கீழே ஒவ்வொரு செயலுக்கான வலையமைப்பில் முந்தைய ஆரம்ப நேரம் மற்றும் சமீபத்திய முடிவு நேரம் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

E₁ = 0                                                                     L₅ = 21
E₂ = E₁ + t₁₂ = 0 + 8 = 8                                         L₄ = L₅ - t₄₅ = 21 - 3 = 18
E₃ = E₁ + t₁₃ = 0 + 4 = 4                                         L₃ = L₄ - t₃₄ = 18 - 5 = 13
E₄ = E₂ + t₂₄ அல்லது E₃ + t₃₄ = 8 + 10 =18         L₂ = L₅ - t₂₅ அல்லது L₄-t₂₄ = 18-10=8
(E₂ + t₂₄ அல்லது E₃ + t₃₄                                             (L₅ - t₂₅ அல்லது L₄ - t₂₄
(பெருமமாக உள்ளதை எடுக்க வேண்டும்)    (சிறுமமாக உள்ளதை எடுக்க வேண்டும்)
E₅=(E₂ = t₂₅ அல்லது E₄ + t₄₅) = 18 + 3 = 21         L₁ = L₂-t₁₂ அல்லது L₅ - t₁₃ = 8 - 8 = 0
(E₂+t₂₅ அல்லது E₄ + t₄₅                                         (L₂ - t₁₂ அல்லது L₃ - t₁₃
(பெருமமாக உள்ளதை எடுக்க வேண்டும்)     (சிறுமமாக உள்ளதை எடுக்க வேண்டும்)
இங்கு தீர்வுக்கு உகந்த பாதை 1-2-4-5 இரு கோடுகளால் குறிக்கப்படுகிறது.

செயல்	காலம்(tij)	EST	EFT = EST + tij	LST=LFT-tij	LFT
1-2	8	0	8	0	8
1-3	4	0	4	9	13
2-4	10	8	18	8	18
2-5	2	8	10	19	21
3-4	5	4	9	13	18
4-5	3	18	21	18	21

இந்தத் திட்டத்தை நிறைவு செய்யும் நீண்ட காலம் 21 நாட்கள்.
தீர்வுக்கு உகந்த பாதை 1-2-4-5 மற்றும் திட்டம் நிறைவு செய்யும் காலம் 21 நாட்கள்.

0.996

இடை நிலை = 45.14 , MD = 14.30

20%

ரூ.13240, ரூ.36420, இயந்திரம் B வாங்கலாம்

முன்னுரிமை மற்றும் சாதாரணப்  பங்குகள்
முகமதிப்பு =ரூ.10
முன்னுரிமைப் பங்குகளின் முதலீடு =ரூ.1,00,000\(\times \)10 =ரூ.10,00,000
சாதாரணப் பங்குகளின் முதலீடு = ரூ.50,000\(\times \)10 =ரூ.5,00,000
மொத்த வருமானம் =ரூ.(3,20,000-40,000-20,000)= ரூ,2,60,000
முன்னுரிமைப் பங்குகளின் வருமானம் =\(\frac { 16 }{ 100 } \)\(\times \)10,00,000 = ரூ.1,60,000
சாதாரணப் பங்கின் வருமானம் =ரூ.2,60,000-ரூ.1,60,000= ரூ.1,00,000
சாதாரணப் பங்கின் வருமான வீதம் =
= \(\frac { 1,00,000 }{ 5,00,000 } \)\(\times \)100%=20%

f(x) = | x | ={\(x,\quad x\ge 0\\ -x,\quad x<0\)
\(L\left[ { f }^{ ' }\left( 0 \right) \right] =\underset { x\rightarrow { 0 }^{ - } }{ lim } \frac { f\left( x \right) -f\left( 0 \right) }{ x-0 } \)
\(=\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \frac { f\left( 0-h \right) -f\left( 0 \right) }{ 0-h-0 } ,x=0-h\)
\(=\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \frac { f\left( -h \right) -f\left( 0 \right) }{ -h } \)
\(=\ \underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \frac { \left| -h \right| -\left| 0 \right| }{ -h } \)
\(=\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \frac { \left| -h \right| }{ -h } \)
\(=\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \frac { h }{ -h } \)
\(=\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \left( -1 \right) \)
= –1
\(R\left[ { f }^{ ' }\left( 0 \right) \right] =\underset { x\rightarrow { 0 }^{ + } }{ lim } \frac { f\left( x \right) -f\left( 0 \right) }{ x-0 } \)
\(=\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \frac { f\left( 0+h \right) -f\left( 0 \right) }{ 0+h-0 } ,x=0+h\)
\(=\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \frac { f\left( h \right) -f\left( 0 \right) }{ h } \)
\(=\ \underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \frac { \left| h \right| -\left| 0 \right| }{ h } \)
\(=\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \frac { \left| h \right| }{ h } \)
\(=\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \frac { h }{ h } \)
\(=\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } 1\)
1
\(L\left[ { f }^{ ' }\left( 0 \right) \right] \neq R\left[ { f }^{ ' }\left( 0 \right) \right] \)
f(x) ஆனது x = 0 இல் வகையிடத்தக்கதல்ல.

a₁₁ = 30, a₁₂ = 40, x₁ = 120
a₂₁ = 20, a₂₂ = 10, x₂ = 60
\({b}_{11}={{{a}_{11}}\over{x_1}}={{30}\over{120}}={{1}\over{4}}\)
\({b}_{12}={{{a}_{12}}\over{{x}_{2}}}={{40}\over{60}}={{2}\over{3}}\)
\({b}_{21}={{{a}_{21}}\over{x_1}}={{20}\over{120}}={{1}\over{6}}\)
\({b}_{22}={{{a}_{22}}\over{{x}_{1}}}={{10}\over{60}}={{1}\over{6}}\)
B =  \(\begin{bmatrix}{{1}\over{4}}&{{2}\over{3}}\\ {{1}\over{6}}&{{1}\over{6}} \end{bmatrix}\)
I - B = \(\begin{bmatrix} 0&0\\0&1 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} {{1}\over{4}} &{{2}\over{3}}\\{{1}\over{6}}&{{1}\over{6}} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} {{3}\over{4}}&{{-2}\over{3}}\\ {{-1}\over{6}}&{{5}\over{6}} \end{bmatrix}\)
\(|I-B|=\frac{3}{4} \times \frac{5}{6}-\frac{2}{3} \times \frac{1}{6}=\frac{5}{8}-\frac{1}{9}=\frac{37}{72}=0\)
ஹாக்கின்ஸ்-சைமனின் இரு நிபந்தனைகளும் நிறைவு செய்யப்பட்டுள்ளது. எனவே இந்த பொருளாதாரக் கட்டமைப்பு செயல்படும் வகையில் உள்ளது.
\({(I-B)}^{-1}={{1}\over{|I-B|}}adj\ (I-B)={{72}\over{37}}\begin{bmatrix}{{5}\over{6}}&{{2}\over{3}}\\{{1}\over{6}}&{{3}\over{4}} \end{bmatrix}\)
X = (I - B)^-1 D இங்கு D = \(\begin{bmatrix} 80\\40 \end{bmatrix}\)
\(={{72}\over{37}}\begin{bmatrix}{{5}\over{6}}&{{2}\over{3}}\\{{1}\over{6}}&{{3}\over{4}} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 80 \\ 40 \end{bmatrix}\)
\(=\frac{72}{37}\left(\begin{array}{cc} 66.67 & +26.67 \\ 13.33 & +30 \end{array}\right)=\frac{72}{37}\left(\begin{array}{l} 93.34 \\ 43.33 \end{array}\right)\)
\(=\left(\begin{array}{c} 181.63 \\ 84.32 \end{array}\right)\)
x = 181.62, y = 84.32

9x + 10y + 2z = 800
15x + 5y + 4z = 900
6x + 10y + 3z = 850
 \(\begin{bmatrix}9&10&2\\15&5&4\\6&10&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\y\\z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 800\\900\\850 \end{bmatrix}\)
AX = B
\(X=A^{-1} B\)
 A \(=\begin{bmatrix} 9&10&2\\15&5&4\\6&10&3 \end{bmatrix},X=\begin{bmatrix} x\\y\\z \end{bmatrix}\) and B = \(\begin{bmatrix} 800\\900\\850 \end{bmatrix}\)
= 9 (15 - 40) - 10 (45 - 24) + 2 (150 - 30)
= 9 (- 25) - 10 (21) + 2 (120)
= - 225 - 210 + 240 = - 195 \(\neq0\):
\(\therefore\) A^–1 யைக் காணஇயலும்.
\(=\begin{bmatrix} -25&-21&120\\-10& 15&-30\\30&-6&-105 \end{bmatrix}\)
\({A}^{-1}={{1}\over{|A|}}adj\ A={{-1}\over{195}}\begin{bmatrix} -25&-10 &30\\-21&15&-6\\120&-30&-105 \end{bmatrix}\)
X = A^-1 B
= \({{-1}\over{195}}\begin{bmatrix} -25&-10&30\\-21&15&-6\\120&-30&-105 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}800\\900\\850 \end{bmatrix}={{-1}\over{195}}\begin{bmatrix} -20,000&-9,000&+25,5000\\ -16,8000&+13,500&-5,1000\\96,000&-27,000&-89,250 \end{bmatrix}\)
\(={{-1}\over{195}}\begin{bmatrix} -3500\\-8400\\-20,250 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} {{3500}\over{195}} \\{{8400}\over{195}}\\{{20,250}\over{195}} \end{bmatrix}\)
\(\begin{bmatrix} x\\y\\z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 17.95\\43.05\\103.85 \end{bmatrix}\)
\(x=17.95, y=43.08, z=103.85\)

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு 2x²+7xy+3y²+5x+5y+2 =0 இதனை ax²+2hxy+by2+gxy+2fy+c = 0 உடன் ஒப்பிடும்போது a=2,b=3, h=\(\frac { 7 }{ 2 } \) ,g=\(\frac { 5 }{ 2 } \) ,f =\(\frac { 5 }{ 2 } \) ,c =2
i.e  \(\left| \begin{matrix} a & h & g \\ h & b & f \\ g & f & c \end{matrix} \right| =\left| \begin{matrix} 2 & \frac { 7 }{ 2 } & \frac { 5 }{ 2 } \\ \frac { 7 }{ 2 } & 3 & \frac { 5 }{ 2 } \\ \frac { 5 }{ 2 } & \frac { 5 }{ 2 } & 2 \end{matrix} \right| \)
 =  \(2\left( 6-\frac { 25 }{ 4 } \right) -\frac { 7 }{ 2 } \left( 9-\frac { 25 }{ 4 } \right) +\frac { 5 }{ 2 } \left( \frac { 35 }{ 4 } -\frac { 15 }{ 2 } \right) \)
= \(2\left( -\frac { 1 }{ 4 } \right) -\frac { 7 }{ 2 } .\frac { 3 }{ 4 } +\frac { 5 }{ 2 } .\frac { 5 }{ 4 } \)
= \(-\frac { 1 }{ 2 } -\frac { 21 }{ 8 } +\frac { 25 }{ 8 } =0\)
எனவே கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு இரட்டை நேர்க்கோடுகளைக் குறிக்கும்
 2x²+7xy+3y² =  2x²+6xy+xy+3y2
 =2x(x+3y)+y(x+3y)
= (x+3y)(2x+y)
2x²+7xy+3y²+5x+5y+2 = (x+3y+l)(2x+y+m) என்க.
x-ன் கெழுக்களை சமன்படுத்த 2l+m = 5             (1)
y-ன் கெழுக்களை சமன்படுத்த l+3m =5              (2)
(1) மற்றும் (2) ஐ தீர்க்க நமக்கு கிடைப்பது m =1 மற்றும் l =2
எனவே, இரட்டை நேர்க்கோடுகளின் தனித்தனி சமன்பாடு
x+3y+2 = 0 மற்றும் 2x+y+1 = 0

y= 1500x+100000 , 95 தொலைகாட்சிபெட்டிகளின் விலை ரூ 2,42,500

\(\frac{2x+1}{(x+1)(x^2+1)}=\frac{A }{x-1}+\frac{Bx+C}{{x}^2+1}\)என்க ......(1)
இருபுறமும் (x - 1)(x² + 1) ஆல் பெருக்குக
2x+1 = A(x² + 1)+(Bx + C)(x - 1)   ... (2)
x = 1 என (2) ல் பிரதியிட
2+1 = A(1 + 1)+ 0
\(\therefore A=\frac{3}{2}\)
x = 0 என (2) ல் பிரதியிட
0+1 = A(0 + 1)+(0 + C)(-1)
1 = A – C
\(\therefore C =\frac{1}{2}\)
x² இன் கெழுக்களை  சமன்பாடு (2) இன் இருபுறமும் சமன்படுத்த,
A + B = 0
B = -A
\(\therefore B =\frac{-3}{2}\)
A, B மற்றும் C ன் மதிப்புகளை (1) ல் பிரதியிட
\(\frac{2x+1}{(x+1)(x^2+1)}=\frac{\frac{3}{2} }{x-1}+\frac{\frac{-3}{2}x+\frac{1}{2}}{{x}^2+1}\)
\(=\frac{3 }{x-1}+\frac{3x-1}{2({x}^2+1)}\)

0.906

சராசரி =\(\frac { \Sigma X }{ n } =\frac { 22000 }{ 5 } \)=4400

வருமானம் (ரூ)	|D|=|(X-4400)|
4000	400
4200	200
4400	0
4600	200
4800	400
ΣX=22000	Σ|D|=1200

சராசரியைப் பொறுத்தச் சராசரி விலக்கம் MD =\(\frac { \Sigma |D| }{ n } \)
MD =\(\frac { 1200 }{ 5 } \)=240
சராசரி விலக்கக் கெழு MD =\(\frac { 240 }{ 4400 } \)=0.055

பெருக்கு சாரசரியின் கணக்கீடு

மதிப்பெண்கள்	m	f	log m	f log m
0.10	5	8	0.6990	5.5920
10-20	15	12	1.1761	14.1132
20-30	25	18	1.3979	25.1622
30-40	35	8	1.5441	12.3528
40-50	45	6	1.6532	9.9192
		N=52		Σf log m=67.1394

GM=Antilog\(\left( \frac { \Sigma flogX }{ N } \right) \)
=Antilog\(\left( \frac { 67.1394 }{ 52 } \right) \)
GM=Antilog 19.55

f(x)=2x³+9x²+12x+1
x-ஐ பொறுத்து வகைப்படுத்தும் போது நாம் பெறுவது
f(x)= 6x²+18x+12
= 6(x²+3x+2)
= 6(x+2)(x+1)
f'(x) = 0 ⇒ 6 (x+2)(x+1) = 0
⇒ x + 2 = 0 (அ) x + 1 = 0
x =-2 (அ) x=-1
x =-2 மற்றும் x=-1 ல் f(x)ஆனது தேக்கநிலைப் புள்ளிகளை பெறுகிறது
x =-2 மற்றும் x=-1 என f(x) இல் பிரதியிடும் போது தேக்கநிலை மதிப்புகள் கிடைக்கிறது
x =-2 எனில் 
f(–2) = 2(–8)+9(4)+12(–2)+1 = -3
x = -1எனில் 
f(–1) = 2(–1)+9(1)+12(–1)+1
= -4
தேக்கநிலைப் புள்ளிகள் (-2,-3) மற்றும் (-1,-4) ஆகும்

f(x)=x²-4x+6
x-ஐ பொறுத்து வகைப்படுத்த
f'(x) = 2x-4
f'(x) = 0 ⇒ 2x-4 = 0
⇒ x = 2

x=2 என்ற புள்ளி மெய்யெண் கோட்டை (-∞,2) மற்றும் (2,∞) என பிரிக்கின்றது
[இடைவெளிகளில் f'(x)-க்கான குறியீடு (+அல்லது-)-யைக் காண,அவ்விடைவெளிகளில் இருந்து x -க்கான ஏதேனும் ஒரு மதிப்பை f'(x)-ல் பிரதியிட்டு காணலாம்]

இடைவெளிகள்	f'(x)=2x-4-ன் குறியீடு	சார்பின் தன்மை
(-∞,2)	< 0	f(x) ஆனது (-∞,2) ல் திட்டமாகக்  குறையும் சார்பு
(2,∞)	> 0	f(x) ஆனது (2,∞) ல் திட்டமாகக்  குறையும் சார்பு

 

B = \(\begin{bmatrix}3 & 1 \\ -1 & 3\end{bmatrix}\)
\(A=\left(\begin{array}{cc} 3 & 1 \\ -1 & 3 \end{array}\right)\)
\(|A|=9+1=10 \neq 0\)
\({A}^{-1}={{1}\over{|A|}}adj\ A={{1}\over{10}}\begin{bmatrix} 3 & -1 \\ 1 & 3\end{bmatrix}\)
\(\frac { 1 }{ 10 } \left[ \begin{matrix} 3 & -1 \\ 1 & 3 \end{matrix} \right] \)

∴ |AB| = - 30

ஒட்டுறவுக் கெழு r =\(\frac { N\Sigma XY-(\Sigma X)(\Sigma Y) }{ \sqrt { N\Sigma { X }^{ 2 }-(\Sigma X)^{ 2 } } \sqrt { N\Sigma { Y }^{ 2 }-(\Sigma Y)^{ 2 } } } \)
=\(\frac { 9(597)-(45\times 108) }{ \sqrt { 9(285)-(45)^{ 2 }\times \sqrt { 9(1356)-(108^{ 2 }) } } } \)
r =+0.95

2/5

\(\frac { -20 }{ { x }^{ 5 } } +\frac { 6 }{ { x }^{ 4 } } -\frac { 5 }{ { x }^{ 2 } } \)

\(\frac { \sqrt { 3 } -1 }{ \sqrt { 3 } +1 } \)

அதாவது \(\frac { 3\pi }{ 2 }  A மற்றும் B ஆகியன நான்காம் கால் பகுதியில் அமைகிறது. எனில் \(\sin { A }\) மற்றும் \(\sin { B } \) ஆகியவை குறைகுறி உடையதாக இருக்கும்.
\(\cos A={4\over 5}\)  மற்றும் \(\cos\ B={12\over 13},\)
ஆகவே, 
\(\sin { A } =-\sqrt { 1-\cos ^{ 2 }{ A } } \)
\(=-\sqrt { 1-\frac { 16 }{ 25 } } \)
\(=-\sqrt { \frac { 25-16 }{ 25 } } \)
\(=-\frac { 3 }{ 5 } \)
\(\sin { B } =-\sqrt { 1-\cos ^{ 2 }{ B } } \)
\(=-\sqrt { 1-\frac { 144 }{ 169 } } \)
\(=-\sqrt { \frac { 169-144 }{ 169 } } \)
\(=-\frac { 5 }{ 13 } \)
sin(A – B) = sinA cosB – cosA sinB
\(=\left({-3\over5}\right)\left( {12\over 13} \right)-\left( {4\over5} \right)\left( {-5\over 13} \right)\)
\(={-36\over 65}+{20\over 65}={-16\over 65}\)

\(\underset { x\rightarrow 2 }{ lim } \frac { { x }^{ 2 }-4x+6 }{ x+2 } =\frac { \underset { x\rightarrow 2 }{ lim } \left( { x }^{ 2 }-4x+6 \right) }{ \underset { x\rightarrow 2 }{ lim } \left( x+2 \right) } \)
\(=\frac { \left( 2 \right) ^{ 2 }-4\left( 2 \right) +6 }{ 2+2 } =\frac { 1 }{ 2 } \)

x²+y²-16x+4y-32 =0

8 மாணவர்களின் நேர்கோட்டின் மீதான வரிசை மாற்றங்களின் எண்ணிக்கை = 8P₈ = 8! வழிகள்

6 வணிகவியல் புத்தகங்களில் ஒன்றை 6 வழிகளில் வாங்கலாம். 5 கணக்குப் பதிவியல் புத்தகங்களில் ஒன்றை 5 வழிகளில் வாங்கலாம். கூட்டலின் அடிப்படைக் கொள்கைபடி இவ்விரு பாடபுத்தகங்களில் ஏதேனும் ஒன்றை 5 + 6 = 11 வழிகளில் வாங்கலாம்.

5C₀ + 5C₁ + 5C₂ + 5C₃ + 5C₄ + 5C₅ + (5C₁ + 5C₂ + 5C₃ + 5C₄)
= 2⁵ + (2⁵ - (5C₀ + 5C₅)
= 32 + 32 - (1 + 1)
= 64 - 2 = 2⁶ - 2