A=\(\left[ \begin{matrix} 2 & 9 \\ 1 & 7 \end{matrix} \right] \) எனில் (A^T)^-1 = (A^-1)^T என்ற பண்பை சரிபார்க்க.

பின்வரும் நேரியச் சமன்பாட்டுத் தொகுப்பை நேர்மாறு அணி காணல் முறையை பயன்படுத்தி தீர்க்க:
5x + 2y = 3, 3x + 2y = 5

4 ஆடவரும் 4 மகளிரும் சேர்ந்து ஒரு குறிப்பிட்ட  வேலையை 3 நாட்களில் செய்து முடிப்பார்கள். அதே வேலையை 2 ஆடவரும் 5 மகளிரும்  சேர்ந்து 4 நாட்களில் முடிப்பார்கள் எனில் அவ்வேலையை ஓர் ஆடவர் மற்றும் ஒரு மகளிர் தனித்தனியாக செய்து முடிப்பதற்கு எத்தனை நாட்களாகும்?

ஒரு போட்டித் தேர்வில் ஒவ்வொரு சரியான விடைக்கும் ஒரு மதிப்பெண் வழங்கப்படுகிறது. ஒவ்வொரு தவறான விடைக்கும் \(\frac { 1 }{ 4 } \) மதிப்பெண் குறைக்கப்படுகிறது. ஒரு மாணவர் 100 கேள்விகளுக்குப் பதிலளித்து 80 மதிப்பெண்கள் பெறுகிறார் எனில் அவர் எத்தனை கேள்விகளுக்குச் சரியாக பதில் அளித்திருப்பார்? (கிராமரின் விதியைப் ப பயன்படுத்தி இக்கணக்கைத் தீர்க்கவும்).

z₁, z₂, மற்றும் z₃ ஆகிய கலப்பெண்கள் \(\left| { z }_{ 1 } \right| =\left| { z }_{ 2 } \right| =\left| { z }_{ 3 } \right| =\left| { z }_{ 1 }+{ z }_{ 2 }+{ z }_{ 3 } \right| \) = 1 என்றவாறு இருந்தால், \(\left| \frac { 1 }{ { z }_{ 1 } } +\frac { 1 }{ { z }_{ 2 } } +\frac { 1 }{ { z }_{ 3 } } \right| \) -ன் மதிப்பைக் காண்க.

1, \(\frac { -1 }{ 2 } +i\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \\ \) மற்றும் 1, \(\frac { -1 }{ 2 } -i\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \\ \) என்ற புள்ளிகள் ஒரு சமபக்க முக்கோணத்தின் முனைப்புள்ளிகளாக அமையும் என நிறுவுக.

z₁ மற்றும் z₂ என்ற ஏதேனும் இரு கலப்பெண்களுக்கு \(\left| { { z }_{ 1 } } \right| =\left| { z }_{ 2 } \right| =1\) மற்றும் z₁z₂ ≠ -1 எனில் \(\frac { { z }_{ 1 }+{ z }_{ 2 } }{ 1+{ z }_{ 1 }{ z }_{ 2 } } \) ஓர் மெய் எண் எனக்காட்டுக.

cos α + cos β + cos ⋎ = sin α + sin β + sin ⋎ = 0 எனில்,
(i) cos3 α + cos3 β + cos3 ⋎ = 3cos (α+ β + ⋎) மற்றும்
(ii) sin3 α + sin3 β + sin3 ⋎ = 3 sin (α+ β + ⋎) என நிறுவுக.

சுருக்குக \({ \left( sin\frac { \pi }{ 6 } +icos\frac { \pi }{ 6 } \right) }^{ 18 }\)

z = 2 + 3i எனக்கொண்டு கீழ்க்காணும் கலப்பெண்களை ஆர்கண்ட் தளத்தில் குறிக்க.
z, iz மற்றும் z - iz

கீழ்க்காணும் பண்புகளை நிறுவுக.
Re(z) = \(\frac { z+\bar { z } }{ 2 } \)  மற்றும் Im(z) = \(\frac { z-\bar { z } }{ zi } \)

z = 2 - 2i எனில், ஆதியைப் பொருத்து z-ஐ θ ரேடியன்கள் கடிகார திசைக்கு எதிர் திசையில் சுழற்றினால் z-ன் மதிப்பை கீழ்க்காணும் θ மதிப்புகளுக்கு காண்க.
\(\theta =\frac { 2\pi }{ 3 } \)

ஒரு வட்டத்தை ஒரு கோடு இரு புள்ளிகளுக்கு மேல் வெட்டாது என நிறுவுக.

ஒரு நேர்க்கோடும் ஒரு பரவளையமும் இரு புள்ளிகளுக்கு மேற்பட்டு வெட்டிக் கொள்ளாது என்பதனை நிரூபிக்க.

x³ − 3x² − 33x + 35 = 0 என்ற சமன்பாட்டைத் தீர்க்க.

4^x-3(2^x+2)+2⁵ =0 எனும் சமன்பாட்டை நிறைவு செய்யும் அனைத்து மெய்யெண்களையும் காண்க.

மதிப்புக் காண்க
\(\cos\left( { \cos }^{ -1 }\left( \frac { 4 }{ 5 } \right) +{ \sin }^{ -1 }\left( \frac { 4 }{ 5 } \right) \right) \)

மதிப்பு காண்க
i)  tan⁻¹(\(-\sqrt3\))
ii)  tan⁻¹\((\tan\frac{3\pi}{5})\)
iii) tan(tan^-1−(2019))

தீர்க்க:
 \({ \sin }^{ -1 }\frac { 5 }{ x } +{ \sin }^{ -1 }\frac { 12 }{ x } =\frac { \pi }{ 2 } \)

பின்வருவனவற்றிற்கு சார்பகம் காண்க
g(x) = 2sin⁻¹(2x−1)−\(\frac{\pi}{4}\)

தீர்க்க:
\(2{ \tan }^{ -1 }(\cos x)={ \tan }^{ -1 }(2cosec \ x)\)

ஒருவழிப்பாதையில் உள்ள அரை நீள்வட்ட வளைவின் உயரம் 3 மீ மற்றும் அகலம் 12 மீ. ஒரு சரக்கு வாகனத்தின் அகலம் 3 மீ மற்றும் உயரம் 2.7 மீ எனில் இந்த வாகனம் வளைவின் வழி செல்ல முடியுமா?

ஏதேனும் ஒரு வெக்டர் \(\vec { a }\)-க்கு, \(\hat { i } \times \left( \vec { a } \times \hat { i } \right) +\hat { j } \times \left( \vec { a } \times \hat { j } \right) +\hat { k } \times \left( \vec { a } \times \hat { k } \right) =2\vec { a }\) என நிறுவுக.

வழக்கமான குறியீடுகளுடன், முக்கோணம் ABC-ல், வெக்டர்களைப் பயன்படுத்தி பின்வருவனவற்றை நிறுவுக.
(i) a²=b²+c²−2bc cos A
(ii) b²=c²+a²−2ca cos B
(iii) c²= a²+b²−2ab cos C

y=x³-6x²+x+3 என்ற வளைவரைக்கு எப்புள்ளிகளில் வரையப்படும் தொடுகோடு x+y=1729 என்ற கோட்டிற்கு செங்குத்தாக இருக்கும்?