g'=g cos \(\alpha \)
T =\(2\pi \sqrt { \frac { l }{ cos\alpha } } =2\pi \sqrt { \frac { 1 }{ cos\alpha } } \)

(i) வெப்ப இயக்கவியல் என்பது இயற்பியலின் ஒரு பிரிவாகும். இப்பிரிவு வேலையை வெப்பமாகவும் மற்றும் வெப்பத்தை வேலையாகவும் மாற்றுவதில் உள்ள விதிகளை விவரிக்கிறது.
(ii) வெப்ப இயக்கவியல் விதிகள் பாயில், சாரலஸ், பெர்னூலி ஜூல், கிளாசியஸ், கெல்வின், கார்னோ மற்றும் ஹெல்ம்ஹோல்ட்ஸ் போன்ற அறிவியல் அறிஞர்களின் மூன்று நூற்றாண்டு கால ஆய்வுகளின் அடிப்படையில் முறைப்படுத்தப்பட்டதாகும்.
(iii) அன்றாட வாழ்வில் நம்மைச்சுற்றி நடைபெறும் அனைத்து நிகழ்களும் ஏன் நமது உடலியக்க நிகழ்வுகள் கூட வெப்ப இயக்கவியல் விதிகளுக்கு உட்பட்டு நடைபெறுகின்றது எனக்கூறினால் அது மிகையாகாது. எனவே வெப்ப இயக்கவியல் என்பது இயற்பியலின் ஓர் இன்றியமையாத பிரிவாகும்.   

நீட்சீத் திரிபு: l என்ற நீளம் கொண்ட ஒரு கம்பியானது  சமமான , எதிரெதிர் திசைகளில் செயல்படும்.
விசைகளால்  இழுக்கப்படும்போது . அதன் நீட்சீத்திரிபு

நீட்சீத்திரிபு இரு வகைப்படுகிறது.
(i) இழுவிசைதிரிபு : இயல்பான அளவிலிருந்து நீளம் அதிகரிக்கப்பட்டால் அது இழுவிசைதிரிபு எனப்படும்.
(ii)அமுக்கத்திரிபு : இயல்பான அளவிலிருந்து நீளம் குறைக்கப்பட்டால்  அது அமுக்கத்திரிபு எனப்படும்.             

பரிமாண பகுப்பாய்வின் வரம்புகள்:
(i) எண்கள் TT, e (ஆய்லா் எண்) போன்ற பரிமாணமற்ற மாறிலிகளின் மதிப்பை இம்முறையின் மூலம் பெற முடியாது.
(ii) கொடுக்கப்பட்டுள்ள அளவு வெக்டா் அளவா? அல்லது ஸ்கேலா் அளவா? என்பதை இம்முறை மூலம் தீா்மானிக்க முடியாது.
(iii) திரிகோணமிதி, அடுக்குக்குறி மற்றும் மடக்கை சாா்புகள் உள்ளடங்கிய சமன்பாடுகளின் தொடா்புகளைக் கண்டறிய இம்முறையில் இயலாது.
(iv) மூன்றுக்கு மேற்பட்ட இயற்பியல் அளவுகள் உள்ளடங்கிய சமன்பாடுகளுக்கு இம்முறையைப் பயன்படுத்த இயலாது.
(v) இம்முறையில் ஒரு சமன்பாடு பரிமாணமுறையில் சரியானதா, என்றே மெய்ப்பிக்க முடியும் அதன் உண்மையான சமன்பாட்டைக் கண்டறிய முடியாது.
(vi) எடுத்துக்காட்டாக, s = ut + 1/3 at² என்பது பரிமாண முறைப்படி சரி. ஆனால் உண்மையான சமன்பாடு s = ut + 1/2 at² ஆகும்.

திசைவேகம்:
நேரத்தைப் பொருத்து பொருள் ஒன்றின் நிலை வெக்டா் மாறும் வீதம் திசைவேகம் எனப்படும். இது ஒரு வெக்டர் அளவு.
\(\vec{v}=\frac{d \vec{r}}{d t}\)
வேகம்:
திசைவேகத்தின் எண் மதிப்பு வேகம் எனப்படும்.
அதன் மதிப்பு \(v=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}\)  இது ஒரு நோ்க்குறி ஸ்கேலாா் அளவு. 

வாகனத்தின் இயந்திரம், எதிர்க்கும் விசைக்கெதிராக வேலை செய்து வாகனத்தை ஒரு முடுக்கத்துடன் இயக்க வேண்டும். எனவே வாகனத்தின் இயந்திரம் வெளிப்படுத்தும் திறன்
P = (எதிர்க்கும் விசை + (நிறை × முடுக்கம்)) (திசைவேகம்)
\(\mathrm{P}=\overrightarrow{\mathrm{F}}_{\text {tot }} \cdot \overrightarrow{\mathrm{v}}=\left(\mathrm{F}_{\text {resistive }}+\mathrm{F}\right) \mathrm{v}  \)
\(\mathrm{P}=\overrightarrow{\mathrm{F}}_{\text {tot }} \cdot \overrightarrow{\mathrm{V}}=\left(\mathrm{F}_{\text {resistive }}+\mathrm{ma}\right) \mathrm{V}  \)
\(=(500+(1250 \times 0.2))(30)=22.5 \mathrm{~kW} \)

தூய உருளுதலுக்கான நிபந்தனைகள்:
(i) நோ்க்கோட்டு இயக்க ஆற்றல் + சுழற்சி இயக்க ஆற்றல் = மொத்த இயக்க ஆற்றல்
(ii) தொடுபுள்ளியில், புள்ளியின் சார்பு இயக்கம் (உருளுதல்) இருக்காது
(iii) பொருளின் உருளுதலில், முடுக்கம் அதிகரிக்கலாம் அல்லது குறையலாம். திடீரென இந்த நிலை ஏற்பட்டால் பொருளானது நழுவலாம் அல்லது சறுக்கலாம்.

1. பொருத்தமான நிலைமக்குறிப்பாயம் ஒன்றைக் கருத வேண்டும் பொதுவாக புவியினை ஒரு நிலைமக்குறிப்பாயமாகக் கருதலாம்.
2. நியூட்டன் விதிகளைப் பயன்படுத்தத் தேவையான அமைப்பைக் கண்டறிய வேண்டும். அவ்வமைப்பானது ஒரு பொருள் அமைப்பாகவோ அல்லது ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட பொருள்கள் சேர்ந்த அமைப்பாகவோ இருக்கலாம்.
3. பொருளின் மீது செயல்படும் விசைகளைக் கண்டறிந்து அவற்றைக் கொண்டு விசைப்படம் வரைய வேண்டும். பின்னர் நியூட்டனின் இரண்டாம் விதியை பயன்படுத்த வேண்டும். இடப்பக்கம் பொருளின் மீது செயல்படும் விசைகளை வெக்டர் வடிவில் குறிப்பிட வேண்டும். வலப்பக்கம் பொருளின் நிறை மாற்றம் அப்பொருள் முடுக்கம் இவற்றின் பெருக்கல்பலனை வெக்டர் வடிவில் குறிப்பிட வேண்டும். ஏனெனில் முடுக்கம் ஒரு வெக்டர் அளவாகும்.

4. முடுக்கம் கொடுக்கப்பட்டிருப்பின் விசையைக் கண்டறியலாம். அதே போல் விசை கொடுக்கப்பட்டிருப்பின் பொருளின் முடுக்கத்தைக் காணலாம்.
மேலே கொடுக்கப்பட்டுள்ள கருத்துகளின்படி படத்தில் காட்டியுள்ளவாறு தரையில் ஒரு நிலமைக் குறிப்பாயத்தைக் கருத வேண்டும்.

மாங்காயின் மீது பின்வரும் இரண்டு விசைகள் செயல்படுகின்றன.
i) மாங்காயின் மீது எதிர்க்குறி y அச்சுத்திசையில் கீழ் நோக்கி செயல்படும் புவியீர்ப்பு விசை, நேர்க்குறி y அச்சுத்திசையில் செயல்படும் மாங்காயைத் தாங்கியுள்ள காம்பு, மாங்காயின் மீது செலுத்தும் மேல் நோக்கிய இழுவிசை.
மாங்காயின் விசைப்படம் கீழே காட்டப்பட்டுள்ளது.

\(\overrightarrow { { F }_{ g } } mg\left( -\hat { j } \right) =-mg\hat { j } \)
இங்கு mg என்பது புவியீர்ப்பு விசையின் எண்மதிப்பு மற்றும் \(\left( -\hat { j } \right) \) என்பதை எதிர்குறி y அச்சுத்திசையைக் குறிக்கும் ஓரலகுவெக்டர்.
\(\vec{T}=T \hat{j}\)
இங்கு T என்பது மாங்காயின் மீது செயல்படும் இழுவிசை மற்றும் \((\hat{j})\) என்பது நேர்குறி y அச்சுத்திசையைக் குறிக்கும் ஓரலகு வெக்டர்
\(\vec{F}_{\text {net }}=\vec{F}_g+\vec{T }=-mg \hat{j }+T \hat{j}=(T-m g) \hat{j}\)
நியூட்டன் இரண்டாம் விதிப்படி, \(\vec{F}_{n e t}=m \vec{a}\)
நம்மைப்பொருத்து (நிலைமக்குறிப்பாயத்தை பொருத்து) மாங்காய் ஓய்வு நிலையில் உள்ளது. எனவே அதன் முடுக்கம் சுழி \((\vec{a}=0)\)
எனவே, \(\vec{F}_{n e t}=m \vec{a}=0\)
\((T-m g) \hat{j}=0\)
மேமே உள்ள சமன்பாட்டின் இரண்டுபக்கங்களின் வெக்டர் கூறுகளை ஒப்பிடும்போது T - mg = 0 எனக்கிடைக்கும்.
எனவே, மாங்காய்க் காம்பின் இழுவிசை T = mg
மாங்காயின் நிறை m = 400 g மேலும் \(\mathrm{g}=9.8 \mathrm{~ms}^{-2}\)
எனவே மாங்கையின் மீது செயல்படும் இழுவிசை T = 0.4 x 9.8 = 3.92 N.

தானாக விழும் பொருளிற்கு,
\(\mathrm{s}=\frac{1}{2} g t^2\)
அதாவது, \(\mathrm{H}=\frac{1}{2} \times 9.8 \times 4 \times 4=78.4 \mathrm{~m}\)

சுழி

ஆரத்தின் பிழை = 2 %
\(\Delta r=\frac{2}{100}=0.02\)
கோளத்தின் பருமன்
\(\mathrm{V} =\frac{4}{3} \pi r^3  \)
\(\frac{d V}{V} =\frac{4}{3} \pi \times 3 r^2 d r  \)
\(=3 d r=3 \times(2 \%)  \)
\(\frac{d V}{V} =6 \%\)

சறுக்கலின்றி, உருளும் திண்ம
உருளையின் முடுக்கம்
\(a_1=\frac{g \sin \theta}{1+\frac{K^2}{r^2}}\)
கீழ்நோக்கி (சறுக்கும்போது, முடுக்கம் \(\mathrm{a}_2=\mathrm{g} \sin \theta\)
\(\therefore \frac{a_1}{a_2} =\frac{g \sin \theta /\left(1+K^2 / r^2\right)}{g \sin \theta}  \)
\(=\frac{1}{1+\frac{K^2}{r^2}}\)
திண்மக் கோளத்திற்கு
\(\frac{K^2}{r^2}=\frac{2}{5}\)
∴ முடுக்கங்களின் தகவு
\(\frac{a_1}{a} =\frac{1}{1+\frac{2}{5}}  \)
\(=\frac{1}{\frac{(5+2)}{5}}=\frac{1}{7 / 5}  \)
\(=\frac{5}{7}  \)
\(\therefore a_1: a_2 =5: 7\)

(i)ஆற்றல் நடுப்பகுதியில் துகளின் திசைவேகம் வினாடிக்கு 4 மீட்டர் இருப்பதாகக் கருதுக. எனவே இந்தப் புள்ளியைக் கடக்கும் அனைத்துத் துகள்களின் திசைவேகங்களும் அதே மதிப்பைப் பெறும். இது போன்ற, கரை யோரத்தில் பாயும் நீர்மத் துகளின் திசைவேகம் வினாடிக்கு 0.5 மீட்டர் எனில் அதனைப் பின் தொடரும் அனைத்து நீர்மத் துகளின் திசைவேகங்களும் அதே மதிப்பைப் பெறும்.
(ii) ஒரு திரவ ஓட்டத்தில், ஒரு புள்ளியின் வழியே செல்லும் ஒவ்வொரு திரவத்துகளும் அதற்கு முன்னர் சென்ற துகள்களின் பாதையிலேயே அதே திசைவேகத்தில் இயங்கினால் அந்த திரவ ஓட்டமானது வரிச்சீர் ஓட்டம் எனப்படும்.
(iii) இதனை சீரான ஓட்டம் அல்லது அடுக்குமுறை ஓட்டம் (Laminar flow ) எனவும் குறிப்பிடலாம். இயங்கும் பாய்மத்துகள் மேற்கொள்ளும் வளைவான பாதை வரிச்சீர் எனப்படுகிறது. எந்த ஒரு புள்ளியிலும் அதன் தொடுகோடானது அந்தப் புள்ளியில் பாய்ம ஓட்டத்தின் திசையைக் கொடுக்கிறது. இதனை இவ்வாறு அழைப்பதற்குக் காரணம் இது ஒரு நீர் ஓடை அல்லது இலட்சிய நிலையில் உள்ள ஆற்றைப் போன்று உள்ளதே ஆகும்.

(iv) நீர்ம ஓட்டத்தின் திசைக்கு செங்குத்தான எந்த ஒரு குறுக்குவெட்டு பரப்பிலும் ஒரே திசை வேகத்தைக் கொண்ட சீரான வரிக் கற்றையைக் கருதினால் அந்த கற்றை குழாய் வடிவ ஓட்டம் (tube of flow) எனப்படும். குழாய் வடிவ ஓட்டத்தில் உள்ள எந்த ஒரு நீர்மத் துகளும் அதன் இயக்கம் முழுவதற்கும் குழாயினுள்ளேயே எப்போதும் இருக்கும் மற்றும் மற்ற குழாய் திரவத்துடன் கலக்காது என்பதை முக்கியமாக கவனிக்க வேண்டும்.
(v) குழாய் வடிவ ஓட்டத்தின் அச்சு எப்போதும் வரிச்சீர் ஓட்டத்தை தரும். வரிச்சீர் ஓட்டங்கள் எப்போதும் பாய்மத் துகள்களின் இயக்கப் பாதைகளைக் குறுகிக்கின்றன. பாய்மத்தின் ஓட்டம் மறுநிலைத் திசைவேகம் எனப்படும். ஒரு குறிப்பிட்ட திசைவேகம் வரை வரீச்சீராக உள்ளது. இதன் பொருள், மறுநிலைத் திசைவேகத்திற்குக் குறைவான வேகத்தில் பாயும் போது வரிச்சீர் ஓட்டத்தைப் பெறலாம்.      

வெளிவிளிம்பு உயர்த்தப் பட்ட சாலையில் காரொன்று வளையும் போது, கீழ்கண்ட மூன்று விசைகள் காரின் மீது செயல்படுகின்றன.
1) கீழ் நோக்கிச் செயல்படும் ஈர்ப்புவிசை(mg)
2) சாலையின் பரப்பிற்கு செங்குத்தாகச் செயல்படும் செங்குத்துவிசை(N)
3) சாலையின் பரப்பு வழியே காரின் மீது செயல்படும் ஓய்வு நிலை உராய்வுவிசை (f) கிடைத்தள மற்றும் செங்குத்துத் திசைகளில் செயல்படும் விசைகளை பின்வரும் படம் காட்டுகிறது.

v என்ற வேகத்தில் கார் வளையும் போது, செங்குத்து விசையின் கிடைத்தளக் கூறு மற்றும் ஓய்வுநிலை உறைவுவிசை, மையநோக்கு விசையைக் கொடுக்கிறது. இதனைப் பின்வரும் சமன்பாடு காட்டுகிறது.
\(Nsin\theta +fcos\theta =\frac { { mv }^{ 2 } }{ r } (1)\)
செங்குத்துத் திசையில் எவ்வித முடுக்கமும் இல்லை. இது, மேல் நோக்கிச் செயல்படும் செங்குத்து விசையின் (N), செங்குத்துக்கூறு கீழ் நோக்கிச் செயல்படும் புவியீர்ப்பு விசையை சமன் செய்கிறது என்பதை உணர்த்துகிறது. 
இதனை பின் வருமாறு எழுதலாம் 
Ncos\(\theta\)=mg+fsin\(\theta\) அல்லது  Ncos\(\theta\)-fsin\(\theta\)=mg
சமன்பாடு (1)ஐ (2) ஆல் வகுக்கும் போது 
\(\frac { Nsin\theta +fcos\theta }{ Ncos\theta -fsin\theta } =\frac { { v }^{ 2 } }{ rg } \) ...(3)
சறுக்காமல் வளைவதற்கான பெருமத் திசைவேக நிபந்தனைக்கு ஓய்வுநிலை உராய்வுக் குணகத்தின் பெருமமதிப்பைப் பயன்படுத்த வேண்டும். இந் நிபந்தனையை சமன்பாடு (3) இல் பயன்படுத்தும்போது.
\(\frac { Nsin\theta +{ \mu }_{ s }Nfcos\theta }{ Ncos\theta -{ \mu }_{ s }Nfsin\theta } =\frac { { v }_{ max }^{ 2 } }{ rg } \)
n cos \(\theta\) வை சமன்பாட்டிலிருந்து வெளியே எடுக்கும் போது 
\(\frac { Ncos\theta \left\{ \left( \frac { Nsin\theta }{ Ncos\theta + } \right) +{ \mu }_{ s } \right\} }{ Ncos\theta \left( 1-{ \mu }_{ s }\frac { Nsin\theta }{ Ncos\theta + } \right) } =\frac { { v }_{ max }^{ 2 } }{ rg } \)
\(\frac { \left( tan\theta +{ \mu }_{ s } \right) }{ 1-{ \mu }_{ s }tan\theta } =\frac { { v }_{ max }^{ 2 } }{ rg } \)
சறுக்காமல் வளைவதற்கான பெருமத் திசைவேகம் 
\({ v }_{ max }=\sqrt { rg\frac { \left( tan\theta +{ \mu }_{ s } \right) }{ \left( 1-{ \mu }_{ s }tan\theta \right) } } \) ...(4)
நாம் உராய்வின் விளைவைப் புறக்கணிக்கும் போது \(({ \mu }_{ s }=0)\) நழுவாமல் வளைவதற்கான பெருமத் திசைவேகம்
\({ v }_{ max }=\sqrt { rgtan\theta } \quad (5)\)
நழுவாமல் வளைவதற்கான பெருமத் திசைவேகத்தை, உராய்வை அதிகரிப்பதன் மூலம் அதிகரிக்கலாம். (சமன்பாடு(4)). காரொன்று v safe' என்ற வேகத்தில் வலையும்போது ஓய்வுநிலை உராய்வு மேல் நோக்கிச் செயல்பட்டு கார் உட்புறமாக சறுக்கி விழுவதைத் தடுக்கிறது. மாறாக v_safe வேகத்தை விட சற்றே கூடுதலான வேகத்தில் கார் செலுத்தும் போது ஓய்வுநிலை உராய்வுவிசை கீழ் நோக்கிச் செயல்பட்டு கார் வெளிப்புறமாக சறுக்கிவிழுவதைத் தடுக்கிறது. ஆனால் v_safe வேகத்தை விட மிக அதிக வேகத்தில் செல்லும் போது ஓய்வுநிலை உராய்வு விசை கார் சறுக்கி விழுவதைத் தடுக்க போதுமானது அல்ல.

துப்பாக்கிக் குண்டின் நிறை
\(m=\frac { 3 }{ 1000 } g=0.03kg\)
வேகம் v = 500 ms^-1
தொடக்க இயக்க ஆற்றல் =\(\frac { 1 }{ 2 } { mv }^{ 2 }\)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \times 0.03\times { (500) }^{ 2 }\)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \times 0.03\times 250000\)
3750 J
இறுதி இயக்க ஆற்றல் = \(\frac { 1 }{ 2 } { mv }^{ 2 }=0\)
இயக்க ஆற்றலில் இழப்பு = 3750 J
F = துப்பாக்கிக்குண்டின் மீது கட்டியால் செலுத்தப்படும் விசை
S = இடப்பெயர்ச்சி \(\Rightarrow \) 10 கிம் = 0.10 m
வேலை - ஆற்றல் கொள்கையை பயன்படுத்த
W = \(\Delta k\)
Fs =  \(\Delta k\) 
\(F\times 10=3750;F=\frac { 3750 }{ 0.10 } =3.75\times { 10 }^{ 4 }N\)

(i) பறக்கும் நேரம் எறிபொருள் தன்னுடைய பாதையை நிறைவு செய்ய எடுத்துக்கொள்ளும் நேரம் பறக்கும் நேரம் எனப்படும்.
(ii) எடுத்துக்காட்டாக, கட்டிடத்தின் உயரம் h என்க. எறிபொருள் எறியப்பட்ட கணத்திலிருந்து அதன் பாதை வழியே தரையை அடைய நாம் அறிந்தபடி செங்குத்து இயக்கத்திற்கு 
\({ s }_{ y }={ u }_{ y }t+\frac { 1 }{ 2 } { at }^{ 2 }\)
இங்கு s_y =h, t =T , u_y =O (ஆரம்ப செங்குத்துத் திசைவேகம் சுழி)
a =g (எறிபொருள் புவி ஈர்ப்பு விசையின் காரணமாக கீழே விழுகிறது)
\(h=\frac { 1 }{ 2 } { gt }^{ 2 }\)அல்லது \(T=\sqrt { \frac { 2h }{ g } } \)
(iii) எனவே, பறக்கும் நேரம் கட்டிடத்தின் உயரத்தைச் சார்ந்துள்ளது. ஆனால் அது கிடைத்தளத் திசைவேகத்தைச் சார்ந்ததல்ல. ஒரு பந்து செங்குத்தாக மேலிருந்து கீழ் நோக்கி விழுகிறது. அதே நேரத்தில் ஒரு குறிப்பிட்ட திசைவேகத்தில் பந்து ஒன்றை கிடைத்தளத்தில் வீசி எறியப்படுகிறது. இவ்விரண்டு பந்துகளும் ஒரே நேரத்தில் தலையை அடையும். இது படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது.

(iv) கிடைத்தள நெடுக்கும் எறியப்பட்ட புள்ளிக்கு நேர் கீழே கட்டிடத்தின் தரையிலிருந்து எறிபொருள் தலையை அடைந்த புள்ளி வரை உள்ள தொலைவு, கிடைத்தள நெடுக்கும் எனப்படும்.நாம் அறிந்தபடி கிடைத்தள இயக்கத்தில் 
\({ s }_{ x }={ u }_{ x }t+\frac { 1 }{ 2 } { at }^{ 2 }\)
(v) இங்கு s_x =R (கிடைத்தள நெடுக்கும்) u_x =u, a =0 (கிடைத்தளத்திசையில் முடுக்கம் இல்லை) பறக்கும் நேரம் 'T' எனவே கிடைத்தள நெடுக்கும் =uT
நாம் அறிந்தபடி பறக்கும் நேரம்=\(\sqrt { \frac { 2h }{ g } } \)
எனவே கிடைத்தள நெடுக்கும் R =u \(\sqrt { \frac { 2h }{ g } } \)
(vi) மேற்கண்ட சமன்பாட்டிலிருந்து கிடைத்தள நெடுக்கும் ஆரம்பத் திசைவேகத்திற்கு (u) நேர்த்தகவிலும், புவியீர்ப்பு முடுக்கத்திற்கு (g) எதிர்த்தகவிலும் உள்ளதைக் காட்டுகிறது.
தொகுப்பயன் திசைவேகம் (ஒரு குறிப்பிட்ட நேரத்தில் எறிபொருள் திசைவேகம்)
(vii) ஒரு குறிப்பிட்ட நேரம் வரையிலும் எறிபொருளுக்கு x -அச்சு மற்றும் y -அச்சு ஆகிய இரண்டு அச்சுகளிலும் திசைவேகக் கூறுகள் உள்ளன. இவ்விரண்டு கூறுகளின் தொகுபயன் திசைவேகத்தைக் கொடுக்கும்.

படத்திலிருந்து கீழ்க்கண்டவாறு சமன்பாடுகளை எழுதலாம்.
கிடைத்தளத்திசையில் (x - அச்சில்)திசைவேகக்கூறு 
v_x = u_x +a_x t 
இங்கு u_x =u, a_x =0 எனவே v_x =u
(viii) செங்குத்துத்திசையில் (y அச்சில்) திசைவேகக்கூறு 
v_y =u_y +a_y t 
இங்கு u_y =0, a_y =g எனவே v_y =gt
எந்தவொரு குறிப்பிட்ட நேரத்திலும் எறிபொருளின் திசைவேகம்
\(\overrightarrow { v } =u\widehat { i } +gt\widehat { j } \)
எந்தவொரு குறிப்பிட்ட நேரத்திலும் எறிபொருளின் வேகம்
\(v=\sqrt { { v }_{ x }^{ 2 }+{ v }_{ y }^{ 2 } } \)
எறிபொருள் தரையைத் தொடும்போது அதன் வேகம்
\(v=\sqrt { { u }^{ 2 }+{ g }^{ 2 }{ t }^{ 2 } } \)
(ix) எறிபொருள் எறியப்பட்ட கணத்திலிருந்து தரையை அடைய எடுத்துக்கொள்ளும் நேரம்
\(T=\sqrt { \frac { 2h }{ g } } \)
எறிபொருளின் கிடைத்தளத்திசை வேகக்கூறு மாறாதது அதாவது v_x =u
T நேரத்தில் எறிபொருளின் செங்குத்துத் திசைவேகக்கூறு
\({ v }_{ x }=gT=g\sqrt { \frac { 2h }{ g } } =\sqrt { 2gh } \)
எனவே எறிபொருள் தரையைத் தொடும் போது அதன் வேகம்
\(v=\sqrt { { u }^{ 2 }+{ 2gh } } \)

வாயுக்களின் இயக்கவியற் கொள்கைக்கான எடுகோள்கள் :
1.வாயு மூலக்கூறுகள் அனைத்தும் முழுவதும் ஒரே மாதிரியான, முழு மீட்சியுறும் கோளங்களாகும் வெவ்வேறு வாயுக்களின் மூலக்கூறுகள் வெவ்வேறானவை.
2. வாயுவில் மூலக்கூறுகளின் எண்ணிக்கை மிகவும் அதிகம்.ஒவ்வொரு மூலக்கூறின் அளவுடன் ஒப்பிடும்போது, மூலக்கூறுகளுக்கு இடையே உள்ள சராசரித் தொலைவு மிக அதிகமாகும். வாயு மூலக்கூறுகள் அனைத்தும் தொடர்ச்சியான ஒழுங்கற்ற இயக்கத்தில் (Random motion)உள்ளன.
3.வாயு மூலக்கூறுகள் ஒன்றின்மீது மற்றொன்றும் மற்றும் அடைத்து வைக்கப்பட்டுள்ள கொள்கலனின் சுவருடனும் மோதலை ஏற்படுத்துகின்றன. இம்மோதல்கள் முழுமீட்சியுறும் மோதல்கள் (elastic collisions) எனவே மோதலின்போது மூலக்கூறுகளின் இயக்க ஆற்றலில் எவ்விதமான இழப்பும் ஏற்படுவதில்லை.
4.இரு அடுத்தடுத்த மோதல்களுக்கு இடையே, ஒரு வாயு மூலக்கூறு சீரான திசைவேகத்தில் இயங்குகிறது. வாயு மூலக்கூறுகள் ஒன்றுடன் ஒன்று மோதும் நேரம் தவிர மற்ற நேரங்களில் ஒன்றின்மீது மற்றொன்று எவ்விதமான கவர்ச்சி விசையையோ அல்லது விலக்குவிசையையோ செலுத்துவதில்லை. வாயு மூலக்கூறுகள் எவ்விதமான நிலையாற்றலையும் பெற்றிருக்கவில்லை. அவற்றின் ஆற்றல் முழுவதும் இயக்க ஆற்றல் வடிவில் மட்டும் உள்ளது.
5.மூலக்கூறுகளுக்கிடையேயான மோதல் ஒரு கணநேர நிகழ்வாகும். இரு அடுத்தடுத்த மோதல்களுக்கிடைப்பட்ட நேரத்துடன் ஒப்பிடும்போது மோதலுறும் நேரம் மிகக் குறைவானதாகும்.
6.வாயு மூலக்கூறுகள் ஒழுங்கற்ற இயக்கத்தில் உள்ளபோதும் அவை நியூட்டனின் இயக்க விதிகளுக்கு உட்படுகின்றன.

(i) கட்டற்ற அலைவுகள்:
அலையியற்றிய அதன் சமநிலைப் புள்ளியிலிருந்து இடம் பெயரச் செய்து அலைவுறு செய்தால் அந்த அலைவுறும் அதிர்வெண்ணானது இயல்பு அதிர்வெண்ணிற்கு சமமாக இருக்கும். இவ்வகை அலைவுகள் அல்லது அதிர்வுகள் கட்டற்ற அலைவுகள் அல்லது கட்டற்ற அதிர்வுகள் எனப்படும்.
எடுத்துக்காட்டுகள்: இசைக் கலவையின் அதிர்வுகள், இழுத்துக்கட்டப்பட்ட கம்பியின் அதிர்வுகள், தனி ஊசலின் அலைவுகள்.
(ii)தடையுறு அலைவுகள் :
தனி ஊசல் அலைவுறும் போது (முந்தைய நிகழ்வில்) அலைவின் வீச்சானது மாறிலி எனவும்.அலையியற்றியின் மொத்த ஆற்றல் மாறாதது எனவும் எடுத்துக்கொள்கிறோம். ஆனால் உண்மையில் ஊடகத்தின் உராய்வு மற்றும் காற்றின் இழுவையால் காலம் அதிகரிக்கும்போது வீச்சு குறைகின்றது. இதன் அலைவுகள் நிலைநிறுத்தப்படாமல் இருக்கும் மற்றும் சீரிசை அலையியற்றின் ஆற்றல் குறைகின்றது. இந்த ஆற்றல் இழப்பு அலையியற்றி சூழ்ந்துள்ள ஊடகம் உட்கவர்தலால் ஏற்படுகிறது. இந்த வகை அலை இயக்கம் தடையுறு அலைவுகள் என அழைக்கப்படுகின்றது.
எடுத்துக்காட்டுக்கள்:
1. தனி ஊசலின் அலைவுகள் (காற்றின் தடையுடன்) அல்லது எண்ணெய் நிரப்பப்பட்ட கலணிற்குள் தனி ஊசலின் அலைவுகள்.
2. தொட்டிச் சுற்றில் ஏற்படும் மின்காந்த அலைவுகள்.
3. கால்வனா மீட்டரில் ஏற்படும் தடையுறு அலைவு.
(iii) நிலைநிறுத்தப்பட்ட அலைவுகள்:
ஊசலில் ஆடிக் கொண்டிருக்கும் போது ஒரு சில அலைவுகளுக்கு பிறகு அலைவு நிறுத்தப்படும். இதற்கு காரணம் தடையுறு விசையாகும். இதனைத் தவிர்க்க தள்ளு விசையைச் செலுத்தி அலைவுகளானது நிலை நிறுத்தப்படுகிறது. புற மூலத்திலிருந்து ஆற்றலை பயன்படுத்தி அலையியற்றிக் அளிப்பதனால் அலைவுகளின் வீச்சு மாறாமல் இருக்கும். இவ்வகை அதிர்வுகளை நிலை நிறுத்தப்பட்ட அதிர்வுகள் என்கிறோம்.
எடுத்துக்காட்டு: அதிர்வுறும் இசைக்கவையின் ஆற்றலை மின்கல அடுக்கு அல்லது புறதிறன் மூலத்திலிருந்து பெறச் செய்தல்.
திணிப்பு அதிர்வுகள்: எந்த ஒரு அலையியற்றி, தான் இழந்த ஆற்றலை புறச்சீரலைவு அமைப்பினால் பெற்று தொடர்ந்து இயங்கிகிறோதோ அந்த அலையியற்றியை திணிப்பு அலையியற்றி அல்லது இயக்கப்பட்ட அலையியற்றி என அழைக்கின்றோம்.
இவவகை அதிர்வுகளில், பொருளானது ஆரம்பத்தில் இயல்பு அதிர்வெண்ணில் அதிர்வுறும் பின்னர் புற சீரலைவு விசையின் அதிர்வெண்ணில் அதிர்வுறும் என்று அழைக்கப்படுகிறது.
எடுத்துக்காட்டு: இழுத்துக் கட்டப்பட்ட ஒலிப்பானிலிருந்து பெறப்படும் அதிர்வுகள்.   

3 நிமிடங்களில் சூடான நீரின் வெப்பநிலை 8°C குறைந்துள்ளது. 92°C மற்றும் 84°C இன் சராசரி வெப்பநிலை 88°C. இது அறை வெப்பநிலையைவிட 61°C அதிகமாக உள்ளது. சமன்பாடு (8.8)ஐப் பயன்படுத்தினால் 
\(\frac { dT }{ T-{ T }_{ s } } =-\frac { a }{ ms } dt\) அல்லது =\(\frac { dT }{ dt } =-\frac { a }{ ms } (T-{ T }_{ s })\)
\(\frac { { 8 }^{ o }C }{ 3\quad min } =-\frac { a }{ ms } \)(61^oC)
இதேபோன்று 65°C மற்றும் 60°C இன் சராசரி வெப்பநிலை 62.5°C ஆகும். இது அறை வெப்பநிலையைவிட 35.5°C அதிகமாக உள்ளது. 
\(\frac { { 5 }^{ o }C }{ dt } =-\frac { a }{ ms } \)(35.5^oC)
இவ்விரண்டு சமன்பாடுகளையும் வகுக்கும்போது.
\( \frac { \frac { { 8 }^{ o }C }{ 3\quad min } }{ \frac { { 5 }^{ o }C }{ dt } } =\frac { -\frac { a }{ ms } \left( { 61 }^{ 0 }C \right) }{ -\frac { a }{ ms } \left( 35.5^{ 0 }C \right) } \)
\(\frac { 8\times dt }{ 3\times 5 } =\frac { 61 }{ 35.5 } \)
\(dt=\frac { 61\times 15 }{ 35.5\times 8 } =\frac { 915 }{ 284 } =3.22\)நிமிடம்.

கொடுக்கப்பட்டது:
1 நிமிடத்தில் வாத்துப்பொம்மை மேலும் கீழும் இயங்கும் இயக்கங்களின் எண்ணிக்கை = 15
இந்த தகவலில் இருந்து அதிர்வெண் கிடைக்கிறது (1 வினாடியில் வாத்து மேலும் கீழும் இயங்கும் எண்ணிக்கை)

ஒரு நிமிடம் என்பது 60s  எனவே நேரத்தை வினாடியில் பொருத்த
\(f ={15\over 60}={1\over 4}=0.25Hz\)
ஒருமுறை வாத்து மேலும் கீழும் இயங்க ஆகும் நேரமே, அலைநேரமாகும். இது அதிர்வெண்ணுக்கு எதிர்த்தகவில் இருக்கும்.
\(T={1\over f }={1\over 0.25}=4s \)
கடல் அலையின் திசைவேகம்
v = ⋋f = 1.2 x 0.25 = 0.3ms^-1

தொலைவு அதிகரித்தால் ஈர்ப்பு புலம் குறையும். எனவே சூரியன் வியாழன் மீது ஏற்படுத்தும் ஈர்ப்பு புலம் குறைவாக இருக்கும். சூரியனுக்கு மிக அருகே உள்ள புதனின் மீது செயல்படும் ஈர்ப்பு புலம் அதிகமாக இருக்கும். 

அளவிடும்போது முழையான பிழைகள், ஓழுங்கற்ற பிழைகள் மற்றும் மொத்தப்பிழைகள் ஆகிய மூன்று வகையான பிழைகள் ஏற்படலாம்.
(i) முறையான பிழைகள் (Systematic errors)
முறையான பிழைகள் என்பது தொடர்ச்சியாக மீண்டும் மீண்டும் ஒரே மாதிரி உருவாகும் பிழைகள் ஆகும். இப்பிழைகள் ஆய்வின் ஆரம்பம் முதல் முடிவு வரை தொடர்ந்து நிகழும் பிரச்சனையால் ஏற்படுகின்றன. முறையான பிழைகள் கீழ்கண்டவாறு வகைப்படுத்தப்படுகின்றன 
1. கருவிப் பிழைகள் (Instrumental errors)
ஒரு கருவியானது தயாரிக்கப்படும்போது முறையாக அளவீடு (Calibration) செய்யப்படவில்லை எனில் கருவிப் பிழைகள் தோன்றலாம். முனை தேய்ந்த மீட்டர் அளவுகோலைக் கொண்டு ஒரு அளவை அளவீடு செய்யும்பொழுது பெறப்பட்ட முடிவுகள் பிழையாக இருக்கும். இந்த வகையான பிழைகளை கருவிகளை கவனமாகத் தேர்ந்தெடுப்பதன் மூலம் சரிசெய்ய முடியும்.
2. பரிசோதனையின் குறைபாடுகள் அல்லது செய்முறையில் குறைபாடுகள் (Imperfection in instrumental techniques)
சோதனை செய்யும் கருவிகளை அமைக்கும் போது, ஆய்வகச் சூழலில் ஏற்படும் சில தவறுகளால் இப்பிழைகள் தோன்றுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக,கலோரிமானி கொண்டு சோதனை நிகழ்த்தும் போது வெப்பக் காப்பீடு சரியாக செய்யப்படவில்லை எனில் கதிர்வீச்சு முறையில் வெப்ப இழப்பு ஏற்படும் இதனால் பெறப்படும் முடிவுகள் பிழையாக அமையும்.அதனைத் தவிர்க்கத் தேவையான திருத்தங்களை மேற்கொள்ள வேண்டும்.
3. தனிப்பட்டபிழைகள் (Personal errors)
இப்பிழைகள் சோதனையின் போது அளவிடுபவரின் செயல்பாட்டால் உருவாகிறது. கருவியின் தவறான ஆரம்பச் சீரமைவுகள் அல்லது முறையற்ற முன்னெச்சரிக்கை நடவடிக்கையால் அல்லது கவனக்குறைவாக உற்று நோக்கினால்,அளவிடுபவரால் ஏற்படுகிறது.
4. புறக்காரணிகளால் ஏற்படும் பிழைகள் (Errors due to external causes)
சோதனையின் போது புறச்சூழலில் ஏற்படும் மாறுபட்டால் அளவிடுதலில் பிழைகள் ஏற்படும் .எடுத்துக்காட்டாக,வெப்பநிலை மாறுபாடு, ஈரப்பதம் அல்லது அழுத்தத்தால் ஏற்படும் மாற்றம் போன்றவை அளவீட்டின் முடிவுகளைப் பாதிக்கும்.
5. மீச்சிற்றளவு பிழைகள் (Least count Errors)
ஓர் அளவுகோலால் அளக்கக்கூடிய மிகச்சிறிய அளவு மீச்சிற்றளவு எனப்படும். மேலும் அதனால் ஏற்படும் பிழைகள் மீச்சிற்றளவு பிழைகள் எனப்படும். அளவிடும் கருவியின் பகுதிறன் மதிப்பைச் சார்ந்து இப்பிழைகள் ஏற்படுகின்றன. இவ்வகைப் பிழைகளை உயர் நுட்பம் கொண்ட கருவிகளைப் பயன்படுத்துவதால் குறைக்க முடியும்.
(ii) ஒழுங்கற்ற பிழைகள் (Random Errors)
அழுத்தம், வெப்பநிலை, அளிக்கப்படும் மின்னழுத்தம் போன்றவற்றால் சோதனையில் ஏற்படும் தொடர்பற்ற மாறுபாடுகளால்,சமவாய்ப்பு பிழைகள் ஏற்படும் தொடர்பற்ற மாறுபாடுகளால்,சமவாய்ப்பு பிழைகள் ஏற்படுகின்றன சோதனையை உற்று நோக்குபவரின் கவனக்குறைவால் ஏற்படும் பிழையாலும்,அளவிடுபவர் செய்யும் பிழையினாலும் இவ்வகை பிழைகள் ஏற்படலாம். ஒழுங்கற்ற பிழைகள்,வாய்ப்பு பிழைகள் (Chance Errors) எனவும் அழைக்கப்படுகின்றன.
எடுத்துக்காட்டாக, திருகு அளவியைக் கொண்டு ஒரு கம்பியின் தடிமனை அளக்கும் சோதனையைக் கருதுவோம். ஒவ்வொரு முறையும் வேறுபட்டஅளவீடுகள் கூட்டுச் சராசரி எடுத்துக் கொள்ளப்படுகிறது.
ஒரு சோதனையில் n எண்ணிக்கையில் எடுக்கப்பட்ட அளவீடுகள் a₁,a₂,a₃............a_n
எனில், கூட்டுச் சராசரி \(a_m={a_1+a_2+a_3+.......+a_n\over n}\)  ....(1) 
அல்லது \(a_m=1/n\sum a_i\)   ....(2)
அளவீடுகளின் கூட்டுச் சராசரி மதிப்பு என்பது சிறந்த சாத்தியமான நிகழக்கூடிய உண்மை மதிப்பு ஆகும்.
(iii) மொத்தப் பிழைகள் (Gross Errors)
உற்று நோக்குபவரின் கவனக் குறைவின் காரணமாக ஏற்படும் பிழைகள் மொத்தபிழைகள் எனப்படும்.
கருவியை முறையாகப் பொருந்தாமல் அளவீடு எடுத்தல். பிழையின் மூலத்தினையும், முன்னெச்சரிக்கை நடவடிக்கைகளையும் கவனத்தில் கொள்ளாமல் தவறாக அளவீடு எடுத்தல். தவறாக உற்று நோக்கியதைப் பதிவிடுதல். கணக்கீட்ழன் போது தவறான மதிப்பீடுகளைப் பயன்படுத்துதல். சோதனை செய்பவர் கவனமாகவும்,விழிப்புடனும் செயல்பட்டால் இப்பிழைகளைக் குறைக்கலாம்.

வெட்டப்படாத வட்டத்தட்டின் நிறையானது M என எடுத்துக் கொள்க. இதனுடைய நிறை மையமானது வட்டத்தட்டின் வடிவியல் மையத்தில் அமையும். இப்புள்ளியிலேயே ஆதிப்புள்ளியும் ஒருங்கமைகிறது
வெட்டி எடுக்கப்பட்ட சிறு வட்டத்தட்டின் நிறை m என்க. (அதன் நிறை மையம் ஆதிப்புள்ளிக்கு) வலது புறத்தில் \(\frac { R }{ 2 } \) என்ற தொலைவில் படத்தில் காட்டியுள்ளவாறு அமைந்திருக்கும்.
எனவே வட்டத்தட்டின் மீதமுள்ள பகுதியின் நிறை மையம் ஆதிப்புள்ளிக்கு இடது புறத்தில் X தொலைவில் உள்ளதாக எடுத்துக் கொள்வோம். திருப்புத்திறன்களின் தத்துவத்திலிருந்து, கீழ்கண்டவாறு எழுத முடியும்.

(M - m)x = (m)\(\frac { R }{ 2 } \)
x =\(\left( \frac { m }{ M-m } \right) \frac { R }{ 2 } \)
பரப்பு நிறை அடர்த்தி \(\sigma =\frac { M }{ \pi { R }^{ 2 } } \) (\(\sigma \) என்பது ஓரலகு பரப்பின் நிறை) எனில், சிறிய வட்டத் தட்டின் நிறை (m) என்பது
m = பரப்பு நிறை அடர்த்தி x பரப்பு
m = \(\sigma \times \pi \left( \frac { R }{ 2 } \right) ^{ 2 }\)
m =\(\left( \frac { M }{ \pi { R }^{ 2 } } \right) \pi \left( \frac { R }{ 2 } \right) ^{ 2 }=\frac { M }{ \pi R^{ 2 } } \pi \frac { { R }^{ 2 } }{ 4 } =\frac { M }{ 4 } \)
x-ன் சமன்பாட்டில் m-ன் மதிப்பைப் பிரதியிட
x =\(\frac { \frac { M }{ 4 } }{ \left( M-\frac { M }{ 4 } \right) } \times \frac { R }{ 2 } =\frac { \frac { M }{ 4 } }{ \left( \frac { 3M }{ 4 } \right) } \times \frac { R }{ 2 } \)
x = \(\frac { R }{ 6 } \)
மீதமுள்ள வட்டத் தட்டின் நிறைமையமானது வட்டத் தட்டின் மையத்திற்கு இடப்புறம் \(\frac { R }{ 6 } \) தொலைவில் இருக்கும்.

பொருளொன்று மையப்புள்ளியைப் பொருத்து மீண்டும் மீண்டும், முன்னும் பின்னுமான இயக்கத்தை மேற்கொள்ளுமானால் அது தலைவுறு இயக்கத்தில் உள்ளது எனப்படும்.
(எ.கா) கிடார் கம்பிகளின் அதிர்வுகள், தொலைபேசி மற்றும் ஒலிபெருக்கியில் உள்ள மெல்லேட்டின் அதிர்வுகள்.

ஒவ்வொரு பொருளும் பெரும் இறுதி உந்தம் 
\(\Delta\)P=F\(\Delta\)t=100x5=500kg ms-1
5 kg நிறை கொண்ட பொருளின் இறுதிவேகம் 
5 kg = 500 /5 = 100 m s^–1
20 kg நிறை கொண்ட பொருளின் இறுதிவேகம் 
20 kg =500 /20 = 25 m s–1
5 வினாடிகளுக்குப்பின்பு  ஒவ்வொரு பொருளின் உந்தமும் சம்மதிப்பினைப் பெற்றுள்ளன. ஆனால் திசைவேகம் 5 வினாடிகளுக்குப் பின்பு ஒரே மதிப்பைப் பெறவில்லை. கனமான பொருள் இலேசான பொருளை விட குறைந்த வேகத்தையேப் பெற்றுள்ளன.

வெப்ப இயக்கவியலின் சுழி விதியின்படி A மற்றும் B என்ற இரண்டும் அமைப்புகள் C என்ற மூன்றாவது அமைப்புடன் வெப்பச் சமநிலையில் இருப்பின், A மற்றும் B  என்ற இரண்டும் அமைப்புகளும் ஒன்றுக்கென்று வெப்பச்சமநிலையில்  இருக்கும்.

ஊடகத்தில் மூலமும் கேட்பவரும் சார்பு இயக்கத்தில் இருந்தால், கேட்பவர் உணரும் ஒலியின் அதிர்வெண் மூலத்தின் அதிர்வெண்ணிலிருந்து மாறி இருக்கும். இதுவே டாப்ளர் விளைவு எனப்படும்.

M நிறையுடைய துகள், அண்டத்தில் உள்ள அனைத்து துகள்களையும் குறிப்பிட்ட விசையுடன் ஈர்க்கிறது. அந்த ஈர்ப்பு விசையின் வலிமையானது, அவற்றின் நிறைகளின் பெருக்கற்பலனுக்கு நேர்த்தகவிலும், அவற்றுக்கு இடையேயான தொலைவின் இருமடிக்கு எதிர்த்தகவிலும் இருக்கும் என்பதே நியூட்டனின் ஈர்ப்பியல் விதியாகும்.
கணிதவியல் வடிவில் ஈர்ப்பியல் விசையினை கீழ்க்கண்டவாறு எழுதலாம்.
\(\vec { F } =\frac { G{ M }_{ 1 }{ M }_{ 2 } }{ { r }^{ 2 } } \hat { r } \)

பறந்து செல்லும் திசையை மாற்றி அமைக்க உதவுகிறது.
கோண உந்தத்தை சீறாங்க வைக்க உதவுகிறது.

1.இயற்பியல் அளவு ஒன்றைஒரு அலகிடும் முறையிலிருந்து மற்றொரு அலகிடும் முறைக்கு மாற்றலாம்.
2.கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு,பரிமாண அடிப்படையில் சரியென சோதித்து அறியலாம்.
3.சமன்பாடு ஒன்றில் உள்ள வெவ்வேறு இயற்பியல் அளவுகளுக்கு இடையே தொடர்பினை பெறலாம். 

1.இரு பொருள்கள் ஒன்றையொன்று உரசுவது (அ) ஒன்றின் பாதையை மற்றொன்று மாற்றுவது மோதல் எனப்படும்.
2. வகைகள்:மீட்சி மோதல், மீட்சியற்ற மோதல்.

(அ) திசைவேகம் \(\overrightarrow{v}={d\overrightarrow{r}\over dr}={dx\over dt}\hat{i}+{dy \over dt}\hat{j}+{dz \over dt}\hat{k}\)
இங்கு, \(\overrightarrow{v}(t)=6t\hat{t}+5\hat{j}\)
திசைவேகம் இரண்டு கூறுகளை மட்டுமே பெற்றுள்ளது. அதாவது v_x = 6t (நேரத்தைச் சார்ந்துள்ளது) மற்றும் v_y = 5 (நேரத்தைச் சாராதது).
t = 3 வினாடியில் திசைவேகம்
\(\overrightarrow{v}(3)=18\hat{i}+5\hat{j}\)
(ஆ) t = 3 வினாடியில் துகளின்வேகம்
\(v=\sqrt{{18}^{2}+{5}^{2}}=\sqrt{349}\approx18.68\ m{s}^{-1}\)
(இ) முடுக்கம் \(=\overrightarrow{a}={d^2\overrightarrow{r}\over dt^2}=6\hat{i}\)
முடுக்கம் x- கூறினை மட்டுமே பெற்றுள்ளது. மேலும் இது நேரத்தைச் சாராதது. t = 3 வினாடியிலும் முடுக்கம் மாறாத மதிப்பான \(\overrightarrow{a}=6\hat{i}\) ஐ பெற்றிருக்கும் என்பதை கவனிக்க வேண்டும். மேலும் இந்நிகழ்வில் துகள் சீரற்ற திசை வேகத்தையும் சீரான முடுக்கத்தையும் பெற்றுள்ளது.