(i) மொத்த குடும்பங்களின் எண்ணிக்கை n(S)=1500
n(A) = 860 (பகுதி நேர பணிப்பெண்கள்)
n(B) = 370 (முழு நேரம் மட்டும்)
n(A⋂B) = 250 இரண்டும்
இருவகை பணிப்பெண்களும் வைத்திருக்கும் குடும்பங்களின் எண்ணிக்கை \(P(n(A⋂B))=\frac {n(A⋂B) }{ n(S) } =\frac { 250 }{ 1500 } =\frac { 1 }{ 6 } \)
(ii) பகுதிநேரப் பணிப்பெண்கள்  வைத்திருக்கும் நிகழ்வு \(P(A )=\frac { n(A) }{ n(S) } =\frac { 860 }{ 1500 } =\frac { 43 }{ 75 } \)
(iii) மொத்த குடும்பங்கள் n(S) = 1500
பணிப்பெண்கள் வைத்திருக்காமல் இருக்கும் நிகழ்வு  n(C)=1500-(860+370+250) = 1480
=1500-1480=20
பணிப்பெண்கள் வைத்திருக்காமல் இருக்கும் நிகழ்தகவு \(P(A)=\frac { n(A) }{ n(S) } =\frac { 20 }{ 1500 } =\frac { 1 }{ 75 } \)

இந்தச் சோதனையில் ஒவ்வொரு முயற்சியிலும் அணி I ஆனது அணி II ஐ எதிர்கொள்கிறது. அணி I வெற்றி பெறுவதற்கான நிலையைக் கருதுவோம்.
இங்கே மொத்தம் 10 முயற்சிகள் உள்ளன. அவற்றில் அணி I முதலாவது, ஆறாவது மற்றும் ஒன்பதாவது ஆட்டங்களில் வெற்றி பெற்றுள்ளது. அணி I வெற்றி பெறுவதற்கான ஒப்பீட்டு நிகழ்வெண் நிகழ்தகவு = \(\frac { 3 }{ 10 } \) அல்லது  0.3        

மொத்த வேலையாட்கள்  = 42
ஒப்பீட்டு நிகழ்வெண்:
மகிழுந்து பயன்படுத்துவோருக்கான நிகழ்தகவு  =  \(\frac { 7 }{ 42 } =\frac { 1 }{ 6 } \)
இரு சக்கர வண்டி பயன்படுத்துவோருக்கான நிகழ்தகவு  = \(\frac { 20 }{ 42 } =\frac { 10 }{ 21 } \)
மிதிவண்டி பயன்படுத்துவோருக்கான நிகழ்தகவு  =  \(\frac { 15 }{ 42 } =\frac { 5 }{ 14 } \)
இந்த எடுத்துக்காட்டில் நிகழ்தகவுகளின் மொத்தக் கூடுதல் 1ஐ விட அதிகமாகவில்லை என்பதைக் கவனிக்கவும்.\(\frac {1}{6}+\frac {10}{21}+ \frac {5}{14} = \frac {7}{42}+\frac {20}{42}+\frac {15}{42}= 1\)

கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் A( -1, 3), B( 1, -1) மற்றும் C(5,1)
A வழியே செல்லக்கூடிய நடுக்கோடு AD
BC யின் நடுப்புள்ளி L\(\left( \frac { { x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 } }{ 2 } ,\frac { { y }_{ 1 }+{ y }_{ 2 } }{ 2 } \right) \)
\(\left( \frac { 1+5 }{ 2 } ,\frac { -1+1 }{ 2 } \right) =\left( \frac { 6 }{ 2 } ,\frac { 0 }{ 2 } \right) \)=(,0)
A(-1,3) மற்றும் D(3,0) x₁=3, y₁=0, x₂=-1, y₂=3
தொலைவு d =\(\sqrt { ({ x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 })^{ 2 }({ y }_{ 2 }-{ y }_{ 1 })^{ 2 } } \)
நடுக்கோட்டின் நீளம் AD =\(\sqrt { (-1-)^{ 2 }+(3-0)^{ 2 } } \)
=\(\sqrt { (-4)^{ 2 }+3^{ 2 } } =\sqrt { 16+9 } =\sqrt { 25 } \)=5 அலகுகள்.
நடுக்கோட்டின் நீளம் AD =5 அலகுகள்

கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் A(2,-4), (-3,-7) மற்றும் (7,2) என்க.
முக்கோணத்தின் நடுக்கோட்டு மையம் G (x, y)
\(\left( \frac { { x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 }+{ x }_{ 3 } }{ 3 } ,\frac { { y }_{ 1 }+{ y }_{ 2 }+{ y }_{ 3 } }{ 3 } \right) \)
(x₁,y₁)=(2,-4), (x₂,y₂)=(-3,-7), (x₃,y₃)=(7,2)
முக்கோணத்தின் நடுக்கோட்டு மையம்
G(x,y)=\(G\left( \frac { 2-3+7 }{ 3 } ,\frac { -4-7+2 }{ 3 } \right) \)
=\(G\left( \frac { 6 }{ 3 } ,\frac { -9 }{ 3 } \right) \)
=G(2,-3)
(ii) (-5, -5), (1, -4) மற்றும் D(-4, -2)
கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் A(-5,-5), (1,-4) மற்றும் (-4,-2) என்க.
(x₁,y₁)=(-5,-5), (x₂,y₂)=(1,-4), (x₃,y₃)=(-4,-2)
முக்கோணத்தின் நடுக்கோட்டு மையம்
G(x,y) =G\(\left( \frac { { x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 }+{ x }_{ 3 } }{ 3 } ,\frac { { y }_{ 1 }+{ y }_{ 2 }+{ y }_{ 3 } }{ 3 } \right) \)
=\(G\left( \frac { -5+1-4 }{ 3 } ,\frac { -5-4-2 }{ 3 } \right) \)
=\(G\left( \frac { -8 }{ 3 } ,\frac { -11 }{ 3 } \right) \)
முக்கோணத்தின் நடுக்கோட்டு மையம் \(G\left( \frac { -8 }{ 3 } ,\frac { -11 }{ 3 } \right) \).

(a +b +1)(a² +b² +1−ab −b −a)

x³-x = x(x²-1)
= x(x²-1²)
= x(x+1)(x-1)

(i) \(\sqrt{63}-\sqrt{175}+\sqrt{28}=\sqrt{9\times 7}-\sqrt{25\times 7}+\sqrt{4\times 7}\)
\(=3\sqrt{7}-5\sqrt{7}+2\sqrt{7}\)
\(=(3\sqrt{7}+2\sqrt{7})-5\sqrt{7}\)
\(=5\sqrt{7}-5\sqrt{7}\)
=0
(ii) \(2\sqrt[3]{40}+3\sqrt[3]{625}-4\sqrt[3]{320}\)
\(=2\sqrt[3]{8\times 5}+3\sqrt[3]{125\times5}-4\sqrt[3]{64\times 5}\)
\(=2\sqrt[3]{2^3\times 5}+3\sqrt[3]{5^3\times5}-4\sqrt[3]{4^3\times 5}\)
\(=2\times 2 \sqrt[3]{5}+3\times 5\sqrt[3]{5}-4\times 4\sqrt[3]{5}\)
\(=4\sqrt[3]{5}+15\sqrt[3]{5}-16\sqrt[3]{5}\)
\(=(4+15-16)\sqrt[3]{5}=3\sqrt[3]{5}\)

(i) \(81^{5\over4}=(\sqrt[4]{81})^{5}=(\sqrt[4]{3}^4 )^5\)  = 3⁵ =3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243
(ii) \(64^{-2\over3}={1\over 64^{2\over3}}={1\over (\sqrt[3]{64})^2}={1\over4^2}\) (எப்படி?) =\({1\over16}\)

A={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
B={0, 1, 2, 3, 4, 5}
A∪B={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
A∩B= {1, 2, 3, 4, 5}
A-B= {6, 7, 8, 9, 10,}
B-A= {0}

x = -3

(i) 0.3010011000111… மற்றும் 0.3020020002…
0.301202200222....
0.301303300333....
(ii) \(\frac{6}{7}\) மற்றும் \(\frac{12}{13}\)
\(\frac{6}{7}=0 . \overline{857142} \ldots \quad \frac{12}{13}=0 . \overline{923076}\)
இரு விகிதமுறா எண்கள் 0.8616611666111.....
                                                 0.871771177711.....
(iii)  \(\sqrt { 2 } \) மற்றும்  \(\sqrt { 3 } \)

\(\sqrt { 2 } \) = 1.414.....
 \(\sqrt { 3 } \) = 1.732.....
\(\therefore\) இரு விகிதமுறா எண்கள் 1.515511555.... , 1.616611666...... 

n(A) = 36, n(B) = 10, n(A∪B) = 40, n(A′) = 27
(i) n(U) = n(A) + n(A′) = 36 + 27 = 63
(ii) n(A∩B) = n(A) + n(B) – n(A∪B) = 36 + 10 – 40 = 46 – 40 = 6.

நாற்கரம் அல்ல

படி 1 : கொடுக்கப்பட்ட அளவுகளுக்கு Δ ABC வரைக.
படி 2 : எவையேனும் இரண்டு பக்கங்களுக்கு (AB மற்றும் AC) மைக்குத்துக் கோடுகள் வரைக. அவை வெட்டிக்கொள்ளும் புள்ளி S, சுற்றுவட்ட மையம் ஆகும்.
படி 3 : Sஐ மையமாகவும், SA = SB = SCஐ ஆரமாகவும் கொண்டு A, B மற்றும் C வழியே செல்லும் ஒரு சுற்றுவட்டம் வரைக.
சுற்றுவட்ட ஆரம் = 4.3 செ.மீ.  

P = {–3, –2, –1, 0}, 210 இன் பகாக் காரணிகள் 2,3,5 மற்றும் 7 எனவே, Q = {2, 3, 5, 7} n(P) =4 மற்றும் n(Q) = 4. ஆகையால், கணம் P மற்றும் கணம் Q ஆகியவை சமான கணங்கள்.

x -ஆயத்தொலை குறை மதிப்பு மற்றும் y – ஆயத்தொலை மிகை மதிப்பு. எனவே , (–7,3) என்ற புள்ளி II ஆவது காற்பகுதியில் அமையும்

ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று முனைப் புள்ளிகள் A(1, –6), B(–5, 2) மற்றும் C(x₃ , y₃) என்க.
முக்கோணத்தின் நடுக்கோட்டு மையம் (-2, 1) ஆனது கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. எனவே நாம் பெறுவது,
\(\frac { { x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 }+{ x }_{ 3 } }{ 3 } \)=-2
\(\frac { 1-5+{ x }_{ 3 } }{ 3 } \)=-2
−4 + x₃ = −6
x₃ = −2
\(\frac { { y }_{ 1 }+{ y }_{ 2 }+{ y }_{ 3 } }{ 3 } \)=1
\(\frac { -6+2+{ y }_{ 3 } }{ 3 } \)=1
−4 + y₃ = 3
y₃ = 7
எனவே மூன்றாவது முனைப் புள்ளி (-2, 7) ஆகும் .

AB இன் சாய்வு = \(\frac { { y }_{ 2 }-{ y }_{ 1 } }{ { x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 } } =\frac { 3 }{ 5 } \)

EF இன் சாய்வு =\(\frac { 4 }{ 7 } \)
PQ இன் சாய்வு = வரையறுக்கப்படாதது
RS இன் சாய்வு =0.
   

கணங்கள் P, Q மற்றும் R ஐப் பட்டியல் முறையில் எழுதுவோம்.
P = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, Q = {1, 3, 5, 7, 9}
மற்றும் R = {2, 3, 5, 7, 11, 13}
முதலில் (Q\( \cap \)C) = {3, 5, 7}
P - (Q\( \cap \)R) = {1, 2, 4, 6, 8, 9}                             .......(1)
அடுத்து P - Q = {2, 4, 6, 8} மற்றும் P-R = {1, 4, 6, 8, 9}
ஆகவே, (P - Q)U(P - R) = {1, 2, 4, 6, 8, 9}
(1) மற்றும் (2) லிருந்து, P - (Q \( \cap \) R) = (P - Q) U (P - R) என்பது சரிபார்க்கப்பட்டது.

\({2\sqrt{6}-\sqrt{5}\over 3\sqrt{5}-2\sqrt{6}}\)
\(=\frac{2 \sqrt{6}-\sqrt{5}}{3 \sqrt{5}-2 \sqrt{6}} \times \frac{3 \sqrt{5}+2 \sqrt{6}}{3 \sqrt{5}-2 \sqrt{6}} \)
\(=\frac{6 \sqrt{30}+4 \times 6-3 \times 5-2 \sqrt{30}}{9 \times 5-4 \times 6} \)
\(=\frac{4 \sqrt{30}+24-15}{45-24}=\frac{9+4 \sqrt{30}}{21} \)

L.H.S \(A\cup (B\cap C)\)

(2) மற்றும் (5) லிருந்து,
\(A\cup (B\cap C)=\left( A\cup B \right) \cap (A\cup C)\) என நிரூபிக்கப்பட்டது. 

ஈவு : x²+7x–3
 மீதி : 0

தொலைவு வாய்பாட்டின் படி
\(AB=\sqrt { \left( 6-3 \right) ^{ 2 }+\left( 4-1 \right) ^{ 2 } } =\sqrt { 9+9 } =\sqrt { 18 } =3\sqrt { 2 } \)
\(BC=\sqrt { \left( 8-6 \right) ^{ 2 }+\left( 6-4 \right) ^{ 2 } } =\sqrt { 4+4 } =\sqrt { 8 } =2\sqrt { 2 } \)
\(AC=\sqrt { \left( 8-3 \right) ^{ 2 }+\left( 6-1 \right) ^{ 2 } } =\sqrt { 25+25 } =\sqrt { 50 } =5\sqrt { 2 } \)
\(AB+BC=3\sqrt { 2 } +3\sqrt { 2 } =5\sqrt { 2 } =AC\)
ஆகவே , தரப்பட்டுள்ள புள்ளிகள் ஒரே நேர்க்கோட்டில் அமைகின்றன.

பகடை சீரானதாக இருக்கும் பொழுது விளைவுகள் சமவாய்ப்பு உடையனவாக இருக்கின்றன.

சமவாய்ப்பு சோதனையின் முடிவு, விளைவு என அழைக்கப்படுகிறது. (வரையறை)

\(\frac { { a }_{ 1 } }{ { a }_{ 2 } } \neq \frac { { b }_{ 1 } }{ { b }_{ 2 } } \) ; ஒரே தீர்வு 

2x + 3y = k
2(2) + 3(3) = k 
= 4 + 9 = 13

\(\left(\frac{m x_2+n x_1}{m+n}, \frac{m y_2+n y_1}{m+n}\right)\) பிரிவுச் சூத்திரப்படி 
x அச்சுத் தொலைவு = 0
\(\frac{\mathrm{m}(2)+(-5) \mathrm{n}}{\mathrm{m}+\mathrm{n}} =0 \)
\(\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{n}} =\frac{5}{2} \)
\(\mathrm{~m}: \mathrm{n} =5: 2 \)
BD ன் நடுப்புள்ளி (3, 4) 

\(\left(\frac{m x_2+n x_1}{m+n}, \frac{m y_2+n y_1}{m+n}\right)\) பிரிவுச் சூத்திரப்படி 
y அச்சுத் தொலைவு = 0
\(\left(\frac{m (1)+n (6)}{m+n}, \frac{m (-7)+n (4)}{m+n}\right)\)
\(\therefore \frac{m(-7)+n(4)}{m+n}=0 \)
\(\Rightarrow -7 m+4 n=0 \)
\(\therefore m: n=4: 7 \)

p(-5) = a(-5²) + b(-5) + c = 25a - 5b + c = 0 ....(1)
p(+3) = a(+3²) + b(3) + c = 9a + 3b + c = 0 ....(2)
25a - 5b = 9a + 3b
25a - 9a = 3b + 5b
16a = 8b
a/b = 8/16 = 1/2
a = 1 b = 2 என (1) ல் பிரதியிட 
25(1) - 5(2) = -c
25 - 10 = 15 = -c
c = -15

2 - 3x = 0 ⇒ 3x = 2
x = 2/3

180^o - 75^o = 105^o

படத்தில் ∠QRS = 100^o
∠TPS = 180^o - 100^o = 80^o
(∵ PQRS ஓர் வட்ட நாற்கரம்)
∠TVS = 180^o - 80^o = 100^o

4x + 2x = 180^o
6x = 180^o
x = 30^o

ㄥAOB = 2ㄥACB = 2 x 40^o = 80^o

l = 5 x 10⁵
b = 4 x 10⁴ 
பரப்பளவு = l x b 
5 x 10⁵ x 4 x 10⁴ 
= 20 x 10⁵⁺⁴
= 20 x 10⁹ = 2.0 x 10¹ x 10⁹ = 2 x 10¹⁰மீ²

\((2 \sqrt{5}-\sqrt{2})^2=4 \times 5-2 \times 2 \sqrt{5} \times \sqrt{2}+2 \)
\(20-4 \sqrt{10}+2=22-4 \sqrt{10} \)

(i) \(\sqrt{8\over 18} =\sqrt{4\over 9} = 2/3\) ஒரு விகிதமுறு எண் 
(2) 7/3 ஒரு விகிதமுறு எண் 
(3) \( \sqrt{0.01} = \sqrt{1\over 100} = 1/10\) ஒரு விகிதமுறு எண் 
(4) \( \sqrt{13}\) ஒரு விகிதமுறா எண் 
(∵ முடியுறா சூழல் தன்மைக்கொண்டது)

\(\frac { 1 }{ \not 3 } \times \frac {\not 3}{10} = 1/10 = 0.1\)

A = {x, y, z}
A ன் உட்கணங்கள் = {x},{y},{z}, {x, y}, {y, z}, {x, z}, {x, y, z}, { }

U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
A = {2, 3, 4, 5}
A' = {1, 6, 7, 8, 9}
(A')' = U - A' = {2, 3, 4, 5}

நூற்றுக்கு நூறு பெற்ற மாணவர்கள்  = 1184 ஆகவே  n  = 1184
(i) E₁ என்பது கணிதத்தில் நூற்றுக்கு நூறு பெற்ற மாணவர்கள் உள்ள நிகழ்ச்சி என்க.
ஆகையால் n(E₁)  = 233, அதாவது  r₁ = 233
P(E₁) = \(\frac { { r }_{ 1 } }{ n } =\frac { 233 }{ 1184 } \)
(ii) E₂ என்பது அறிவியலில் நூற்றுக்கு நூறு பெற்ற மாணவர்கள் உள்ள நிகழ்ச்சி என்க.
ஆகையால்  n(E₂ ) = 1069 , அதாவது , r₂ = 106
P(E₂) = \(\frac { { r }_{ 2 } }{ n } =\frac { 106 }{ 1184 } \)
ஆகவே அறிவியலில் நூற்றுக்கு நூறு பெறாதவராக இருக்க  நிகழ்தகவு
 P(E'₂) = 1 - P(E₂)
= 1 - \(\frac { 106 }{ 1184 } \) = \(\frac { 1078 }{ 1184 } \)

கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் A(3, 5), B(8, -10) என்க. மேலும் புள்ளி P(x,y) ஆனது கோட்டுத்துண்டு AB ஐ 3:2 என்ற விகிதத்தில் உட்புறமாகப் பிரிக்கும் புள்ளி என்க.
பிரிவுச் சூத்திரத்தின்படி,
P(x, y)=P\(\left( \frac { m{ x }_{ 2 }+n{ x }_{ 1 } }{ m+n } ,\frac { m{ y }_{ 2 }+n{ y }_{ 1 } }{ m+n } \right) \)
இங்கு, x₁ = 3, y₁ = 5, x₂ = 8, y₂ = −10 மற்றும் m = 3, n = 2
ஆகையால், P(x, y) = P\(\left( \frac { 3(8)+2(3) }{ 3+2 } ,\frac { 3(-10)+2(5) }{ 3+2 } \right) \)
= P\(\left( \frac { 24+6 }{ 5 } ,\frac { -30+10 }{ 5 } \right) \)=P(6, -4)

a = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
\(\Rightarrow \quad y=\frac{a+1}{2}=\frac{0+1}{2}=\frac{1}{2}\)
\(\begin{aligned} y & =\frac{1+1}{2}=\frac{2}{2}=1 \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} y & =\frac{2+1}{2}=\frac{3}{2} \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} y & =\frac{3+1}{2}=\frac{4}{2}=2 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} y & =\frac{4+1}{2}=\frac{5}{2} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} y & =\frac{5+1}{2}=\frac{6}{2}=3 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \therefore \mathrm{A} & =\left\{\frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}, 2, \frac{5}{2}, 3\right\} \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \mathrm{B} & =\left\{y: y=\frac{2 n-1}{2}, n \in \mathbb{W}, n<5\right\} \\ \end{aligned}\)
n = {0, 1, 2, 3, 4}
\(\Rightarrow\)   \(\begin{aligned} y & =\frac{2 \times 0-1}{2}=\frac{-1}{2} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} y & =\frac{2 \times 1-1}{2}=\frac{1}{2} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} y & =\frac{2 \times 2-1}{2}=\frac{3}{2} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} y & =\frac{2 \times 3-1}{2}=\frac{5}{2} \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} y & =\frac{2 \times 4-1}{2}=\frac{7}{2} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \therefore \mathrm{B} & =\left\{-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{3}{2}, \frac{5}{2}, \frac{7}{2}\right\} \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \mathrm{C} & =\left\{-1,-\frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}, 2\right\} \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \mathrm{B} \cup \mathrm{C} & =\left\{-1,-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}, 2, \frac{5}{2}, \frac{7}{2}\right\} \\ \end{aligned}\)
A - (BUC) = {3}            .............(1)
A - B = {1, 2, 3}
\(\begin{aligned} \mathrm{A}-\mathrm{C} & =\left\{\frac{1}{2}, \frac{5}{2}, 3\right\} \end{aligned}\)
(A - B) \(\cap\) (A - C) = {3}    ...........(2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து
\(A-(B\cup C)=(A-B)\cap (A-C)\) என நிரூபிக்கபட்டது.

தரவு :
\(\Delta\)ABE, இணைகரம் ABCD ஒரே அடிப்பக்கத்தையும் l₁, l₂ என்ற இணைகோடுகளுக்கும் இடையிலும் அமைந்துள்ளது.
நிருபிக்க வேண்டியது:
\(\Delta\) ABE -ன் பரப்பு = \(\frac{1}{2}\) இணைகரம் ABCD -ன் பரப்பு.

நிரூபணம் :
\(\Delta\)ABE - ன் பரப்பு = \(\frac{1}{2}\)\(\times\) அடிப்பக்கம் \(\times\) குத்துயரம்
\(\begin{aligned} & =\frac{1}{2} \times \mathrm{AB} \times \mathrm{EF} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} & =\frac{1}{2} \times \mathrm{AB} \times h \end{aligned}\)                ......(1)
இணைகரம் ABCD-ன் பரப்பு = \(\frac{1}{2}\)\(\times\)(இணைப்பக்கங்களின் கூடுதல்) \(\times\) உயரம்
\(=\frac{1}{2} \times(\mathrm{AB}+\mathrm{CD}) \times h=\frac{1}{2} \times(\mathrm{AB}+\mathrm{AB}) \times h\)
[\(\because\) ABCD  ஓர் இணைகரம்] (எதிர்பக்கங்கள் சமம்) 
= \(\frac{1}{2}\) \(\times\) 2AB \(\times\) h = AB \(\times\) h   .......(2)
(1), (2) லிருந்து \(\Delta\) ABE - ன் பரப்பு = \(\frac{1}{2}\) இணைகரம் ABCD -ன் பரப்பு என நிரூபிக்கப்பட்டது.