A = \(\frac { 1 }{ 7 } \left[ \begin{matrix} 6 & -3 & a \\ b & -2 & 6 \\ 2 & c & 3 \end{matrix} \right] \) என்பது செங்குத்து அணி எனி a, b மற்றும் c களின் மதிப்பைக் காண்க. இதிலிருந்து A⁻¹-ஐக் காண்க.

A=\(\left[ \begin{matrix} -5 & 1 & 3 \\ 7 & 1 & -5 \\ 1 & -1 & 1 \end{matrix} \right] \) மற்றும் B=\(\left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \end{matrix} \right] \) எனில் பெருக்கற்பலன் AB மற்றும் BA காண்க. இதன் மூலம் x + y + 2z = 1, 3x + 2y + z = 7,2x + y + 3z = 2 என்ற நேரியச் சமன்பாட்டு தொகுப்பைத் தீர்க்கவும்.

பின்வரும் நேரியச் சமன்பாட்டுத் தொகுப்பானது ஒருங்கமைவு உடையதா என ஆராய்க.
x - y + z = -9, 2x - y + z = 4, 3x - y + z = 6, 4x - y + 2z = 7

λ, μ-இன் எம்மதிப்புகளுக்கு x + 2y + z = 7, x + y + λz = μ, x +3y - 5z = 5 என்ற சமன்பாடுகள் (i) யாதொரு தீர்வும் பெற்றிறாது (ii) ஒரே ஒரு தீர்வைப் பெற்றிருக்கும் (iii) எண்ணிக்கையற்ற தீர்வுகளைப் பெற்றிருக்கும் என்பதனை ஆராய்க.

λ -வின் எம்மதிப்பிற்கு x+y+3z=0, 4x+3y+λz=0, 2x+y+2z=0 என்ற தொகுப்பிற்கு
(i) வெளிப்பைடைத் தீர்வு
(ii) வெளிப்படையற்ற தீர்வு கிடைக்கும்.

2x³ − 6x² + 3x + k = 0 எனும் சமன்பாட்டின் ஒரு மூலம் மற்ற இரு மூலங்களின் கூடுதலின் இரு மடங்கு எனில், k-ன் மதிப்பைக் காண்க. மேலும் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க.

தீர்க்க: (x − 5)(x − 7)(x + 6)(x + 4) = 504

6x⁴ − 5x³ − 38x² − 5x + 6 = 0எனும் சமன்பாட்டின் ஒரு தீர்வு \(\frac{1}{3}\) எனில், சமன்பாட்டின் தீர்வு காண்க.

தீர்க்க \(\cos\left( { \sin }^{ -1 }\left( \frac { x }{ \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } } \right) \right) =\sin\left\{ { \cot }^{ -1 }\left( \frac { 3 }{ 4 } \right) \right\} \)

(1,1),(2,-1), மற்றும் (3,2) என்ற மூன்று புள்ளிகள் வழிச்செல்லும் வட்டத்தின் சமன்பாடு காண்க.

x−y+4=0 என்ற நேர்க்கோடு x²+3y²=12 என்ற நீள்வட்டத்தின் தொடுகோடு என நிறுவுக. மேலும் தொடும் புள்ளியைக் காண்க.

ஒரு கான்கிரீட் பாலம் பரவளைய வடிவில் உள்ளது. சாலையின்மேல் உள்ள பாலத்தின் நீளம் 40மீ மற்றும் அதன் அதிகபட்ச உயரம் 15மீ எனில் அந்தப் பரவளைய வளைவின் சமன்பாடு காண்க.

பொறியாளர் ஒருவர் குறுக்கு வெட்டு பரவளையமாக உள்ள ஒரு துணைக்கோள் ஏற்பியை வடிவமைக்கின்றார். ஏற்பி அதன் மேல்பக்கத்தில் 5மீ அகலமும், முனையிலிருந்து குவியம்
1.2 மீ தூரத்திலும் உள்ளது.
(a) முனையை ஆதியாகவும், x-அச்சு பரவளையத்தின் சமச்சீர் அச்சாகவும் கொண்டு ஆய அச்சுகளைப் பொருத்தி பரவளையத்தின் சமன்பாடு காண்க.
(b) முனையிலிருந்து செயற்கைக்கோள் ஏற்பியின் ஆழம் காண்க.

ஒரு அணு உலை குளிரூட்டும் தூணின் குறுக்கு வெட்டு அதிபரவளைய வடிவில் உள்ளது. மேலும் அதன் சமன்பாடு \(\frac { { x }^{ 2 } }{ { 30 }^{ 2 } } -\frac { { y }^{ 2 } }{ { 44 }^{ 2 } } =\)1. தூண் 150மீ உயரமுடையது. மேலும் அதிபரவளையத்தின் மையத்திலிருந்து தூணின் மேல்பகுதிக்கான தூரம் மையத்திலிருந்து அடிப்பகுதிக்கு உள்ள தூரத்தில் பாதியாக உள்ளது. தூணின் மேற்பகுதி மற்றும் அடிப்பகுதியின் விட்டங்களைக் காண்க.

A, B என்ற இரு புள்ளிகள் 10கி.மீ இடைவெளியில் உள்ளன. இந்தப் புள்ளிகளில் வெவ்வேறு நேரங்களில் கேட்கப்பட்ட வெடிச்சத்தத்திலிருந்து வெடிச்சத்தம் உண்டான இடம் A என்ற புள்ளி Bஎன்ற புள்ளியைவிட 6 கி.மீ அருகாமையில் உள்ளது என நிர்ணயிக்கப்பட்டது. வெடிச்சத்தம் உண்டான இடம் ஒரு குறிப்பிட்ட வளைவரைக்கு உட்பட்டது என நிரூபித்து அதன் சமன்பாட்டைக் காண்க.

ஒரு குறிப்பிட்ட தொலைநோக்கியில் பரவளைய பிரதிபலிப்பான் மற்றும் அதிபரவளைய பிரதிபலிப்பான் இரண்டும் உள்ளது. படத்தில் உள்ள தொலைநோக்கியில் பரவளையத்தின் முனையிலிருந்து 14மீ உயரத்தில் உள்ள F₁ என்ற அதிபரவளையத்தின் ஒரு குவியம் பரவளையத்தின் குவியமாகவும் உள்ளது. அதிபரவளையத்தின் இரண்டாவது குவியம் F₂ பரவளையத்தின் முனையிலிருந்து 2மீ உயரத்தில் உள்ளது. அதிபரவளையத்தின் முனை F₁-க்கு 1மீ கீழே உள்ளது. அதிபரவளையத்தின் மையத்தை ஆதியாகவும் குவியங்களை y-அச்சிலும் கொண்ட அதிபரவளையத்தின் சமன்பாடு காண்க.

\(\frac { x-3 }{ 3 } =\frac { y-3 }{ -1} = z-1=0\) மற்றும் \(\frac { x-6 }{ 2 } =\frac { z-1 }{ 3 },y-2=0 \) என்ற கோடுகள் வெட்டிக் கொள்ளும் எனக்காட்டுக. மேலும், அவை வெட்டும் புள்ளியைக் காண்க.

(2,2,1), (9,3,6) ஆகிய புள்ளிகள் வழிச் செல்லக்கூடியதும் 2x+6y+6z=9 என்ற தளத்திற்குச் செங்குத்தாக அமைவதுமான தளத்தின் துணையலகு வெக்டர் சமன்பாடு மற்றும் கார்டீசியன் சமன்பாடுகளைக் காண்க.

\(\hat { i } +\hat { 2j } +\hat { 3k } \) என்ற நிலை வெக்டரைக் கொண்ட புள்ளியின் பிம்பப் புள்ளியை \(\vec { r } .\left( \hat { i } +2\hat { j } +4\hat { k } \right) =38\)என்ற தளத்தில் காண்க.

கொணரிப்பட்டையிலிருந்து நிமிடத்திற்கு 30 கன மீட்டர் வீதத்தில் கொட்டப்படும் உப்பு வட்ட வடிவ அடிமானம் கொண்ட கூம்பு வடிவம் பெறுகிறது. மேலும் கூம்பின் உயரமும் அடிமானத்தின் விட்டமும் சமமாக உள்ளது. 10 மீட்டர் உயரம் எனும் போது கூம்பின் உயரம் எவ்வேகத்தில் அதிகரிக்கும்?

x²+4y²=8 என்ற நீள்வட்டமும் x²-2y²=4 என்ற அதிபரவளையமும் செங்குத்தாக வெட்டிக் கொள்ளும் என நிறுவுக.

xy = 2 என்ற செவ்வக அதிபரவளையத்திற்கும் x²+4y=0 என்ற பரவளையத்திற்கும் இடைப்பட்ட கோணத்தினைக் காண்க.

மதிப்பிடுக : \(\log(\underset{x\rightarrow \infty}{\lim}(1+2x)^{\frac{1}{2 \log x}}\)

(1,1) என்ற புள்ளியில் இருந்து, ஓரலகு வட்டம் x² + y² =1-ன் மீதுள்ள எப்புள்ளி மிக அருகாமையிலும், எப்புள்ளி மிக அதிகத் தொலைவிலும் இருக்கும்?

இரண்டு மிகை எண்களின் பெருக்குத்தொகை 20, மேலும் அதன் கூடுதல் சிறுமம் எனில் அந்த எண்களைக் காண்க.