ஏணியின் நீளம் = 5 மீ
Δ ABC யிலிருந்து,
BC = 4 மீ, AC = 5 மீ

cos θ = \(\frac{BC}{AC}\) = \(\frac 45\) = 0.8000
cos θ = 8.000 = 0.80007 - 0.0007
அட்டவணையிலிருந்து 0.8007 = 36^o 48'
பொதுவித்தியாசம் 7                   =          4'
                                                          -------------
cos θ = 0.8000                                  = 36^o 52'
                                                          --------------
cos θ = cos 36^o 52'
θ = 36^o 52'

கொடுக்கப்பட்ட \(\triangle\) ABC,
கர்ணம் BC = 10செ.மீ 
θ =24⁰ 4'
\(\sin\theta =\frac { AC }{ BC } \)
sin24⁰24' = \(\cfrac { AC }{ BC } \)
0.4131 = \(\cfrac { AC }{ 10 } \)
AC = 0.4131 x 10 = 4.131 செ.மீ 
\(\cos\theta =\frac { AB }{ BC } \)
cos24^o24' = \(\cfrac { AB }{ 10 } \)
0.9107 = \(\cfrac { AB }{ 10 } \)
AB = 0.9107 x 10=9.107
செங்கோண \(\triangle\)- ன் பரப்பு = 1/2 bh 
முக்கோணத்தின் பரப்பு  = 1/2 x அடிப்பக்கம் x உயரம் 
= 1/2 x 4.131 x 9.107 செ.மீ ²
= \(\frac { 37.62 }{ 2 } \) = 18.81செ.மீ 
முக்கோணத்தின் பரப்பு = 18.81 செ.மீ ²

(i)  sin49° = .7547
(ii) 74°39' = 74°+36'+3'
அட்டவணையிலிருந்து cos 74036' = 0.2656(-)
பொது வித்தியாசம் 3'                               = 8
cos 74°39'                                              = 0.2648
 (iii) tan54°26'
அட்டவணையிலிருந்து tan54°26'= 01.3968(+)
பொது வித்தியாசம் 3'                            = 17
tan54°26'                                               = 1.3985
(iv) sin21°21'
அட்டவணையிலிருந்து sin21°21'' =0.3633(+)
பொது வித்தியாசம் 3'                            = 8
sin21°21'                                              = 0.3641
(v) cos33°53'
அட்டவணையிலிருந்து cos33°53'' = 0.8310 (-)
பொது வித்தியாசம் 3'                              = 8
cos 33°53'                                             = 0.8302
(vi) tan70°17'   
அட்டவணையிலிருந்து tan70°17' = 2.7776(+)
பொது வித்தியாசம் 3'                             = 8
tan70°17'                                             = 2.7907

cos 3A =4 cos³ A - 3cos A, A = 30^о
இடப்பக்கம் cos 3A  = cos 3(30^o) = cos 90^o = 0
வலப்பக்கம் 4 cos³A  - 3 cos A  = 4 cos³ (30^o) - 3 cos 30^o
\(4{ \left( \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \right) }^{ 3 }-3\left( \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \right) \)

\(\frac { 3\sqrt { 3 } }{ 2 } -\frac { 3\sqrt { 3 } }{ 2 } =0\)
(1) = (2) எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது 

ΔABC யில்,
AC = 15, BC = 20, AB = 9 + 16 = 25
பிதாகரஸ் தேற்றத்தின் படி,
AB² = AC² + BC²
25² = 15² + 20²
625 = 225 + 400 = 625
ΔADC யில், AD = 9, DC = 12, AC = 15
பிதாகரஸ் தேற்றத்தின் படி,
AC² = AD² + CD²
15² = 9² + 12²
225 = 81 + 144
225 = 225
∴ ΔADC ஒரு செங்கோண முக்கோணம்
ΔBCD யில், BD = 16, DC = 12, BC = 20
பிதாகரஸ் தேற்றத்தின் படி,
BC² = BD² + CD²
20² = 12² + 16²
400 = 144 + 256
400 = 400
∴ΔBCD ஒரு செங்கோண முக்கோணம்.
இப்படத்தில் ΔADC, ΔBCD என இரு செங்கோண முக்கோணங்கள் உள்ளன.
\(\sinα=\frac{CD}{AC}=\frac{12}{15}=\frac45\)
\(\cosβ=\frac{BD}{BC}=\frac{16}{20}=\frac45\)
\(\tanφ=\frac{BD}{CD}=\frac{16}{12}=\frac43\)

3 cot A = 2


\(AB=\sqrt { { BC }^{ 2 }{ -AC }^{ 2 } } \\ =\sqrt { { 3 }^{ 2 }+{ 2 }^{ 2 } } =\sqrt { { 9+4 } } =\sqrt { 13 } \)

\(\frac { 4\sin A-3\cos A }{ 2\sin A+3\cos A } =\frac { 4+\frac { 3 }{ \sqrt { 13 } } -3\times \frac { 2 }{ \sqrt { 13 } } }{ 2\times \frac { 3 }{ \sqrt { 13 } } +3\times \frac { 2 }{ \sqrt { 13 } } } \)

\(\frac { 4\sin A-3\cos A }{ 2\sin A+3\cos A } =1/2\)

பிதாகரஸ் தேற்றத்தின் படி,

2cos θ = \(\sqrt{3}\)


பிதாகரஸ் தேற்றத்தின் படி,
AB =\(\sqrt{AC^2-BC^2}\)
=\(\sqrt{2^2-(\sqrt3)^2}\)
=\(\sqrt{4^2-3^2}\) =\(\sqrt{1}\)=1

பிதாகரஸ் தேற்றத்தின் படி 
\(AB=\sqrt { { BC }^{ 2 }-{ AC }^{ 2 } } \)
= \(\sqrt { \left( 25 \right) ^{ 2 }-{ 7 }^{ 2 } } \)
= \(\sqrt { 625-49 } =\sqrt { 576 } \) = 24


ஆறு முக்கோணவியல் விகிதங்களைப் பின்வருமாறு நாம் எழுதலாம். 
    

70⁰13' = 70⁰12' + 1' என எழுதலாம் 
அட்டவணையிலிருந்து  tan 70⁰12'  = 2.7776
பொது வித்தியாசம்                      1'  =        26  (tan -ற்குப் பொது வித்தியாசத்தைக் கூட்டவும்  )
                                               __________________
                                              tan 70⁰13' = 2.7802
                                              ___________________ 

19⁰59' = 19⁰5' + 5' என எழுதலாம் 
அட்டவணையிலிருந்து  cos 19⁰54'  = 0.9403
பொது வித்தியாசம்                       4'  =           5  (cosine - ற்குப் பொது வித்தியாசத்தைக் கழிக்கவும்)
                                               __________________
                                              cos 19⁰59' = 0.9398
                                              ___________________ 

(i) cosec A = sec (90⁰ - A ) என நாம்  அறிவோம்.
sec (90⁰ - A ) = sec (34⁰)
90⁰ - A = 34⁰
A = 90⁰ - 34
A = 56⁰
(ii) tan B = cot (90⁰ - B ) என நாம் அறிவோம்
cot (90⁰ - B) = cot 47⁰
90⁰ - B = 47⁰
B = 90⁰ - 47⁰ 
B  = 43⁰

(i)  tan7° tan23° tan60° tan67° tan83°
= tan7⁰tan83⁰tan23⁰tan67⁰tan60⁰ (நிரப்புக் கோணங்களைக் குழுப்படுத்த)
=  tan7⁰tan(90⁰ - 7⁰)tan23⁰tan(90⁰ - 23⁰)tan60⁰
= (tan7⁰ cot7⁰)(tan23⁰ cot23⁰)tan60⁰
=  (1)x  (1)x  tan60⁰
= tan 60⁰ \(\sqrt { 3 } \)
(ii) \(\frac { \cos35° }{ \sin55° } +\frac { \sin12° }{ \cos78° } -\frac { \cos18° }{ \sin72° } \)
\(\frac { \cos\left( { 90 }^{ 0 }-{ 55 }^{ 0 } \right) }{ \sin{ 55 }^{ 0 } } +\frac { \sin\left( 90°-78° \right) }{ \cos78° } -\frac { \cos\left( 90°-72° \right) }{ \sin72° }\)
ஏனெனில் 
\( \left[ \begin{matrix} \cos35°=\cos(90°-55°) \\ \sin12°=\sin\left( 90°-78° \right) \\ \cos18°=\cos\left( 90°-72° \right) \end{matrix} \right] \)
= \(\frac { \sin55° }{ \sin55° } +\frac { \cos78° }{ \cos78° } +\frac { \sin72° }{ \sin72° } \) 
= 1 + 1 - 1 = 1

BC = 13 மற்றும் AB = 5 என்க 

பிதாகரஸ்  தேற்றத்தின்படி 
\(AC=\sqrt { { BC }^{ 2 }-{ AB }^{ 2 } } \)
= \(\sqrt { { 13 }^{ 2 }-{ 5 }^{ 2 } } \)
= \(\sqrt { 169-25 } \) = \(\sqrt { 144 } \) = 12
எனவே , \(\sin\theta -\frac { AC }{ BC } =\frac { 12 }{ 13 } ;\cos\theta \frac { AB }{ BC } =\frac { 5 }{ 13 } \quad \)
இடப்பக்கம் = \(\frac { 2\sin\theta -3\cos\theta }{ 4\sin\theta -9\cos\theta } =\frac { 2\times \frac { 12 }{ 13 } -3\times \frac { 5 }{ 13 } }{ 4\times \frac { 12 }{ 13 } -9\times \frac { 5 }{ 13 } } =\frac { \frac { 24-15 }{ 13 } }{ \frac { 48-15 }{ 13 } } =\frac { 9 }{ 3 } =3\)= வலப்பக்கம்.    

படத்திலிருந்து,
sin \(\theta \)  = \(\frac { AB }{ AC } \)
sin 48°30' = \(\frac { AB }{ 5 } \)
0.7490 = \(\frac { AB }{ 5 } \)
5 x 0.7940 = AB 
AB =3..7450 செமீ 
cos \(\theta \) = \(\frac { BC }{ AC } \)
cos48°30' = \(\frac { BC }{ 5 } \)
0.6626 = \(\frac { BC }{ 5 } \)
0.6626 x 5 = BC 
BC  = 3.313 செமீ 
முக்கோணத்தின்  = \(\frac { 1 }{ 2 } \)bh  அடிப்பக்கம் உயரம் 
= \(\frac { 1 }{ 2 } \) x BC x AB 
= \(\frac { 1 }{ 2 } \) x 3.3130 x 3.7450
= 1.6565 x  3.7450 = 6.2035925 செமீ² 

(i) (cos0⁰ + sin 45⁰ + sin30⁰ ) (sin90⁰ - cos45⁰ +cos60⁰)
= \(\left[ 1+\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } +\frac { 1 }{ 2 } \right] \left[ 1\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } +\frac { 1 }{ 2 } \right] \)
= \(\left[ \frac { 2\sqrt { 2 } +2+\sqrt { 2 } }{ 2\sqrt { 2 } } \right] \left[ \frac { 2\sqrt { 2 } -2+\sqrt { 2 } }{ 2\sqrt { 2 } } \right] \left[ \frac { 3\sqrt { 2 } +2 }{ 2\sqrt { 2 } } \right] \left[ \frac { 3\sqrt { 2 } -2 }{ 2\sqrt { 2 } } \right] \)
= \(\frac { 18-4 }{ 4\left( \sqrt { 2 } \right) ^{ 2 } } =\frac { 14 }{ 4\times 2 } =\frac { 7 }{ 4 } \)
(ii) tan²60⁰ -2tan²45⁰ - cot²30⁰ + 2sin² 30⁰ + \(\frac { 3 }{ 4 } \) cosec²45⁰ 
= \(\left( \sqrt { 3 } \right) ^{ 2 }-2\left( 1 \right) ^{ 2 }-\left( \sqrt { 3 } \right) ^{ 2 }+2\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) ^{ 2 }+\frac { 3 }{ 4 } \left( \sqrt { 2 } \right) ^{ 2 }\)
= 3- 2-3 + \(\frac { 1 }{ 2 } +\frac { 3 }{ 2 } \)
= -2 + \(\frac { 4 }{ 2 } \) = -2 +2 =0

2 sin 2θ = \(\sqrt { 3 } \)
sin 2θ = \(\sqrt { 3 } \)/2 = sin 60^o ⇒ 2θ = 60^o
⇒ θ = 30^o

tan 72^o tan18^o = tan (90^o -18^o)
tan18^o = cot 18^o , tan 18^o = 1

x = sin 30^o = 1/2
y = cos 60^o = 1/2
x² + y² = \((\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 = 1/4 + 1/4 = 1/2\)