R மெய்யெண்களின் கணம் என்க. R × R –ல் கீழ்க்கண்ட உட்கணங்களைக் கருதுக.
S = {(x,y);y=x+1 மற்றும் 0< x < 2 }; T = {(x,y);x-y \(\in\) Z} எனில் கீழ்க்காணும் கூற்றில் எது மெய்யானது?

n(A)= 2 மற்றும் \(n(B\cup C)=3,\) எனில் \(n[(A\times B )\cup (A\times C)]\) என்பது ________.

x² - kx + 16 = 0 என்ற சமன்பாட்டின் மூலங்கள் a மற்றும் b ஆகியவை a²+b² = 32-ஐ நிறைவு செய்யும் எனில், k-ன் மதிப்பு _______.

f (\(\theta\)) = | sin \(\theta\) |+ | cos \(\theta\) |, \(\theta\) \(\in \) R எனில், f (\(\theta\)) அமையும் இடைவெளி, _______.

முதல் n ஒற்றை இயல் எண்களின் பெருக்கலின் மதிப்பு ______.

ⁿC₄,ⁿC₅,ⁿC₆ ஆகியவை AP யில் (கூட்டுத் தொடரில்) உள்ளன எனில், n-ன் மதிப்பு ______.

(2+2x)¹⁰ இல் x⁶ ன் கெழு ______.

(1, 2) மற்றும் (3, 4) ஆகிய புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டின் செங்குத்து இருசமவெட்டியானது ஆய அச்சுகளுடன் ஏற்படுத்தும் வெட்டுத் துண்டுகள் ______.

x+(2k-7)y+3=0 மற்றும் 3kx+9y-5=0 இவ்விரு கோடுகள் செங்குத்தானவை எனில் k -ன் மதிப்பு ______.

\(\left\lfloor . \right\rfloor \) என்பது மீப்பெரு முழு எண் சார்பு என்க. மேலும் \(-1\le x<0,0\le y<1,1\le z<2\) எனில் \(\left| \begin{matrix} \left\lfloor x \right\rfloor +1 & \left\lfloor y \right\rfloor & \left\lfloor z \right\rfloor \\ \left\lfloor x \right\rfloor & \left\lfloor y \right\rfloor +1 & \left\lfloor z \right\rfloor \\ \left\lfloor x \right\rfloor & \left\lfloor y \right\rfloor & \left\lfloor z \right\rfloor +1 \end{matrix} \right| \) என்ற அணிக்கோவையின் மதிப்பு ______.

\(a\neq b,b,c\) ஆகியவை \(\left| \begin{matrix} a & 2b & 2c \\ 3 & b & c \\ 4 & a & b \end{matrix} \right| =0\) என்பதை நிறைவு செய்தால், abc  என்பது______.

\(\overrightarrow { BA } =3\hat { i } +2\hat { j } +\hat { k } \) மற்றும் B- ன் நிலை வெக்டர் \(\hat { i } +3\hat { j } -\hat { k } \) எனில் A-ன் நிலைவெக்டர் ______.

\(\hat { i } +3\hat { j } +\lambda \hat { k } \)-ன் மீது \(5\hat { i } -\hat { j } -3 \hat { k } \) வீழலும்  \(5\hat { i } -\hat { j } -3 \hat { k } \)-ன் மீது \(\hat { i } +3\hat { j } +\lambda \hat { k } \) வீழலும் சமம் எனில் \(\lambda \)-ன் மதிப்பு ______.

 சரியான அல்லது மிகவும் ஏற்புடைய விடையினைக் கொடுக்கப்பட்ட நான்கு மாற்று விடைகளிலிருந்து தேர்ந்தெடுக்கவும். 
\(\lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { \sqrt { 1-\cos { 2x } } }{ x } } \)______.

சரியான அல்லது மிகவும் ஏற்புடைய விடையினைக் கொடுக்கப்பட்ட நான்கு மாற்று விடைகளிலிருந்து தேர்ந்தெடுக்கவும்
\(\lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { { xe }^{ x }-\sin { x } }{ x } } \)-ன் மதிப்பு ______.

சரியான அல்லது மிகவும் ஏற்புடைய விடையினைக் கொடுக்கப்பட்ட நான்கு மாற்று விடைகளிலிருந்து தேர்ந்தெடுக்கவும். 
\(y=\frac { 1 }{ 4 } { u }^{ 4 },u=\frac { 2 }{ 3 } { x }^{ 3 }+5\) எனில், \(\frac { dy }{ dx } \) என்பது______.

சரியான அல்லது மிகவும் ஏற்புடைய விடையினைக் கொடுக்கப்பட்ட நான்கு மாற்று விடைகளிலிருந்து தேர்ந்தெடுக்கவும்.
\(pv=81\) எனில், \(v=9-\) ல்  \(\frac { dp }{ dv } \)-ன் மதிப்பு ______.

\(\int { \frac { { e }^{ x }(1+x) }{ { \cos }^{ 2 }(x{ e }^{ x }) } } dx\)= ______.

\(\int { { x }^{ 2 }{ e }^{ \frac { x }{ 2 } }dx } \) =______. 

'ASSISTANT' என்ற சொல்லிலிருந்து சமவாய்ப்பு முறையில் ஒரு எழுத்தும் 'STATISTICS' என்ற சொல்லிலிருந்து சமவாய்ப்பில் ஒரு எழுத்தும் தேர்ந்தெடுக்கப்படும்பொழுது அவ்விரு எழுத்துக்களும் ஒரே எழுத்தாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவானது______.

தீர்க்க: \(\left| \frac { 2 }{ x-4 } \right| >1,\ x\neq 4\)

\(\sin ^{ -1 }{ \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } } \) முதன்மை மதிப்பைக் காண்க.

10 மாணவர்களுக்கு 12 வெவ்வேறான பரிசுகளை எத்தனை வழிகளில் பகிர்ந்தளிக்கலாம்?

ஒரு மாணவன், அவனுடைய வீட்டிலிருந்து பள்ளிக்குச் சராசரியாக மணிக்கு 6 கி.மீ. வேகத்தில் நடந்து சென்றால் பள்ளி தொடங்குவதற்கு 10 நிமிடம் முன்னதாகப் பள்ளியைச் சென்றடைகிறான். அதே வேளையில், சராசரியாக மணிக்கு 4 கி.மீ வேகத்தில் நடந்து செல்லும்போது 5 நிமிடம் தாமதமாகப் பள்ளியைச் சென்றடைகிறான். அம்மாணவன் தினமும் காலை 8.00 மணிக்கு வீட்டிலிருந்து பள்ளிக்குப் புறப்பட்டுச் சென்றால் பின்வரும் வினாக்களுக்கு விடை காண்க.
(i) அவனுடைய வீட்டிற்கும் பள்ளிக்கும் இடைப்பட்ட தொலைவு
(ii) சரியான நேரத்திற்கு அவன் பள்ளிக்குச் செல்ல ஆகும் குறைந்தபட்சச் சராசரி வேகம் மற்றும் மாணவன் பள்ளியைச் சென்றடைய ஆகும் நேரம்?
(iii) பள்ளி தொடங்கும் நேரம்?
(iv) மாணவன் நடந்து செல்லும் பாதையின் இரட்டை நேர்க்கோடுகளின் சமன்பாடு.

\(A=\left[ \begin{matrix} 0 & \sin { \alpha } & \cos { \alpha } \\ \sin { \alpha } & 0 & \sin { \beta } \\ \cos { \alpha } & -\sin { \beta } & 0 \end{matrix} \right] \) எனில்,\(\left| A \right| \)- ஐ காண்க. 

பின்வருவனவற்றின் மதிப்பைக் காண்க:\(\lim _{ x\rightarrow \infty }{ { \left( 1+\frac { k }{ x } \right) }^{ \frac { m }{ x } } } \)

கீழ்க்காணும் சார்புக்குக் குறிப்பிட்டுள்ள புள்ளிகளில் வகைமை இல்லை என்பதை நிறுவுக.\(f(x)=\begin{cases} -x+2,\quad x\le 2 \\ 2x-4,\quad x>2 \end{cases};\ x=2\)

கீழ்காண்பவற்றைத் தொகையிடுக: 5x⁴

(i) ஒரு சாதாரண வருடத்தில் (ii) ஒரு லீப் வருடத்தில் 53 ஞாயிற்றுக் கிழமைகள் வருவதற்கான நிகழ்தகவுகளைக் காண்க.

மக்கள்தொகை 5000 உள்ள ஒரு நகரத்தில் நடத்தப்பட்ட ஒரு கணக்கெடுப்பில், மொழி A தெரிந்தவர்கள் 45% , மொழி B தெரிந்தவர்கள் 25% , மொழி C தெரிந்தவர்கள் 10% , A மற்றும் B மொழிகள் தெரிந்தவர்கள் 5% , B மற்றும் C மொழிகள் தெரிந்தவர்கள் 4%, A மற்றும் C மொழிகள் தெரிந்தவர்கள் 4% ஆகும். இதில் மூன்று மொழிகளையும் தெரிந்தவர்கள் 3% எனில், மொழி A மட்டும் தெரிந்தவர்கள் எத்தனை பேர்?

தீர்க்க: \(\sqrt{x+14}\) <x + 2.

\(\triangle\)ABCஇல் பின்வருவனவற்றை நிறுவுக.
\(\frac { a+b }{ a-b } =tan\left( \frac { A+B }{ 2 } \right) cot\left( \frac { A-c }{ 2 } \right) \)

"VOWELS" என்ற வார்த்தையில் உள்ள எழுத்துகளைக் கொண்டு பின்வரும் நிபந்தனைகளுக்கு உட்பட்டு எத்தனை எழுத்துச் சரங்களை உருவாக்கமுடியும்.
(i) E இல் தொடங்கும் வகையில்
(ii) E இல் தொடங்கி, W இல் முடிக்கும் வகையில்

ஒரு பந்தயத்தில் 20 பந்துகள் ஒவ்வொன்றும் 4மீ இடைவெளியில் ஒரே நேர்க்கோட்டில் வைக்கப்படுகின்றன. முதல் பந்திற்கும் தொடக்கப்புள்ளிக்கும் உள்ள இடைவெளி 24மீ. ஒரு போட்டியாளர் ஒரு நேரத்தில் ஒரு பந்து வீதம் எல்லா பந்துகளையும் தொடக்கப்புள்ளிக்கு கொண்டுவந்து சேர்க்க எவ்வளவு தூரம் ஓட வேண்டும்.

\(\vec { a } =-3\hat { i } +4\hat { j } -7\hat { k } \) மற்றும் \(\vec { b } =6\hat { i } +2\hat { j } -3\hat { k } \) எனில், கீழ்காண்பவைகளை சரிபார்க்க.
\(\vec { a } \) மற்றும் \(\vec { a } \times \vec { b } \) ஆகியவை ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்து 

பின்வரும் எல்லை மதிப்பினைக் காண்க:\(\lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { \sqrt { { 1+x }^{ 2 } } -1 }{ x } } \)

\(y=\tan ^{ -1 }{ \left( \frac { 1+x }{ 1-x } \right) } \) எனில், \({ y }^{ ' }\)  காண்க.

x - ஐப் பொறுத்து கீழ்காண்பவற்றைத் தொகையிடுக.
\(\frac{3x-9}{(x-1)(x+2)(x^{2}+1)}\)

மெய்மதிப்புச் சார்பு f ஆனது \(f(x)={\sqrt{9-x^2}\over \sqrt{x^2-1}}\) என வரையறுக்கப்படுகிறது எனில் அதன் சாத்தியமான மீப்பெரு சார்பகத்தைக் காண்க.

x²-ax+b = 0 மற்றும் x²-ex+f= 0  ஆகிய சமன்பாடுகளுக்கு ஒரு பொதுவான மூலம் உள்ளது. மேலும், இரண்டாம் சமன்பாட்டிற்குச் சமமான மூலங்கள் உண்டு எனில் ae=2(b+f) என நிறுவுக.

0 < x < \(\frac { \pi }{ 2 } \) , 0 < y < \(\frac { \pi }{ 2 } \) sin x = \(\frac { 15 }{ 17 } \)மற்றும்  \(\cos y=\frac { 12 }{ 13 } \), எனில் - tan (x +y) ஆகியவற்றின் மதிப்புகளைக் காண்க .

\(\sin { \theta } +\cos { \theta } =m\) எனில், \(\cos ^{ 6 }{ \theta } +\sin ^{ 6 }{ \theta } =\frac { 4-3{ \left( { m }^{ 2 }-1 \right) }^{ 2 } }{ 4 } \) என நிறுவுக (இங்கு m² \(\le\) 2).

கணிதத் தொகுத்தறிதலைப் பயன்படுத்தி n≥2 எனக் கொண்ட எந்த ஒரு இயல் எண்ணுக்கும் \(\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\frac{1}{1+2+3+4}+...+\frac{1}{1+2+3+..+n}=\frac{n-1}{n+1}\) என நிரூபிக்க.

x ஒரு பெரிய எண் எனில் \(\sqrt [ 3 ]{ { x }^{ 3 }+7 } -\sqrt [ 3 ]{ { x }^{ 3}+4 } \) ன் மதிப்பு தோராயமாக \(\frac {1}{x^2}\) என நிறுவுக.

x^2-4xy+y²=0 என்ற இரட்டைக் கோடும் x +y -2=0 என்ற சமன்பாட்டைக் கொண்ட PQ கோடும், ΔOPQ -ஐ உருவாக்குகிறது எனில், O -லிருந்து வரையப்படும் ΔOPQ- நடுகோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க.

12x²+2kxy+2y²+11x-5y+2=0 என்ற சமன்பாடு இரட்டை நேர்க்கோட்டின் சமன்பாட்டைக் குறித்தால் k -ன் மதிப்பைக் காண்க.

பின்வரும் நிபந்தனைகள் ஒவ்வொன்றையும் நிறைவுசெய்யும் அணிகளுக்கான எடுத்துக்காட்டுகளைத் தருக.
(i) \(AB\neq BA\) எனுமாறுள்ள A  மற்றும் B  அணிகள்
(ii) \( AB=O=BA.A\neq O\) மற்றும்\(B\neq O\)  எனுமாறுள்ள A,B  அணிகள் 
(iii) AB = O மற்றும் \(BA\neq O\) எனுமாறுள்ள A,B  அணிகள் 

(4,-3,1)(2,-4,5) மற்றும் (1,-1,0) என்ற ஒரே கோட்டில் அமையாப் புள்ளிகள் ஓர் செங்கோணத்தை அமைக்கும் எனக்காட்டுக.  

பின்வருவனவற்றின் மதிப்பைக் காண்க:\(\lim _{ x\rightarrow 0 }{ { \frac { \sqrt { 1+\sin { x } } -\sqrt { 1-\sin { x } } }{ \tan { x } } } } \)

வகையிடுக: \(y=\sin ^{ 2 }{ x } \) 

ஒரு தொடர்வண்டி மதுரை சந்திப்பிலிருந்து கோயம்பத்தூர் நோக்கி பிற்பகல் 3 மணிக்கு, v(t)=20t+50 கிமீ/மணி என்னும் திசை வேகத்தில் புறப்படுகிறது.இங்கு t ஆனது மணிகளில் கணக்கிடப்படுகிறது எனில், மாலை 5 மணிக்கு அத்தொடர் வண்டி எவ்வளவு தூரம் பயணித்திற்கும்?     

ஒரு சீரான பகடையை ஒரு முறை உருட்டி விடும்போது 
(i) இரட்டைப்படை எண் (ii) மூன்றின் மடங்காக கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவைக் காண்க.