0.012

ரூ 12500

\(cot\frac { \theta }{ 2 } \).

cos20⁰-cos30⁰=\(-2sin\left( \frac { { 20 }^{ 0 }+{ 30 }^{ 0 } }{ 2 } \right) sin\left( \frac { { 20 }^{ 0 }-{ 30 }^{ 0 } }{ 2 } \right) \)
\(=2sin\left( \frac { { 50 }^{ 0 } }{ 2 } \right) sin\left( \frac { { 10 }^{ 0 } }{ 2 } \right) \)
=2sin25⁰sin5⁰

அளிப்பு விலை தொடர்பானது x² = 5p-15
 = 5(p-3)
⇒ X²=4ap இங்கு X = x,P = p-3
∴ அளிப்பு வளைவரை ஒரு பரவளையம் இதன் முனை (X=0,P=0)
இங்கு V(0, 3) என்பது முனையாகும்

x²+y²+2gf+2fy+c =0 என்ற வட்டத்திற்கு (x₁,y₁) என்ற புள்ளியிலிருந்து வரையப்படும் தொடுகோட்டின் நீளம் 
அதாவது தொடுகோட்டின் நீளம் = \(\sqrt { { x }_{ 1 }^{ 2 }+{ y }_{ 1 }^{ 2 }+{ 2gx }_{ 1 }+2{ 4y }_{ 1 }+8 } \)
= \(\sqrt { { 2 }^{ 2 }+3^{ 2 }+8(2)+4(3)+8 } \)  [இங்கு (x₁,y₁)=(2,3)]
= \(\sqrt { 49 } \)
தொடுகோட்டின் நீளம் = 7 அலகுகள்.

\(\frac{1}{9!}+\frac{1}{10!}=\frac{n}{11!}\)
\(\frac{1}{9!}+\frac{1}{10\times9!}=\frac{n}{11!}\)
\(\frac{1}{9!}+[1+\frac{1}{10!}]=\frac{n}{11!}\)
\(\frac{1}{9!}\times\frac{11}{10}=\frac{n}{11!}\)
\(n=\frac{11!\times11}{9!\times10}\)
\(=\frac{11!\times11}{10!}\)
\(n=\frac{11\times10!\times11}{1!0}\)
n =121

-320^o யின் முடிவு நிலை முதல் கால்பகுதியில் அமைகிறது

கொடுக்கப்பட்ட கோடுகள்             3x-4y-13=0,8x-11y=33              ....(1)
                                                        8x-11y = 33                              .....(2)  
                                                        2x-3y-7= 0                               .....(3)
புள்ளி வழிக் கோடுகளுக்கான கட்டுப்பாடு  \(\left| \begin{matrix} { a }_{ 1 } & b_{ 1 } & c_{ 1 } \\ { a }_{ 2 } & b_{ 2 } & c_{ 2 } \\ { a }_{ 3 } & b_{ 2 } & c_{ 3 } \end{matrix} \right| \) =0
\(\left| \begin{matrix} 3 & -4 & -13 \\ 8 & -11 & -33 \\ 2 & -3 & -7 \end{matrix} \right| \)    =3(77-99)+4(-56+66)-13(-24+22)
          = -66+40+26  = 0
⇒    கொடுக்கப்பட்ட கோடுகள் ஒரு புள்ளி வழிக் கோடுகள் ஆகும்
ஒருங்கமைப் புள்ளியைக் காண
 சமன்பாடு  (1) \(\times\) 2  ⇒  6x-8y = 26
 சமன்பாடு  (3) \(\times\) 3  ⇒  6x-9y = 21
                                    ____________
                                        y =5
                                    ____________
y=5 எனும்பொழுது சமன்பாடு (2) லிருந்து 8x= 88
                    x =11
∴ ஒருங்கமைப் புள்ளி   (11.5)

1 இன் சிற்றணிக்கோவை = M₁₁ = 3
− 2 இன் சிற்றணிக்கோவை = M₁₂ = 4
4 இன் சிற்றணிக்கோவை = M₂₁ = − 2
3 இன் சிற்றணிக்கோவை = M₂₂ = 1
1 இன் இணைக்காரணி = A₁₁ =(-1)¹⁺¹M₁₁=3
–2 இன் இணைக்காரணி = A₁₂=(-1)¹⁺²M₁₂=-4
4 இன் இணைக்காரணி = A₂₁=(-1)²⁺¹M₂₁=2
3 இன் இணைக்காரணி = A₂₂=(-1)²⁺²M₂₂=1

\(\left| \begin{matrix} 2 & 4 \\ -1 & 4 \end{matrix} \right| \) = (2)(4)-(-1)4
= 8 + 4 = 12

0.905

R_x, R_y, R_z d என்பன முறையே முதல், இரண்டாம் மற்றும் மூன்றாம் நீதிபதிகள் போட்டியாளர்களுக்கு அளித்தத் தரவரிசையைக் குறிக்கின்றது.

\({ \rho }_{ XY }=1-\frac { 6\Sigma { d }_{ XY }^{ 2 } }{ N(N^{ 2 }-1) } =1-\frac { 6(82) }{ 10(10^{ 2 }-1) } \)=1-0.4969=0.5031
\({ \rho }_{ YZ }=1-\frac { 6\Sigma { d }_{ YZ }^{ 2 } }{ N({ N }^{ 2 }-1) } =1-\frac { 6(22) }{ 10({ 1 }0^{ 2 }-1) } =1-\frac { 132 }{ 990 } \)=1-0.1333=0.8667
\({ \rho }_{ ZX }=1-\frac { 6\Sigma { d }_{ ZX }^{ 2 } }{ N({ N }^{ 2 }-1) } =1-\frac { 6(158) }{ 10({ 1 }0^{ 2 }-1) } \)=1-0.9576=0.0424
இரண்டாம் மற்றும் மூன்றாம் நீதிபதிகளுக்கு இடையேயான தரஒட்டுறவுக் கெழு அதாவது \({ \rho }_{ YZ }\) என்பது மூன்று கெழுக்களிடையே, மிகை மற்றும் அதிக நிறை கொண்டுள்ளது. எனவே இரண்டாம் மற்றும் மூன்றாம் நீதிபதிகளுக்கிடையே அழகியல் பற்றி ஒரு பொதுவான அணுகுமுறை காணப்படுகிறது.

தந்தையின் உயரம் (அங்குலங்களில்) X எனவும், மகனின் உயரம் (அங்குலங்களில்) Y எனவும் கொள்க.

r=\(\frac { N\Sigma dxdy-(\Sigma dx)(\Sigma dy) }{ \sqrt { N\Sigma dx^{ 2 }-(\Sigma dx)^{ 2 }\times \sqrt { N\Sigma dy^{ 2 }-(\Sigma dy)^{ 2 } } } } \)
இங்கு
Σdx=10, Σdx²=62, Σdy=4, Σdy²=42 மற்றும் Σdxdy=26
r=\(\frac { (8\times 26)-(10\times 4) }{ \sqrt { (8\times 62)-(10)^{ 2 }\times \sqrt { (8\times 42)-(4)^{ 2 } } } } \)
r=\(\frac { 168 }{ \sqrt { 396 } \times \sqrt { 320 } } \)
r=\(\frac { 168 }{ 355.98 } \)=0.472
r=+0.472
தந்தையின் உயரங்கள் மற்றும் அவர்களுக்கு தொடர்புடைய மகன்களின் உயரங்கள்  ஆகியவற்றிற்கிடையே நேரடியான ஒட்டுறவு உள்ளது.

இடை நிலை = 61, MD =1.71

இங்கு,தேவை R= 480000 
தேக்கச் செலவு C₁=2.50 இல் 10.8% =\(\frac { 10.8 }{ 100 } \times \)2.50 = 0.27
கோருதல் செலவு C₃= 45
மிகு ஆதாயக் கோருதல் அளவு q₀=\(\sqrt { \frac { 2C_{ 3 }R }{ { C }_{ 1 } } } \)
= \(\sqrt { \frac { 2\times 45\times 48000 }{ 0.27 } } \) =4000 அலகுகள்
ஒரு ஆண்டுக்கான கோருதல்களின் எண்ணிக்கை = \(\frac { R }{ { q }_{ 0 } } \)
   =\(\frac { 48000 }{ 4000 } \)=12
ஒவ்வொரு கோருதலுக்கும் இடைப்பட்ட கால அளவு : \({ t }_{ 0 }=\frac { q_{ 0 } }{ R } \)
  =\(\frac { 1 }{ 12 } \)= 0.083 ஆண்டு
மிகு ஆதாய கோருதல் அளவில்,சரக்கு தேக்கச் செலவு = \(\frac { q_{ 0 } }{ 2 } \times { C }_{ 1 }\)
 =\(\frac { 4000 }{ 2 } \times 0.27\)=ரூ.540
மிகு ஆதாய கோருதல் அளவில்,சரக்கு கோருதல் செலவு =\(\frac { R }{ { q }_{ 0 } } \times { C }_{ 3 }\)
 =\(\frac { 48000 }{ 4000 } \times 45\)=ரூ.540
எனவே மிகு ஆதாய கோருதல் அளவில்,சரக்கு தேக்கச் செலவும்,கோருதல் செலவும் சமம் ஆகும்

\(3 x-y+2 z=13 ; 2 x+y-z=3\)
\(x+3 y-5 z=-8\)
இதனை
\(\left(\begin{array}{ccc} 3 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 3 & -5 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 13 \\ 3 \\ -8 \end{array}\right)\)
\(A X=B \Rightarrow X=A^{-1} B\)
இங்கு
\( A=\left(\begin{array}{ccc} 3 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 3 & -5 \end{array}\right), X=\left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right)\)
\(B=\left(\begin{array}{c} 13 \\ 3 \\ -8 \end{array}\right)\)
\(|A|=3(-5+3)+1(-10+1)+2(6-1)\)
\(=-6-9+10=-5 \neq 0\)
A^–1 யைக் காணஇயலும்.
\(\mathrm{A}_{11}= 3=(-5+3)=-2 \)
\(\mathrm{A}_{12}=-1=-(-10+1)=9 \)
\(\mathrm{A}_{13}= 2=(6-1)=5\)
\(\mathrm{A}_{21}= 2=-(5-6)=1\)
\(\mathrm{A}_{22}= 1=-15-2=-17 \)
\(\mathrm{A}_{23}=-1=-(9+1)=-10\)
\(\mathrm{A}_{31}= 1=1-2=-1\)
\(\mathrm{A}_{32}= 3=-(-3-4)=7 \)
\(\mathrm{A}_{33}=-5=3+2=5\)
\(\text {Co-factor matrix }=\left(\begin{array}{ccc} -2 & 9 & 5 \\ 1 & -17 & -10 \\ -1 & 7 & 5 \end{array}\right)\)
\(A^{-1}=\frac{1}{|A|} \operatorname{adj} A=\frac{1}{-5}\left(\begin{array}{ccc} -2 & 1 & -1 \\ 9 & -17 & 7 \\ 5 & -10 & 5 \end{array}\right)\)
\(X=A^{-1} B=\frac{-1}{5}\left(\begin{array}{ccc} -2 & 1 & -1 \\ 9 & -17 & 7 \\ 5 & -10 & 5 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} 13 \\ 3 \\ -8 \end{array}\right)\)
\(=\frac{-1}{5}\left(\begin{array}{ccc} -26 & 3 & 8 \\ 117 & -51 & -56 \\ 65 & -30 & -40 \end{array}\right)\)
\(=\frac{-1}{5}\left(\begin{array}{c} -15 \\ 10 \\ -5 \end{array}\right)\)
\(\left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 3 \\ -2 \\ 1 \end{array}\right)\)
\(x=3, \mathrm{y}=-2, \mathrm{z}=1\)

பகுதியை ஒரு படிகாரணிகளின் பெருக்கங்களாக எழுதுக
(x² - 4)(x + 1)=(x - 2)(x + 2)(x + 1)
\(\frac{x+1}{({x}^{2}-4)(x+1}=\frac{A}{(x-2)}+\frac{B}{(x+2)}+\frac{C}{(x+1)}\)என்க .....(1)
இரு புறமும் (x–2)(x+2)(x+1) ஆல் பெருக்க
x + 4 = A(x + 2)(x + 1)+ B(x - 2)(x + 1)+ C(x - 2)(x + 2)  .....(2)
x = –2 என (2) ல் பிரதியிட
-2 + 4 = A(0)+ B(-4)(-1)+ C(0)​
\(B=\frac{1}{2}\)
x = 2 என (2) ல் பிரதியிட
2 + 4 = A(4)(3)+ B(0)+ C(0)​
\(A=\frac{1}{2}\)
x = –1 என (2) ல் பிரதியிட​​​​​​​
-1 + 4 = A(0)+ B(0)+ C(-3)(1)​
C =-1
\(\frac{x+4}{({x}^{2}-4)(x+1)}=\frac{1}{2(x-2)}+\frac{1}{2(x+2)}+\frac{1}{(x+1)}\)

2x₁+x₂ \(\ge \) 720; 5x₁ + 8x₂ \(\ge \) 74; x₁ + 6x₂ \(\ge \) 24 மற்றும் x₁, x₂ \(\ge \)0 என்ற கட்டுபாடுகளுக்கு இணங்க  Z=x₁ + x₂ என்ற குறிக்கோள் சார்பின் பெரும மதிப்பு காண்க

b_yx=1.422, Y = 141.67

சராசரியைப் பொறுத்தச் சராசரி விலக்கத்திற்காண கணக்கீடு.

\(\vec { X } =\frac { \Sigma fX }{ N } =\frac { 160 }{ 20 } \)=8
சராசரியைப் பொறுத்தச் சராசரி விலக்கம் =\(\frac { \Sigma f|D| }{ N } =\frac { 56 }{ 20 } \)=2.8

பெருக்கு சாரசரியின் கணக்கீடு

GM=Antilog\(\left( \frac { \Sigma flogX }{ N } \right) \)
=Antilog\(\left( \frac { 67.1394 }{ 52 } \right) \)
GM=Antilog 19.55

இங்கு A = 20,00,000; i =\(\frac { 10 }{ 100 } \)= 0.1 ,n =20 மற்றும் k =12
A = \(\frac { a }{ i/k } [(i+\frac { i }{ k } )^{ nk }-1]\)
20,00,000 = \(\frac { \frac { a }{ 0.1 } }{ 12 } \left[ \left( 1+\frac { 0.1 }{ 12 } \right) ^{ 20\times 12 }-1 \right] \)
 = \(\frac { 12a }{ 0.1 } \left[ \left( 1+1+\frac { 0.1 }{ 12 } \right) ^{ 240 }-1 \right] \)
= 120a  \(\left[ \left( \frac { 12.1 }{ 12 } \right) ^{ 240 }-1 \right] \)
= 120a [(1.0083)²⁴⁰–1]
= 120a [6.194–1]
= 120a (5.194)
a = \(\frac { 20.00,00 }{ 120\times 5.194 } \)
=ரூ.3,209
ஒவ்வொரு மாதமும் ரூ.3,209 செலுத்த வேண்டும்

nC_x = nC_y , எனில் x + y = n என்ற பண்பின்படி
nC₄ = nC₆ எனில்,
n = 4 + 6 = 10
12C_n = 12C₁₀
= 12C₂ 
\(=\frac{12\times11}{1\times2}=66\)

A_ij = (–1)^i+jM_ij
A₁₁ = (–1)¹⁺¹M₁₁ =\(\left| \begin{matrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right| \)=0
A₁₂ = (–1)¹⁺²M₁₂ =\(-\left| \begin{matrix} 0 & 0 \\ -4 & 0 \end{matrix} \right| \)=0
A₁₃ = (–1)¹⁺³M₁₃ =\(\left| \begin{matrix} 0 & 1 \\ -4 & 1 \end{matrix} \right| \)=0-(-4)=4
A₂₁ = (–1)²⁺¹M₂₁ =\(-\left| \begin{matrix} -2 & -3 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right| \)=-(0-(-3))=-3
A₂₂ = (–1)²⁺²M₂₂ =\(\left| \begin{matrix} 1 & -3 \\ -4 & 0 \end{matrix} \right| \)=0-12=-12
A₂₃ = (–1)²⁺³M₂₃ =\(-\left| \begin{matrix} 1 & -2 \\ -4 & 1 \end{matrix} \right| \)=-(1-8)=7
A₃₁ = (–1)³⁺¹M₃₁ =\(\left| \begin{matrix} -2 & -3 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right| \)=0-(-3)=3
A₃₂ = (–1)³⁺²M₃₂ =\(-\left| \begin{matrix} 1 & -3 \\ 0 & 0 \end{matrix} \right| \)=0-0=0
A₃₃ = (–1)³⁺³M₃₃ =\(\left| \begin{matrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right| \)=1-0=1
\(\left| { A }_{ ij } \right| =\left[ \begin{matrix} 0 & 0 & 4 \\ -3 & -12 & 7 \\ 3 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \)
Adj A =[Aij]^T
\(=\left[ \begin{matrix} 0 & -3 & 3 \\ 0 & -12 & 0 \\ 4 & 7 & 1 \end{matrix} \right] \) 

\(|A|=\frac{1}{a d-b c} ; \quad A^{-1}=\frac{1}{a d-b c}\left(\begin{array}{cc} d & -b \\ -c & a \end{array}\right)\)

\(\left|\begin{array}{ccc} 2 x+y & x & y \\ 2 y+z & y & z \\ 2 z+x & z & x \end{array}\right| \quad c_1 \rightarrow c_1-c_3\)
\(\left|\begin{array}{ccc} 2 x & x & y \\ 2 y & y & z \\ 2 z & z & x \end{array}\right|=0 \ \text { } c_1 \sim c_3\)

x + y = n
3 + 2 = 5 = n
nC₄ = 5C₄ = 5C₁ = 5