ஒரு நேரியச் சமன்பாட்டுத் தொகுப்பின் விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணியானது \(\left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 7 \\ 4 \\ \lambda -7 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ 6 \\ \mu +5 \end{matrix} \right] \) மற்றும் தொகுப்பானது எண்ணற்ற தீர்வுகள் பெற்றிருக்கும் எனில், ______.

ஒரு சமப்படித்தான தொகுப்பில் ρ(A)=ρ([A|0])<மாறிகளின் எண்ணிக்கையெனில் தொகுப்பு கொண்டிருப்பது ___________ 

(1 + i) (1 + 2i) (1 + 3i) .... (1 + ni) = x + iy எனில், 2.5.10 .... (1 + n²) –ன் மதிப்பு _______.

\(\frac{1+e^{-i\theta }}{1+e^{\theta }}\) = 

x³-kx²+9x எனும் பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு மூன்று மெய்யெண் பூச்சியமாக்கிகள் இருப்பதற்கு தேவையானதும் மற்றும் போதுமானதுமான நிபந்தனை _______.

f(x)=0 க்கு n  மூலங்கள் உள்ளன எனில் f'(x)=0க்கு __________ மூலங்கள்.

sin^-1(cosx), 0\(\le x \le \pi \) -ன் மதிப்பு _______.

∆ ABC ல் C ஒரு செங்கோணம் எனில், tan^-1 \(\left( \frac { a }{ b+c } \right) \) + tan^-1 \(\left( \frac { b }{ c+a } \right) \) = 

(1,5) மற்றும் (4,1) என்ற புள்ளிகள் வழிச் செல்வதும் y-அச்சைத் தொட்டுச் செல்வதுமான வட்டத்தின் சமன்பாடு x²+y²−5x−6y+9+λ(4x+3y−19)=0எனில் λ-ன் மதிப்பு _______.

குற்றச்சின் முனைகள் B,B₁,F₁,F₂ குவியங்களாக உடைய நீள்வட்டம் \(\cfrac { { x }^{ 2 } }{ 8 } +\cfrac { y^{ 2 } }{ 4 } =1\) எனில் F₁BF₂B₁ ன் பரப்பு என்பது 

\(\hat { i } +\hat { j } ,\hat { i } +2\hat { j } ,\hat { i } +\hat { j } +\pi \hat { k } \)என்ற வெக்டர்களை ஒரு புள்ளியில் சந்திக்கும் விளிம்புகளாகக் கொண்ட இணைகரத் திண்மத்தின் கன அளவு _______.

\(\vec { u } ,\vec { v } ,\vec { w } \) எனுமாறு வெக்டர்கள் \(\vec { u } +\vec { v } +\vec { w } =\vec { 0 } \) என்க. \(|\vec { u } |=3,|\vec { v } |=4,|\vec { w } |=5\) எனில் \(\vec { u } .\vec { v } +\vec { v } .\vec { w } +\vec { w } .\vec { u } \) என்பது ______ 

3x4 அணியின் தரம் ________.
1) 1 ஆக இருக்கலாம் 
2) 2 ஆக இருக்கலாம் 
3) 3 ஆக இருக்கலாம் 
4) 4 ஆக இருக்கலாம் 

(1 + 3i) (1 - 3i)
(1) (1)² - (3i)²
(2) 1 + 9
(3) 10
(4) -8

சமன்பாடு (12x-1)(6x -1) (4x-1)(3x-1)=5 -இன் ஒரு மூலமானது 
1) \(\frac{1}{2}\)
2) \(\frac{-1}{12}\)
3) \(\frac{7}{24}\)
4) \(\frac{24}{7}\)

(1) cot (cot^-1 (+600)) = - 600
(2) cot (cot^-1 (1782)) = 1782
(3) cot \(\left( { cot }^{ -1 }\left( \frac { -17 }{ 9 } \right) \right) =\frac { -17 }{ 9 } \)
(4) \(cot\left( { cot }^{ -1 }(\sqrt { 3 } ) \right) =\sqrt { 3 } \)
 

(1) \(x=acos\theta ,y=asin\theta \) 
(2) \(\theta \) 
(3) \(0\le \theta \le 2\pi \) 
(4) \((acos\theta ,bsin\theta )\)

எந்த ஒரு பூச்சியமற்ற வெக்டர்கள் \(\overset { \rightarrow }{ a } \) மற்றும் \(\overset { \rightarrow }{ b } \)  \(\overset { \rightarrow }{ a } \times \overset { \rightarrow }{ b } \) என்பது
(1) \(\overset { \rightarrow }{ a } \) மற்றும் \(\overset { \rightarrow }{ b } \) ன் குறுக்குப் பெருக்கல் 
(2) \(\left| \overset { \rightarrow }{ a } \right| \left| \overset { \rightarrow }{ b } \right| sin\theta \) 
(3) \(\left| \overset { \rightarrow }{ a } \right| \left| \overset { \rightarrow }{ b } \right| sin\theta \overset { \wedge }{ n } \)
(4) - \(\left( \overset { \rightarrow }{ b } \times \overset { \rightarrow }{ a } \right)\)

A என்பது ஒற்றை வரிசையுடைய பூச்சியமற்றக் கோவை அணி  எனில் |adj A| என்பது மிகை என நிறுவுக.

தீர்க்க: 6x-7y=16, 9x-5y=35 (கிராமரின் விதியை பயன்படுத்த).

z₁ = 1 - 3i, z₂ = -4i, மற்றும் z₃ = 5 எனில் கீழ்க்காண்பவைகளை நிறுவுக.
(z₁z₂)z₃ = z₁ (z₂z₃)

3x + (2x - 3y)i = 6 + 3i⁹ எனில் x மற்றும் y - ன் மெய் மதிப்புகளை காண்க.

9x⁹ − 4x⁸ + 4x⁷ − 3x⁶ + 2x⁵ + x³ + 7x² + 7x + 2 = 0 எனும் பல்லுறுப்புக்கோவை சமன்பாட்டின் அதிகபட்ச சாத்தியமான மிகை எண் மற்றும் குறையெண் மூலங்களின் எண்ணிக்கையை ஆராய்க.

நம்மிடம் எனில் x-ன் மதிப்பு காண்க.

முதன்மை மதிப்பைக்காண்க.
\({ \sin }^{ -1 }\left( \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \right) \)

மதிப்பீடுக. \(sin\left( { cos }^{ -1 }\left( \frac { 3 }{ 5 } \right) \right) \)

பின்வரும் சமன்பாடுகளிலிருந்து அவற்றின் கூம்பு வளைவு வகையை கண்டறிக.
3x²+3y²−4x+3y+10 = 0

(2,-3)லிருந்து x²+y²-8x-9y+12=0 என்ற வட்டத்திற்கான தொடுகோட்டின் நீளத்தை காண்க.

\(\vec { a } =-\hat { 3i } -\hat { j } +5\hat { k } ,\vec { b } =\hat { i } -2\hat { j } ,\vec { c } =4\hat { j } -5\hat { k } \) எனில், \(\vec { a } .(\vec { b } \times \vec { c } )\)-ஐக் காண்க.

A (2, -1, 3) மற்றும் B(4, 2, 1) என்ற புள்ளிகள் வழிச் செல்லும் நேர்க்கோட்டின் கார்டீசியன் சமன்பாட்டை காண்க.

A=\(\left[ \begin{matrix} 0 & 5 \\ -1 & 6 \end{matrix} \right] \) என்ற பூசியமற்றக் கோவை அணிக்கு காஸ்-ஜோர்டன் நீக்கல் முறை மூலம் நேர்மாறு காண்க.

தீர்க்க: 3x+ay=4, 2x+ay=2, a≠0 கிராமரின் விதியை பயன்படுத்தி 

ω ≠ 1 என்பது ஒன்றின் முப்படி மூலம் எனில் (z - 1)³ + 8 = 0 என்ற சமன்பாட்டின் மூலங்கள் -1, 1 - 2ω, 1 - 2ω² எனக்காட்டுக.

-2i ன் முதன்மை மதிப்பு காண்க

9x³ − 36x² + 44x −16 = 0 -ன் மூலங்கள் கூட்டுத் தொடரில் அமைந்தவை எனில், சமன்பாட்டைத் தீர்க்க.

தீர்க்க: (x-1)⁴+(x-5)⁴=82

முதன்மை மதிப்பு காண்க tan^-1(\(\sqrt3\))

நிரூபிக்க: cos^-1 \(\left( \frac { 4 }{ 5 } \right) \) + tan^-1 \(\left( \frac { 3 }{ 5 } \right) \) = tan^-1 \(\left( \frac { 27 }{ 11 } \right) \)

பின்வருவனவற்றிகான முனை, குவியம், இயக்குவரையின் சமன்பாடு மற்றும் செவ்வகல நீளம் காண்க:
 x²=24y 

\(e=\cfrac { 3 }{ 4 } \) ,குவியங்கள் y-அச்சில் கொண்ட மையம் ஆதியில் உடைய மற்றும் ((6,4) வழிச் செல்வதுமான நீள்வட்டத்தின் சமன்பாட்டை காண்க.

\(\Delta\) ABC ன் நடுக்கோட்டு மையம் G எனில், வெக்டர் முறையில், ( \(\Delta\)GAB -ன் பரப்பு) = ( \(\Delta\)GBC -ன் பரப்பு) = ( \(\Delta\)GCA -ன் ப பரப்பு) = \(\frac { 1 }{ 3 } \) ( \(\Delta\)ABC -ன் பரப்பு) என நிறுவுக.

நான்கு புள்ளிகளின் நிலை வெக்டர்கள் \(6\hat { i } -7\hat { j } \), \(16\hat { i } -29\hat { j } -4\hat { k } \), \(3\hat { i } -6\hat { j } \) ஒரு தளம் அமைவன எனக்காட்டுக.

\(\left[ \begin{matrix} 3 & 1 & 4 \\ 2 & 0 & -1 \\ 5 & 2 & 1 \end{matrix} \right] \) என்பது பூச்சியமற்ற அணிக்கோவை அணி எனக்காட்டுக மற்றும் இவ்வணியை தொடக்க நிலை உருமாற்றங்கள் மூலம் அலகு அணியாக மாற்றுக.

அணிக்கோவையை பயன்படுத்தி, f(1)=0, f(2)=-2 மற்றும் f(3)=-6  எனில் f(x)=ax²+bx+c , என்ற ஈருறுப்பு கோவையை காண்க.

\({ \left( \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } +\frac { i }{ 2 } \right) }^{ 5 }+{ \left( \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } -\frac { i }{ 2 } \right) }^{ 5 }=-\sqrt { 3 } \) எனக்காட்டுக.

1, ω, ω² ஒன்றின் முப்படி மூலங்கள் எனில் (1+ 5ω² + ω⁴) (1 + 5ω + ω²) (1 + 5ω + ω²) (5 + ω + ω⁵) = 64 எனக் காட்டுக 

2x³ − 6x² + 3x + k = 0 எனும் சமன்பாட்டின் ஒரு மூலம் மற்ற இரு மூலங்களின் கூடுதலின் இரு மடங்கு எனில், k-ன் மதிப்பைக் காண்க. மேலும் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க.

தீர்க்க: (2x²-3x+1)(2x²+5x+1)=9x².

cos⁻¹\(\left( \frac { \sqrt { 3 } }{ 3 } \right) \)ன் முதன்மை மதிப்பைக் காண்க.

நிரூபிக்க: \({ tan }^{ -1 }\left( \frac { 1-x }{ 1+x } \right) -{ tan }^{ -1 }\left( \frac { 1-y }{ 1+y } \right) =sin\left( \frac { y-x }{ \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } .\sqrt { 1+{ y }^{ 2 } } } \right) \)

ஒரு கான்கிரீட் பாலம் பரவளைய வடிவில் உள்ளது. சாலையின்மேல் உள்ள பாலத்தின் நீளம் 40மீ மற்றும் அதன் அதிகபட்ச உயரம் 15மீ எனில் அந்தப் பரவளைய வளைவின் சமன்பாடு காண்க.

ஒரு ரயில்வே பாலத்தின் உத்திரம் பரவளைய வடிவில் உள்ளது. அதனுடைய முனை கீழிருந்து அதிகபட்ச உயரமான 15 மீ-ல் அமைந்துள்ளது. அதனுடைய அகலம் 120 மீ எனில் மையத்திலிருந்து 24 மீ தூரத்தில் அதனுடைய உயரம் காண்க.

(3,6,-2),(-1,-2,6) மற்றும் (6,-4,-2) ஆகிய ஒரே கோட்டிலமையாத மூன்று புள்ளிகள் வழிச் செல்லும் தளத்தின் துணையலகு, துணையலகு அல்லாத வெக்டர், மற்றும் கார்டீசியன் சமன்பாடுகளைக் காண்க.

(1, 1, -1) வழிச்செல்லும் மற்றும் தளங்கள் x + 2y +3z - 7 = 0 மற்றும் 2x - 3y + 4z = 0 க்கு செங்குத்து தளத்தின் வெக்டர் மற்றும் கார்டீசியன் சமன்பாட்டை காண்க.