A=\(\left[ \begin{matrix} 3 & 1 & -1 \\ 2 & -2 & 0 \\ 1 & 2 & -1 \end{matrix} \right] \) மற்றும் A-1 =\(\left[ \begin{matrix} { a }_{ 11 } & { a }_{ 12 } & { a }_{ 13 } \\ { a }_{ 21 } & { a }_{ 22 } & { a }_{ 23 } \\ { a }_{ 31 } & { a }_{ 32 } & { a }_{ 33 } \end{matrix} \right] \) எனில், a₂₃-ன் மதிப்பானது ______.

x+y+z=6, x+2y+3z=14 மற்றும்  2x+5y+\(\lambda\)z =\(\mu\) என்ற நேரிய சமன்பாட்டுத் தொடக்கமானது  (\(\lambda\), \(\mu\), \(\epsilon\) R) ஒருங்கமைவு உடையது. எம் மதிப்பற்றது ஒரே ஒரு தீர்வினை தரும்?

z என்ற கலப்பெண்ணானது z∈ C\R ஆகவும் z + \(\frac1{z}\) ∈ R எனவும் இருந்தால், |z| - மதிப்பு _______.

\(\cfrac { { z }_{ 1 }-{ z }_{ 2 } }{ { z }_{ 2 }-{ z }_{ 3 } } =\cfrac { 1-i\sqrt { 3 } }{ 2 } \) என்ற சமன்பாட்டை நிறைவு செய்யும் கலப்பெண்கள் z₁,z₂ மற்றும் z₃ என்பன முக்கோணத்தின் உச்சிகள் எனில்,அம்முக்கோணம் 

x³-kx²+9x எனும் பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு மூன்று மெய்யெண் பூச்சியமாக்கிகள் இருப்பதற்கு தேவையானதும் மற்றும் போதுமானதுமான நிபந்தனை _______.

எல்லா 'x' மதிப்பிற்கும் \({ x }^{ 2 }+2ax+(10-3a)>0\) ல் 'a' அமையும் இடைவெளி 

\({ \sin }^{ -1 }\left( \tan\frac { \pi }{ 4 } \right) -{ \sin }^{ -1 }\left( \sqrt { \frac { 3 }{ x } } \right) =\frac { \pi }{ 6 } \) -ல் x என்பதை மூலமாக கொண்ட சமன்பாடு _______.

tan^-1 \(\left\{ \frac { \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } -\sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } }{ \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } +\sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } } \right\} =\alpha \) எனில் x² =  

நீள்வட்டம் E₁: \(\frac { { x }^{ 2 } }{ 9 } +\frac { { y }^{ 2 } }{ 4 } =1\) செவ்வகம் R-க்குள் செவ்வகத்தின் பக்கங்கள் நீள்வட்டத்தின் அச்சுகளுக்கு இணையாக இருக்குமாறு அமைந்துள்ளன. அந்த செவ்வகத்தின் சுற்றுவட்டமாக அமைந்த மற்றொரு நீள்வட்டம் E₂, (0,4)என்ற புள்ளி வழியாகச் செல்கிறது எனில் அந்த நீள்வட்டத்தின் மையத்தொலைத் தகவு _______.

ஆதியை மையமாகவும்,குவியம் (0,4) மற்றும் முனை (0,7) ஆகியவற்றைக் கொண்டதுமான நீள்வட்டத்தின் சமன்பாடு 

\(\vec { a } .\vec { b } =\vec { b } .\vec { c } =\vec { c } .\vec { a } =0\) எனில் \(\left[ \vec { a } ,\vec { b } ,\vec { c } \right] \) ன் மதிப்பு _______.

3x + 3y + 3z - 1 = 0 மற்றும் x + y - z + 5 = 0 என்ற இரண்டு தளங்கள்

y² -xy + 9 = 0 என்ற வளைவரையின் தொடுகோடு எப்போது நிலைகுத்தாக இருக்கும்?

இரண்டு மிகை எண்களின் கூடுதல் 200 மேலும் அவற்றின் பெருக்கல் பலனின் பெரும மதிப்பு_______.

f (x, y, z) = xy + yz + zx , எனில் f_x -f_z − -ன் மதிப்பு _______.

\(\int _{ 0 }^{ 1 }{ x(1-x)^{99} dx } \) இன் மதிப்பு _______.

\(\frac { dy }{ dx } +\frac { 1 }{ \sqrt { { 1-x }^{ 2 } } } =0\) எனும் வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டின் தீர்வு _______.

P(X = 0) = 1−P( X = 1 ) மற்றும் E(X) = 3Var(X) எனில், P(X = 0) காண்க.

-ன் மீது \(a\ast b=\sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } } \) எனில்,✴️ ஆனது _______.

ஒரு கூட்டுக்கூற்றில் 3 தனிக்கூற்றுகள் உட்படுத்தப்பட்டிருந்தால் அம்மெய்மை அட்டவணையின் நிரைகளின் எண்ணிக்கை _______.

3x+y+9z=0, 3z+2y+12z=0 மற்றும் 2x+y+7z=0 என்ற சமன்பாட்டு தொகுப்பிற்கு வெளிப்படையற்ற தீர்வுகள் உள்ளன என காட்டுக.

கீழ்க்காண்பவைகளின் மதிப்புகளைக் காண்க.
\(\left| \cfrac { 2+i }{ -1+2i } \right| \)

சமன்பாடு x²-(a-2)x-a-1=0 இன் வர்க்கத்தின் கூடுதல் மிக குறைவான மதிப்பை கொண்டிருக்குமெனில் a ன் மதிப்பை காண்க.

sin^-1 (-1) ன் முதன்மை மதிப்பு காண்க.

x²+y²-6x+4y+c=0 என்ற வட்டத்திற்கு c-ன் எல்லா மதிப்புகளுக்கும் x+y -1=0 என்ற நேர்கோடு விட்டமாக அமையுமா எனத் தீர்மானிக்க.

\(\vec { r } =\left( \hat { i } -\hat { j } \right) +\lambda \left( 2\hat { i } +\hat { j } +\hat { k } \right) \) மற்றும் \(\vec { r } =\left( \hat { i } +\hat { j } -\hat { k } \right) +\mu \left( 2\hat { i } -\hat { j } -\hat { k } \right) \) என்ற இரண்டு ஒரே தளத்தில் அமையாத கோடுகளுக்கு இடைப்பட்ட மீச்சிறு தூரத்தைக் கணக்கிடு.

இருமுனைகளிலும் காப்பிடப்பட்ட 10மீ நீளமுள்ள ஒரு கம்பியின் வெப்பநிலை செல்சியஸில்  நீளம் x சார்பாக T = x (10-x) எனத் தரப்படுகிறது. கம்பியின் மையப்புள்ளிகளில் வெப்பநிலை மாறபாட்டு வீதம் பூச்சியம் என்பதை நிரூபிக்க. 

(x, y)≠(0,0) -க்கு g(x,y)=\(\frac { { x }^{ 2 }y }{ { x }^{ 4 }+{ y }^{ 2 } } \) மற்றும் g(0,0) = 0 என்க.
(i) ஒவ்வொரு y = mx,m ∈ R நேர்கோட்டுப் பாதையிலும்\(\underset { (x,y)\longrightarrow (0,0) }{ \lim } \) g(x,y)=0 என நிறுவுக.
(ii) ஒவ்வொரு y = kx² k ∈ R  \{0}பரவளையப் பாதையிலும் \(\underset { (x,y)\longrightarrow (0,0) }{ \lim } \)g(x,y)=\(\frac { k }{ 1+k^{ 2 } } \) என நிறுவுக.

பின்வரும் வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகளின் வரிசை மற்றும் படி (இருப்பின்) ஆகியவற்றைக் காண்க:
\(3{ \left( \frac { { d }^{ 2 }y }{ d{ x }^{ 2 } } \right) }={ \left[ 4+{ \left( \frac { { d }y }{ { d }x } \right) }^{ 2 } \right] }^{ \frac { 3 }{ 2 } }\)

p என்பது " ஜூபிடர் ஒரு கோளாகும்" மற்றும் q என்பது "இந்திய ஒரு தீவு”. பின்வரும் கூற்றுகளுக்குரிய வார்த்தைகளுடன் கூடிய வாக்கியங்களை அமைக்க.
p ↔ q

பின்வரும் நேரியச் சமன்பாட்டுத் தொகுப்புகளை நேர்மா்மாறு அணி காணல் முறையில் தீர்க்க:
2x − y = 8, 3x + 2y = −2

z₁ = 3, z₂ = -7i, மற்றும் z₃ = 5 + 4i எனில் கீழ்க்காண்பவைகளை நிறுவுக.
z₁(z₂ + z₃) = z₁z₂ + z₁z₃ 

தீர்க்க: \({ (5+2\sqrt { 6 } ) }^{ { x }^{ 2-3 } }+{ (5-2\sqrt { 6 } ) }^{ { x }^{ 2 }-3 }=10\)

தீர்க்க:
\({ \cot }^{ -1 }x-{ \cot }^{ -1 }\left( x+2 \right) =\frac { \pi }{ 12 } ,x>0\)

x²=-36y என்ற பரவளையத்தின் முனையை செவ்வகலத்தின் முனைகளோடு கோடுகளாக இணைக்க கிடைக்கும் முக்கோணத்தின் பரப்பைக் காண்க.

x + 2y + 3z = 2 மற்றும் x - y - z + 11 = 3 என்ற தளங்களின் வெட்டுக்கோடு வழிச் செல்வதும், (3,1,-1) என்ற புள்ளியிலிருந்து \(\frac { 2 }{ \sqrt { 3 } } \) தொலைவில் உள்ளதுமான தளத்தின் சமன்பாட்டைக் காண்க.

கீழ்க்காணும் சார்புகளுக்கு குழிவு இடைவெளிகள் மற்றும் வளைவு மாற்றப் புள்ளிகளைக் காண்க:
 f (x) = x(x - 4)³

V (x, y, z) = xy + yz + zx, x, y, z ∈ R எனில் வகையீடு dV -ஐக் காண்க .

பின்வரும் இயற்பியல் கூற்றுகள் ஒவ்வொன்றையும், வகைக்கெழுச் சமன்பாடாக எழுதுக.
(i) ரேடியம் சிதைவுறும் வீதமானது காணப்படும் அளவு Q -க்கு நேர்விகிதத்தில் இருக்கும்.
(ii) ஒரு நகரத்தின் மக்கள் தொகை P ஆனது, மக்கள்தொகை மற்றும் 5,00,000-க்கும் மக்கள் தொகைக்கும் உள்ள வேறுபாடு ஆகியவற்றை பெருக்கிக் கிடைக்கும் மதிப்புக்கு நேர்விகிதத்தில் அதிகரிக்கிறது.
(iii) ஒரு பொருளின் வெப்பநிலை Tஐப் பொருத்து ஆவி அழுத்தம் P-ன் மாறுவீதமானது, ஆவி அழுத்தத்திற்கு நேர்விகிதத்திலும், வெப்பநிலையின் வர்க்கத்திற்கு எதிர்விகிதத்திலும் உள்ளது.
(iv) ஒரு சேமிப்புத் தொகைக்கு ஒரு வருடத்திற்கு வழங்கப்படும் 8% வட்டித் தொகையானது தொடர்ச்சியாக அசலுடன் சேர்க்கப்படுகிறது. மேலும், மற்றொரு முதலீட்டிலிருந்து ஒவ்வொரு ஆண்டும் கிடைக்கும் வரவு ரூ.400 இத்தொகையுடன் தொடர்ச்சியாக சேர்க்கப்படுகிறது. 

ℤ₀ = அனைத்து ஒற்றை முழுக்களின் கணம் எனில் ℤo -ன் மீது இயற்கணித செயலி + ஆனது (i) அடைவுப் பண்பு (ii) பரிமாற்றுப் பண்பு (iii) சேர்ப்புப் பண்பு (iv) சமனிப் பண்பு மற்றும் (v) எதிர்மறைப் பண்பு ஆகியவற்றைப் பெற்றுள்ளதா எனச் சரிபார்க்க.