கீழ்க்காணும் தொடர்புகளுக்கு தற்சுட்டு, சமச்சீர் மற்றும் கடப்பு ஆகியவற்றை பற்றி ஆராய்க.
P என்பது தளத்திலுள்ள அனைத்து நேர்க்கோடுகளின் கணத்தைக் குறிப்பதாகக் கொள்க. தொடர்பு R என்பது “l ஆனது m-க்குச் செங்குத்தாக இருந்தால் lRm” என வரையறுக்கப்படுகிறது.

கீழ்க்காணும் தொடர்புகளுக்கு தற்சுட்டு, சமச்சீர் மற்றும் கடப்பு ஆகியவற்றை பற்றி ஆராய்க.
அனைத்து இயல் எண்களின் கணத்தில் தொடர்பு R என்பது “ x+2y =1” எனில் xRy என வரையறுக்கப்படுகிறது.

ஒரு தளத்திலுள்ள அனைத்து முக்கோணங்களின் கணத்தை P என்போம். P -ல் R என்ற தொடர்பானது “a ஆனது b ன் வடிவொத்தாக இருப்பின் aRb“ என வரையறுக்கப்படுகிறது. R என்பது சமானத் தொடர்பு  என நிறுவுக

A = { a, b, c } என்க. A-ன் மீதான மிகச்சிறிய செவ்வெண்மையுடைய சமானத் தொடர்பு என்ன? A-ன் மீதான மிகப்பெரிய செவ்வெண்மையுடைய சமானத் தொடர்பு என்ன?

y = sin x என்ற சார்பினை வரைந்து அதன் மூலம்
1.y = sin(-x)
2. y = -sin(-x)
3.\(y=sin({\pi \over 2}+x)\)
4.\(y=sin({\pi \over 2}-x)\)
ஆகியவற்றை வரைக. (இங்கு (iii),(iv) என்பவை cos x என்பது முக்கோணவியல் மூலம் தெரிந்து கொள்ளலாம்).

y = | x | என்ற வளைவரையின் மூலம்
1. y = | x - 1 | + 1
2. y = | x + 1 | - 1
3. y = | x + 2 | + 3 ஆகியவற்றை வரைக.

f:R - {-1, 1} ⟶ R எனும் சார்பினை \(f(x)={x\over x^2-1}\) என வரையறுத்தால் f என்ற சார்பு ஒன்றுக்கொன்றா இல்லையா என்பதைச் சரிபார்க்கவும்

மெய்மதிப்புச் சார்பு f ஆனது \(f(x)={\sqrt{9-x^2}\over \sqrt{x^2-1}}\) என வரையறுக்கப்படுகிறது எனில் அதன் சாத்தியமான மீப்பெரு சார்பகத்தைக் காண்க.

“f மற்றும் g o f ஆகியவை ஒன்றுக்கொன்றாக இருந்தால், g ஆனதும் ஒன்றுக்கொன்றாகும்” என்ற கூற்று தவறு என நிரூபிக்க

f(x) = |x| + x மற்றும் g(x)=|x|-x என f,g:R ⟶ R வரையறுக்கப்படின் gof மற்றும் fog காண்க.

ஒரு உற்பத்தியாளர் 12 விழுக்காடு அமிலம் கொண்ட 600 லிட்டர் கரைசல் வைத்திருக்கிறார். இதனுடன் எத்தனை லிட்டர்கள் 30 விழுக்காடு அமிலத்தைக் கலந்தால் 15 விழுக்காட்டிற்கும் 18 விழுக்காட்டிற்கும் இடைப்பட்ட அடர்த்தி கொண்ட அமிலக் கரைசல் கிடைக்கும்?

10ஐ விடப் பெரிய அடுத்தடுத்த இரண்டு ஒற்றைப்படை இயல் எண்களின் கூடுதல் 40ஐ விடக் குறைவாக இருக்க வேண்டுமெனில், அவ்வெண்களைக் காண்க.

k(x-1)² = 5x - 7 என்பதன் ஒரு மூலம் மற்றதன் இருமடங்கு எனில், k = 2 அல்லது -25 எனக் காண்க.

கீழ்க்காணும் விகிதமுறு கோவைகளைப் பகுதி பின்னங்களாகப் பிரித்தெழுதுக.
\(\frac{1}{x^2-a^2}\)

கீழ்க்காணும் விகிதமுறு கோவைகளைப் பகுதி பின்னங்களாகப் பிரித்தெழுதுக.
\(\frac{x}{(x^2+1)(x-1)(x+2)}\)

கீழ்க்காணும் விகிதமுறு கோவைகளைப் பகுதி பின்னங்களாகப் பிரித்தெழுதுக.
\(\frac{x}{(x-1)^3}\)

கீழ்க்காணும் விகிதமுறு கோவைகளைப் பகுதி பின்னங்களாகப் பிரித்தெழுதுக.
\(\frac{x+12}{(x+1)^2(x-2)}\)

கீழ்க்காணும் விகிதமுறு கோவைகளைப் பகுதி பின்னங்களாகப் பிரித்தெழுதுக.
\(\frac{6x^2-x+1}{x^3+x^2+x+1}\)

a² + b² = 7ab எனில், \(\log\frac { a+b }{ 3 } =\frac { 1 }{ 2 } \) (log a + log b) எனக் காண்க.

log₂x-3log_1/2x = 6 - ன் தீர்வு காண்க.

sec \(\theta\) + tan \(\theta\) = p எனில், sec \(\theta\), tan \(\theta\) மற்றும் sin \(\theta\) ஆகியவற்றின் மதிப்பை p இன் வாயிலாகக் காண்க.

a sec\(\theta\) - c tan\(\theta\) = b மற்றும் b sec\(\theta\) + d tan\(\theta\) = c ஆகிய சமன்பாடுகளிலிருந்து \(\theta\)ஐ நீக்குக.

66 கி.மீ. / மணி நேர வேகத்தில் 1500மீ. ஆரம் கொண்ட ஒரு வட்டப்பாதையில் ஒரு தொடர்வண்டி இயக்கப்படுகிறது எனில், 20 வினாடியில் அது கடக்கும் கோணத்தைக் காண்க.

\(x+y+z=xyz\) எனில், \(\frac { 2x }{ 1-{ x }^{ 2 } } +\frac { 2y }{ 1-{ y }^{ 2 } } +\frac { 2z }{ 1-{ z }^{ 2 } } =\frac { 2x }{ 1-{ x }^{ 2 } } \frac { 2y }{ 1-{ y }^{ 2 } } \frac { 2z }{ 1-{ z }^{ 2 } } \) என நிறுவுக

\(cos\frac { \pi }{ 15 } cos\frac { 2\pi }{ 15 } cos\frac { 3\pi }{ 15 } cos\frac { 4\pi }{ 15 } cos\frac { 5\pi }{ 15 } cos\frac { 6\pi }{ 15 } cos\frac { 7\pi }{ 15 } =\frac { 1 }{ 128 } \)எனக் காண்பி

\(\triangle\)ABC இல் பின்வருவனவற்றை நிறுவுக.
 \(a \sin\left( \frac { A }{ 2 } +B \right) =(b+c)\sin\frac { A }{ 2 } \)

\(\triangle\)ABCஇல் பின்வருவனவற்றை நிறுவுக.
\(a(\cos B+\cos C)=2(b+c)\sin^{ 2 }\frac { A }{ 2 } \)

\({ 0 }^{ o }\le \theta \le { 360 }^{ o }\) என்ற இடைவெளியில் இருக்கும் கீழ்கண்ட சமன்பாட்டின் சரியான தீர்வுக் காண்க.
\(\cos { 2x } =1-3\sin { x } \)

சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும் \(\sin { 2\theta } -\cos { 2\theta } -\sin { \theta } +\cos { \theta } =0\)

சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும் : \(\sin { \theta } +\sqrt { 3 } \cos { \theta } =1\)

n ≥ 1-க்கு 3²ⁿ⁺²-8n-9,  ஆனது 8 ஆல் வகுபடும் என்பதை நிறுவுக.

பூஜ்ஜியமற்ற முதல் n இரட்டை எண்களின் கூடுதல் n²+n என நிரூபிக்க.

கணிதத் தொகுத்தறிதல் முறையில் n≥1 -க்கு 1.2+2.3+3.4+...n.(n+1)=\(\frac{n(n+1)(n+2)}{3}\) என நிரூபிக்க

தொகுத்தறிதலைப் பயன்படுத்தி எல்லா ஒரு இயல் எண் n-க்கும் 5ⁿ⁺¹+4ｘ6ⁿ ஐ 20 ஆல் வகுக்க கிடைக்கும் மீதி 9 என நிரூபிக்க.

நான்கு வெவ்வேறான இலக்கங்ளைக் கொண்ட 4-இலக்க எண்களை 1,2,3,4 மற்றும் 5 என்ற இலக்கங்களைப் பயன்படுத்தி உருவாக்கும்போது, கீழ்க்கண்டவற்றை காண்க.
(i) இவ்வாறான எத்தனை எண்களை உருவாக்கலாம்
(ii) இவற்றில் எத்தனை எண்கள் இரட்டைப்படை?
(iii) இவற்றில் எத்தனை எண்கள் சரியாக 4 ஆல் வகுபடும்.

எந்த ஒரு இயல் எண் n∈N -க்கும் கணிதத் தொகுத்தறிதலின்படி \(cos\alpha+cos(\alpha+\beta)+cos(\alpha+2\beta)+...+cos(\alpha+(n-1)\beta)\)=\(cos(\alpha+\frac{(n-1)\beta}{2})\times\frac{sin(\frac{n\beta}{2})}{sin(\frac{\beta}{2})}\)

கணிதத் தொகுத்தறிதலின்படி i² =-1 எனக் கொண்டு எந்த ஒரு இயல் எண் n-க்கும் \((r(cos\theta+isin\theta))^{n}=r^{n}(cosn \theta+isinn\theta)\) எனக் காட்டுக.

ⁿP_r=720 மற்றும் ⁿC_r =120 எனில், n, r ஐக் காண்க?

INTERMEDIATE என்ற வார்த்தையில் உள்ள எழுத்துகளைப் பயன்படுத்தி கீழ்க்காணும் நிபந்தனைகளுக்கு உட்பட்டு எத்தனை எழுத்துச் சரங்களை உருவாக்கலாம்.
(i) உயிர் எழுத்துகள் மற்றும் மெய் எழுத்துகள் அடுத்தடுத்து வருமாறு
(ii) எல்லா உயிரெழுத்துகளும் ஒன்றாக வருமாறு
(iii) உயிரெழுத்துகள் ஒன்றாக வராத வகை
(iv) எந்த இரு உயிரெழுத்துகளும் ஒன்றாக வராத வகை

ஒரு வினாத்தாளில் உள்ள 8 வினாக்களில் 4 வினாக்கள் பகுதி அ -விலும் 4 வினாக்கள் பகுதி ஆ-விலும் உள்ளன. தேர்வு எழுதுபவர் 5 வினாக்களுக்கு விடையளிக்க வேண்டும். கீழ்க்கண்ட நிபந்தனைகளை நிறைவுசெய்யும் வகையில் எத்தனை வழிகளில் இதனைச் செய்யலாம்.
(i) இரு பகுதிகளிலிருந்தும் எவ்வித கட்டுப்பாடும் இல்லாமல் எத்தனை வினாக்களை வேண்டுமானாலும் தேர்வு செய்யலாம்.
(ii) குறைந்தபட்சம் இரண்டு வினாக்களையாவது பகுதி அ -வில் இருந்து எழுதவேண்டும்.

\({ \left( { x }^{ 2 }-\frac { 1 }{ { x }^{ 3 } } \right) }^{ 6 }\)-ன் விரிவில் x⁶ மற்றும் x² -ன் கெழுக்களைக் காண்க .

\({ \left( 1+{ x }^{ 3 } \right) }^{ 50 }{ \left( { x }^{ 2 }+\frac { 1 }{ { x } } \right) }^{ 5 }\) -ன் விரிவில் x⁴ -ன் கெழுவைக் காண்க.

(1 + x)ⁿ -ன் விரிவில் 5 ஆவது, 6 ஆவது மற்றும் 7 ஆவது உறுப்புகளின் கெழுக்கள் ஒரு கூட்டுத் தொடர் எனில், n-ன் மதிப்புகளை க் காண்க .

\({ C }_{ 0 }^{ 2 }+{ C }_{ 1 }^{ 2 }+{ C }_{ 2 }^{ 2 }+......+{ C }_{ n }^{ 2 }=\frac { 2n! }{ { \left( n! \right) }^{ 2 } } \) என நிறுவுக.

ஏறு வரிசையில் பெருக்குத்தொடர் முறையில் உள்ள மூன்று உறுப்புகளின் பெருக்கல் 5832. இரண்டாவது எண்ணுடன் 6 ஐயும் மூன்றாவது எண்ணுடன் 9 ஐயும் கூட்டக் கிடைக்கும் எண்கள் ஒரு கூட்டுத் தொடர்முறையாக இருக்கும் எனில், பெருக்குத் தொடர் முறையின் அந்த மூன்று எண்களைக் காண்க.

இரு எண்களின் கூட்டுச் சராசரியானது, பெருக்குச் சராசரியை விட 10 அதிகமாகவும், இசைச் சராசரியை விட 16 அதிகமாகவும் இருக்குமானால் அந்த இரு எண்களைக் காண்க .

ஒரு பெருக்குத் தொடரின் p, q மற்றும் r ஆவது, உறுப்புகள் முறையே a,b மற்றும் c எனில்,(q-r)log a+(r-p)log b +(p-q)log c = 0 என நிறுவுக

பின்வரும் தொடர்களின் முதல் n உறுப்புகளின் கூடுதல் காண்க. 8+88+888+8888+...

பின்வரும் தொடர்களின் முதல் n உறுப்புகளின் கூடுதல் காண்க. 6 + 66 + 666 + 6666 + ...

1+(1+4)+(1+4+4²)+(1+4+4²+4³)+....என்ற தொடரின் முதல் n உறுப்புகளின் கூடுதல் காண்க.

ஒரு குறிப்பிட்ட வகை குறுந்தகடு ஒன்றின் விலை ரூ 8 ஆக இருக்கும் போது 22,000 குறுந்தகடுகளை வாடிக்கையாளர்கள் வாங்குவார்கள். ஒரு குறுந்தகட்டின் விலை ரூ30 அல்லது அதற்கு மேல் விலை கொடுத்து வாங்க மாட்டார்கள். அதே சமயத்தில் ஒரு குறுந்தகட்டின் விலை ரூ6 அல்லது அதற்கு குறைவாக இருக்கும் போது உற்பத்தியாளர் விற்பனை செய்ய மாட்டார். இருப்பினும், குறுந்தகடு ஒன்றின் விலை ரூ14 ஆக இருக்கும் போது உற்பத்தியாளரால் 24,000 குறுந்தகடுகளை வழங்க இயலும். தேவை மற்றும் வழங்கல் அளவுகள், விலைக்கு நேர்விகித சமமாக எடுத்துக்கொண்டால் பின்வருவனவற்றை எவ்வாறு காணலாம்.
(i) தேவைச் சமன்பாடு (Demand Equation)
(ii) வழங்கல் சமன்பாடு (Supply Equation)
(iii) சந்தையின் சமநிலையில் குறுந்தகடுகளின் எண்ணிக்கை மற்றும் விலை
(iv) ஒரு குறுந்தகட்டின் விலை ரூ10 எனில் தேவை மற்றும் வழங்கல் அளவு.

(-4, 0) மற்றும் (4,0) ஆகிய புள்ளிகளிலிருந்து ஒரு நகரும் புள்ளிக்கு இடைப்பட்ட தொலைவுகளின் கூடுதல் எப்போதும் 10 அலகுகள் எனில், நகரும் புள்ளியின் நியமப்பாதையின் சமன்பாட்டைக் காண்க.

ஒரு நகரத்தில் மக்கள் தொகை 2005 மற்றும் 2010 ஆம் ஆண்டுகளில் முறையே 1,35,000 மற்றும் 1,45,000 எனில், 2015 ஆம் ஆண்டு மக்கள் தொகையை தோராயமாகக் காண்க. (மக்கள் தொகையின் வளர்ச்சி ஒரு மாறிலி).

x sec θ+y cosec θ=2a மற்றும் x cosθ-y sin θ=a cos 2θ என்ற கோடுகளுக்கு ஆதியிலிருந்து செங்குத்துத் தூரங்கள் முறையே p₁மற்றும் p₂ எனில் \({ p }_{ 1 }^{ 2 }+{ p }_{ 2 }^{ 2 }={ a }^{ 2 }\) என நிறுவுக

2x²-xy-3y²-6x+19y-20=0 என்பது ஒன்றையொன்று வெட்டிக் கொள்ளும் கோடுகள் எனவும், அதற்கு இடைப்பட்ட கோணம் tan^-1(5) என நிறுவுக.

y = x என்ற கோட்டுடன் a கோணத்தை உடைய, ஆதி வழிச் செல்லும் இரட்டைக் கோடுகளின் சமன்பாடு  \(x^2-2xy\ \sec 2\alpha +y^2=0\) என காண்பி.

12x²+2kxy+2y²+11x-5y+2=0 என்ற சமன்பாடு இரட்டை நேர்க்கோட்டின் சமன்பாட்டைக் குறித்தால் k -ன் மதிப்பைக் காண்க.

x²-2kxy-y²=0 என்ற இரட்டை நேர்க்கோடு x²-2lxy-y² -ன் கோணங்களின் இருசமவெட்டி எனில், இரண்டாவதாகக் குறிப்பிட்ட கோடுகளும் முதலாவதாகக் குறிப்பிட்ட கோடுகளின் கோணங்களின் இருசமவெட்டி எனக் காண்பி.

λx²-10xy+12y²+5x-16y-3 = 0 என்பது ஒரு இரட்டை நேர்க்கோட்டை குறிக்கும் எனில், 
(i) λ-ன் மதிப்பு மற்றும் தனித்தனிச் சமன்பாடுகளைக் காண்க.
(ii) இவ்விரு கோடுகள் வெட்டும் புள்ளியைக் காண்க.
(iii) இரு கோடுகளுக்கு இடைப்பட்ட கோணம் காண்க

\(A=\left[ \begin{matrix} 4 & 6 & 2 \\ 0 & 1 & 5 \\ 0 & 3 & 2 \end{matrix} \right] \) மற்றும் \(B=\left[ \begin{matrix} 0 & 1 & -1 \\ 3 & -1 & 4 \\ -1 & 2 & 1 \end{matrix} \right] \)  எனில், பின்வருவனவற்றைச் சரிபார்க்க.  \({ (AB) }^{ T }={ B }^{ T }{ A }^{ T }\)

காரணித் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி \(\left| \begin{matrix} x+1 & 3 & 5 \\ 2 & x+2 & 5 \\ 2 & 3 & x+4 \end{matrix} \right| ={ (x-1) }^{ 2 }(x+9)\) என நிறுவுக .

\(\left| A \right| =\left| \begin{matrix} { (q+r) }^{ 2 } & { p }^{ 2 } & { p }^{ 2 } \\ { q }^{ 2 } & { (r+p) }^{ 2 } & { q }^{ 2 } \\ { r }^{ 2 } & { r }^{ 2 } & { (p+q) }^{ 2 } \end{matrix} \right| =2pqr (p+q+r)^{ 3 }\) என நிறுவுக. 

\(\left| A \right| =\left| \begin{matrix} { a }_{ 1 } & { b }_{ 1 } & { c }_{ 1 } \\ { a }_{ 2 } & { b }_{ 2 } & { c }_{ 2 } \\ { a }_{ 3 } & { b }_{ 3 } & { c }_{ 3 } \end{matrix} \right| \) என்க.\({ a }_{ i },{ b }_{ i },{ c }_{ i }\quad i=1,2,3\) என்பவற்றின் இணைக்காரணிகள் \({ A }_{ i },{ B }_{ i },{ C }_{ i }\) எனில், \(\left| \begin{matrix} A_{ 1 } & B_{ 1 } & { C }_{ 1 } \\ { A }_{ 2 } & { B }_{ 2 } & { C }_{ 2 } \\ { A }_{ 3 } & { B }_{ 3 } & { C }_{ 3 } \end{matrix} \right| =\left| A \right| ^{ 2 }\)  என நிறுவுக .

 \(\left| \begin{matrix} a & b & a\alpha +b \\ b & c & b\alpha +c \\ a\alpha +b & b\alpha +c & 0 \end{matrix} \right| =0\)எனில், a,b,c என்பன G.P.-ல்  அமையும் அல்லது  \(\alpha \) என்பது \(a{ x }^{ 2 }+2bx+c=0\) -ன் ஒரு மூலமாகும் என நிறுவுக. 

\(A=\left[ \begin{matrix} \frac { 1 }{ 2 } & \alpha \\ 0 & \frac { 1 }{ 2 } \end{matrix} \right] \) எனில், \(\sum _{ k=1 }^{ n }{ det({ A }^{ k })=\frac { 1 }{ 3 } } \left( 1-\frac { 1 }{ { 4 }^{ n } } \right) \) என நிறுவுக. 

A = \(\left[ \begin{matrix} 5 & 3 & 8 \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{matrix} \right] \) என்ற அணியின் இரண்டாம் நிரையில் உள்ள உறுப்புகளின் இணைக்காரணிகளைப் பயன்படுத்தி, \(\left| A \right| \)-ன் மதிப்பைக் காண்க.

தீர்க்க : \(\left| \begin{matrix} x+a & b & c \\ a & x+b & c \\ a & b & x+c \end{matrix} \right| =0.\)

 \(\left| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ x & y & z \\ { x }^{ 2 } & { y }^{ 2 } & { z }^{ 2 } \end{matrix} \right| =(x-y)(y-z)(z-x)\) என நிறுவுக.

\(\cos { 2\theta } =0\) எனில் \(\left| \begin{matrix} 0 & \cos { \theta } & \sin { \theta } \\ \cos { \theta } & \sin { \theta } & 0 \\ \sin { \theta } & 0 & \cos { \theta } \end{matrix} \right| ^{ 2 }\)-ன் மதிப்பைக் காண்க.

\(2\hat { i } +4\hat { j } +3\hat { k } ,4\hat { i } +\hat { j } +9\hat { k } ,10\hat { i } -\hat { j } +6\hat { k } \) என்ற வெக்டர்களை நிலை வெக்டர்களாகக் கொண்ட புள்ளிகள் ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தை அமைக்கும் என நிறுவுக. 

A,B,C ஆகியவை ஒரு முக்கோணத்தின் முனைப்புள்ளிகள் மற்றும் D,E,F என்பவை BC, CA, AB ஆகியவற்றின் மையப்புள்ளிகள் எனில், \(\overrightarrow { AD } +\overrightarrow { BE } +\overrightarrow { CF } =\overrightarrow { 0 } \) என நிறுவுக.

ABCD என்ற நாற்கரத்தில் AC,BD-ன் நடுப்புள்ளிகள் E மற்றும் F ஆக இருப்பின் \(\overrightarrow { AB } +\overrightarrow { AD } +\overrightarrow { CB } +\overrightarrow { CD } =4\overrightarrow { EF } \)  என நிறுவுக.  

கீழ்க்காணும் வெக்டர்கள் ஒரு தள வெக்டர்கள் எனக் காட்டுக.
\(\hat { i } -2\hat { j } +3\hat { k } ,-2\hat { i } +3\hat { j } -4\hat { k } ,-\hat { j } +2\hat { k } \quad \)

\(\vec { a } =2\hat { i } +3\hat { j } -4\hat { k } ,\vec { b } =3\hat { i } -4\hat { j } +5\hat { k } ,\vec { c } =-3\hat { i } +2\hat { j } +3\hat { k } \)எனில் கீழ்க்காணும் வெக்டர்களின் எண்ணளவையும் திசைக் கொசைன்களையும் காண்க
(i) \(\vec { a } +\vec { b } +\vec { c }\)   (ii) \(3\vec { a } -2\vec { b } +5\vec { c }\)

P,Q,R,S என்ற புள்ளிகளின் நிலை வெக்டர்கள் முறையே \((\hat { i } +\hat { j } +\hat { k } ),(2\hat { i } +5\hat { j } ),(3\hat { i } +2\hat { j } -3\hat { k } )\) மற்றும் \((\hat { i } -6\hat { j } -\hat { k } )\) எனில் PQ  மற்றும் RS ஆகியவை இணை எனக் காட்டுக. 

(2,-1,3),(4,3,1) மற்றும் (3,1,2) ஆகிய புள்ளிகள் ஒரே கோடமைப் புள்ளிகள் எனக் காட்டுக.

\(\vec { a } ,\vec { b } \)ஆகியவை அலகு வெக்டர்கள் மற்றும் \(\theta \)  என்பது இவற்றிக்கு இடைப்பட்ட கோணம் எனில், 
\( \sin { \frac { \theta }{ 2 } } =\frac { 1 }{ 2 } \left| \vec { a } -\vec { b } \right|\) எனக் காட்டுக.

 \(\hat { i } +2\hat { j } +\hat { k } \)மற்றும் \(\hat { i } +3\hat { j } +4\hat { k } \)  என்ற வெக்டர்கள் உள்ள தளத்திற்கு செங்குந்தாகவும்  எண்ணளவு \(10\sqrt { 3 } \) உடைய அலகு வெக்டர்களைக் காண்க.

\(\vec { a } ,\vec { b } ,\vec { c } \)என்ற அலகு வெக்டர்களுக்கு \(\vec { a } .\vec { b } =\vec { a } .\vec { c } =0\) மற்றும்  \(\vec { b } \)-க்கும்  \(\vec { c } \)-க்கும் இடைப்பட்ட கோணம் \(\frac { \pi }{ 3 } \) எனில்,  \(\vec { a } =\pm \frac { 2 }{ \sqrt { 3 } } (\vec { b } \times \vec { c } )\)என நிரூபிக்க.

பின்வரும் எல்லை மதிப்பினைக் காண்க:\(\lim _{ x\rightarrow 1 }{ \frac { \sqrt [ 3 ]{ 7+{ x }^{ 3 } } -\sqrt { 3+{ x }^{ 2 } } }{ x-1 } } \)

பின்வரும் எல்லை மதிப்பினைக் காண்க:\(\lim _{ x\rightarrow 2 }{ \frac { 2-\sqrt { x+2 } }{ \sqrt [ 3 ]{ 2 } -\sqrt [ 3 ]{ 4-x } } } \)

மதிப்பிடுக:\(\lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { 1 }{ ({ x }^{ 2 }+{ x }^{ 3 }) } } .\)

ஐன்ஸ்டினின் சார்பியல் கோட்பாட்டின்படி v திசைவேகத்துடன் கூடிய ஒரு பொருளின் நிறை \(m=\frac { { m }_{ 0 } }{ \sqrt { 1-\frac { { v }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } } } } \) , இங்கு m₀ என்பது ஆரம்ப நிறை மற்றும் c என்பது ஒளியின் வேகம், \(v\rightarrow { c }^{ - }\) எனில் m-ல் ஏற்படும் மாற்றம் என்ன? ஏன் இடதுபக்க எல்லை அவசியம்? 

ஒரு விலங்கின் கண்பாவையின் விட்டம் \(f(x)=\frac { 160{ x }^{ -0.4 }+90 }{ 4{ x }^{ -0.4 }+15 } \) என்ற சார்பாகத் தரப்பட்டுள்ளது. இங்கு x என்பது ஒளியின் செறிவினைக் குறிக்கின்றது மற்றும் \(f(x)\) மி.மீ-இல் தரப்பட்டுள்ளது. அந்தப் கண்பாவையின் விட்டத்தை, ஒளியின் செறிவு குறைவாக காண்க.

பின்வரும் சார்புகளுக்கு இடப்புற,வலப்புற எல்லைகளின் மதிப்பக காண்க.
\(x=-2\) -ல் \(f(x)=\frac { { x }^{ 2 }-4 }{ ({ x }^{ 2 }+4x+4)(x+3) } \)

\(\lim _{ x\rightarrow { 0 }^{ + } }{ x\left[ \left\lfloor \frac { 1 }{ x } \right\rfloor +\left\lfloor \frac { 2 }{ x } \right\rfloor +...+\left\lfloor \frac { 15 }{ x } \right\rfloor \right] } =120\) என நிறுவுக. 

\(x\rightarrow 0\) எனும்போது பின்வரும் சார்புகளுக்கு எல்லைமதிப்பு உள்ளதா எனக் காண்க?விடைக்கான காரணம் கூறுக.
 \(\frac { \sin { \left| x \right| } }{ x } \)

பின்வரும் சார்புகள் எந்த இடைவெளிகளில் தொடர்ச்சியானது எனக் காண்க.
\(f(x)=\tan { x } \)

தக்காளி மொத்த விற்பனையாளர் ஒருவர் புதியதாக அறுவடையான தக்காளியின் விலை 100 கிலோவுக்கு குறைவாக வாங்கினால் ரூபாய் Rs.0.16/கி வீதமும் குறைந்தபட்சம் 100கி வாங்கினால் ரூபாய் Rs.0.14/கி  விற்பதாகக் காண்கிறார். மொத்த விலையின் சார்பையும் 100 கிலோ வாங்கும்போது உள்ள விலையையும் காண்க. 

x-ஐ பொறுத்து வகைக்கெழுவைக் காண்க: 
\( y={ x }^{ 3 }+5{ x }^{ 2 }+3x+7\)

வகையிடுக: \(y=\sin ^{ 2 }{ x } \) 

\((2x+1{ ) }^{ 5 }{ (x }^{ 3 }-x+1{ ) }^{ 4 }\)-ஐ வகையிடுக.

\(y=\tan ^{ -1 }{ \left( \frac { 1+x }{ 1-x } \right) } \) எனில் \({ y }^{ ' }\) காண்க.

\({ x }^{ 4 }+{ x }^{ 2 }{ y }^{ 3 }-{ y }^{ 5 }=2x+1\) எனில், \(\frac { dy }{ dx } \)காண்க. 

\(x \log { x } \) -ஐ பொறுத்து  \({ x }^{ x }\)-ன் வகையீடு காண்க.

\({ x }^{ 2 }+x+1\)-ஐப் பொறுத்து \(\tan ^{ -1 }{ (1+{ x }^{ 2 }) } \) -ஐ வகையிடுக.  

\({ x }^{ 4 }+{ y }^{ 4 }=16\) எனில் \(y^{ '' }\) காண்க.

x = a cos t ,y = a sin t எனில் இரண்டாம் வகையீட்டைக் காண்க.

 \({ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }=4\) எனில், \(\frac { { d }^{ 2 }y }{ { d }x^{ 2 } } \) காண்க.

ஒரு தொடர்வண்டி மதுரை சந்திப்பிலிருந்து கோயம்பத்தூர் நோக்கி பிற்பகல் 3 மணிக்கு, v(t)=20t+50 கிமீ/மணி என்னும் திசை வேகத்தில் புறப்படுகிறது.இங்கு t ஆனது மணிகளில் கணக்கிடப்படுகிறது எனில், மாலை 5 மணிக்கு அத்தொடர் வண்டி எவ்வளவு தூரம் பயணித்திற்கும்?     

ஒரு நபரின் உயரம் h செ.மீ மற்றும் எடை w கிகி. அவரின் எடையின் மாறும் வீதம் உயரத்தைப் பொருத்துத் தோராயமாக \(\frac{dw}{dh}=4.364\times 10^{-5}h^{2}\)எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது எனில், எடையை உயரத்தின் சார்பாகக் காண்க.மேலும் ஒரு நபரின் உயரம் 150 செ.மீ-ஆக இருக்கும் போது எடையைக் காண்க.         

ஒரு மரத்தின் வளர்ச்சி t ஆண்டிகளில் \(\frac{18}{\sqrt{t } } \) செ.மீ/ஆண்டு எனும் வீதத்தில் வளர்கிறது.t=0 என இருக்கும்போது உயரம் 5 செ.மீ இருக்கும் என எடுத்துக்கொண்டால்.
(அ) நான்கு ஆண்டிற்குப் பிறகு மரத்தின் உயரத்தைக் காண்க.
(ஆ) எத்தனை ஆண்டுகளுக்குப் பிறகு மரத்தின் உயரம் 149 செ.மீ வளர்ந்து இருக்கும்.          

மாணவன் ஒருவர் தன் மோட்டார் சைக்கிளில் 24 மீ/வினாடி வேகத்தில் சென்று கொண்டிருக்கும்போது, குறிப்பிட்ட தருணத்தில் தனக்கு முன்பாக 40 மீட்டர் தொலைவில் இருக்கும் தடுப்பின் மீது மோதலைத் தவிர்க்க வாகனத்தை நிறுத்த வேண்டியுள்ளது.உடனடியாகத் தன்னுடைய வாகனத்தை 8 மீ/வினாடி² எதிர் முடுக்கத்தில் வேகத்தைக் குறைக்கிறார் எனில் வாகனம் தடுப்பின் மீது மோதுவதற்கு முன் நிற்குமா?
      

ஒரு பந்து 39.2 மீ/வினாடி ஆரம்ப திசைவேகத்தில் தரையிலிருந்து மேல்நோக்கி எறியப்படுகிறது. இங்கு முடுக்கத்தை ஈர்ப்பு விசையைப் பொறுத்து மட்டும் கருதும்போது
(அ) எவ்வளவு நேரம் கழித்துப் பந்து தரையை வந்து மோதும்.
(ஆ) எந்த வேகத்தில் பந்தானது தரையை மோதும்.
(இ) பந்தானது  எவ்வளவு தூரம் மேல் நோக்கிச் செல்லும் என்பதனைக் காண்க.

ஒருவருக்கு ஏற்பட்ட காயம் ஆனது \(=\frac {6}{ t+ 2^2}\)  செ.மீ ²/நாள் 0 < t   ≤ 8 என்ற வீதத்தில் ஞாயிற்றுக்கிழமை முதல் குணமடையத் தொடங்குகிறது. திங்கட்கிழமை அன்று காயப்பகுதியின் பரப்பு 1.4 செ.மீ² எனில் (இங்கு t என்பது நாட்களைக் குறிக்கிறது)
(அ) ஞாயிற்றுக்கிழமையன்று காயப்பகுதியின் பரப்பளவு எவ்வளவாக இருந்திருக்கும்?
(ஆ) இதே வீதத்தில் தொடர்ந்து குணமாகிக் கொண்டிருக்கும்போது வியாழக்கிழமையன்று எதிர்பார்க்கும் காயப் பகுதியின் பரப்பு எவ்வளவு?

மதிப்பிடுக: \(\int { { tan }^{ -1 }\left( \frac { 2x }{ 1-{ x }^{ 2 } } \right) dx } \)

மதிப்பிடுக.
\(\int{\frac{x+1}{x^{2}-3x+1}}dx\)

மதிப்பிடுக.
\(\int\frac{2x+3}{\sqrt{x^{2}+x+1}}dx\)

மதிப்பிடுக.
\(\int\frac{5x-7}{\sqrt{3x-x^{2}-2}}dx\)

பத்து நாணயங்கள் சுண்டப்படுகின்றன (i)சரியாக இரு தலைகள் (ii) அதிகபட்சமாக இரண்டு தலைகள் (iii)குறைந்தது இரண்டு தலைகள் கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவினைக் காண்க.

ஒரு சோடிப் பகடைகளை உருட்டி விடும்போது அவற்றின் கூட்டுத் தொகை 
(i) 7 (ii) 7 அல்லது 9 (iii) 7 அல்லது 12 கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவைக் காண்க?

மூன்று வெல்வேறு நபர்களுக்கு மூன்று கடிதங்கள் எழுதப்பட்டு மூன்று உரைகளில் வைக்கப்பட்டு அவர்களுக்கான விலாசமும் எழுதப்பட்டுள்ளன. முகவரியைப் பார்க்காமலே கடிதங்களை உரையிலிடும்போது (i) ஒரு கடிதம் சரியான உரையாட (ii)எல்லாக் கடிதங்களுமே தவறாக உரையிலிட நிகழ்தகவுகளைக் காண்க.

\(\begin{bmatrix} x & y \\ z & 1 \end{bmatrix}\) என்பது M என்ற அணி என்க. சமவாய்ப்பு முறையில் x,y மற்றும் z ன் மதிப்புகள் {1,2,3} என்ற கணத்திலிருந்து மதிப்புகளைப் பெறலாம் .மேலும் மதிப்புகள் திரும்பத் திரும்பப் பயன்படுத்தலாம் (அதாவது,x=y=z)எனில்,அணி M ஆனது பூச்சிய கோவை அணியாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு என்ன?

கட்டிடம் கட்டும் நிறுவனத்தில் 2 செயற்பொறியாளர்கள் பணியில் அமர்த்தப்பட்டுள்ளனர். நிறுவனத்தின் 60% மற்றும் 40% வேலைகளை முறையே செயற்பொறியாளர்-1 மற்றும் செயற்பொறியாளர்-2 செய்கிறார்கள். முன் அனுபவத்தைப் பொறுத்து செயற்பொறியாளர்-1 மற்றும் செயற்பொறியாளர் வேலை செய்வதில் தவறிழைக்க நிகழ்தகவு முறையே 0.03 மற்றும் 0.04 ஆகும். தற்போது நடைபெறும் கட்டுமானப் பணியில் ஒரு மோசமான (விளைவு) தவறு நிகழ்வதாக கொண்டால் எந்த செயற்பொறியாளர் தவறு இழைத்திருக்ககூடும் என்பதை யூகிக்கவும்.

மூன்று வாடகை மகிழுந்து நிறுவனங்களிடமிருந்து ஆலோசனை தரும் ஒரு நிறுவனம் மகிழுந்துகளை வாடகைக்கு வாங்குகிறது. 50% மகிழுந்துகளை L நிறுவனத்திடமிருந்து, 30% ஐ M-யிடமும் மற்றும் 20%-ஐ N நிறுவனங்களிடமிருந்து வாங்குகிறது. L நிறுவனத்திடமிருந்து வாங்கிய மகிழுந்துகளில் 90% ம் M நிறுவனத்திடமிருந்து வாங்கிய மகிழுந்துகளில் 70%-ம் N நிறுவனத்திடமிருந்து வாங்கிய மகிழுந்துகளில் 60%-ம் நல்ல நிலைமையில் உள்ளன எனில்
(i) ஆலோசனை நிறுவனம் வாங்கிய வாடகை மகிழுந்து நல்ல நிலைமையில் உள்ளதற்கான நிகழ்தகவு யாது? (ii) வாடகைக்கு வாங்கிய மகிழுந்து நல்ல நிலைமையில் உள்ளது. எனில் N நிறுவனத்திடமிருந்து பெறப்பட்டதற்கான நிகழ்தகவைக் காண்க.

ஒரு நாணயம் இருமுறை சுண்டிவிடப்படுகிறது.E என்பது முதல் முறை சுண்டும்போது தலை விழுதல்,F என்பது இரண்டாம் முறை சுண்டும்போது தலை விழுதல் என வரையறுக்கப்பட்டால் பின்வரும் நிகழ்தகவினைக் காண்க.
(i) P(EUF)
(ii) P(E/F)
(iii) P(\(\overline{E}/F\))
(iv) E மற்றும் F சார்பிலா நிகழ்ச்சிகளா?

52 சீட்டுகள்கொண்ட ஒரு சீட்டுக்கட்டிலிருந்து இரண்டு சீட்டுகள் ஒன்றன்பின் ஒன்றாக எடுக்கப்படுகின்றன. எடுக்கப்படும் இரு சீட்டுகளும் ஜாக் (Jack -ஆக இருக்க நிகழ்தகவினை பின்வரும் நிபந்தனைகள் படிக் காண்க.
(i) முதலில் எடுக்கப்பட்ட சீட்டு மீண்டும் சீட்டுக் கட்டில் வைக்கப்படுகிறது.
(ii) முதலில் எடுக்கப்பட்ட சீட்டு மீண்டும் சீட்டுக் கட்டில் வைக்கப்படவில்லை.

வேகமாக ஊடுருவும் ஓர் எதிரி நாட்டு விமானத்தை ஒரு விமான எதிர்ப்பு துப்பாக்கியின் உதவியால் அதிகபட்சமாக நான்கு முறை மட்டுமே சுட (பயன்படுத்த)முடியும். அந்த விமானத்தை முதல், இரண்டாவது, மூன்றாவது மற்றும் நான்காவது முறையில் சுட்டு விழ்த்துவதற்கான நிகழ்தகவுகள் முறையே 0.2,0.4,0.2மற்றும் 0.1 எனில் அந்த விமானத்தைச் சுட்டு விழ்த்துதலுக்கான நிகழ்தகவைக் காண்க.

ஒரு நகரத்தில் உள்ள பிரதான சாலையில் 4 குறுக்குச் சாலையுடன் போக்குவரத்து சமிக்கைகள் உள்ளன. ஒவ்வொரு போக்குவரத்து சமிக்கை திறப்பதற்கு அல்லது மூடுவதற்கான நிகழ்தகவு முறையே 0.4 மற்றும் 0.6 ஆகும்
(i) முதல் குறுக்குச்சாலையில் ஒரு மகிழுந்தானது நிற்காமல் செல்வதற்கான நிகழ்தகவு.
(ii) முதல் இரண்டு குறுக்குச் சாலையில் ஒரு மகிழுந்தானது நிற்காமல் செல்வதற்கான நிகழ்தகவு
(iii) மூன்றாவது குறுக்குச் சாலையில் நின்று மற்ற குறுக்குச் சாலைகளில் நிற்காமல் செல்வதற்கான நிகழ்தகவு
(iv) ஒரு குறுக்குச் சாலையில் நின்று மற்ற குறுக்குச் சாலைகளில் நிற்காமல் செல்வதற்கான நிகழ்தகவு காண்க.