ABCD ஓர் இணைகரம்.
OA = OC
OB = OD (∵  மூலை விட்டங்கள் இரு சமக் கூறிடும்)
இப்போது OB + BQ = OD + DP
OQ = OP மற்றும் OA = OC
∴ APCQ ஓர் இணைகரமாகும்.

(குத்தெதிர் கோணங்கள் சமம்)
ㄥAOB = ㄥCOD 
AO = OC 
BO = OD 
Δ AOB மற்றும்  Δ COD சர்வசம முக்கோணங்கள் (ப - கோ - ப)
  

AB = CD,AD = BC மற்றும் BD பொது 
ABC மற்றும் BCD சர்வசம முக்கோணங்கள் ஆகும் (ப - ப -ப)

AB || CD 
0 (ஒன்றுவிட்டகோணங்கள் சமம்)
Δ ECD ல் 
0
38⁰ + 53⁰ + x⁰ = 180⁰
91⁰ + x⁰ = 180⁰ 
x⁰ = 180⁰ - 91⁰
= 89⁰

<1 : <2 = 11 : 7
<1 = 11 x மற்றும் <2 = 7x என்க.
<1 + <2 = 180⁰
11x +7x = 180⁰
18x = 180⁰
x = \(\frac { { 180 }^{ 0 } }{ 18 } ={ 10 }^{ 0 }\)
∴ <1 = 11x = 11(10) = 110⁰
<2 = 7x = 7(10) = 70⁰
<4 = <2 = 70⁰ ( குத்தெதிர் கோணங்கள் சமம்)
<3 = <1 = 110⁰ ( குத்தெதிர் கோணங்கள் சமம்)
<5 = <1 = 110⁰ (ஒத்த கோணங்கள் சமம்)
<6 = <2 = 70⁰ (ஒத்த கோணங்கள் சமம்)
<7 = <5 = 110⁰ (குத்தெதிர் கோணங்கள் சமம்)
<8 = <6 = 70⁰ (குத்தெதிர் கோணங்கள் சமம்) 

ABCD ஒரு செவ்வகம், EFGH ஓர் இணைகரம் என தரப்பட்டுள்ளது.
ABCD ஒரு செவ்வகம் என்பதால்  \(\angle\)A = \(\angle\)B = \(\angle\)C = \(\angle\)D = 90°
\(\therefore\) \(\Delta\)HDG - யில் HG² = HD² + DG² (பிதாகரஸ் தேற்றத்தின்படி)
= 5² + 6² = 25 + 36 = 61
HG = \(\sqrt{61}\)
\(\Delta\)EAH - ல் EH² = EA² + AH² = 4² + 3² = 16 + 9 = 25
EH = \(\sqrt{25}\) = 5
EFGH ஓர் இணைகரம் என்பதால்
EF = GH = \(\sqrt{61}\)
EH = GH = 5
இணைகரத்தில் எதிரெதிர் பக்கங்கள் இணை மற்றும் சமம். 

படி 1 : கொடுக்கப்பட்டுள்ள அளவிற்கு ΔABC வரைக.
படி  2 : A மற்றும் C ஆகிய உச்சிகளிலிருந்து அவற்றின் எதிர்ப்பக்கங்கள் BC மற்றும் AB க்கு குத்துக்கோடுகள் வரைக.
அவ்விரண்டு குத்துக்கோடுகள் சந்திக்கும் புள்ளி H ஆனது ΔABC ன் குத்துக்கோட்டு மையம் ஆகும்.

\(\Delta\)PQR, PQ = 4.5 செ.மீ., QR = 6 செ.மீ. மற்றும் PR = 7.5 செ.மீ.

(i) கொடுக்கப்பட்டுள்ள அளவிற்கு செங்கோண \(\Delta\)PQR வரைக.
(ii) R மற்றும் Q இலிருந்து அதன் எதிர் பக்கங்கள் PQ மற்றும் PR இக்கு குத்துக்கோடுகள் வரைக.
(iii) அவ்விரண்டு குத்துக்கோடுகளும் சந்திக்கும் புள்ளி H ஆனது, \(\Delta\)PQR இன் குத்துக்கோட்டு மையம் ஆகும்.

ஒரு முக்கோணத்தின் இரண்டு கோணங்களும் ஒரு பக்கமும் மற்றொரு முக்கோணத்தின் இரண்டு கோணங்களும் ஒரு பக்கத்திற்கும் சமமாக இருக்குமானால் அவ்விரு முக்கோணங்களும் சர்வசம முக்கோணங்கள் எனப்படும்.
\(\Delta\)ABC இல்   \(\angle\)ACB = 70°, \(\angle\)ABC = 60°
\(\therefore\) \(\angle\)BAC = 180 - (70° + 60°)
= 180° - 130° = 50°
\(\Delta\)DEF,  ல் \(\angle\)DEF = 70°, \(\angle\)EDF = 60°
\(\therefore\) \(\angle\)DFE = 180° - (70° + 60°)
= 180° - 130° = 50°
\(\angle\)A = \(\angle\)F
AB = DF மற்றும் \(\angle\)B =  \(\angle\)D
\(\therefore\) \(\Delta\)ABC \(\equiv\) \(\Delta\)FDE (கோ - ப - கோ)

விகிதங்களின் முறையே x என்க.
\(\therefore\) 1x + 2x + 3x = 180°
6x = 180°    \(\Rightarrow\) x = \(\frac{180}{6}\)
\(\therefore\) x = 30°
2x = 2  \(\times\) 30° = 60°
3x = 3 \(\times\) 30° = 90°