(i) மாறிகள்
(ii) x₁, x₂ முறையே மேசை மற்றும் நாற்காலிகளின் எண்ணிக்கை என்க.
(iii) குறிக்கோள் சார்பு
x₁ மேசைகளின் இலாபம் = 50 x₁
x₂ நாற்காலிகளின் இலாபம் = 15 x₁
மொத்த இலாபம் = 50 x₁ + 15x₂
இதனை Z=50x₁ + 15x₂, என எழுதலாம் மீப்பெரு இலாபம் பெற Z=50x₁ + 15x₂,-ஐ மீப்பெரிதாக்க வேண்டும்.
(iv) கட்டுப்பாடுகள்
வியாபாரியிடம் அதிக பட்சமாக 60 பொருள்களை வைப்பதற்கான இடவசதி உள்ளது.
x₁ + x₂ \(\le \) 60
x₁ மேசைகளின் விலை = ரூ 500 x₁
x₂ நாற்காலிகளின் விலை =ரூ 200 x₂
மொத்த விலை = 500x₁ + 200 x₂,
மொத்த விலை 10000க்கு மேல் இருக்கக் கூடாது.
500x₁ + 200 x₂ \(\le \) 10000
5x₁ + 2x₂ \(\le \) 100
(v) குறை குறியற்ற நிபந்தனைகள்:
மேசை மற்றும் நாற்காலிகளின் எண்ணிக்கை குறை குறியற்றவை என்பதால் x₁ \(\ge \) 0, x₂ \(\ge \)0 ஆகும்.
எனவே நேரியல் திட்டமிடல் கணக்கு (I.P.P) கீழ்க்கண்ட வடிவத்தைப் பெறுகிறது.
x₁ + x₂ \(\le \) 60
5x₁ + 2x₂ \(\le \) 100
x₁, x₂ \(\ge \)0 என்ற கட்டுப்பாடுகளுக்கு இணங்க,
Z=50x₁ + 15x₂ -ன் மீப்பெருமதிப்பைக் காண்க.

f(x)=2x³+9x²+12x+1
x-ஐ பொறுத்து வகைப்படுத்தும் போது நாம் பெறுவது
f(x)= 6x²+18x+12
= 6(x²+3x+2)
= 6(x+2)(x+1)
f'(x) = 0 ⇒ 6 (x+2)(x+1) = 0
⇒ x + 2 = 0 (அ) x + 1 = 0
x =-2 (அ) x=-1
x =-2 மற்றும் x=-1 ல் f(x)ஆனது தேக்கநிலைப் புள்ளிகளை பெறுகிறது
x =-2 மற்றும் x=-1 என f(x) இல் பிரதியிடும் போது தேக்கநிலை மதிப்புகள் கிடைக்கிறது
x =-2 எனில் 
f(–2) = 2(–8)+9(4)+12(–2)+1 = -3
x = -1எனில் 
f(–1) = 2(–1)+9(1)+12(–1)+1
= -4
தேக்கநிலைப் புள்ளிகள் (-2,-3) மற்றும் (-1,-4) ஆகும்

P(n) என்ற கூற்று கீழ்க்கண்டவாறு வரையறுக்கப்பக்கப்படுகிறது
n∈N க்கு P(n)= 1+2+3+...+n=\(\frac{n(n+1)}{2} \) என்க.
படி 1: n =1 என பிரதியிடவும்
P(1) ன் LHS = 1
P(1) ன் RHS = \(\frac{1(1+1)}{2} \)=1
LHS = RHS
∴ P(1) என்பது உண்மையாகும்.
படி 2: n = k என்பதற்கு மேற்கண்டகூற்று உண்மை என்க.
i.e., P(k) என்பது உண்மையாகும்
P(k) = 1 + 2 + 3+… + k = \(\frac{k(k+1)}{2} \) என்பது உண்மையாகும்.
படி 3: P(k + 1) என்பது உண்மையென நிரூபிக்க
LHS = P(k + 1) = 1+2+3+……….+k+(k+1)
= P(k) + k +1
=\(\frac{k(k+1)}{2} \)+k+1
=\(\frac{k(k+1)+2(k+1)}{2} \)=\(\frac{(k+1)(k+2)}{2} \)=RHS
∴ P(k +1) என்பது உண்மையாகும்
இவ்வாறாக P(k) என்பது உண்மையெனில் P(k +1) என்பது உண்மையாகும்.
∴ P(n) என்பது அனைத்து n∈N க்கும் உண்மையாகும்.
ஆகவே 1+ 2 + 3 +… +n = \(\frac{n(n+1)}{2} \),n∈N என்ற கூற்று உண்மையாகும்.

\(\left[ \begin{matrix} 2 & 5 \\ 3 & 2 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 1 \\ 7 \end{matrix} \right] \)என எழுதலாம்
AX = B
X = A^–1B
\(A=\left[ \begin{matrix} 2 & 5 \\ 3 & 2 \end {matrix} \right] ,X=\left [ \begin{matrix} x \\ y \end {matrix} \right] \) மற்றும் \(B=\left [ \begin{matrix} 1 \\ 7 \end{matrix} \right] \)
\(|A|=\left[ \begin{matrix} 2 & 5 \\ 3 & 2 \end{matrix} \right] \)
=-11≠0
A^–1 யைக் காணஇயலும்
\(adj\quad A=\left[ \begin{matrix} 2 & -5 \\ -3 & 2 \end{matrix} \right] \)
\(A^{-1}=\frac{1}{|A|}adjA\)
\(=\frac{1}{-11}\left[ \begin{matrix} 2 & -5 \\ -3 & 2 \end{matrix} \right] \)
X=A^-1B
\(=\frac{1}{-11}\left[ \begin{matrix} 2 & -5 \\ -3 & 2 \end{matrix} \right] \quad \left[ \begin{matrix} 1 \\ 7 \end{matrix} \right] \)
\(=\frac{1}{-11}\left[ \begin{matrix} -33 \\ 11 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 3 \\ -1 \end{matrix} \right] \)
\(\left[ \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 3 \\ -1 \end{matrix} \right] \)
x=3, y=-1.

y = f(x) = x²- 5 என்க.
x க்கு சில உகந்த மதிப்புகளை தெரிவு செய்து y இன் மதிப்புகளை கணக்கிடுக.
இவ்வாறாக கீழ்கண்ட அட்டவணையை நாம் பெறுகிறோம்.

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
y	4	-1	-4	-5	-4	-1	4

(-3, 4), (-2, -1), (-1, -4), (0, -5), (1, -4), (2, -1), (3, 4) ஆகிய புள்ளிகளை வரைபடத்தில் குறித்து மென்மையான வளைவரையால் இணைக்கவும்.
f(x) இன் வரைபடமானது படத்தில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

3 இன் சிற்றணிக்கோவை M₁₁ =\(\left| \begin{matrix} 2 & 5 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right| \)=0-5=-5
1 இன் சிற்றணிக்கோவை M₁₂ =\(\left| \begin{matrix} 2 & 5 \\ 4 & 0 \end{matrix} \right| \)=0-20=-20
2 இன் சிற்றணிக்கோவை M₁₃ =\(\left| \begin{matrix} 2 & 2 \\ 4 & 1 \end{matrix} \right| \)=2-8=-6
2 இன் சிற்றணிக்கோவை M₂₁ =\(\left| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right| \)=0-2=-2
2 இன் சிற்றணிக்கோவை M₂₂ =\(\left| \begin{matrix} 3 & 2 \\ 4 & 0 \end{matrix} \right| \)=0-8=-8
5 இன் சிற்றணிக்கோவை M₂₃ = \(\left| \begin{matrix} 3 & 1 \\ 4 & 1 \end{matrix} \right|\)=3-4=-1
4 இன் சிற்றணிக்கோவை M₃₁ = \(\left| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 5 \end{matrix} \right| \)=5-4=1
1 இன் சிற்றணிக்கோவை M₃₂ = \(\left| \begin{matrix} 3 & 2 \\ 2 & 5 \end{matrix} \right| \)=15-4=11
0 இன் சிற்றணிக்கோவை M₃₃ =\(\left| \begin{matrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{matrix} \right| \)=6-2=4
3 இன் இணைக்காரணி A₁₁ =(-1)¹⁺¹M₁₁=M₁₁=-5 
1 இன் இணைக்காரணி A₁₂ =(-1)¹⁺² M₁₂=-M₁₂=20
2 இன் இணைக்காரணி A₁₃ =(-1)¹⁺³M₁₃=M₁₃=-6
2 இன் இணைக்காரணி A₂₁ =(-1)²⁺¹M₂₁=-M₂₁=2 ​​​​
2 இன் இணைக்காரணி A₂₂ =(-1)²⁺²M₂₂=M₂₂=-8
5 இன் இணைக்காரணி A₂₃ =(-1)²⁺³M₂₃=-M₂₃=1
4 இன் இணைக்காரணி A₃₁ =(-1)³⁺¹M₃₁=M₃₁=1
1 இன் இணைக்காரணி A₃₂ =(-1)³⁺²M₃₂=-M₃₂=-11
0 இன் இணைக்காரணி A₃₃ =(-1)³⁺³M₃₃=M₃₃=4

தீர்வுக்கு உகந்த பாதை 1-2-3-5-6 மற்றும் திட்டம் நிறைவு செய்யும் காலம் 30 நாட்கள்

செயல்	காலம்(வாரங்களில்)	EST	EFT	LST	LFT
1-2	8	0	8	0	8
1-3	7	0	7	8	15
1-5	12	0	12	9	21
2-3	4	8	12	11	15
2-4	10	8	18	8	18
3-4	3	12	15	15	18
3-5	5	12	17	16	21
3-6	10	12	22	15	25
4-6	7	18	25	18	25
5-6	4	17	21	21	25

தீர்வுக்கு உகந்த பாதை 1-2-4-6 மற்றும் திட்டம் நிறைவு செய்யும் காலம் 25 வாரங்கள்

முதலில் கொடுக்கப்பட்டுள்ள கட்டுப்பாடுகளுக்கு இணங்க ஏற்புடைய பகுதியைக் காண்க.
இரண்டு பொதுவான தீர்மான மாறிகள் x₁ மற்றும் x₂ குறை குறியற்றவையாக (x₁, x₂ \(\ge \) 0) இருப்பதால் ஏற்புடையப் பகுதி காலமானப் பகுதியில் அமையும் அனைத்துக் கட்டுப்பாடுகளையும் சமன்பாடு வடிவில் எழுதுக.
x₁ + 4x₂ = 24
3x₁ + x₂ = 21
x₁ + x₂ = 9
x₁ + 4x₂ = 24 என்ற நேர்க்கோடானது (0, 6) மற்றும்  (24, 0) என்றப் புள்ளிகள் வழியாகச் செல்லும்.
[x₁ + 4x₂ = 24 இல் x₁ = 0 எனப் பிரதியிட x₂ = 6 எனக் கிடைக்கும்.
அதேபோல் x₂ = 0 எனப் பிரதியிட x₁ = 24 எனக் கிடைக்கும்.]
x₁ + 4x₂ = 24 என்ற கோட்டின் மீதோ அல்லது அதற்குக் கீழோ வரும் புள்ளிகள் x₁ + 4x₂ \(\le \) 24 கட்டுப்பாட்டைப் பூர்த்தி செய்யும்.
3x₁ + x₂ = 21 என்ற நேர்க்கோடானது (0, 21) மற்றும் (7, 0) என்ற புள்ளிகள் வழியாகச் செல்லும்.
3x₁ + x₂ = 21 என்ற கோட்டின் மீதோ அல்லது அதற்குக் கீழோ வரும் புள்ளிகள் 3x₁ + x₂ \(\le \) 21 என்ற கட்டுப்பாட்டைப் பூர்த்தி செய்யும்.
x₁ + x₂ = 9 என்ற நேர்கோடானது (0, 9) மற்றும் (9, 0 ) என்ற புள்ளிகள் வழியாகச் செல்லும். 
x₁ + x₂ = 9 என்ற கோட்டின்  மீதோ அல்லது அதற்குக் கீழோ வரும் புள்ளிகள் x₁ + x₂ \(\le \) 9 கட்டுப்பாட்டைப் பூர்த்தி செய்யும்.

கணக்கில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளக் கட்டுப்பாட்டிற்கிணங்க வரையப்பட்டுள்ளது. நிழலிடப்பட்ட OABCD என்ற பகுதியே தீர்வுச் பகுதியின் முனைப்புள்ளிகள் முறையே O(0,0) A(7,0); B(6,3) [x₁ + x₂ = 9 மற்றும் 3 x₁ + x₂ = 21 என்ற வெட்டும் புள்ளி B ஆகும்)];C(4,5) x₁ + x₂ = 9 மற்றும் x₁ + 4x₂ = 24] என்ற கோடுகள் வெட்டும் புள்ளி C ஆகும்) D(0, 6).

முனைப்புள்ளிகள்	Z=2x1 + 5x2
O (0, 0)	0
A(7, 0)	14
B(6, 3)	27
C(4, 5)	33
D(0, 6)	30

குறிக்கோள் சார்பின் பெரும மதிப்பானது C என்ற புள்ளியில் கிடைக்கிறது. எனவே x₁ = 4, x₂ = 5, Z -ன் பெரும மதிப்பு = 33. 

Y=0.6102X + 66.12; X=0.556Y + 74.62 மக னின் உயரம் = 166.19

A என்பவர் கணக்கை தீர்ப்பதற்கான நிகழ்தகவு =\(\frac { 90 }{ 100 } =\frac { 9 }{ 10 } \) மற்றும் B என்பவர் கணக்கை தீர்ப்பதற்கான நிகழ்தகவு =\(\frac { 70 }{ 100 } =\frac { 7 }{ 10 } \)
அதாவது P(A)=\(\frac{9}{10}\) மற்றும் P(B)=\(\frac{7}{10}\)
P(\(\bar { A } \))=1-P(A)=\(\frac { 9 }{ 10 } =\frac { 1 }{ 10 } \)
இதேப்  போன்று P(\(\bar { B } \))=\(\frac { 7 }{ 10 } =\frac { 3 }{ 10 } \)
P(குறைந்தபட்சம் ஒரு நபர் கணக்கை தீர்ப்பதற்கான நிகழ்தகவு)=P(A\(\cup \)B)
=\(1-P(\overline { A\cup B) } =1-P(\bar { A } \cap \bar { B } )\)
=\(1-P(\bar { A } ).P(\bar { B } )\)
=\(1-\frac { 3 }{ 100 } =\frac { 97 }{ 100 } \)
கணக்கை குறைந்த பட்சம் அவர்களில் ஒருவர் தீர்ப்பதற்கான நிகழ்தகவு =\(\frac { 97 }{ 100 } \).

Q₁ = 30, Q₃ = 70, Q_D = 20 , QD -ன் கெழு = 0.4

p = 50 - 3x
\(\frac { dp }{ dx } =-3\)
∴ \(\frac { dx }{ dp } =-\frac { 1 }{ 3 } \) 
தேவை நெகிழ்ச்சி \(\eta _{ d }=-\frac { p }{ x } .\frac { dx }{ dp } \)
= \(-\frac { 50-3x }{ x } \left( -\frac { 1 }{ 3 } \right) \)
=\(\frac { 50-3x }{ 3x } \) .......(1)
இப்போது வருவாய் R = px 
 = (50-3x) x
= 50x-3x²
சராசரி வருவாய் AR=p 
= 50-3x 
இறுதிநிலை வருவாய் MR=\(\frac { dR }{ dx } \)
= 50-6x 
∴ \(\frac { AR }{ AR-MR } =\frac { 50-3x }{ (50-3x)-(50-6x) } \)
=\(\frac { 50-3x }{ 3x } \)    ..(2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து நாம் பெறுவது 
\(\eta _{ d }=\frac { AR }{ AR-MR } \)
எனவே சரி,பார்க்கப்பட்டது

\(\frac { 56 }{ 33 } \)

P(n) என்ற கூற்று கீழ்க்கண்டவாறு வரையறுக்கப்பக்கப்படுகிறது n (n + 1) (n + 2) (6 ஆல் வகுபடும் எண்) 
படி 1: n = 1 என பிரதியிட
1(1 + 1)(1 + 2) = 6 (6 ஆல் வகுபடும் எண்) 
i.e., P(1) உண்மை ஆகும்.
படி 2: n = k என்பதற்கு மேற்கண்டகூற்று உண்மை என்க.
i.e. k (k + 1) (k + 2) (6 ஆல் வகுபடும் எண்) 
⇒ k(k + 1)(k + 2) = 6m
படி 3: P( + 1) உண்மை என நிரூபிக்க வேண்டும்
(k + 1) : (k + 1)(k + 2)(k + 3).
= (k + 1)(k + 2)(k) + 3 (k + 1)(k + 2)
= 6λ+3(k+1)(k+2)
வழக்கு (1) : k என்பது ஒற்றைப்படை என்றால், k + 1 சமமாக இருப்பதால், இரண்டாவது சொல் 6 இன் பெருக்கமாக இருக்கும்
வழக்கு (2): k என்பது k + 2 சமமாக இருந்தால், இரண்டாவது சொல் 6 இன் பெருக்கமாக இருக்கும்
(k + 1) (6 ஆல் வகுபடும் எண்) 
எனவே, P (k +1) ம் உண்மை ஆகிறது.
கணிதத் தொகுத்தறிதல் விதிப்படி P(k) உண்மை எனில் P (k +1) ம் உண்மை ஆகிறது.
∴ n ன் அனைத்து இயல் மதிப்புகளுக்கும் P (n) உண்மை ஆகிறது.

P(n) என்பது குறிக்கும் கூற்று : 1.2 + 2.3 + 3.4 + ..... + (n + 1) = \(\frac { n(n+1)(n+2) }{ 3 } \)
n = 1 என பிரதியிட
LHS = 1 (2) = 2
\(=\frac { 1(2)(3) }{ 3 } \Rightarrow 2=2\)
LHS = RHS 
∴ P(1) என்பது உண்மையாகும். i.e, to P.T. 1.2 + 2.3 + 3.4 + ...... + k(k + 1)
= \(\frac { k(k+1)(k+2) }{ 3 } \) ......(1)
P(k + 1) ன்
P.T. 1.2 + 2.3 + 3.4 + .... + k(k + 1) + (k + 1)(k + 2)
= \(\frac { k(k+2)(k+2) }{ 3 } \) + (k + 1)(k + 2)
\(=\frac{k(k+1)(k+2)+3(k+1)(k+2)}{3}\)
\(=\frac { (k+1)(k+2)(k+3) }{ 3 } \) = RHS
∴ P(k) உண்மையென்றால் P(k + 1) உண்மையாகும்
∴  அனைத்து இயல் மதிப்பிற்கும் P(n) உண்மையாகும்.

a₁₁ = 50, a₁₂ = 75, x₁ = 200
a₂₁ = 100, a₂₂ = 50, x₂ = 200
\({b}_{11}={{{a}_{11}}\over{{x}_{1}}}={{50}\over{200}}={{1}\over{4}};{b}_{12}=\frac{{a}_{12}}{{x}_{12}}=\frac{75}{200}=\frac{3}{8}\)
\({b}_{21}=\frac{{a}_{11}}{x_1}{{100}\over{200}}={{1}\over{2}};{b}_{22}={{{a}_{22}}\over{{x}_2{}}}={{50}\over{200}}={{1}\over{4}}\)
\(\therefore\)  B \(=\begin{bmatrix} \frac{1}{4}&\frac{3}{8}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{4} \end{bmatrix}\)
\(I-B=\begin{bmatrix}1&0\\0&1 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} \frac{1}{4} &\frac{3}{8}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{4} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} {{3}\over{4}}&{{-3}\over{8}}\\ -{{1}\over{2}} &{{3}\over{4}} \end{bmatrix}\)
\(|I-B| ={{9}\over{16}}-{{3}\over{16}}={{6}\over{16}}={{3}\over{8}}>0 \)
X = (I - B)^-1 D இங்கு D \(=\begin{bmatrix} 300 \\ 600 \end{bmatrix}\)
\(X=\frac{8}{3}\left(\begin{array}{ll} \frac{1}{4} & \frac{3}{8} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} 300 \\ 600 \end{array}\right)\)
\(=\frac{8}{3}\left(\begin{array}{c} 75+225 \\ 150+150 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 800 \\ 800 \end{array}\right)\)

x = 2 –ல் தொடர்ச்சியற்ற சார்பாகும்.

A \(=\begin{bmatrix} 1&1&1\\3&4&7\\1&-1&1 \end{bmatrix}\)
\(=(4+7)-1(3-7)+1(-3-4)\)
\(=11+4-7=8\)
\(=\left(\begin{array}{ccc} 11 & 4 & -7 \\ -2 & 0 & +2 \\ 3 & -4 & 1 \end{array}\right)\)
\(\operatorname{adj} A=\left(\begin{array}{ccc} 11 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & -4 \\ -7 & 2 & 1 \end{array}\right)\)
\(\mathrm{A}(\operatorname{adj} A)=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 3 & 4 & 7 \\ 1 & -1 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} 11 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & -4 \\ -7 & 2 & 1 \end{array}\right)\)
\(=\left(\begin{array}{ccc} 11+4-7 & -2+0+2 & 3-4+1 \\ 33+16-49 & -6+0+14 & 9-16+7 \\ 11-4-7 & -2+0+2 & 3+4+1 \end{array}\right)\)
\(=\left(\begin{array}{lll} 8 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 8 \end{array}\right)=8\left(\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)=|A| I_3\)
\((adj\ A)\ A=\begin{bmatrix}11&-2&3\\4&0&-4\\-7&2&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1&1&1\\3&4&7\\1&-1&1 \end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix} 11-6+3&11-8-3&11-14+3\\4+0-4&4+0+4&4+0-4\\-7+6+1&-7+8-1&-7+14+1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 8&0&0\\0&8&0\\0&0&8 \end{bmatrix}\) ...(2)
\(|A|.{I}_{3}=8\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 8&0&0\\0&8&0\\0&0&8\end{bmatrix}\)  ...(3)
A (adj A) = (adj A) A = |A|I₃.

	A	B	மொத்த அளவு
A	0.4	0.1	6.8
B	0.7	0.7	10.2

B =\(\begin{bmatrix} 0.4 & 0.1 \\ 0.7 & 0.7 \end{bmatrix}\)
I - B =\(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 0.4 & 0.1 \\ 0.7 & 0.7 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0.6 & -0.1 \\ -0.7 & 0.3 \end{bmatrix}\)
|I - B| = \(\begin{bmatrix} 0.6 & -0.1 \\ -0.7 & 0.3 \end{bmatrix}\)
|I - B| = 0.18 - 0.07 = 0.11 > 0
\(\therefore \) ( I - B)^-1 = \(\frac { 1 }{ |I-B| } adj(I-B)=\frac { 1 }{ 0.11 } \begin{bmatrix} 0.3 & 0.1 \\ 0.7 & 0.6 \end{bmatrix}\)
இதனை  X = (I - B)^-1 D இங்கு D = \(\left[ \frac { 6.8 }{ 10.2 } \right] \)
X = \(\frac { 1 }{ 0.11 } \begin{bmatrix} 0.3 & 0.1 \\ 0.7 & 0.6 \end{bmatrix}\left[ \frac { 6.8 }{ 10.2 } \right] =\frac { 1 }{ 0.11 } \left[ \frac { 0.3\times6.8+0.1\times10.2 }{ 0.7\times6.8+0.6\times10.2 } \right] \)
=\(\frac { 1 }{ 0.11 } \left[ \frac { 2.04+1.02 }{ 4.76+6.12 } \right] =\frac { 1 }{ 0.11 } \left[ \frac { 3.06 }{ 10.88 } \right] =\left[ \frac { 27.81 }{ 98.90 } \right] \)
A = 250.36 டன்கள் B = 62.44 டன்கள்

x + y + z = 20
2x + y - z = 23
3x+ y + z  = 46
\(\begin{bmatrix} 1&1&1\\2&1&-1\\3&1&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\y\\z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 20\\23\\46 \end{bmatrix}\)
\(\Rightarrow\)   \(A X=B \Rightarrow X=A^{-1} B\) 
\(A=\begin{bmatrix} 1&1& 1\\2&1&-1\\3&1&1 \end{bmatrix},X=\begin{bmatrix} x\\y\\z \end{bmatrix},B=\begin{bmatrix} 20\\23\\46 \end{bmatrix}\)
= 1 ( 1 + 1 ) - 1 ( 2 + 3 ) + 1 ( 2 - 3)
= 2 - 5 - 1 = 2 - 6 = - 4 \(\neq \) 0 
\(\therefore\) A^–1 யைக் காணஇயலும்.
\(=\left(\begin{array}{ccc} 2 & -5 & -1 \\ 0 & -2 & 2 \\ -2 & 3 & -1 \end{array}\right)\)
\(\therefore{A}^{-1}={{1}\over{|A|}}adj\ A={{-1}\over{4}}\begin{bmatrix} 2&0&-2\\-5&-2&3\\-1&2&-1 \end{bmatrix}\)
\(X={A}^{-1}B={{-1}\over{4}}\begin{bmatrix}2&0&-2\\5&-2&3\\-1&2&-1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 20\\23\\46 \end{bmatrix}\)
\(= \begin{bmatrix} x\\y\\z \end{bmatrix},={{-1}\over{4}}\begin{bmatrix} 40+0-92\\-100-46+138\\-20+46-46 \end{bmatrix}={{-1}\over{4}}\begin{bmatrix} -5\\-8\\-20 \end{bmatrix}\)
\(X=\begin{bmatrix} 13\\2\\5 \end{bmatrix}\)
\(x=13, y=2, z=5\)

x - y + 2z = 3, 2x + z = 1 and 3x + 2y +z = 4.
\(\begin{bmatrix} 1&-1&2\\2&0&1\\3&2&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\y\\z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 3\\1\\4 \end{bmatrix}\)
\(A X=B \Rightarrow X=A^{-1} B\)
இங்கு
\( A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \end{array}\right), X=\left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right)\)
\(B=\left(\begin{array}{l} 3 \\ 1 \\ 4 \end{array}\right)\)
\(|A|=1(0-2)+1(2-3)+2(4-0)\)
\(=-2-1+8=5 \neq 0\)
A^–1 யைக் காணஇயலும்.
\(=\left(\begin{array}{ccc} -2 & 1 & 4 \\ 5 & -5 & -5 \\ -1 & 3 & 2 \end{array}\right)\)
\(\mathrm{A}^{-1}=\frac{1}{|A|} \operatorname{adj} \mathrm{A}=\frac{1}{5}\left(\begin{array}{ccc} -2 & 5 & -1 \\ 1 & -5 & 3 \\ 4 & -5 & 2 \end{array}\right)\)
\(\mathrm{X}=\mathrm{A}^{-1} \mathrm{~B}\)
\(={{1}\over{5}}\begin{bmatrix} -2&5&-1\\1&-5&3\\4&-5&2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 3\\1\\4 \end{bmatrix}={{1}\over{5}}\begin{bmatrix} -6+5-4\\3-5+12\\12-5+8 \end{bmatrix}={{1}\over{5}}\begin{bmatrix} -5\\10\\15 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -1\\2\\3 \end{bmatrix}\)
\(\left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right)\)
\(x=-1, y=2, z=3\)

\(AB=\left[ \begin{matrix} 1 & 3 & 7 \\ 4 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} \frac { -4 }{ 35 } & \frac { 11 }{ 35 } & \frac { -5 }{ 35 } \\ \frac { -1 }{ 35 } & \frac { -6 }{ 35 } & \frac { 25 }{ 35 } \\ \frac { 6 }{ 35 } & \frac { 1 }{ 35 } & \frac { -10 }{ 35 } \end{matrix} \right] \)
\(=\left[ \begin{matrix} 1 & 3 & 7 \\ 4 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \end{matrix} \right] \frac { 1 }{ 35 } \left[ \begin{matrix} -4 & 11 & -5 \\ -1 & -6 & 25 \\ 6 & 1 & -10 \end{matrix} \right] \)
\(=\frac { 1 }{ 35 } \left[ \begin{matrix} 35 & 0 & 0 \\ 0 & 35 & 0 \\ 0 & 0 & 35 \end{matrix} \right] \)
\(=\frac { 35 }{ 35 } \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \)
\(=\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] =I\)
\(BA=\left[ \begin{matrix} \frac { -4 }{ 35 } & \frac { 11 }{ 35 } & \frac { -5 }{ 35 } \\ \frac { -1 }{ 35 } & \frac { -6 }{ 35 } & \frac { 25 }{ 35 } \\ \frac { 6 }{ 35 } & \frac { 1 }{ 35 } & \frac { -10 }{ 35 } \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & 3 & 7 \\ 4 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \end{matrix} \right] \)
\(=\frac { 1 }{ 35 } \left[ \begin{matrix} -4 & 11 & -5 \\ -1 & -6 & 25 \\ 6 & 1 & -10 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & 3 & 7 \\ 4 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \end{matrix} \right] \)
\(​​=\frac { 1 }{ 35 } \left[ \begin{matrix} 35 & 0 & 0 \\ 0 & 35 & 0 \\ 0 & 0 & 35 \end{matrix} \right] =\frac { 35 }{ 35 } \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \)
\(=\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] =I\)
AB = BA = I
ஆகையால் A மற்றும் B அணிகள் ஒன்றுக்கொன்று நேர்மாறு ஆகும்.

\(\left| A \right| =\left| \begin{matrix} 2 & 4 & 4 \\ 2 & 5 & 4 \\ 2 & 5 & 3 \end{matrix} \right| =2\left| \begin{matrix} 5 & 4 \\ 5 & 3 \end{matrix} \right| -4\left| \begin{matrix} 2 & 4 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right| +4\left| \begin{matrix} 2 & 5 \\ 2 & 5 \end{matrix} \right| \)
=2(15-20)-4(6-8)+4(10-10)
=2(-5)-4(-2)+4(0)
=-10+8+0=-2≠0
A என்பது பூச்சியமற்ற கோவை அணி ஆகையால்,A^-1யைக் காணஇயலும்
A₁₁=-5; A₂₁=8;A₃₁=-4
A₁₂=2; A₂₂=-2; A₃₂=0
A₁₃=0; A₂₃=-2; A₃₃=2
\(\left[ { A }_{ ij } \right] =\left[ \begin{matrix} -5 & 2 & 0 \\ 8 & -2 & -2 \\ -4 & 0 & 2 \end{matrix} \right] \)
\(adj\quad A=\left[ \begin{matrix} -5 & 8 & -4 \\ 2 & -2 & 0 \\ 0 & -2 & 2 \end{matrix} \right] \)
\({ A }^{ -1 }=\frac { 1 }{ \left| A \right| } adj\quad A=\frac { 1 }{ -2 } \left[ \begin{matrix} -5 & 8 & -4 \\ 2 & -2 & 0 \\ 0 & -2 & 2 \end{matrix} \right] \)
\(=\left[ \begin{matrix} \frac { 5 }{ 2 } & -4 & 2 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{matrix} \right] \)  

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு 2x²+7xy+3y²+5x+5y+2 =0 இதனை ax²+2hxy+by2+gxy+2fy+c = 0 உடன் ஒப்பிடும்போது a=2,b=3, h=\(\frac { 7 }{ 2 } \) ,g=\(\frac { 5 }{ 2 } \) ,f =\(\frac { 5 }{ 2 } \) ,c =2
i.e  \(\left| \begin{matrix} a & h & g \\ h & b & f \\ g & f & c \end{matrix} \right| =\left| \begin{matrix} 2 & \frac { 7 }{ 2 } & \frac { 5 }{ 2 } \\ \frac { 7 }{ 2 } & 3 & \frac { 5 }{ 2 } \\ \frac { 5 }{ 2 } & \frac { 5 }{ 2 } & 2 \end{matrix} \right| \)
 =  \(2\left( 6-\frac { 25 }{ 4 } \right) -\frac { 7 }{ 2 } \left( 9-\frac { 25 }{ 4 } \right) +\frac { 5 }{ 2 } \left( \frac { 35 }{ 4 } -\frac { 15 }{ 2 } \right) \)
= \(2\left( -\frac { 1 }{ 4 } \right) -\frac { 7 }{ 2 } .\frac { 3 }{ 4 } +\frac { 5 }{ 2 } .\frac { 5 }{ 4 } \)
= \(-\frac { 1 }{ 2 } -\frac { 21 }{ 8 } +\frac { 25 }{ 8 } =0\)
எனவே கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு இரட்டை நேர்க்கோடுகளைக் குறிக்கும்
 2x²+7xy+3y² =  2x²+6xy+xy+3y2
 =2x(x+3y)+y(x+3y)
= (x+3y)(2x+y)
2x²+7xy+3y²+5x+5y+2 = (x+3y+l)(2x+y+m) என்க.
x-ன் கெழுக்களை சமன்படுத்த 2l+m = 5             (1)
y-ன் கெழுக்களை சமன்படுத்த l+3m =5              (2)
(1) மற்றும் (2) ஐ தீர்க்க நமக்கு கிடைப்பது m =1 மற்றும் l =2
எனவே, இரட்டை நேர்க்கோடுகளின் தனித்தனி சமன்பாடு
x+3y+2 = 0 மற்றும் 2x+y+1 = 0

\(\frac{2x+1}{(x+1)(x^2+1)}=\frac{A }{x-1}+\frac{Bx+C}{{x}^2+1}\)என்க ......(1)
இருபுறமும் (x - 1)(x² + 1) ஆல் பெருக்குக
2x+1 = A(x² + 1)+(Bx + C)(x - 1)   ... (2)
x = 1 என (2) ல் பிரதியிட
2+1 = A(1 + 1)+ 0
\(\therefore A=\frac{3}{2}\)
x = 0 என (2) ல் பிரதியிட
0+1 = A(0 + 1)+(0 + C)(-1)
1 = A – C
\(\therefore C =\frac{1}{2}\)
x² இன் கெழுக்களை  சமன்பாடு (2) இன் இருபுறமும் சமன்படுத்த,
A + B = 0
B = -A
\(\therefore B =\frac{-3}{2}\)
A, B மற்றும் C ன் மதிப்புகளை (1) ல் பிரதியிட
\(\frac{2x+1}{(x+1)(x^2+1)}=\frac{\frac{3}{2} }{x-1}+\frac{\frac{-3}{2}x+\frac{1}{2}}{{x}^2+1}\)
\(=\frac{3 }{x-1}+\frac{3x-1}{2({x}^2+1)}\)

\(\frac { x }{ (x+1){ (x+1) }^{ 2 } } =\frac { A }{ x-1 } +\frac { B }{ x+1 } =\frac { C }{ { \left( x+1 \right) }^{ 2 } } \)
x = A(x + 1)² + B(x - 1)(x + 1)+ C(x - 1)  ... (1)
x = 1 என (1) ல் பிரதியிட
\(1=A{ (1+1) }^{ 2 }+B(0)+C(0)\)
\(\therefore \quad A=\frac { 1 }{ 4 } \)
x = –1 என (1) –ல் பிரதியிட
1=A(0)+B(0)+C(-1-1)
\(\therefore C=\frac { 1 }{ 2 } \)
சமன்பா டு (1) ல் மாறிலிகளின் கெழுக்களை சமன்படுத்த
A-B-C=0
\(\Rightarrow B=A-C\)
\(\therefore B=-\frac { 1 }{ 4 } \)

5 சிறுவர்கள் 5P₅ = 5! இல் ஒரு வரிசையில் அமரலாம் ஏற்பாடு பின்வருமாறு இருக்க முடியும்.
GB GB GB GB GB GB
இரண்டு பெண்களும் ஒன்றுசேரக்கூடாது என்பதால், நாங்கள் 3 பெண்களை 6 இடங்களில் ஏற்பாடு செய்யலாம், அதை 6P₃ வழிகளில் செய்யலாம்.
மொத்த எண். இருக்கை ஏற்பாடு
\(=5 ! \times 6 P_3=5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 6 \times 5 \times 4\)
= 14400