b_yx=1.422, Y = 141.67

X என்பது P-ன் விலை மற்றும் Y என்பது S-ன் இருப்பு என்க.
P-ன் சராசரி மற்றும் திட்டவிலக்கங்கள் ஆகியவை முறையே \(\bar { X } \)=100, σ_x=8. மேலும் S-ன் சராசரி மற்றும் திட்டவிலக்கங்கள் முறையே \(\bar {Y } \)=103, σ_y=4 என கருதவும். இரண்டு வரிசைக்கு இடையேயான ஒட்டுறவுக் கெழு r(X,Y)=0.4 ஆகும்.
Y-ன் மீது X-ன் தொடர்புப் போக்குச் சமன்பாடு
\(X-\bar { X } =r\frac { { \sigma }_{ x } }{ { \sigma }_{ y } } (Y-\bar { Y } )\)
X–100 = (0.4)\(\frac{8}{4}\)(Y–103)
X–100 = 0.8(Y–103 )
X–0.8Y–17.6 =0 or X=0.8Y+17
X-ன் மீது Y-ன் தொடர்புப் போக்குச் சமன்பாடு \(Y-\bar { Y } =r\frac { { \sigma }_{ y } }{ { \sigma }_{ x } } (X-\bar { X } )\)
Y–103=(0.4)\(\frac{4}{8}\)(X-100)
Y–103 = 0.2 (X–100 )
Y–103 = 0.2 X–20
Y = 0.2 X+83 or 0.2 X–Y+83=0

2Y–X–50 = 0          ... (1)
3Y–2X–10 = 0        ... (2)
(1) யும் (2) யும் தீர்க்க
நாம் பெறுவது Y=90
Y=90 என (1) ல் பிரதியிட
X =130
ஆகையால் \(\bar { X } \)=130 மற்றும் \(\bar { Y } \)=90
ஒட்டுறவுக் கெழுவை கணக்கிடுதல்
(1) ஐ X -ன் மீது Y-ன் சமன்பாடாகக் கொள்க
2Y = X+50
Y=\(\frac{1}{2}\)X + 25
b_yx =\(\frac{1}{2}\)
(2) ஐ Y -ன் மீது X-ன் சமன்பாடாகக் கொள்க
3Y–2X–10 = 0
2X = 3Y–10
X =\(\frac{3}{2}\)Y–5
b_xy =\(\frac{3}{2}\)
ஒட்டுறவுக் கெழு r=\(\pm \sqrt { { b }_{ xy }\times { b }_{ yx } } \)
r=\(\sqrt { \frac { 1 }{ 2 } \times \frac { 3 }{ 2 } } \)=0.866

E₁ முதல் பையைத் தேர்ந்தெடுக்கும் நிகழ்ச்சி மற்றும்
E₂ என்பது  இரண்டாவது பையைத் தேர்ந்தெடுக்கும் நிகழ்ச்சி என்க.
P(E₁) = P(E₂) =\(\frac{1}{2}\)
A என்பது சிவப்பு நிறப்பந்தைத் தேர்ந்தெடுப்பதற்கான நிகழ்ச்சி எனில்
P(A/E₁) = P(முதல் பையில் இருந்து சிவப்பு நிறப்பந்து எடுக்கும் நிகழ்ச்சி II)=\(\frac{5}{11}\)
தேர்ந்தெடுக்கப்படும் சிவப்பு பந்து, இரண்டாவது பையிலிருந்து எடுப்பதற்கான நிகழ்தகவு, P(E₂/A).
பேயிஸ் தேற்றப்படி
P(E₂/A) =\(\frac { P({ E }_{ 2 })P(A/{ E }_{ 2 }) }{ \overset { 2 }{ \underset { i=1 }{ \Sigma } } P({ E }_{ i })P(A/{ E }_{ i }) } \)
=\(\frac { P({ E }_{ 2 })P(A/{ E }_{ 2 }) }{ P({ E }_{ 1 })P(A/{ E }_{ 1 })+P({ E }_{ 2 })P(A/{ E }_{ 2 }) } =\frac { \frac { 1 }{ 2 } .\frac { 5 }{ 11 } }{ \left( \frac { 1 }{ 2 } \times \frac { 3 }{ 7 } \right) +\left( \frac { 1 }{ 2 } \times \frac { 5 }{ 11 } \right) } =\frac { 35 }{ 68 } \).

பெருக்கு சாரசரியின் கணக்கீடு

GM=Antilog\(\left( \frac { \Sigma flogX }{ N } \right) \)
=Antilog\(\left( \frac { 67.1394 }{ 52 } \right) \)
GM=Antilog 19.55

y=\(\frac { 2x+1 }{ 3x+2 } \)
\(\frac { dy }{ dx } =\frac { (3x+2)(2)-(2x+1)(3) }{ (3x+2)^{ 2 } } \)
= \(\frac { 1 }{ (3x+2)^{ 2 } } \)
நெகிழ்ச்சி \(\eta =\frac { x }{ y } .\frac { dy }{ dx } \)
= \(\frac { x }{ \left( \frac { 2x+1 }{ 3x+2 } \right) } .\frac { 1 }{ (3x+2)^{ 2 } } \)
= \(\frac { x }{ (2x+1)(3x+2) } \)
x=1-ல் \(\eta =\frac { 1 }{ 15 } \)

\(-\frac { 44 }{ 125 } ,-\frac { 117 }{ 44 } \)

(x–2y)¹³
\(T_{r+1}=n C_r x^{n-r} a^r\)
\(n=13, r=4\)
\(t_{r+1}=13 C_r x^{13-r}(-2 y)^r\)
\(t_5=13 C_4 x^{13-4}(-2 y)^4\)
\(=\frac{13 \times 12 \times 11 \times 10}{4 \times 3 \times 2 \times 1} x^9(16) y^4\)
\(=11440 x^9 y^4\)

\(\left(x+\frac{1}{x^2}\right)^6 = 6 C_0 x^3+6 C_1 x^5\left(\frac{1}{x^2}\right)+6 C_2 x^4\left(\frac{1}{x^2}\right)+6 C_3 x^3\left(\frac{1}{x^2}\right)^3 +6 C_4 x^2\left(\frac{1}{x^2}\right)^4+6 C_5 x\left(\frac{1}{x^2}\right)^5+6 C_6\left(\frac{1}{x^2}\right)^6 \)
\(=x^6+6 x^3+15 x^4\left(\frac{1}{x^4}\right)+20 x^3\left(\frac{1}{x^6}\right)+15 x^2\left(\frac{1}{x^8}\right)+6 x\left(\frac{1}{x^{10}}\right)+\frac{1}{x^{12}}\)
\(=x^6+6 x^3+15+\frac{20}{x^3}+\frac{15}{x^6}+\frac{6}{x^9}+\frac{1}{x^{12}}\)

3x²+3y²-4x-14y+15 = 0

1/3

\(\frac { \sqrt { 6 } +\sqrt { 2 } }{ 4 } \)

\(y=\frac { 1 }{ x } \) என்க. \(x\rightarrow \infty \)எனும்பொழுது \(y\rightarrow 0\) ஆகும்.
\(\underset { x\rightarrow \infty }{ lim } xtan\left( \frac { 1 }{ x } \right) =\underset { y\rightarrow 0 }{ lim } \frac { tany }{ y } =1\)

வட்ட மையம் C(–1, 3)
இது ax+2y+2 = 0 என்ற நேர்க்கோட்டின் மேல் உள்ளது
எனவே -a+6+2 = 0
  a =6

\(\left| \begin{matrix} x & x+1 \\ x-1 & x \end{matrix} \right| \)= x²-(x – 1)(x + 1)
= x² – (x² – 1)
= x² – x² + 1 = 1

x₁ = 20; x₂=30 மற்றும் Z_max =1650

Y=0.942X + 6.08; இயலக்கூடிய விற்பனை = ரூ.34.34 (கோடிகளில்)

Q₁=\(\left( \frac { N }{ 4 } \right) \) ஆவது உறுப்பின் மதிப்பு =\(\left( \frac { 67 }{ 4 } \right) \)=16.75 ஆவது உறுப்பின் மதிப்பு எனவே Q1 ஆனது (20-30) என்ற இடைவெளியில் அமைந்துள்ளது.
L=20, \(\frac { N }{ 4 } \)=16.75; pcf=12, f=19, c=10
Q₁=L+\(\left( \frac { \frac { N }{ 4 } -pcf }{ f } \right) \times c\)
Q₁=20+\(\left( \frac { 16.75-12 }{ 19 } \right) \times 10\)=20+2.5=22.5
Q₃=\(\left( \frac { 3N }{ 4 } \right) \)ஆவது உறுப்பின் மதிப்பு =50.25 ஆவது உறுப்பின் மதிப்பு
எனவே Q₃ ஆனது (50-60) என்ற இடைவெளியில் அமைந்துள்ளது.
L=50, \(\frac { 3N }{ 4 } \)=50.25; pcf=46, f=9, c=10
Q₃=L+\(\left( \frac { \frac { 3N }{ 4 } -pcf }{ f } \right) \times c\)
Q₃=50+\(\left( \frac { 50.25-46 }{ 9 } \right) \times 10\)=20+2.5=22.5
QD =\(\frac{1}{2}\)(Q₃ – Q₁)
=\(\frac { 50.25-46 }{ 9 } \)=16.11
∴ QD=16.11

20%

ரூ.13240, ரூ.36420, இயந்திரம் B வாங்கலாம்

q =5-2p₁+p₂-p₁² p₂
\(\frac { \partial q }{ \partial { P }_{ 1 } } \) = -2 -2p₁ p₂
\(\frac { \partial q }{ \partial { P }_{ 2 } } \) = 1-p₁²
\(\frac { Eq }{ { Ep }_{ 1 } } =-\frac { { P }_{ 1 } }{ q } \frac { \partial q }{ \partial { P }_{ 1 } } =\frac { -{ P }_{ 1 } }{ 5-2{ P }_{ 1 }+{ P }_{ 2 }-{ P }_{ 1 }^{ 2 }{ P }_{ 2 } } \)  (-2-2p₁p₂)
= \(\frac { 2{ P }_{ 1 }+2{ P }_{ 1 }^{ 2 }{ P }_{ 2 } }{ 5-2{ P }_{ 1 }+{ P }_{ 2 }-{ P }_{ 1 }^{ 2 }{ P }_{ 2 } } \)
இங்கு p₁=3 மற்றும் p₂=7
\(\frac { Eq }{ { E }p_{ 1 } } =\frac { 2(3)+2(9)(7) }{ 5-6+7-(9)(7) } =\frac { 132 }{ -57 } =\frac { -132 }{ 57 } \)
\(\frac { Eq }{ { E }p_{ 2 } } =-\frac { { P }_{ 2 }\partial q }{ q\quad \partial { P }_{ 2 } } =\frac { -{ P }_{ 2 }(1-{ p }_{ 1 }^{ 2 }) }{ 5-{ 2p }_{ 1 }+{ p }_{ 2 }-{ p }_{ 1 }^{ 2 }{ p }_{ 2 } } \)
=\(\frac { -{ P }_{ 2 }+{ p }_{ 2 }{ p }_{ 1 }^{ 2 } }{ 5-{ 2p }_{ 1 }+{ p }_{ 2 }-{ p }_{ 1 }^{ 2 }{ p }_{ 2 } } \)
இங்கு p₁=3 மற்றும் p₂=7
\(\frac { Eq }{ { E }p_{ 2 } } =\frac { -7+7(9) }{ 5-6+7-(9)(7) } =\frac { 56 }{ -57 } =\frac { -56 }{ 57 } \)​​​​​​​

(i) x= 1 ல் தொடர்ச்சியானது மற்றும் வகையிடத்தக்கது.
(ii) x = 2 ல் தொடர்ச்சியானது ஆனால் வகையிடத்தக்கதல்ல.

(அ) ​​எழுத்துக்களை மீண்டும் செய்ய முடியாது என்பதால், வழிகளின் எண்ணிக்கை = nPr
\(=6 P_5=6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2=720\)
(ஆ) எழுத்துக்களை மீண்டும் மீண்டும் செய்ய முடியும் என்பதால், வழிகளின் எண்ணிக்கை \(=n^r=65=7776\)
(இ) முதல் இடத்தில் E நிரப்பப்பட்டதால் மீதமுள்ள 5 எழுத்துக்களை 4 இடங்களில் நிரப்பலாம்\(5 P_4 \text { }=5 \times 4 \times 3 \times 2=120\)
(ஈ) கடைசி 3 எழுத்துக்கள் ஏற்கனவே நிரப்பப்பட்டிருப்பதால், மீதமுள்ள 3 லெட்டிகளை முதல் 2 இடங்களில் நிரப்பலாம்.\(3 P_2 \text { }=3 \times 2=6\)

ஒரு கிலோ கோதுமை, சர்க்கரை,அரிசியின் மொத்த விலைகள் முறையே x ,y ,z என்க.
2x + y = 70
x + z = 70
3x + 2y + z = 17
\( \begin{bmatrix} 2&1&0\\1&0&1\\3&2&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\y\\z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 70\\70\\170 \end{bmatrix}\) 
\(A X=B \Rightarrow X=A^{-1} B\)
\(A=\begin{bmatrix} 2&1&0\\1&0&1\\3&2&1 \end{bmatrix},X=\begin{bmatrix} x\\y\\z \end{bmatrix}B=\begin{bmatrix} 70\\70\\170 \end{bmatrix}\)
\(|A|=\begin{vmatrix} 2&1&0\\1&0&1\\3&2&1 \end{vmatrix}=2\begin{vmatrix} 0&1\\2&1 \end{vmatrix}-1\begin{vmatrix} 1&1\\3&1 \end{vmatrix}+0\begin{vmatrix} 1&0\\3&2 \end{vmatrix} \)
\(=2(0-2)-1(1-3)+0=-4+2+0=-2\neq0\)
\(\therefore \) A^–1 யைக் காணஇயலும்.
\(=\left(\begin{array}{ccc} -2 & 2 & 2 \\ -1 & 2 & -1 \\ 1 & -2 & -1 \end{array}\right)\)
\(\operatorname{adj} A=\left(\begin{array}{ccc} -2 & -1 & 1 \\ 2 & 2 & -2 \\ 2 & -1 & -1 \end{array}\right)\)
\({A}^{-1}={{1}\over{|A|}}adj\ A={{-1}\over{2}}\begin{bmatrix} -2&-1&1\\2&2&-2\\2&-1&-1 \end{bmatrix}\)
\(X={A}^{-1}B={{-1}\over{2}}\begin{bmatrix} -2&-1&1\\2&2&-2\\2&-1&-1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 70\\70\\170 \end{bmatrix}={{-1}\over{}2}\begin{bmatrix} -40\\-60\\-100 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 20\\30\\50 \end{bmatrix}\)
x =20,y =30, z =50

தொழில்நுட்ப அணி B = \(\left[ \begin{matrix} 0.4 & 0.1 \\ 0.7 & 0.6 \end{matrix} \right] \)
I-B=\(\left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right] \)-  \(\left[ \begin{matrix} 0.4 & 0.1 \\ 0.7 & 0.6 \end{matrix} \right] \)=\(\left[ \begin{matrix} 0.6 & -0.1 \\ -0.7 & 0.4 \end{matrix} \right] \)
|I-B|=\(\left| \begin{matrix} 0.6 & -0.1 \\ -0.7 & 0.4 \end{matrix} \right|\)
= (0.6)(0.4)–(–0.7)(–0.1)
= 0.24 – 0.07 = 0.17
ஹாக்கின்ஸ்-சைமனின் இரு நிபந்தனைகளும் நிறைவு செய்யப்பட்டுள்ளது. எனவே இந்த பொருளாதாரக் கட்டமைப்பு செயல்படும் வகையில் உள்ளது.
adj(I-B)= \(\left[ \begin{matrix} 0.4 & 0.1 \\ 0.7 & 0.6 \end{matrix} \right] \)
(I-B)^-1=\(\frac{1}{|I -B |} \)adj(I-B)
=\(\frac{1}{0.17} \) \(\left[ \begin{matrix} 0.4 & 0.1 \\ 0.7 & 0.6 \end{matrix} \right] \)
X = (I–B)^–1D, இங்கு D =\(\left[ \begin{matrix} 50 \\ 100 \end{matrix} \right] \)
=\(\frac{1}{0.17} \)\(\left[ \begin{matrix} 0.4 & 0.1 \\ 0.7 & 0.6 \end{matrix} \right] \)\(\left[ \begin{matrix} 50 \\ 100 \end{matrix} \right] \)
=\(\frac{1}{0.17} \)\(\left[ \begin{matrix} 30 \\ 95 \end{matrix} \right] \)
=\(\left[ \begin{matrix} 176.5 \\ 558.8 \end{matrix} \right] \)
இரும்பு வெளியீடு = 176.5 டன்கள்
நிலக்கரி வெளியீடு = 558.8 டன்கள்
மொத்த  தொழிலாளர்களின் வேலை நாட்கள்
=5(இரும்பு வெளியீடு) + 2(நிலக்கரி வெளியீடு)
= 5(176.5) + 2(558.8)
= 882.5 + 1117.6 = 2000.1
≃2000 தொழிலாளர் நாட்கள்.

A=\(\left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 3 \\ 2 & \lambda & 4 \\ 9 & 7 & 11 \end{matrix} \right] \)
|A| = 0
⇒ 11λ - 28 - 1(22 - 36) + 3(14 - 9λ) = 0
⇒ 11λ - 28 + 14 + 42 - 27λ = 0
⇒ -16λ + 28 = 0
⇒ 16λ = 28
⇒  λ = \(\frac{28}{16}=\frac{14}{8}=\frac{7}{4}\)
\(\lambda =\frac { 7 }{ 4 } \)

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு 2x²+7xy+3y²+5x+5y+2 =0 இதனை ax²+2hxy+by2+gxy+2fy+c = 0 உடன் ஒப்பிடும்போது a=2,b=3, h=\(\frac { 7 }{ 2 } \) ,g=\(\frac { 5 }{ 2 } \) ,f =\(\frac { 5 }{ 2 } \) ,c =2
i.e  \(\left| \begin{matrix} a & h & g \\ h & b & f \\ g & f & c \end{matrix} \right| =\left| \begin{matrix} 2 & \frac { 7 }{ 2 } & \frac { 5 }{ 2 } \\ \frac { 7 }{ 2 } & 3 & \frac { 5 }{ 2 } \\ \frac { 5 }{ 2 } & \frac { 5 }{ 2 } & 2 \end{matrix} \right| \)
 =  \(2\left( 6-\frac { 25 }{ 4 } \right) -\frac { 7 }{ 2 } \left( 9-\frac { 25 }{ 4 } \right) +\frac { 5 }{ 2 } \left( \frac { 35 }{ 4 } -\frac { 15 }{ 2 } \right) \)
= \(2\left( -\frac { 1 }{ 4 } \right) -\frac { 7 }{ 2 } .\frac { 3 }{ 4 } +\frac { 5 }{ 2 } .\frac { 5 }{ 4 } \)
= \(-\frac { 1 }{ 2 } -\frac { 21 }{ 8 } +\frac { 25 }{ 8 } =0\)
எனவே கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு இரட்டை நேர்க்கோடுகளைக் குறிக்கும்
 2x²+7xy+3y² =  2x²+6xy+xy+3y2
 =2x(x+3y)+y(x+3y)
= (x+3y)(2x+y)
2x²+7xy+3y²+5x+5y+2 = (x+3y+l)(2x+y+m) என்க.
x-ன் கெழுக்களை சமன்படுத்த 2l+m = 5             (1)
y-ன் கெழுக்களை சமன்படுத்த l+3m =5              (2)
(1) மற்றும் (2) ஐ தீர்க்க நமக்கு கிடைப்பது m =1 மற்றும் l =2
எனவே, இரட்டை நேர்க்கோடுகளின் தனித்தனி சமன்பாடு
x+3y+2 = 0 மற்றும் 2x+y+1 = 0

\(\left|\begin{array}{ccc} x & x^2 & 1 \\ y & y^2 & 1 \\ z & z^2 & 1 \end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc} x & -y z & 1 \\ y & -z x & 1 \\ z & -x y & 1 \end{array}\right|\)
R₁, R₂, R₃, 
\(\left|\begin{array}{ccc} x & x^2 & 1 \\ y & y^2 & 1 \\ z & z^2 & 1 \end{array}\right|-\frac{1}{x y z}\left|\begin{array}{ccc} x^2 & x y z & x \\ y^2 & x y z & y \\ z^2 & x y z & z \end{array}\right|\)
\(=\left|\begin{array}{lll} x & x^2 & 1 \\ y & y^2 & 1 \\ z & z^2 & 1 \end{array}\right|-\frac{x y z}{x y z}\left|\begin{array}{ccc} x^2 & 1 & x \\ y^2 & 1 & y \\ z^2 & 1 & z \end{array}\right|\)
\(=\left|\begin{array}{lll} x & x^2 & 1 \\ y & y^2 & 1 \\ z & z^2 & 1 \end{array}\right|-\left|\begin{array}{lll} x & x^2 & 1 \\ y & y^2 & 1 \\ z & z^2 & 1 \end{array}\right|=0\)

\(\left|\begin{array}{ccc} 2 x+y & x & y \\ 2 y+z & y & z \\ 2 z+x & z & x \end{array}\right| \quad c_1 \rightarrow c_1-c_3\)
\(\left|\begin{array}{ccc} 2 x & x & y \\ 2 y & y & z \\ 2 z & z & x \end{array}\right|=0 \ \text { } c_1 \sim c_3\)

nP₂ = 20
n(n - 1) = 5 x 4
n = 5