பின்வருவனவற்றிற்கு காரணித்தேற்றத்தை பயன்படுத்துக
\(\left| \begin{matrix} x & a & a \\ a & x & a \\ a & a & x \end{matrix} \right| ={ (x-a) }^{ 2 }(x+2a)\) என நிறுவுக.

\(\left| \begin{matrix} b+c & a & { a }^{ 2 } \\ c+a & b & { b }^{ 2 } \\ a+b & c & { c }^{ 2 } \end{matrix} \right| =(a+b+c)(a-b)(b-c)(c-a)\) என நிறுவுக.

\(\cos { 2\theta } =0\) எனில் \(\left| \begin{matrix} 0 & \cos { \theta } & \sin { \theta } \\ \cos { \theta } & \sin { \theta } & 0 \\ \sin { \theta } & 0 & \cos { \theta } \end{matrix} \right| ^{ 2 }\)-ன் மதிப்பைக் காண்க.

\(\vec { a } \) மற்றும் \(\vec { b } \) ஆகியவை இணைகரத்தின் ஒரு பக்கத்தையும் ஒரு மூலைவிட்டத்தையும் குறித்தால் அதன் பிற பக்கங்களையும் மற்றொரு  மூலைவிட்டத்தினையும் காண்க.

கீழ்க்காணும் வெக்டர்கள் ஒரு தள வெக்டர்கள் எனக் காட்டுக.
\(\hat { i } -2\hat { j } +3\hat { k } ,-2\hat { i } +3\hat { j } -4\hat { k } ,-\hat { j } +2\hat { k } \quad \)

 \(-\hat { i } -2\hat { j } -6\hat { k } ,2\hat { i } -\hat { j } +\hat { k } \) மற்றும் \(-\hat { i } +3\hat { j } +5\hat { k } \) ஆகிய வெக்டர்கள் ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தை அமைக்கும் எனக் காட்டுக. 

\(\vec { a } ,\vec { b } \) மற்றும் \(\vec { c } \) ஆகியவை \(\left| \vec { a } \right| =2,\left| \vec { b } \right| =3 ,\left| \vec { c } \right| =4\) மற்றும் \(\vec { a } +\vec { b } +\vec { c } =\vec { 0 } \) என அமைந்தால்  \(4\vec { a } .\vec { b } +3\vec { b } .\vec { c } +3\vec { c } .\vec { a } \)-ஐக் காண்க. 

பின்வரும் சார்புகளுக்கு இடப்புற,வலப்புற எல்லைகளின் மதிப்பக காண்க.
\(x=-2\) -ல் \(f(x)=\frac { { x }^{ 2 }-4 }{ ({ x }^{ 2 }+4x+4)(x+3) } \)

கொடுக்கப்பட்ட சார்புக்குக் கொடுக்கப்பட்ட புள்ளி x_0-இல் தொடர்ச்சியானதா அல்லது  தொடர்ச்சியற்றதா எனக் காரணத்துடன் கூறுக .
\({ x }_{ 0 }=1,f(x)=\begin{cases} \frac { { x }^{ 2 }-1 }{ x-1 } ,\quad x\neq 1 \\ 2\quad ,\quad x=1 \end{cases}\quad \)

x-ஐ பொறுத்து வகைக்கெழுவைக் காண்க: 
\( y={ x }^{ 3 }+5{ x }^{ 2 }+3x+7\)

\({ x }^{ 4 }+{ x }^{ 2 }{ y }^{ 3 }-{ y }^{ 5 }=2x+1\) எனில், \(\frac { dy }{ dx } \)காண்க. 

ஒரு பந்து 39.2 மீ/வினாடி ஆரம்ப திசைவேகத்தில் தரையிலிருந்து மேல்நோக்கி எறியப்படுகிறது. இங்கு முடுக்கத்தை ஈர்ப்பு விசையைப் பொறுத்து மட்டும் கருதும்போது
(அ) எவ்வளவு நேரம் கழித்துப் பந்து தரையை வந்து மோதும்.
(ஆ) எந்த வேகத்தில் பந்தானது தரையை மோதும்.
(இ) பந்தானது  எவ்வளவு தூரம் மேல் நோக்கிச் செல்லும் என்பதனைக் காண்க.

மதிப்பிடுக: \(\int { { tan }^{ -1 }\left( \frac { 2x }{ 1-{ x }^{ 2 } } \right) dx } \)

மூன்று வாடகை மகிழுந்து நிறுவனங்களிடமிருந்து ஆலோசனை தரும் ஒரு நிறுவனம் மகிழுந்துகளை வாடகைக்கு வாங்குகிறது. 50% மகிழுந்துகளை L நிறுவனத்திடமிருந்து, 30% ஐ M-யிடமும் மற்றும் 20%-ஐ N நிறுவனங்களிடமிருந்து வாங்குகிறது. L நிறுவனத்திடமிருந்து வாங்கிய மகிழுந்துகளில் 90% ம் M நிறுவனத்திடமிருந்து வாங்கிய மகிழுந்துகளில் 70%-ம் N நிறுவனத்திடமிருந்து வாங்கிய மகிழுந்துகளில் 60%-ம் நல்ல நிலைமையில் உள்ளன எனில்
(i) ஆலோசனை நிறுவனம் வாங்கிய வாடகை மகிழுந்து நல்ல நிலைமையில் உள்ளதற்கான நிகழ்தகவு யாது? (ii) வாடகைக்கு வாங்கிய மகிழுந்து நல்ல நிலைமையில் உள்ளது. எனில் N நிறுவனத்திடமிருந்து பெறப்பட்டதற்கான நிகழ்தகவைக் காண்க.

வேகமாக ஊடுருவும் ஓர் எதிரி நாட்டு விமானத்தை ஒரு விமான எதிர்ப்பு துப்பாக்கியின் உதவியால் அதிகபட்சமாக நான்கு முறை மட்டுமே சுட (பயன்படுத்த)முடியும். அந்த விமானத்தை முதல், இரண்டாவது, மூன்றாவது மற்றும் நான்காவது முறையில் சுட்டு விழ்த்துவதற்கான நிகழ்தகவுகள் முறையே 0.2,0.4,0.2மற்றும் 0.1 எனில் அந்த விமானத்தைச் சுட்டு விழ்த்துதலுக்கான நிகழ்தகவைக் காண்க.