A = \(\frac { 1 }{ 7 } \left[ \begin{matrix} 6 & -3 & a \\ b & -2 & 6 \\ 2 & c & 3 \end{matrix} \right] \) என்பது செங்குத்து அணி எனி a, b மற்றும் c களின் மதிப்பைக் காண்க. இதிலிருந்து A⁻¹-ஐக் காண்க.

ஒரு குடும்பத்திலுள்ள மூன்று  நபர்கள் இரவு உணவு சாப்பிட ஓர் உணவகத்திற்குச் சென்றனர். இரு தோசைகள், மூன்று இட்லிகள் மற்றும் இரு வடைகளின் விலை ரூ.150. இரு தோசைகள், இரு இட்லிகள் மற்றும் நான்கு வடைகளின் விலை ரூ.200. ஐந்து தோசைகள், நான்கு இட்லிகள் மற்றும் இரண்டு வடைகளின் விலை ரூ.250. அக்குடும்பத்தினரிடம் ரூ.350 இருந்தது மற்றும் அவர்கள் மூன்று தோசைகள், ஆறு இட்லிகள் மற்றும் ஆறு வடைகள் சா சாப்பிட்டனர். அக்குடும்பத்தினர் சாப்பிட்ட செலவிற்கான தொகையை அவர்களிடமிருந்த பணத்தைக் கொண்டு செலுத்த முடியுமா? (உமது விடையை கிராமரின் விதிக்கொண்டு நிரூபி).

k-ன் எம்மதிப்புகளுக்கு பின்வரும் சமன்பாட்டுத் தொகுப்பு kx − 2y + z =1, x − 2ky + z = −2, x − 2y + kz =1
(i) யாதொரு தீர்வும் பெற்றிராது
(ii) ஒரே ஒரு தீர்வைப் பெற்றிருக்கும்
(iii) எண்ணிக்கையற்ற தீர்வுகளைப் பெற்றிருக்கும் என்பதனை ஆராய்க.

பின்வரும் நேரியச் சமன்பாட்டுத் தொகுப்புகளை நேர்மா்மாறு அணி காணல் முறையில் தீர்க்க:
2x + 3y − z = 9, x + y + z = 9, 3x − y − z = −1

2x³ − 6x² + 3x + k = 0 எனும் சமன்பாட்டின் ஒரு மூலம் மற்ற இரு மூலங்களின் கூடுதலின் இரு மடங்கு எனில், k-ன் மதிப்பைக் காண்க. மேலும் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க.

தீர்க்க \(\cos\left( { \sin }^{ -1 }\left( \frac { x }{ \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } } \right) \right) =\sin\left\{ { \cot }^{ -1 }\left( \frac { 3 }{ 4 } \right) \right\} \)

x−y+4=0 என்ற நேர்க்கோடு x²+3y²=12 என்ற நீள்வட்டத்தின் தொடுகோடு என நிறுவுக. மேலும் தொடும் புள்ளியைக் காண்க.

ஒரு அணு உலை குளிரூட்டும் தூணின் குறுக்கு வெட்டு அதிபரவளைய வடிவில் உள்ளது. மேலும் அதன் சமன்பாடு \(\frac { { x }^{ 2 } }{ { 30 }^{ 2 } } -\frac { { y }^{ 2 } }{ { 44 }^{ 2 } } =\)1. தூண் 150மீ உயரமுடையது. மேலும் அதிபரவளையத்தின் மையத்திலிருந்து தூணின் மேல்பகுதிக்கான தூரம் மையத்திலிருந்து அடிப்பகுதிக்கு உள்ள தூரத்தில் பாதியாக உள்ளது. தூணின் மேற்பகுதி மற்றும் அடிப்பகுதியின் விட்டங்களைக் காண்க.

பின்வரும் சமன்பாடுகளின் கூம்பு வளைவின் வகையைக் கண்டறிந்து அவற்றின் மையம், குவியங்கள், முனைகள் மற்றும் இயக்குவரைகளைக் காண்க 
9x²-y²-36x+6y+18=0

ஒரு முக்கோணத்தின் உச்சிகளிலிருந்து அவற்றிற்கு எதிரேயுள்ள பள்ள பக்கங்களுக்கு வரையப்படும் செங்குத்துக் கோடுகள் ஒரு புள்ளியில் சந்திக்கும் என நிறுவுக.

(-5,7,-4)  மற்றும் (13,-5,2) என்ற புள்ளிகள் வழியாகச் செல்லும் நேர்க்கோட்டின் துணையலகு வெக்டர் சமன்பாடு மற்றும் கார்டீசியன் சமன்பாடுகளைக் காண்க. மேலும், இந்த நேர்க்கோடு xy தளத்தை வெட்டும் புள்ளியைக் காண்க.

தலை கீழாக வைக்கப்பட்ட ஒரு நேர்வட்ட கூம்பின் வடிவில் உள்ள ஒரு நீர்நிலைத் தொட்டியின் ஆழம் 12 மீட்டர் மற் றும் மேலுள்ள வட்டத்தின் ஆரம் 5 மீட்டர் என்க . நிமிடத்திற்கு 10 கன மீட்டர் வேகத்தில் நீர் பாய்ச்சப்படுகிறது எனில், 8 மீட்டர் ஆழத்தில் நீர் இருக்கும் போது நீரின் ஆழம் அதிகரிக்கும் வேகம் என்ன?

லோபிதாலின் விதியை பயன்படுத்தி \(\underset{x\rightarrow 0^{+}}{\lim}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e\) என நிறுவுக.

கீழ்க்காணும் சார்புகளுக்கு ஓரியல்பு இடைவெளிகளைக் கணக்கிட்டு அதிலிருந்து இடஞ்சார்ந்த அறுதி மதிப்புகளைக் காண்க:
\(f(x)=\frac{e^{x}}{1-e^{x}}\)

நம்மிடம் 12 சதுர அலகுகள் பரப்புடைய மெல்லிய தகடு உள்ளது மற்றும் வெளிப்புறத்தின் மூலைகளிலிருந்து சிறிய சதுரங்களை வெட்டி பக்கங்களை மடிப்பதன் மூலம் திறந்த பெட்டியை உருவாக்க விரும்புகிறோம். கேள்வி என்னவென்றால், எந்த வெட்டு அதிகபட்ச கன அளவை உருவாக்கும்?

10 செ.மீ ஆரமுள்ள வட்டத்தினுள் அமைக்கப்படும் செவ்வகங்களுள் மீப்பெரு பரப்புடைய செவ்வகத்தின் பரிமாணங்களைக் காண்க.

g(x) = x² + sin x எனில் dg -ஐக் காண்க.

பின்வரும் சார்புகளுக்கு g_xy,g_xx,g_yy மற்றும் g_yx ஆகியவற்றைக் காண்க.
g(x, y) = log(5x + 3y)

W(x, y, z) = xy + yz + zx, x = u − v, y = uv, z = u + v, u,v ∈ R எனில் \(\frac { \partial W }{ \partial u } \),\(\frac { \partial W }{ \partial v } \) காண்க மற்றும்\(\left( \frac { 1 }{ 2 } ,1 \right) \) இல் அவற்றின் மதிப்பைக் காண்க.

\(\int ^\frac{\pi}{4}_{0}\) log(1+tan x) dx = \(\frac{\pi}{8}\) log2.

\(\frac {x^2}{a^2} + \frac {y^2}{b^2} = 1\)  என்ற நீள்வட்டத்தினால் அடைபடும் அரங்கத்தின் பரப்பைக்  காண்க.

x² + y² = 4  என்ற வட்டத் தில் ( 1, \(\sqrt {3}\) )  எனும் புள்ளியில் தொடுகோடு , செங்கோடு மற்றும் x-அச்சு ஆகியவற்றால் அடைபடும் அரங்கத்தின் பரப்பை தொகையிடலைப் பயன்படுத்தி காண்க.

ஆரம் r மற்றும் உயரம் h உடைய கோள வடிவ  தொப்பியின்  கன அளவைக் காண்க.

ஆதி வழியாகச் செல்லும் நேர்க்கோடுகளின் தொகுதியின் வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டைக் காண்க.

பின்வரும் வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகளின் தீர்வுகளைக் காண்க:
tan y \(\frac { dy }{ dx } \) = cos (x + y) + cos (x - y)

பின்வரும் வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகளின் தீர்வு காண்க:
\(x\frac { dy }{ dx } =y-xco{ s }^{ 2 }\left( \frac { y }{ x } \right) \)

பின்வரும் நேரியல் வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகளின் தீர்வு காண்க:
\((y-{ e }^{ { sin }^{ -1 }x })\frac { dy }{ dx } +\sqrt { { 1-x }^{ 2 } } =0\)

ஒரு துப்பறிவாளர் ஒரு கொலைக்கான புலன் விசாரணையின்பொது, ஒருவரின் உயிரற்ற உடலை சரியாக பிற்பகல் 8 மணிக்கு காண்கிறார். முன்னெச்சரிக்கையாக துப்பறிவாளர் அவ்வுடலின் வெப்பநிலையை அளந்து 70⁰F எனக் குறித்துக் கொள்கிறார். 2 மணி நேரம் கழித்து அந்த உடலின் வெப்பநிலை 60⁰F ஆக இருப்பதைக் காண்கிறார். உடல் இருந்த அறையின் வெப்பநிலை 50⁰F ஆகும். மற்றும் இறப்பதற்கு முன்பு அந்நபரின் உடல் வெப்பநிலை 98.6⁰F எனில், அந்நபர் கொலை செய்யப்பட்ட நேரம் என்னவாக இருந்திருக்கும்?
[log (2.43) = 0.88789; log(0.5) = -0.69315]

வெப்பநிலை 25⁰C ஆக உள்ள ஒரு அறையில் வைக்கப்பட்டுள்ள நீரின் வெப்பநிலை 100⁰C ஆகும். 10 நிமிடங்களில் நீரின் வெப்பநிலை 80⁰C ஆகக் குறைந்து விடுகிறது எனில், 20 நிமிடங்களுக்குப் பின்னர் நீரின் வெப்பநிலை காண்க.
(i) 20 நிமிடங்களுக்குப் பின்னர் நீரின் வெப்பநிலை 
(ii) வெப்பநிலை 40^oC ஆக இருக்கும்போது நேரம் காண்க.

ஓர் ஆறு பக்க பகடையின் ஒரு பக்கத்தில் ‘1’ என குறிக்கப்படுகிறது. அதன் இரு பக்கங்களில் ‘2’ எனவும் மீதமுள்ள மூன்று பக்கங்களில் ‘3’ எனவும் குறிக்கப்படுகிறது. இரு முறை பகடை உருட்டப்படுகிறது. இருமுறை எறிதலின் மொத்தத் தொகையை X குறிக்கிறது எனில்
(i) நிகழ்தகவு நிறை சார்பு காண்க.
(ii) குவிவு பரவல் சார்பு காண்க.
(iii) P(3 ≤ X < 6) காண்க (iv) P(X ≥ 4) காண்க.

என்பது ஒரு தனிநிலை சமவாய்ப்பு மாறியின் குவிவு பரவல் சார்பு எனில்
(i) நிகழ்தகவு நிறை சார்பு (ii) P (X < 3) மற்றும் (iii) P (X ≥ 2) ஆகியவற்றைக் காண்க.

ABC குழுமம் தயாரிக்கும் பொருட்களில் சராசரியாக, 20% பொருட்கள் குறைபாடுள்ளவை எனக் கண்டறியப்பட்டது. சமவாய்ப்பு முறையில் இதிலிருந்து 6 பொருட்கள் தேர்ந்தெடுக்கப்படுகிறது. மேலும் குறைபாடுள்ள பொருட்களின் எண்ணிக்கையை X குறித்தால் (i) இரு பொருட்கள் குறைபாடுள்ளவை (ii) அதிகபட்சம் ஒரு பொருள் குறைபாடுள்ளது (iii) குறைந்தபட்சம் இரு பொருட்கள் குறைபாடுள்ளவை. ஆகியவற்றிற்கான நிகழ்தகவு காண்க.

இரு நிபந்தனைக் கூற்றை நிபந்தனைக் கூற்றுடன் இணைத்து p ↔️ q ≡ (p ➝ q) ∧ (q⟶ p) என்ற சமானமானவை பண்பை நிரூபிக்க.