தானாக விழும் பொருளுக்கு,
\(h =\frac{1}{2} g p t^2  \)
\(\therefore g_p =\frac{2 h}{t^2}=\frac{2+50}{4}=25 m s^{-2}\)

ஓரலகு நீளத்திற்குரிய
நிறை = m
திசைவேகம் = v
இயக்க ஆற்றல் \(=\frac{1}{2} m v^3\)

பிளாங்க் மாாறிலியின் பரிமாணம்- \(M L^2 T^{-1}\)
ஈர்ப்பு மாறிலியின் பரிமாணம் - \(M^{-1} L^3 T^{-2}\)
திசைவேகத்தின் மாறிலியின் பரிமாணம்
\(\Rightarrow\) நீளத்தின் மாறிலியின் பரிமாணம் - L
\(\frac{\sqrt{h G}}{C^{3 / 2}}\) இன் பரிமாணம்
\(=\frac{\sqrt{\left(M L^2 T^{-1}\right)\left(M^{-1} L^3 T^{-2}\right)}}{\left(L T^{-1}\right)^{3 / 2}}  \)
\(=\frac{\sqrt{L^5 T^{-3}}}{L^{3 / 2} T^{-3 / 2}}  \)
\(=\frac{L^{5 / 2} T^{-3 / 2}}{L^{3 / 2} T^{-3 / 2}}  \)
\(=L^{5 / 2-3 / 2} T^{-3 / 2+3 / 2}  \)
\(=L^1 T^0=L\)
\(\Rightarrow\) நீளத்தின் பரிமாணம்

சறுக்கலின்றி, உருளும் திண்ம
உருளையின் முடுக்கம்
\(a_1=\frac{g \sin \theta}{1+\frac{K^2}{r^2}}\)
கீழ்நோக்கி (சறுக்கும்போது, முடுக்கம் \(\mathrm{a}_2=\mathrm{g} \sin \theta\)
\(\therefore \frac{a_1}{a_2} =\frac{g \sin \theta /\left(1+K^2 / r^2\right)}{g \sin \theta}  \)
\(=\frac{1}{1+\frac{K^2}{r^2}}\)
திண்மக் கோளத்திற்கு
\(\frac{K^2}{r^2}=\frac{2}{5}\)
∴ முடுக்கங்களின் தகவு
\(\frac{a_1}{a} =\frac{1}{1+\frac{2}{5}}  \)
\(=\frac{1}{\frac{(5+2)}{5}}=\frac{1}{7 / 5}  \)
\(=\frac{5}{7}  \)
\(\therefore a_1: a_2 =5: 7\)

புவியின் நிறை M=6.0 x 10²⁴kg, m =67 kg
G=6.67 x 10^-11 Nm²kg²
ஈர்ப்புத் தன்னிலை ஆற்றல்
V(r)=\(-\frac { GM }{ R } =\frac { 6.67\times { 10 }^{ -11 }\times 6\times { 10 }^{ 24 } }{ 6.6\times { 10 }^{ 10 } } \)
V(r)=-6.1x 10³ Jkg^-2
ஈர்ப்பு நிலை ஆற்றல்
U(r)=ஈர்ப்புத் தன்னிலை ஆற்றல் x நிறை
=\(\frac { GM }{ R } \times m\) \(\left[ \therefore V(r)=-\frac { GM }{ R } \right] \)
U(r)=-6.1 x 10³x 67=-4.8 x 10⁵ J
U(r)=-4.08 x  10⁵ J 

பொதுவான அனைத்துப் பொருள்களும் திட, திரவ மற்றும் வாயு என்ற மூன்று நிலைகளில் காணப்படும். வெப்பப்படுத்தும்போது  அல்லது குளிர்விக்கும்போது பொருள்கள் ஒரு நிலையிலிருந்து மற்றொரு நிலைக்கு மாற்றமடையும்.
(i) உருகுதல் (திட நிலையிலிந்து திரவ நிலைக்கு)
(ii) ஆவியாதல் ( திரவ  நிலையிலிந்து வாயு நிலைக்கு) 
(iii) பதங்கமதால் ( திட நிலையிலிந்து நேரடியாக வாயு நிலைக்கு)
(iv) உறைதல்  (திரவ  நிலையிலிந்து திட நிலைக்கு)
(v) சுருங்குதல் (வாயு நிலையிலிருந்து திரவ நிலைக்கு)

திரவத்தின் ஓட்டத்தை புரிந்து கொள்ள ரெனால்டு Rc  மதிப்பை கீழ்கண்டவாறு கண்டறிந்தார் .

வ.எண்	ரெனால்டு எண்	ஓட்டம்
1	Rc  < 1000	வரிச்சீர்  ஓட்டம்
2	1000 < Rc < 2000	சீரற்ற  ஓட்டம்
3	Rc > 2000	சுழற்சி ஓட்டம்

சுழற்சி ஓட்டம் தொடங்கும் Rc  இன மாறுநிலை  மதிப்பு வடிவியலாக ஒரே மாதிரியுள்ள  ஒட்டங்களுக்கு சமான  மதிப்பை கொண்டுள்ளது. உதரணமாக மாறுபட்ட  அடர்த்திகள் மற்றும் பாகியல்  எண்கள் மதிப்புள்ள இரு திரவங்கள் (எண்ணெய்  மற்றும் நீர்  )சம வடிவம்  மற்றும் அளவுகளை கொண்ட இரு ககுழாய்கள் வழியே சென்றால் ஒரே Rc  மதிப்பில் சுழற்சி ஓட்டம் தொடங்குகிறது. மேற்கண்ட கருத்திலிருந்து  ஒற்றுமை வவிதியை பெறலாம், அதன் கூற்றானது இரு வடிவியல்  ரீதியாக ஒரே மாதிரியான பாய்ம  ஓட்டங்கள் இருந்தால் அவை இரண்டும் ஒரே ரெனால்டு  எண்ணை கொண்டிருக்கும் வரை அடிப்படையில் ஒன்றுக்கொன்று சமமானதாகும்                                 

அழுத்தத்தின்  பரிமாணம் =[ML ¹T²]
அடர்த்தியின் பரிமாணம் = [ML³]
ஆற்றலின் பரிமாணம் = [ML²T²]
இதனைக் கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டில் பிரதியிட
=[ML ¹T²] ^5/6[ML³]^1/2[ML² T²]^1/3
= M^5/6+1/2+1/3L^5/6 3/2+2/3T^{5/3  2/3}
= M⁰L⁰T⁴ = [T]
காலத்தின் பரிமாணமாகும்.

i) ஓய்வு நிலை உராய்வு:
ஒரு பரப்பில் வைக்கப்பட்டுள்ள பொருள் நகரத் தொடங்குவதை எதிர்க்கும் வகையில் அமையும் விசையாகும்.
பொருளானது பரப்பின் மீது நகர தொடங்கும் போது பொருளின் மீது செயல்படும் ஓய்வு நிலை உராய்வு விசை (f_s) பெரும மதிப்பை அடையும்.

ii) இயக்கநிலை உராய்வு:
நகர்ந்து செல்லும் பொருளின் மீது பொருள் நகர்ந்து செல்லும் பரப்பு ஒரு உராய்வு விசையைச் செலுத்தும். அவ்வுராய்வு விசையே இயக்கநிலை உராய்வு எனப்படும்.

உராய்வைக் குறைக்கும் முறைகள்
தொழிற்சாலைகளில் உள்ள கனரக இயந்திரங்களின் பரப்புகள் ஒன்றுடன் ஒன்று சார்பியக்கத்தில் உள்ளபோது உராய்வு ஏற்பட்டு வெப்ப வடிவில் ஆற்றல் இழக்கப்படுகிறது. இதனால் கனரக இயந்திரங்களின் செயல் திறன் குறைந்து விடுகிறது. இவ்வாறு ஏற்படும் இயக்க உராய்வினை குறைப்பதற்காக உயவு எண்ணெய்கள் (lubricants) எவ்வாறு பயன்படுகின்றன என்பதை படம் விளக்குகிறது.
பந்து தாங்கி அமைப்பு (Ball bearings) இயந்திரங்களில் இயக்க உராய்வைக் குறைப்பதில் பெரும்பங்காற்றுகின்றன. இரண்டு பரப்புகளுக்கு நடுவே பந்து தாங்கி அமைப்மைப் பொருத்துவதன் மூலமாக இரண்டுபரப்புகளின் சார்பியக்கம் நடைபெறும் நோ்வுகளில் இயக்க உராய்வினை முழுவதுமாக தடுத்து உருளுதலின் உராய்வு மட்டுமே பந்து தாங்கி அமைப்பினால் ஏற்படுகிறது. நாம் முற்பகுதியில் கற்றவாறு உருளுதலின் உராய்வு, இயகக்க உராய்வை விட மிகக் குறைவு. எனவே இயந்திரங்களின் தேய்மானத்தைக் குறைத்து பந்து உருளை அமைப்பு அவற்றை நீண்ட காலத்திற்கு இயங்க வைக்கிறது.

சுருள்வில் மாறிலி K = 0.1 N m^-1
இடப்பெயர்ச்சி x = 25 cm = 0.25 m
(a) சுருள்வில்லில் சேமிக்கப்பட்ட நிலை ஆற்றல்
\(U=\frac { 1 }{ 2 } { kx }^{ 2 }=\frac { 1 }{ 2 } \times 0.1\times ({ 0.25 })^{ 2 }=0.0031J\)
b) சுருள்வில் விசை  \(\vec { F } \) ஆல் செய்யப்பட்ட வேலை W_s மதிப்பு
\(\mathrm{W}_{\mathrm{s}}=\int_{\mathrm{n}}^x \overrightarrow{\mathrm{F}}_{\mathrm{s}} \cdot \mathrm{d} \overrightarrow{\mathrm{r}}=\int_n^x(-\mathrm{k} x \hat{\mathrm{i}}) \cdot(\mathrm{d} x \hat{\mathrm{i}})\)
சுருள்வில்விசை \(\vec { F } _s\) எதிர்க்குறி x அச்சின் திசையில் செயல்படுகிறது. அதேசமயம் நீட்சியானது நேர்க்குறி x அச்சின் திசையில் செயல்படுகிறது
\(\mathrm{W}_{\mathrm{s}}=\int_0^x(-\mathrm{k} x) \mathrm{d} x=-\frac{1}{2} \mathrm{k} x^2 \)
\(\mathrm{~W}_{\mathrm{s}}=-\frac{1}{2} \times 0.1 \times(0.25)^2=-0.0031 \mathrm{~J}\)
வெளிப்புற அமைப்பால் செய்யப்பட்ட வேலையின் மூலம் நிலை ஆற்றலை வரையறுக்கலாம். நிலை ஆற்றலில் உள்ள நேர்க்குறி, ஆற்றலானது அமைப்பிலிருந்து பொருளுக்கு மாற்றப்படுவதைக் குறிக்கிறது. ஆனால் இந்நேர்வில் மீள் விசையால் செய்யப்பட்ட வேலை எதிர்க்குறி மதிப்புடையது. ஏனென்றால் மீள்விசையானது இடப்பெயர்ச்சியின் திசைக்கு எதிர்த்திசையில் செயல்படுகிறது
(c) அமுக்கத்தின் போதும் பொருளில்  அதே அளவு நிலை ஆற்றல் சேமிக்கப்படுகிறது.
\(U=\frac { 1 }{ 2 } { kx }^{ 2 }=0.0031J\)
அமுக்கப்படும் போதும் சுருள்வில் மீள் விசையால் செய்யப்பட்ட வேலை
\(W_s=\int_o^x \vec{F}_s \cdot \vec{d} r=\int_o^x(k x \hat{i}) \cdot(-d x \hat{i})\)
அமுக்கப்படும் நேர்வில் சுருள்வில் மீள்விசை நேர்க்குறி x அச்சை நோக்கி செயல்படுகிறது. மற்றும் இடப்பெயர்ச்சியானது எதிர்க்குறி x அச்சின் திசையில் உள்ளது.
\({ W }_{ s }=\int _{ 0 }^{ x }{ (-kx)dx=-\frac { 1 }{ 2 } { kx }^{ 2 }=-0. 0031 J} \)

\(\tau\) = Iα
\(\tau\) - திருப்புவிசை
I - நிலைமத் திருப்புத் திறன்
α - கோண முடுக்கம்

\( |\overrightarrow{A}-\overrightarrow{B}|=\sqrt{A^2+B^2-2AB\cos \theta }\)  
\(\Rightarrow|\overrightarrow{A}-\overrightarrow{B}|=\sqrt{5^2+7^2-2\times5\times7\ \cos 60°}\)
\(=\sqrt{25+49-35}=\sqrt{39}\) அலகுகள்
\(\vec A \) வெக்டரைப் பொருத்து \(\vec A - \vec B \) ஏற்படுத்தும் திசை 
\(\tan{ \alpha }_{ 2 }=\frac { 7\sin 60^{ 0 } }{ 5-7\cos 60^{ 0 } } =\frac { 7\sqrt { 3 } }{ 10-7 } =\frac { 7 }{ \sqrt { 3 } } =4.041\)
\({ \alpha }_{ 2 }=\tan^{ -1 }\left( 4.041 \right) \cong 76^{ o }\)

அலைவு நேரம் T_p=\(2\pi \sqrt { \frac { l }{ g } } =2\pi \sqrt { \frac { 1.20m }{ 9.8m/{ s }^{ 2 } } } \)
=2 x 3.14 x \(\sqrt { 0.1224 } \)=2.19675
T_p=2.2s

இதனை மையநோக்கு முடுக்கச் சமன்பாட்டில் பிரதியிடும் போது =\(a_{ c }=\frac { { \omega }^{ 2 }{ r }^{ 2 } }{ r } ={ \omega }^{ 2 }{ r }^{ 2 }\)
ஆனால் ω=\(\frac {2\pi} {r }\) இங்கு T என்பது புவி, சூரியனை ஒரு முறை சுற்றி வர ஆகும் காலமாகும். அதாவது ஒரு வருடம்.
T =365 நாட்கள் =365 x 24 x 60 x 60 x வினாடி 
=3.15 x 10⁷s 
ω= × − 2.02 10 7rad s^-1
ac=(2.02x 10^-7)2x (150x 108)
ac=6.12x 10^-4ms^-2

ஒரு படித்தர நொடி என்பது சீசியம் -133 அணுவின் இரு அடி ஆற்றல் நிலைகளின் மீ நுண்ணிய மட்டங்களுக்கிடையே சீரான பரிமாற்றம் நிகழ்வதால் ஏற்படும் கதிர்வீச்சிற்குரிய 9 192 631 770 அலைவுக் காலங்களாகும்.

\(COP=\beta =\frac { { Q }_{ L } }{ W } \)
\(W=\frac { { Q }_{ L } }{ COP } =\frac { 200 }{ 3 } =66.67J\)

1. அழுத்தம் 
2. வெப்பநிலை 
3. அடர்த்தி 
4. ஈரப்பதம் 
5. காற்று

நிலாவின் சுற்று பாதையானது புவியின் சுற்றுப் பாதைத்தளத்திலிருந்து 5^o சாய்ந்து காணப்படுகிறது.
இந்த 5^o சாய்வு உள்ளதால், ஆண்டின் ஒரு குறிப்பிட்ட காலத்தில் மட்டுமே சூரியன், புவி மற்றும் சந்திர கிரகணமோ அல்லது சூரிய கிரகணமோ ஏற்படும். 

பொருள் ஒன்று தன் நிலையான அச்சைப் பற்றி சுழலுமாயின் அது சூழல் இயக்கம் எனப்படும்.

1.செங்குத்து வட்ட இயக்கத்தில் வட்டத்தை நிறைவு செய்ய வட்டப்பாதையின் கீழ்புள்ளியில் கொடுக்கத் தேவையான சிறும வேகம் \(\sqrt {5gr}\)ஆகும்.
2.இங்கு r என்பது வட்டத்தின் ஆரம்.

இயற்பியலில் சில வெக்டர் அளவுகள், மற்றொரு வெக்டரின் ஸ்கேலர் மடங்காக இருப்பதைக் காணலாம்.
எடுத்துக்காட்டாக
(1) விசை \(\overrightarrow{F} = m \overrightarrow{a }\) இங்கு நிறை ‘m’ ஒரு நேர்க்குறி ஸ்கேலர் மற்றும் முடுக்கம் \(\overrightarrow{a }\) ஒரு வெக்டர் ஆகும். இங்கு விசையின் திசையிலேயே பொருள் முடுக்கமடைகிறது.
(2) உந்தம் \(\overrightarrow{p} = m \overrightarrow{v }\) இங்கு என்பது பொருளின் திசைவேகம். எனவே, இங்கு பொருள் இயங்கும் திசையிலேயே நேர்கோட்டு உந்தமும் செயல்படுகிறது.
(3) ஒரு மின்புலத்தால், மின்னூட்டமுள்ள ஒரு துகளின் மீது செயல்படும் விசை \(\overrightarrow{F} = q \overrightarrow{E}\). இங்கு 'q' என்பது மின்னூட்டம், ஒரு ஸ்கேலர் மற்றும் மின்புலம் \(\overrightarrow{E}\) ஒரு வெக்டர். விசை \(\overrightarrow{F}\)இன் திசை மின்னூட்டம் நேர்க்குறி எனில் \(\overrightarrow{E}\) இன் திசையிலும், மின்னூட்டம் எதிர்க்குறி எனில் \(\overrightarrow{E}\) திசைக்கு எதிர்த்திசையிலும் இருக்கும்.

(i)ஆற்றல் நடுப்பகுதியில் துகளின் திசைவேகம் வினாடிக்கு 4 மீட்டர் இருப்பதாகக் கருதுக. எனவே இந்தப் புள்ளியைக் கடக்கும் அனைத்துத் துகள்களின் திசைவேகங்களும் அதே மதிப்பைப் பெறும். இது போன்ற, கரை யோரத்தில் பாயும் நீர்மத் துகளின் திசைவேகம் வினாடிக்கு 0.5 மீட்டர் எனில் அதனைப் பின் தொடரும் அனைத்து நீர்மத் துகளின் திசைவேகங்களும் அதே மதிப்பைப் பெறும்.
(ii) ஒரு திரவ ஓட்டத்தில், ஒரு புள்ளியின் வழியே செல்லும் ஒவ்வொரு திரவத்துகளும் அதற்கு முன்னர் சென்ற துகள்களின் பாதையிலேயே அதே திசைவேகத்தில் இயங்கினால் அந்த திரவ ஓட்டமானது வரிச்சீர் ஓட்டம் எனப்படும்.
(iii) இதனை சீரான ஓட்டம் அல்லது அடுக்குமுறை ஓட்டம் (Laminar flow ) எனவும் குறிப்பிடலாம். இயங்கும் பாய்மத்துகள் மேற்கொள்ளும் வளைவான பாதை வரிச்சீர் எனப்படுகிறது. எந்த ஒரு புள்ளியிலும் அதன் தொடுகோடானது அந்தப் புள்ளியில் பாய்ம ஓட்டத்தின் திசையைக் கொடுக்கிறது. இதனை இவ்வாறு அழைப்பதற்குக் காரணம் இது ஒரு நீர் ஓடை அல்லது இலட்சிய நிலையில் உள்ள ஆற்றைப் போன்று உள்ளதே ஆகும்.

(iv) நீர்ம ஓட்டத்தின் திசைக்கு செங்குத்தான எந்த ஒரு குறுக்குவெட்டு பரப்பிலும் ஒரே திசை வேகத்தைக் கொண்ட சீரான வரிக் கற்றையைக் கருதினால் அந்த கற்றை குழாய் வடிவ ஓட்டம் (tube of flow) எனப்படும். குழாய் வடிவ ஓட்டத்தில் உள்ள எந்த ஒரு நீர்மத் துகளும் அதன் இயக்கம் முழுவதற்கும் குழாயினுள்ளேயே எப்போதும் இருக்கும் மற்றும் மற்ற குழாய் திரவத்துடன் கலக்காது என்பதை முக்கியமாக கவனிக்க வேண்டும்.
(v) குழாய் வடிவ ஓட்டத்தின் அச்சு எப்போதும் வரிச்சீர் ஓட்டத்தை தரும். வரிச்சீர் ஓட்டங்கள் எப்போதும் பாய்மத் துகள்களின் இயக்கப் பாதைகளைக் குறுகிக்கின்றன. பாய்மத்தின் ஓட்டம் மறுநிலைத் திசைவேகம் எனப்படும். ஒரு குறிப்பிட்ட திசைவேகம் வரை வரீச்சீராக உள்ளது. இதன் பொருள், மறுநிலைத் திசைவேகத்திற்குக் குறைவான வேகத்தில் பாயும் போது வரிச்சீர் ஓட்டத்தைப் பெறலாம்.      

(C + \(\Delta\)C) = (3.0 \(\pm \) 0.1) \(\mu\)F
(V+\(\Delta\)V) = (18 \(\pm \) 0.4) V
Q = CV
Q = 3.0 \(\times\) 10^-6 \(\times\) 18 = 54 \(\times\) 10^-6 C
C இல் உள்ள சதவீதப் பிழை =\(\frac { \Delta C }{ C } \times 100\)
\(=\frac { 0.1 }{ 3 } \times 100=3.3\)%
V இல் உள்ள சதவீதப் பிழை = \(\frac { \Delta V }{ V } \times 100\)
\(=\frac { 0.4 }{ 18 } \times 100=2.2\)%
Q இல் உள்ள சதவீதப் பிழை = C இல் உள்ள சதவீதப் பிழை + V இல் உள்ள சதவீதப் பிழை
= 3.3% + 2.2% = 5.5%
\(\therefore \) மின்னூட்டம் Q = (54 \(\times\) 10^-6 \(\pm \) 5.5%) C   

துகள் 1 க்கான சமன்பாடு
x₁=6.0t² +4.0t +2.0
துகள் 2க்கான சமன்பாடு
a₂=-6.0t
t =0ல் v₂=30 ms^-1
திசைவேகம் v(t) =\(\frac {dx}{dt }\)
v(t)=\(\frac{d}{dt }(6.0 t ^ 2+4.0t +2.0)\)
t ஐப் பொருத்து வகைக்கெழுக்கான 
v(t)=12t +4+0
=12t +4
இரண்டாம் துகளில்
\(\int { a\left( t \right) } dt=v\left( t \right) \)
t ஐப் பொருத்து தொகைக் கெழு காண 
\(v\left( t \right) =\int { -6tdt } =-6\int { tdt } =\frac { 6{ t }^{ 2 } }{ 2 } +c\)\(\left[ \because f\left( { x }^{ n } \right) =\frac { { x }^{ n+1 } }{ n+1 } \right] \)
v(t)=-3t²+c
v(t)=30 m/s மற்றும் t =0 செகண்டு
எனில் 30 m/s =-3(0)²+c
30=c
எனவே v₂(t)=-3t²+30  (\(\therefore \)c மாறிலி)
துகள்களின் திசைவேகங்கள் பொருத்தமாக இருக்க இரு சமன்பாடுகளையும் சமன் செய்ய
v₁(t) = v₂(t)
12t +4=-3t²+30
3t²+12t-26=0
y=3t²+12t-26=0
இரு படி சமன்பாட்டினைப் பயன்படுத்தி
\(x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)
a=2, b=12, c=-26
\(t=-12\pm \frac { \sqrt { { (12) }^{ 2 }-4\times 3\times -26 } }{ 2\times 3 } \)
\(t=-12\pm \frac { \sqrt { { 144-(12) }\times (-26) } }{ 6 } \)
\(t=-12\pm \frac { \sqrt { 144+312 } }{ 6 } \)
\(t=-12\pm \frac { \sqrt { 426 } }{ 6 } =-12\pm \frac { 11.3 }{ 6 } \)
\(t=\frac { -12+21.3 }{ 6 } or\frac { +12-21.3 }{ 6 } \)
\(=\frac { 9.3 }{ 6 } \)(அ)\(\frac { -33.3 }{ 6 } \)
நேரம் எதிர்க்குறிலில் வர சாத்தியமில்லை எனவே t=1.55 என்பதே ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்ட கால அளவு. இரு வேறு துகள்களின் திசைவேகங்கள் 
v(t₁)=12(1.55)+4=18.6+4
v(t₂)=-3(1.55)+30=4.65+30
v(t₁)=122.6m/s
v(t₂)=34.65m/s

(i) ஒரு இரப்பர் பந்து மற்றும் ஒரு பிளாஸ்டிக் பந்து இரண்டையும் ஒரே தளத்தில் விழச்செய்வதாகச் கொள்வோம். இரப்பர் பந்தானது பிளாஸ்டிக் பிந்தைவிட அதிக உயிரத்திற்கு மேலெழும்பும்.
(ii) ஏனேன்றால் ஒரு மீட்சிப் பண்புள்ள இரப்பர் பந்திற்கு இயக்க ஆற்றலின் இழப்பு பிளாஸ்டிக் பந்திற்கான இழப்பைவிட மிக குறைவாகும். பொதுவாக மோதலுக்குப் பிறகு இரு பொருள்களின் இயக்க ஆற்றல் மதிப்பினை மீட்சியளிப்பு குணகம் (Coefficient of Restitution - COR) எனப்படும் ஒரு பரிமாணமற்ற எண் மூலமாக அளந்தறியலாம்.
(iii) மோதலுக்குப்பின் உள்ள விலகும் திசைவேகத்திற்கும் (சார்புத்திசைவேகம்) மோதலுக்கும் முன் உள்ள நெருங்கும் திசை வேகத்திற்கும் (சார்புத்திசைவேகம்) இடையே உள்ள விகிதம் மீட்சியளிப்பு குணகம் என வரையறுக்கப்படுகிறது.
அதாவது

\(=\frac { ({ v }_{ 2 }-{ v }_{ 1 }) }{ ({ u }_{ 1 }-{ u }_{ 2 }) } \)
(iii) மீட்சி மோதலில் விலகும் தெசைவேகமானது நெருங்கும் திசைவேகத்திற்கு சமம் என கிடைக்கப் பெற்றோம்.
அதாவது
\(({ u }_{ 1 }-{ u }_{ 2 })=({ v }_{ 2 }-{ v }_{ 1 })\rightarrow \frac { ({ v }_{ 2 }-{ v }_{ 1 }) }{ ({ u }_{ 1 }-{ u }_{ 2 }) } =1=e\)
(iv) மீட்சி மோதலுக்கு மீட்சியளிப்பு குணகம் e = 1 என்பதை இது குறிக்கிறது. இயல்பாக, மோதலுக்குப் பிறகு இயக்க ஆற்றலில் இழப்பு ஏதுமில்லை என்பதே இதன் பொருளாகும். எனவே பொருளானது அதே இயக்க ஆற்றலுடன் மேலெழும்புகிறது. இது வழக்கமாக முழு மீட்சி என அழைக்கப்படுகிறது.
(v) எவ்வித உண்மையான மோதல் நிகழ்வுகளிலும் மோதலினால் இயக்க ஆற்றலில் ஏதாவது இழப்பு ஏற்படும். இதன் பொருள் e இன் மதிப்பு எப்பொழுதும் 1 - ஐ விடக் குறைவாக இருக்கும். முழுமையான பிளாஸ்டிக் பந்தாக இருந்தால் அது மீண்டும் மேலெழும்போது. ஆகையால் மோதலுக்குப் பிறகு அவற்றின் விலகும் திசைவேகம் சுழியாகும். எனவே மீட்சியளிப்பு குணகத்தின் மதிப்பு e = 0.
பொதுவாக, ஒரு பொருளின் மீட்சியளிப்பு குணகம் 0 < e < 1 என இருக்கும்.    

(i) வாயு மூலக்கூறுகள் ஒழுங்கற்ற முறையில் எல்லா திசைகளிலும் இயங்கிக் கொண்டிருக்கின்றன. ஒவ்வொரு மூலக்கூறும் மற்ற மூலக்கூறுகளுடன் மோதலுற்று அவற்றின் மேகங்களைப் பரிமாறிக் கொள்கின்றன.
(ii) .v முதல் v + dv என்ற வேக எல்லைகளுக்குள் உள்ள மூலக்கூறுகளின் எண்ணிக்கையை மேக்ஸ்வெல்-போல்ட்ஸ்மேன் வேகப்பகிர்புச் சார்பினைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம்.
\({ N }_{ v }=4\pi N{ \left( \frac { m }{ 2\pi kT } \right) }^{ \frac { 3 }{ 2 } }{ v }^{ 2 }{ e }^{ -\frac { { mv }^{ 2 } }{ 2kT } }\)
வேகப்பகிர்வு சார்பின் வரைபடம் காட்டப்பட்டுள்ளது.

(iv) படத்திலிருந்து, கொடுக்கப்பட்ட கெல்வின் வெப்பநிலையில் குறைந்த வேகத்தைப் வெப்பநிலையில் குறைந்த வேகத்தைப் பெற்றுள்ள மூலக்கூறுகளின் எண்ணிக்கை பரவளைய வடிவில் (v²) அதிகரித்து, மிகவும் சாத்தியமான வேகத்தை அடைந்தவுடன் அடுக்குகுறியீட்டு (exponentially) \({ e }^{ -\frac { { mv }^{ 2 } }{ 2kT } }\) மதிப்பில் குறையும் என்பதைத் தெளிவாக அறியலாம். மேலும் படத்தில் சராசரி இருமடிமூல வேகம் v_rms சராசரி வேகம் v மற்றும் மிகவும் சாத்தியமான வேகம் V_mp ஆகியவை சுட்டிக்காட்டப்பட்டுள்ளன. இவற்றிலிருந்து கொடுக்கப்பட்ட மூன்று வேகங்களில் vrms பெரும மதிப்பைப் பெற்றுள்ளதையும் அறியலாம். உதாரணமாக 50 ms^-1 முதல் 60 ms^-1 வரை வேகமதிப்புகளைப் பெற்றுள்ள மூலக்கூறுகளின் எண்ணிக்கையைக் காண்பதற்கு
\(\int _{ 50 }^{ 60 }{ 4\pi N } { \left( \frac { m }{ 2\pi kT } \right) }^{ \frac { 3 }{ 2 } }{ v }^{ 2 }{ e }^{ -\frac { { mv }^{ 2 } }{ 2kT } }dv =N \) (50 முதல் 60 ms^-1) எனத் தொகைப்படுத்த வேண்டும்.
(v) பொதுவாக v யிலிருந்து v + dv வரை வேக மதிப்புகளைப் பெற்றுள்ள மூலக்கூறுகளின் எண்ணிக்கையை பின்வருமாறு வரையறை செய்யலாம்.
\(\int _{ v }^{ v+dv }{ 4\pi N } { \left( \frac { m }{ 2\pi kT } \right) }^{ \frac { 3 }{ 2 } }{ v }^{ 2 }{ e }^{ -\frac { { mv }^{ 2 } }{ 2kT } }dv=N(v \ to \ v+dv)\)
வாயு மூலக்கூறுகளின் செயல்பாட்டை இவ்வரைபடத்தின் அடிப்படையில் நம்மால் அனுமானிக்க இயலும்.
வரைபடத்திற்குக் கீழே உள்ள பரப்பு, அமைப்பிலுள்ள வாயு மூலக்கூறுகளின் மொத்த எண்ணிக்கையைக் கொடுக்கும்.
படத்தில் இருவேறு வெப்பநிலைகளில் உள்ள வாயு மூலக்கூறுகளின் வேகப்பகிர்வு, வரைபட வடிவில் காட்டப்பட்டுள்ளது. கெல்வின் வெப்பநிலை அதிகரிக்கும்போது வளைகோட்டின் உச்சி வலதுபக்கத்தை நோக்கி நகர்கின்றது. இது ஒவ்வொரு மூலக்கூறின் சராசரி வேகமும் அதிகரிப்பதைக் காட்டுகின்றது. ஆனால் வரைபடத்தின் பரப்பில் எவ்வித மாற்றமும் இல்லை. ஏனெனில் வரைபடத்தின் பரப்பு வாயு மூலக்கூறுகளின் மொத்த எண்ணிக்கைக்குச் சமமாகும்.

1. ஒரு முழு சுற்றுக்கு செயல்படு பொருளினால் (நல்லியல்பு வாயு) செய்யப்பட்ட வேலைக்கும் வெப்ப மூலத்திலிருந்து பெறப்பட்ட வெப்பத்தின் அளவுக்கும் உள்ள விகிதம் கார்னோ இயந்திரத்தின் பயறுதிறன் என்று வரையறுக்கப்படுகிறது.
2. வெப்ப இயக்கவியலின் முதல் விதியிலிருந்து 
\(W=Q_H-Q_L\) ......(1)
\(\therefore \eta={Q_H-Q_L\over Q_H}=1-{Q_L\over Q_H}\)........(2)
3.வெப்பநிலை மாறா நிகழ்வின் நிபந்தனையை பயன்படுத்தும்போது  
\(Q_H=\mu RT_Hln(V_2/V_1)\)
\(Q_L=\mu RT_Lln(V_3/V_4)\)..........(3)
4.இங்கு Q_L ல் எதிர்க்குறியால் நாம் குறிப்பிடவில்லை. ஏனெனில் வெப்ப ஏற்பிக்கு வெளியேற்றிய வெப்பத்தின் எண்ணளவிற்கு மட்டும் முக்கியத்துவம் அளிக்கப்படுகிறது.
\(\therefore {Q_L\over Q_H}={T_Lln({V_3/V_4})\over T_Hln({V_2/V_1})}\)........(4)
வெப்பப்பரிமாற்றமில்லா நிகழ்வின் நிபந்தனையை பயன்படுத்துபோது 
\(T_H \ V_2^{\gamma-1}=T_L \ V_3^{\gamma-1}\)
\(T_H \ V_1^{\gamma-1}=T_L \ V_4^{\gamma-1}\)
இவ்விரண்டு சமன்பாடுகளையும் வகுக்கும்போது 
\(({V_2\over V_1})^{\gamma-1}=({V_3\over V_4})^{\gamma-1}\)
எனக்கிடைக்கும்,
இதிலிருந்து \({V_2\over V_1}={V_3\over V_4}\).........(5) என அறியலாம் 
5. சமன்பாடு (5)ஐ சமன்பாடு (4)இல் பிரதியிடும்போது
\({Q_L\over Q_H}={T_L\over T_H}\)........(6)
எனக்கிடைக்கும் .
 \(\therefore\) பயனுறுதிறன் \(\eta=1-{T_L\over T_H}\)
T_L மற்றும் T_Hஇவ்விரண்டும் கெல்வின் அலகில் மட்டுமே குறிக்கப்படுகின்றன. 

கம்பி ஒன்று செங்குத்தாகத் தொங்கிவிடப்பட்டுள்ளதாகக் கருதலாம். கம்பியின் கீழ்முனையில் எடை இணைக்கப்பட்டுள்ளது. கம்பியை மைய நிலையிலிருந்து θ கோணத்திற்கு திரும்பினால் அதன்மீது மீள் திருப்புவிசை செயல்பட்டு கம்பியை மீண்டும் மையநிலைக்குக் கொண்டு வர இயலும்.மீள் திருப்பு விசையானது கோண இடப்பெயர்ச்சிக்கு நேர்த்தகவில் இருக்கும்.
எனவே ፒ=-Cθ
இதில் C எனப்து திருப்பு விசை மாறிலி. ஓரலகு கோண இடப்பெயர்ச்சியினை ஏற்படுத்தத் தேவையான இரட்டையின் திருப்புத் திறனை திருப்புவிசை மாறிலி எனலாம். அலகு Nm rad^-1
திருப்புவிசையானது கோண இடப்பெயர்ச்சி எதிர்த்திசையின் இருப்பதை எதிர்க்குறி குறிக்கிறது. இவ்வகை நிகழ்வு கோணச் சீரிசை இயக்கம்.
திருப்புவிசை ፒ=I ∝
இதில் ፒ என்பது திருப்புவிசையையும், I என்பது நிலைம திருப்புத் திறனையும்,  ∝ என்பது கோண முடுக்கத்தையும் குறிக்கிறது.
∴ கோண முடுக்கம் =\(\frac { \tau }{ I } =\frac { -C\theta }{ I } \)
இச்சமன்பாடு a=-ω²y என்பதைப் போன்று உள்ளது. yக்கு பதிலாக θவையும், aக்கு பதிலாக ∝ வையும் பிரிதியிட்டால்.

∝ = \({ \omega }^{ 2 }\theta =\frac { -C }{ I } \theta \)
∴ ω=\(\sqrt { \frac { C }{ I } } \)
∴ அலைவுக் காலம் T =\(2\pi \sqrt { \frac { I }{ C } } \)
∴ அதிர்வெண் n =\(\frac { 1 }{ T } =\frac { 1 }{ 2\pi \sqrt { \frac { 1 }{ C } } } =\frac { 1 }{ 2\pi } \sqrt { \frac { C }{ I } } \).

மேற்பொருந்துதல் தத்துவம்:
(i) ஒரு முனையில் கட்டப்பட்ட கம்பியின் ஒரு முனையை சட்டென்று மேல் இழுத்துவிட்டால், அழைத்துடிப்பு ஏற்படும். மேலும் அது கம்பியில் முன்னேறிச் செல்கிறது.
(ii) மாறாக கம்பியின் இருமுனையையும் இருவர் பிடித்துக்கொண்டு, இருவரும் ஒரே கணத்தில் அம்முனைகளை சட்டென்று மேல் இழுத்து விட்டால், இரண்டு அழைத்துடிப்புகள் ஒன்றை நோக்கி ஒன்று நகர்ந்து, ஒரு புள்ளியில் சந்தித்து, அப்புள்ளியை கடந்து அதே வடிவில் செல்லும்
(iii) ஆனால், குறுக்கிடும் புள்ளியில் மட்டும் அவற்றின் பண்பு முழுவதும் மாறுபட்டு, படத்தில் காட்டியுள்ளவாறுகுறுக்கிடும் துடிப்புகள் ஒரே வடிவம் பெற்றுள்ளனவா அல்லது எதிர்வடிவம் பெற்றுள்ளனவா என்பதைப் பொறுத்து அமையும்.

(iv) ஒரே வடிவம் கொண்ட துடிப்புகள், குறுக்கிடும் போது தொகுப்பயன் இடப்பெயர்ச்சி, தனிப்பட்ட இடப்பெயர்ச்சிகளின் கூடுதலாக அமைவதால், அங்கு வீச்சு, தனிப்பட்ட இருதுடிப்புகளின் நேரத்தில் இரு துடிப்புகளின் வீச்சுகள் சமமாக இருந்து, ஆனால் வடிவங்கள் 180^o எதிர்க்கட்டத்தில் குறுக்கிட்டால், வீச்சுகள் ஒன்றையொன்று அழித்துக் கொண்டும், அப்புள்ளியைக் கடந்த பிறகே அதே வடிவத்தை மீண்டும் பெற்று எதிர் எதிராக முன்னேறுகின்றன.
(v) அலைகள் மட்டும் இதுபோன்றே ஆச்சரியப்படும் பண்பை பெற்றுள்ளன. இந்நிகழ்வை நாம் மேற்பொருந்துதல் தத்துவம் என்கிறோம். அலைகள் குறுக்கிடும்போது ஏற்படும் தொகுப்பயன் பண்புகளை மேற்பொருந்துதல் தத்துவம் விளக்குகிறது.
மேற்பொருந்துதல் தத்துவத்தின் கீழ்கண்டவற்றை விளக்குகிறது.
a) வெளி (அல்லது) சார்ந்த குறுக்கீட்டு விளைவு (இதுவே எளிமையாக குறுக்கீட்டு விளைவு எனவும் கருதப்படுகிறது)
b) நேரம் அல்லது நேரஞ்சாராத குறுக்கீட்டு விளைவு (விம்மல்கள் எனவும் அழைக்கப்படுகிறது).
c) நிலை அலைகள் தத்துவம். மேற்பொருந்துதல் தத்துவத்திற்கு ஒத்துச் செல்லும் அலைகள் நேர் அலைகள் எனப்படும்.

புவியினால் ஆப்பிள் உணரும் ஈர்ப்பியல் விசை 
\(F=\frac { { GM }_{ E }M_{ A } }{ { R }^{ 2 } } \)
இங்கு M_A -ஆப்பிள் நிறை, M_E-புவியின் நிறை, R-புவியின் ஆரம் ஆகும்.
நியூட்டன் இரண்டாம் விதையைப் பயன்படுத்த 

\(M_{ A }a_{ A }=-\frac { { GM }_{ E }M_{ A } }{ { R }^{ 2 } } \)
\(a_{ A }=-\frac { { GM }_{ E } }{ { R }^{ 2 } } \)
 இங்கு 'a_A' ஆப்பிளின் முடுக்கம். இது 'g' க்கு சமம் 
 இதேபோல் புவியினால் நிலா உணரும் விசை 
\(F=\frac { { GM }_{ E }M_{ A } }{ { R }_{ m }^{ 2 } } \)
இங்கு R_m =புவிக்கும் நிலவுக்கும் உள்ள தொலைவு, M_m - நிலாவின் நிறை 
நிலா உணரும் முடுக்கம் 
\(a_{ m }=-\frac { { GM }_{ E } }{ { R }_{ m }^{ 2 } } \)
ஆப்பிளின் முடுக்கத்திற்கும், நிலாவின் முடுக்கத்திற்கும் இடையே உள்ள தகவு 
\(\frac { { a }_{ A } }{ { a }_{ m } } =\frac { { R }_{ m }^{ 2 } }{ { R }^{ 2 } } \)
நிலாவின் சுற்றுப்பாதையானது புவியின் ஆரத்தை போல 60 மடங்கு என ஹிப்பார்க்கஸ் (Hipparchus) முன்னேர கண்டறிந்துள்ளார்.
R_m = 60 R.
\({ a }_{ A }/{ a }_{ m }=\frac { { \left( 60R \right) }^{ 2 } }{ { R }^{ 2 } } =3600\)
இதன் மூலம் ஆப்பிளின் முடுக்கமானது, நிலாவின் முடுக்கத்தைப் போல 3600 மடங்கு பெரியது என அறிகின்றோம். தனது ஈர்ப்பியல் சமன்பாட்டின் மூலம் இதே முடிவை நியூட்டன்  பெற்றார். ஆப்பிளின் முடுக்கம் 9.8 ms^-2 என எளிதில் கண்டறியப்பட்டது. புவியினை சுற்றும் நிலாவின் சுழற்சிக்காலம் 27.3 நாட்கள் என்பதை மைய நோக்கு முடுக்கு சமன்பாட்டில் பயன்படுத்த, நமக்கு கிடைப்பது 
\(\frac { { a }_{ A } }{ { a }_{ m } } =\frac { 9.8 }{ { 0.00272 } } =3600\)
ஈர்ப்பியல் விதியின் மூலமாகவும் இதே மதிப்பினையே நியூட்டன் பெற்றார்.

செங்குத்து அச்சுத் தேற்றமானது மெல்லிய பொருட்களுக்கு மிகவும் பொருத்தமானது. மெல்லிய சமதளப் பரப்பிற்கு செங்குத்தான அச்சைப் பற்றிய நிலைமத் திருப்புத்திறனானது அந்த தளத்திலேயே அமைந்த ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தான இரு அச்சுக்களைப் பற்றிய நிலைமத்திருப்புத்திறன்களின் கூடுதலுக்கு சமம். இந்த மூன்று அச்சுகளும் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தாகவும் ஒரு பொதுப் புள்ளியில் சந்திக்குமாறு அமைந்திருக்கும்.
X மற்றும் Y அச்சுகளினால் ஆன தளத்தில் Z அக்சுக்கு செங்குத்தான மெல்லிய பொருளின் தளம் எனது Z அச்சிற்கு செங்குத்தாக அமைந்துள்ளது எனக் கொள்க. X மற்றும் Y அச்சுகளைப் பொருத்த நிலைமத் திருப்புத் திறன்கள் முறையே I_X மற்றும் I_Y எனில் Z அச்சைப் பொருத்த நிலைமத் திருப்புத்திறன் I_Z ஆகும். எனவே, செங்குத்து அச்சுத் தேற்றத்தின் சமன்பாடு,
l_z =  l_x + l_y
இதனை நிரூபிக்க புறக்கணிக்கத்தக்க (negligible) தடிமன் கொண்ட மெல்லிய பொருளின் மீது ஆதிப்புள்ளி O வைக் கருதுக. படத்தில் காட்டப்பட்டது போல் Z அச்சுக்கு செங்குத்தாக X, Y அச்சுகளால் ஆன தளம் உள்ளது. இம்மெல்லிய பொருளானது m நிறை கொண்ட பல துகள்களால் ஆனது எனக் கொள்க O விலிருந்து ஆய புள்ளிகள் (x, y) உடைய P என்ற புள்ளியை எடுத்துக் கொள்வோம்.

Z அச்சைப் பொருத்து துகளின் நிலைமத் திருப்புத்திறன் mr² 
Z அச்சை பொருத்து மெல்லிய பொருளின் முழுவதற்குமான நிலைமதிருப்புத்திறன்  
I_z = Σmr²
இங்கு r² = x² + y²
எனவே I_z = Σm(x² + y²)
I_z = Σmx² + Σmy²
இதில் Σmx² என்பது y அச்சைப் பொருத்து நிலைமத் திருப்புத்திறனாகவும், அதே போல் Σmy² என்பது x அச்சைப் பொருத்த நிலைமத் திருப்புத்திறன் எனப்படும். எனவே 
 I_X = Σmy² மற்றும் I_Y = Σmx²
l_z சமன்பாட்டில் பிரதியிட
l_z =  l_x + l_y
செங்குத்து அச்சுத் தேற்றம் நிரூபிக்கப்பட்டது.

நிலவின் முடிடுக்கம்
புவியின் மையத்திலிருந்து நிலவின் ஆரம்
\(r =384,000 \times \frac{1000}{1 \mathrm{~km}} \)
= 384 x 10⁶  மீ 

= 2,332,800 வினாடி 

\(=\frac{2 \pi r}{T} \)

மையநோக்கு முடுக்கம் \(\left(a_{\perp}\right)=\frac{v^2}{r}\)
\(=\frac{(329 \pi)^2}{384 \times 10^6}=2.78 \times 10^{-3}\) மீ/வி²
புவிஈர்ப்பு விசையால், நிலவின்
முடுக்கம் = 2.78 x 10^-3 மீ/வி²