iⁿ + iⁿ⁺¹ + iⁿ⁺² + iⁿ⁺³ –ன் மதிப்பு _______.

|z - 2 + i| ≤ 2 எனில், |z| - மீப்பெரு மதிப்பு _______.

|z₁| = 1, |z₂| = 2, |z₃| = 3 மற்றும் |9z₁z₂ + 4z₁z₃ + z₂z₃| = 12 எனில், |z₁ + z₂ + z₃| –ன் மதிப்பு _______.

\(\frac { 3 }{ -1+i } \) என்ற கலப்பெண்ணின் முதன்மை வீச்சு _______.

(1 + i) (1 + 2i) (1 + 3i) .... (1 + ni) = x + iy எனில், 2.5.10 .... (1 + n²) –ன் மதிப்பு _______.

\(\frac { { (1+i\sqrt { 3 } ) }^{ 2 } }{ 4i(1-i\sqrt { 3 } ) } \) என்ற கலப்பெண்ணின் முதன்மை வீச்சு _______.

x² + x + 1 = 0 என்ற சமன்பாட்டின் மூலங்கள் α மற்றம் β எனில், α²⁰²⁰ + β²⁰²⁰ ன் மதிப்பு _______.

\({ \left( cos\frac { \pi }{ 3 } +isin\frac { \pi }{ 3 } \right) }^{ \frac { 3 }{ 4 } }\) i–ன் எல்லா நான்கு மதிப்புகளின் பெருக்குத் தொகை _______.

\({ \left( \frac { 1+i\sqrt { 3 } }{ 1-i\sqrt { 3 } } \right) }^{ 10 }\) –ன் மதிப்பு _______.

a = 1 + i எனில், a² =

i, -2 + 1, மற்றும் 3 ஆகியவற்றில் எந்த கலப்பெண் ஆதியிலிருந்து அதிக தொலைவில் உள்ளது?

6 − 8i - ன் வர்க்கமூலம் காண்க.

\(\left| 3z-5+i \right| =4\) என்ற சமன்பாடு வட்டத்தைக் குறிக்கிறது எனக்காட்டுக. மேலும் இதன் மையம் மற்றும் ஆரத்தைக் காண்க.

ω ≠ 1 என்பது ஒன்றின் மூன்றாம் படிமூலம் எனில் \(\frac { a+b\omega +c{ \omega }^{ 2 } }{ b+c\omega +a{ \omega }^{ 2 } } +\frac { a+b\omega +c{ \omega }^{ 2 } }{ c+a\omega +b{ \omega }^{ 2 } } \) = -1 என நிறுவுக

வர்க்கமூலம் காண்க :
-6 + 8i

பின்வரும் சமன்பாடுகள் வட்டத்தை குறிக்கிறது என காட்டுக.மேலும் இதன் மையம் மற்றும் ஆரத்தைக் காண்க.
|3z - 6 + 12i| = 8

கீழ்க்காண்பவைகளை சுருக்குக.
\(\sum _{ n=1 }^{ 102 }{ { i }^{ n } } \)

z₁ = 2 - i மற்றும் z₂ = -4 + 3i எனில் z₁z₂ மற்றும் \(\frac { { z }_{ 1 } }{ { z }_{ 2 } } \) -ன் நேர்மாறைக் காண்க.

பின்வருவனவற்றை நிறுவுக :
 \({ (2+i\sqrt { 3 } ) }^{ 10 }-(2-i{ \sqrt { 3 } })^{ 10 }\) என்பது முழுவதும் கற்பனை

\(\left| z \right| =2\) எனில் \(3\le \left| z+3+4i \right| \le 7\) எனக்காட்டுக.

cos α + cos β + cos ⋎ = sin α + sin β + sin ⋎ = 0 எனில்,
(i) cos3 α + cos3 β + cos3 ⋎ = 3cos (α+ β + ⋎) மற்றும்
(ii) sin3 α + sin3 β + sin3 ⋎ = 3 sin (α+ β + ⋎) என நிறுவுக.

z = (cos θ + i sin θ) எனில், \({ z }^{ n }+\frac { 1 }{ { z }^{ n } } \)= 2 cos nθ மற்றும் \({ z }^{ n }+\frac { 1 }{ { z }^{ n } } \)= 2i sin nθ என நிறுவுக.

சுருக்குக \({ \left( \frac { 1+cos2\theta +isin2\theta }{ 1+cos2\theta -isin2\theta } \right) }^{ 30 }\)

ஒன்றின் நான்காம் படிமூலங்களைக் காண்க.

நிறுவுக: i) \({ (2+i\sqrt { 3 } ) }^{ 10 }+{ (2-i\sqrt { 3 } ) }^{ 10 }\) ஒரு மெய் எண் மற்றும்
ii) \({ \left( \frac { 19+9i }{ 5-3i } \right) }^{ 15 }-{ \left( \frac { 8+i }{ 1+2i } \right) }^{ 15 }\) ஒரு முழுவதும் கற்பனை எண்.

z_1, z₂, மற்றும் z₃ என்ற மூன்று கலப்பெண்கள் \(\left| { z }_{ 1 } \right| =1,\left| { z }_{ 2 } \right| =2,\left| { z }_{ 3 } \right| =3\) மற்றும் \(\left| { z }_{ 1 }+{ z }_{ 2 }+{ z }_{ 3 } \right| \) = 1 என்றவாறு உள்ளது எனில் \(\left| 9{ z }_{ 1 }{ z }_{ 2 }+4{ z }_{ 1 }{ z }_{ 3 }+{ z }_{ 2 }{ z }_{ 3 } \right| \) = 6 என நிறுவுக.

z = x + iy என்ற ஏதேனும் ஒரு கலப்பெண் Im\(\left( \frac { 2z+1 }{ iz+1 } \right) \) = 0 எனுமாறு அமைந்தால் z-ன் நியமப்பாதை 2x² + 2y² + x - 2y = 0 எனக்காட்டுக.

z = x + iy மற்றும் arg \(\left( \frac { z-i }{ z+2 } \right) =\frac { \pi }{ 4 } \) எனில், x² + y² + 3x - 3y + 2 = 0 எனக்காட்டுக.

2 cos α = x + \(\frac1x\) மற்றும் 2 cos β = y + \(\frac 1y\) எனக்  கொண்டு. கீழ்க்காண்பவைகளை நிறுவுக.
i) \(\frac { x }{ y } +\frac { y }{ x } =2cos(\alpha-\beta )\)
ii) \(xy-\frac { 1 }{ xy } =2isin(\alpha +\beta )\)
iii) \(\frac { { x }^{ m } }{ { y }^{ n } } -\frac { { y }^{ n } }{ { x }^{ m } } =2isin(m\alpha -n\beta )\)
iv) \({ x }^{ m }{ y }^{ n }+\frac { 1 }{ { x }^{ m }y^{ n } } =2cos(m\alpha +n\beta )\)

z³ + 27 = 0 என்ற சமன்பாட்டைத் தீர்க்க.

\(\sqrt { 3 } \) + i ன் எல்லா மூன்றாம் படிமூலங்களையும் காண்க