என்க.
சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி
n(AUB) = n(A) + n(B)-n(A∩B)
i) n(T∩C) = n(T) + n(C)-n(TUC) = 35 + 20 - 45 = 10
தேநீர் மற்றும் குளம்பி இரண்டையும் விரும்புபவர்கள் = 10.
(ii) n(T') = n(U)-n(T) = 45 - 35 = 10
தேநீர் விரும்பாதவர்கள் = 10
(iii) n(C') = n(U) - n(C) = 45 - 20 = 25
குளம்பியை விரும்பாதவர்கள் = 25

f(x) =2x⁴-6x³+3x²+3x-2
g(x) = x² –3x + 2 என்க
= x²-2x-x+2
=x(x-2)-1(x-2)
=(x-2)(x-1)
மீதித் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி f(x) என்ற பல்லுறுப்புக் கோவை (x–1), (x–2) என்ற பல்லுறுப்புக் கோவையால் மீதியின்றி வகுபடும் என்று நிரூபிக்க வேண்டும்.
f(1) =2(1)⁴-6(1)³+3(1)²+3(1)-2
= 2 – 6 + 3 + 3 – 2 =0
f(2)=2(2)⁴-6(2)³+3(2)²+3(2)-2
= 32 – 48 + 12 + 6 – 2 = 0
எனவே, f(x) என்ற பல்லுறுப்புக் கோவை (x – 1) (x – 2) ஆல் மீதியின்றி வகுபடும்.
அதாவது, f(x) என்ற பல்லுறுப்புக் கோவை x² –3x + 2 ஆல் மீதியின்றி வகுபடும்.

கொடுக்கப்பட்டவை ∠BAD = 120° மற்றும் AC ஆனது ∠BAD இன் இரு சம வெட்டி
\(\angle{BAC}=\frac{1}{2}\times 120^{0}=60^{0}\)
∠1 = ∠2 = 60°
இங்கு AD || BC மற்றும் AC ஆனது குறுக்கு வெட்டி
∠2 = ∠4 = 60°
Δ ABC ஆனது இரு சமபக்க முக்கோணம் [∵ ∠1 = ∠4 = 60 °]
AB = BC
இணைகரம் ABCD ஒரு சாய் சதுரமாகும்.

(4x – 5), மற்றும் (2x² + 3x – 6) ஐப் பெருக்குவதற்கு, முதல் பல்லுறுப்புக்கோவையின் ஒவ்வோர் உறுப்பையும் இரண்டாவது பல்லுறுப்புக் கோவையின் ஒவ்வோர் உறுப்புடன் பகிர்ந்து பெருக்குதல் வேண்டும். இந்த எடுத்துக்காட்டில் நாம் 4x மற்றும் –5 ஐப் பகிர வேண்டியது தேவையாகிறது. பிறகு ஒத்த உறுப்புகளை இணைக்க வேண்டும்.

=8x³+12x²-24x+10x²-15x+30
= 8x³ +2x²–39x +30
மாற்றுமுறையாக கெழுக்களைப் பிரித்துப் பெருக்கும் முறையைப் பயன்படுத்தலாம்
   2 +3 -6
      +4 -5
-----------------------
     –10 –15 +30
8   +12 –24
-------------------------
8    +2 –39 +30
-------------------------
∴  (4x –5) (2x²+3x–6) = 8x³ + 2x² – 39x + 30

வெளிக்கோணம் = உள்ளெதிர் கோணங்களின் கூடுதல்.
4x - 15 = 2x - 5 + x + 35
4x = 3x + 30 + 15
4x - 3x = 45°
x = 45°
\(\angle\)A = x + 35° = 45° + 35° = 80°
\(\angle\)B = 2x - 5° = 2(45°) - 5 = 85°
\(\angle\)C = 4x - 15° = 4(45°) - 15° = 180° - 15° = 165°

\(\Delta\)ABC, AB = 8 செ.மீ., BC = 6  செ.மீ. மற்றும் \(\angle\)B = 70°

வரைமுறை :
படி 1: கொடுக்கப்பட்டுள்ள அளவிற்கு \(\Delta\)ABC வரைக
படி 2 : எவையேனும் இரண்டு பக்கங்களுக்கு (BC மற்றும் AB) மையக் குத்துக்கோடுகள் வரைக. அவை வெட்டிக் கொள்ளும் புள்ளி S, சுற்றுவட்ட மையம் ஆகும்.
படி 3: Sஐ மையமாகவும் SA = SB = SCஐ ஆரமாகவும் கொண்டு A,B மற்றும் C வழியே செல்லும் ஒரு சுற்று வட்டம் வரைக. சுற்று வட்ட ஆரம் = 4.3 செ.மீ.

\(\sqrt { 2 } \) மற்றும் \(\sqrt { 3 } \)
 \(\sqrt { 2 } \)  = 1.414
\(\sqrt { 3 } \) = 1.732
\(\sqrt { 2 } \) மற்றும் \(\sqrt { 3 } \) க்கு இடையேயான இரு விகிதமுறா எண்கள் 1.514....மற்றும் 1.632.....