பின்வருவனவற்றை சுருக்குக.
i¹⁹⁴⁷ + i¹⁹⁵⁰

பின்வருவனவற்றை சுருக்குக.
i¹⁹⁴⁸ - i¹⁸⁶⁹

பின்வருவனவற்றை சுருக்குக.
\(\sum _{ n=1 }^{ 12 }{ { i }^{ n } } \)

பின்வருவனவற்றை சுருக்குக.
\({ i }^{ 59 }+\frac { 1 }{ { i }^{ 59 } } \)

பின்வருவனவற்றை சுருக்குக.
i i ²i³ ...... i²⁰⁰⁰

பின்வருவனவற்றை சுருக்குக.
\(\sum _{ n=1 }^{ 10 }{ { i }^{ n+50 } } \)

z = 5 − 2i மற்றும் w = −1+ 3i எனக்கொண்டு கீழ்க்காண்பவைகளின் மதிப்புகளைக் காண்க.
z + w

z₁ = 1 - 3i, z₂ = -4i, மற்றும் z3 = 5 எனில் கீழ்க்காண்பவைகளை நிறுவுக.
(z₁ + z₂) + z₃ = z₁ + (z₂ + z₃)

\(\frac { 3+4i }{ 5-12i } \) ஐ x + iy வடிவில் எழுதுக. இதிலிருந்து மெய் மற்றும் கற்பனை பகுதிகளைக் காண்க.

\({ \left( \frac { 1+i }{ 1-i } \right) }^{ 3 }-{ \left( \frac { 1-i }{ 1+i } \right) }^{ 3 }\) - ஐ செவ்வக வடிவில் சுருக்குக

z₁ = 3 - 2i மற்றும் z₂ = 6 + 4i எனில் \(\frac { { { z }_{ 1 } } }{ { z }_{ 2 } } \) ஐ செவ்வக வடிவில் காண்க

z = (2+ 3i)(1 - i)  எனில் z⁻¹-ஐக் காண்க.

கீழ்காண்பவற்றை செவ்வக வடிவில் எழுதுக:
\(\overline { (5+9i)+(2-4i) } \)

z = x + yi எனில், கீழ்காண்பவைகளின் செவ்வக வடிவினைக் காண்க.
Re\(\left( \frac { 1 }{ z } \right) \)

கீழ்க்காண்பவைகளின் மதிப்புகளைக் காண்க.
\(\left| \cfrac { 2+i }{ -1+2i } \right| \)

i, -2 + 1, மற்றும் 3 ஆகியவற்றில் எந்த கலப்பெண் ஆதியிலிருந்து அதிக தொலைவில் உள்ளது?

6 − 8i - ன் வர்க்கமூலம் காண்க.

கீழ்க்காணும் கலப்பெண்களின் மட்டு மதிப்பினைக் காண்க.
\(\frac { 2i }{ 3+4i } \)

z, iz, மற்றும் z + iz ஆகியவற்றை முனைப்புள்ளிகளாகக் கொண்டு அமைக்கப்படும் முக்கோக்கோணத்தின் பரப்பு 50 சதுர அலகுகள் எனில், \(\left| { z } \right| \) -ன் மதிப்பினைக் காண்க.

வர்க்கமூலம் காண்க :
4 + 3i

\(\left| 3z-5+i \right| =4\) என்ற சமன்பாடு வட்டத்தைக் குறிக்கிறது எனக்காட்டுக. மேலும் இதன் மையம் மற்றும் ஆரத்தைக் காண்க.

\(\left| z+2-i \right| <2\) என்பது ஒரு வட்டத்தின் உள்பகுதியில் உள்ள புள்ளிகளைக் குறிக்கும் என காட்டுக. அவ்வட்டத்தின் மையம் மற்றும் ஆரத்தைக் காண்க.

பின்வரும் சமன்பாட்டில் z = x + iy ன் நியமப்பாதையை கார்ட்டீசியன் வடிவில் காண்க
[Re(iz)]² = 3

பின்வரும் சமன்பாடுகள் வட்டத்தை குறிக்கிறது என காட்டுக.மேலும் இதன் மையம் மற்றும் ஆரத்தைக் காண்க.
|z - 2 - i| = 3

பின்வரும் சமன்பாட்டில் z = x + iy -ன் நியமப்பாதையை கார்டீசியன் வடிவில் காண்க.
|z - 4| = 16

பின்வரும் கலப்பெண்களுக்கு மட்டு மற்றும் முதன்மை வீச்சு ஆகியவற்றைக் காண்க.
- \(\sqrt3\) + i

- 1 - i என்ற கலப்பெண்களை துருவ வடிவில் காண்க.

\(z=\frac { -2 }{ 1+i\sqrt { 3 } } \) எனில் முதன்மை வீச்சு Arg z - ஐ காண்க.

கீழ்காணும் கலப்பெண்களின் துருவ வடிவினைக் காண்க.
\(2+2i\sqrt { 3 } \)

ω ≠ 1 என்பது ஒன்றின் மூன்றாம் படிமூலம் எனில் \(\frac { a+b\omega +c{ \omega }^{ 2 } }{ b+c\omega +a{ \omega }^{ 2 } } +\frac { a+b\omega +c{ \omega }^{ 2 } }{ c+a\omega +b{ \omega }^{ 2 } } \) = -1 என நிறுவுக

\(\sum _{ k=1 }^{ 8 }{ \left( cos\frac { 2k\pi }{ 9 } +isin\frac { 2k\pi }{ 9 } \right) } \) -ன் மதிப்பு காண்க.

z = 5 - 2i மற்றும் wi=−1 +3i எனக்கொண்டு கீழ்க்காண்பவைகளின் மதிப்புகளைக் காண்க.
z - iw

z = 5 - 2i மற்றும் wi=−1 +3i எனக்கொண்டு கீழ்க்காண்பவைகளின் மதிப்புகளைக் காண்க.
zw

z₁ = 1 - 3i, z₂ = -4i, மற்றும் z₃ = 5 எனில் கீழ்க்காண்பவைகளை நிறுவுக.
(z₁z₂)z₃ = z₁ (z₂z₃)

கீழ்க்காண்பவற்றை செவ்வக வடிவில் எழுதுக:
\(\frac { 10-5i }{ 6+2i } \)

கீழ்க்காண்பவற்றை செவ்வக வடிவில் எழுதுக:
\(\bar { 3i } +\frac { 1 }{ 2-i } \)

z = x + yi எனில், கீழ்காண்பவைகளின் செவ்வக வடிவினைக் காண்க.
Re\(\left( \bar { iz } \right) \)

z = x + yi எனில், கீழ்காண்பவைகளின் செவ்வக வடிவினைக் காண்க.
Im(3z - 4\(\bar { z } \) - 4i)

கீழ்க்காணும் கலப்பெண்களின் மட்டு மதிப்பினைக் காண்க.
\(\frac { 2-i }{ 1+i } +\frac { 1-2i }{ 1-i } \)

கீழ்க்காணும் கலப்பெண்களின் மட்டு மதிப்பினைக் காண்க.
(1 - i )¹⁰

கீழ்க்காணும் கலப்பெண்களின் மட்டு மதிப்பினைக் காண்க.
2i(3 -4i)(4 - 3i)

வர்க்கமூலம் காண்க :
-6 + 8i

வர்க்கமூலம் காண்க :
-5 -12i

பின்வரும் சமன்பாட்டில் z = x + iy ன் நியமப்பாதையை கார்ட்டீசியன் வடிவில் காண்க
 \(\bar { z } \) = z^-1

பின்வரும் சமன்பாடுகள் வட்டத்தை குறிக்கிறது என காட்டுக.மேலும் இதன் மையம் மற்றும் ஆரத்தைக் காண்க.
|2z + 2 - 4i| = 2

பின்வரும் சமன்பாடுகள் வட்டத்தை குறிக்கிறது என காட்டுக.மேலும் இதன் மையம் மற்றும் ஆரத்தைக் காண்க.
|3z - 6 + 12i| = 8

கீழ்காணும் கலப்பெண்களின் துருவ வடிவினைக் காண்க.
\(3-i\sqrt { 3 } \)

கீழ்காணும் கலப்பெண்களின் துருவ வடிவினைக் காண்க.
-2 - i2

கீழ்க்காண்பவைகளை சுருக்குக.
i−¹⁹²⁴ + i²⁰¹⁸

கீழ்க்காண்பவைகளை சுருக்குக.
\(\sum _{ n=1 }^{ 102 }{ { i }^{ n } } \)

கீழ்க்காண்பவைகளை சுருக்குக.
i i²i³ ..... i⁴⁰

கீழ்க்காண்பவைகளின் மதிப்புகளைக் காண்க.
\(\left| \bar { (1+i) } (2+3i)(4i-3) \right| \)

கீழ்க்காண்பவைகளின் மதிப்புகளைக் காண்க.
\(\left| \frac { i(2+{ i })^{ 3 } }{ { (1+i) }^{ 2 } } \right| \)

பின்வரும் கலப்பெண்களுக்கு மட்டு மற்றும் முதன்மை வீச்சு ஆகியவற்றைக் காண்க.
 - \(\sqrt3\) + i

பின்வரும் கலப்பெண்களுக்கு மட்டு மற்றும் முதன்மை வீச்சு ஆகியவற்றைக் காண்க.
- \(\sqrt3\) - i

பின்வரும் கலப்பெண்களுக்கு மட்டு மற்றும் முதன்மை வீச்சு ஆகியவற்றைக் காண்க.
 \(\sqrt3\) - i

\(1+i\sqrt { 3 } \) என்ற கலப்பெண்களை துருவ வடிவில் காண்க.

கீழ்க்காண்பவைகளை சுருக்குக.
i⁷

(2 + i)x + (1-i)y + 2i - 3 மற்றும் x+ (-1 +2i)y + 1+ i ஆகிய கலப்பெண்கள் சமம் எனில் x மற்றும் y-ன் மெய்மதிப்புகளைக் காண்க.

z = 2 + 3i எனக்கொண்டு கீழ்க்காணும் கலப்பெண்களை ஆர்கண்ட் தளத்தில் குறிக்க.
z, iz, மற்றும் z + iz

(3 - i)x - (2 - i)y + 2i + 5 மற்றும் y + 3 + 2iஆகிய கலப்பெண்கள் சமம் எனில் x மற்றும் y-ன் மதிப்புகளைக் காண்க

z₁ = 3, z₂ = -7i, மற்றும் z₃ = 5 + 4i எனில் கீழ்க்காண்பவைகளை நிறுவுக.
z₁(z₂ + z₃) = z₁z₂ + z₁z₃ 

z₁ = 2 + 5i, z₂ = -3 - 4i, மற்றும் z₃ = 1 + i எனில் z₁, z_2, மற்றும் z₃ ஆகியவற்றின் கூட்டல் மற்றும் பெருக்கல் நேர்மாறுகளைக் காண்க.

\(\frac { z+3 }{ z-5i } =\frac { 1+4i }{ 2 } \) எனில், கலப்பெண் z-ஐ செவ்வக வடிவில் காண்க.

z₁ = 2 - i மற்றும் z₂ = -4 + 3i எனில் z₁z₂ மற்றும் \(\frac { { z }_{ 1 } }{ { z }_{ 2 } } \) -ன் நேர்மாறைக் காண்க.

கலப்பெண்கள் u,v மற்றும் w ஆகியவை \(\frac { 1 }{ u } =\frac { 1 }{ v } +\frac { 1 }{ w } \) என்றவாறு தொடர்புபடுத்தப்பட்டுள்ளது. v = 3 - 4i மற்றும் w = 4 + 3i எனில் u-ஐ செவ்வக வடிவில் எழுதுக

கீழ்க்காணும் பண்புகளை நிறுவுக.
z ஒரு மெய் எண் என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே \(z=\bar { z } \).

\({ \left( \sqrt { 3 } +i \right) }^{ n }\)i ஆனது n-ன் எந்த மீச்சிறு மிகை முழு எண் மதிப்புகளுக்கு மெய்

பின்வருவனவற்றை நிறுவுக :
 \({ (2+i\sqrt { 3 } ) }^{ 10 }-(2-i{ \sqrt { 3 } })^{ 10 }\) என்பது முழுவதும் கற்பனை

z₁ = 3 + 4i, z₂ = 5 - 12i மற்றும் z₃ = 6 + 8i எனில் \(\left| { z }_{ 1 } \right| ,\left| { z }_{ 2 } \right| ,\left| { z }_{ 3 } \right| ,\left| { z }_{ 1 }+{ z }_{ 2 } \right| ,\left| { z }_{ 2 }+{ z }_{ 3 } \right| \) மற்றும் \(\left| { z }_{ 1 }+{ z }_{ 3 } \right| \) ஆகியவற்றின் மதிப்புகளைக் காண்க.

z₁, z₂, மற்றும் z₃ ஆகிய கலப்பெண்கள் \(\left| { z }_{ 1 } \right| =\left| { z }_{ 2 } \right| =\left| { z }_{ 3 } \right| =\left| { z }_{ 1 }+{ z }_{ 2 }+{ z }_{ 3 } \right| \) = 1 என்றவாறு இருந்தால், \(\left| \frac { 1 }{ { z }_{ 1 } } +\frac { 1 }{ { z }_{ 2 } } +\frac { 1 }{ { z }_{ 3 } } \right| \) -ன் மதிப்பைக் காண்க.

\(\left| z \right| =2\) எனில் \(3\le \left| z+3+4i \right| \le 7\) எனக்காட்டுக.

1, \(\frac { -1 }{ 2 } +i\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \\ \) மற்றும் 1, \(\frac { -1 }{ 2 } -i\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \\ \) என்ற புள்ளிகள் ஒரு சமபக்க முக்கோணத்தின் முனைப்புள்ளிகளாக அமையும் என நிறுவுக.

\({ z }^{ 2 }=\bar { z } \) என்ற சமன்பாட்டிற்கு நான்கு மூலங்கள் இருக்கும் என நிறுவுக.

z₁ மற்றும் z₂ என்ற ஏதேனும் இரு கலப்பெண்களுக்கு \(\left| { { z }_{ 1 } } \right| =\left| { z }_{ 2 } \right| =1\) மற்றும் z₁z₂ ≠ -1 எனில் \(\frac { { z }_{ 1 }+{ z }_{ 2 } }{ 1+{ z }_{ 1 }{ z }_{ 2 } } \) ஓர் மெய் எண் எனக்காட்டுக.

10 - 8i, 11 + 6i ஆகிய புள்ளிகளில் எப்புள்ளி 1+i-க்கு மிக அருகாமையில் இருக்கும்?

\(\left| z \right| \) = 3 எனில் \(7\le \left| 4+6-8i \right| \le 13\) எனக் காட்டுக.

\(\left| z \right| \) = 1 எனில், \(2\le \left| { z }^{ 3 }-3 \right| \le 4\) எனக்காட்டுக.

\(\left| z-\frac { 2 }{ z } \right| \) = 2 எனில் \(\left| z \right| \) -ன் மீச்சிறு மற்றும் மீப்பெரு மதிப்புகள் \(\sqrt3\) + 1 மற்றும் \(\sqrt3\) - 1 என நிறுவுக

z³ + 2\(\bar { z } \) = 0 என்ற சமன்பாட்டிற்கு ஐந்து தீர்வுகள் இருக்கும் என நிறுவுக

z = 3 + 2i எனக்கொண்டு z, iz, மற்றும் z + iz ஆகியவற்றை ஆர்கன்ட் தளத்தில் குறிக்க. இக்கலப்பெண்கள் ஓர் இரு சமபக்க செங்கோண முக்கோணத்தின் பக்கங்களாக அமையும் என நிறுவுக.

பின்வரும் சமன்பாட்டில் z -ன் நியமப்பாதையை கார்ட்டீசியன் வடிவில் காண்க.
\(\left| z \right| =\left| z-i \right| \)

z = x + iy என்ற ஏதேனும் ஒரு கலப்பெண் \(\left| \frac { z-4i }{ z+4i } \right| \) = 1 எனுமாறு அமைந்தால் z-ன் நியமப்பாதை மெய் அச்சு எனக் காட்டுக.

\(\frac { 3 }{ 2 } \left( \cos\frac { \pi }{ 3 } +i \sin\frac { \pi }{ 3 } \right) .6\left( \cos\frac { 5\pi }{ 6 } +i\sin\frac { 5\pi }{ 6 } \right) \) என்ற பெருக்கத்தின் மதிப்பினை செவ்வக வடிவில் காண்க.

\(\frac { 2\left( cos\frac { 9\pi }{ 4 } +isin\frac { 9\pi }{ 4 } \right) }{ 4\left( cos\left( \frac { -3\pi }{ 2 } \right) +isin\left( \frac { -3\pi }{ 2 } \right) \right) } \) என்ற வகுத்தலின் மதிப்பினை செவ்வக வடிவில் காண்க

பின்வருவனவற்றை செவ்வக வடிவில் எழுதுக.
\(\left( cos\frac { \pi }{ 6 } +isin\frac { \pi }{ 6 } \right) \left( cos\frac { \pi }{ 12 } +isin\frac { \pi }{ 12 } \right) \)

(x₁ + iy₁)(x₂ + iy₂) (x₃ + iy₃) ... (x_n + iy_n) = a + ib எனில்,
i) (x₁² + y₁²)(x₂² + y₂²)(x₃² + y₃²).........(x_n² + y_n²) = a² + b².
ii) \(\sum _{ r=1 }^{ n }{ { tan }^{ 1 } } \left( \frac { { y }_{ r } }{ { x }_{ r } } \right) { tan }^{ -1 }\left( \frac { a }{ b } \right) \)+ 2k兀, kЄZ எனக்காட்டுக

\(\frac { 1+z }{ 1-z } \) = cos 2θ + isin 2θ, எனில், z = itan θ என நிறுவுக.

cos α + cos β + cos ⋎ = sin α + sin β + sin ⋎ = 0 எனில்,
(i) cos3 α + cos3 β + cos3 ⋎ = 3cos (α+ β + ⋎) மற்றும்
(ii) sin3 α + sin3 β + sin3 ⋎ = 3 sin (α+ β + ⋎) என நிறுவுக.

z = (cos θ + i sin θ) எனில், \({ z }^{ n }+\frac { 1 }{ { z }^{ n } } \)= 2 cos nθ மற்றும் \({ z }^{ n }+\frac { 1 }{ { z }^{ n } } \)= 2i sin nθ என நிறுவுக.

சுருக்குக \({ \left( sin\frac { \pi }{ 6 } +icos\frac { \pi }{ 6 } \right) }^{ 18 }\)

சுருக்குக \({ \left( \frac { 1+cos2\theta +isin2\theta }{ 1+cos2\theta -isin2\theta } \right) }^{ 30 }\)

\({ \left( \frac { 1+sin\frac { \pi }{ 10 } +icos\frac { \pi }{ 10 } }{ 1+sin\frac { \pi }{ 10 } -icos\frac { \pi }{ 10 } } \right) }^{ 10 }\) -ன் மதிப்பு காண்க.

ω ≠ 1 என்பது ஒன்றின் முப்படி மூலம் எனில் (z - 1)³ + 8 = 0 என்ற சமன்பாட்டின் மூலங்கள் -1, 1 - 2ω, 1 - 2ω² எனக்காட்டுக.

ω ≠ 1 என்பது ஒன்றின் முப்படி மூலம் எனில், பின்வருவனவற்றை நிறுவுக.
(1 - ω + ω²)⁶ + (1 + ω - ω²)⁶ = 128

z = 2 - 2i எனில், ஆதியைப் பொருத்து z-ஐ θ ரேடியன்கள் கடிகார திசைக்கு எதிர் திசையில் சுழற்றினால் z-ன் மதிப்பை கீழ்க்காணும் θ மதிப்புகளுக்கு காண்க.
\(\theta =\frac { \pi }{ 3 } \)

ஒன்றின் மூன்றாம் படிமூலங்களைக் காண்க.

ஒன்றின் நான்காம் படிமூலங்களைக் காண்க.

z = 5 - 2i மற்றும் wi=−1 +3i எனக்கொண்டு கீழ்க்காண்பவைகளின் மதிப்புகளைக் காண்க.
z² + 2zw + w²

z = 5 - 2i மற்றும் wi=−1 +3i எனக்கொண்டு கீழ்க்காண்பவைகளின் மதிப்புகளைக் காண்க.
(z + w)².

z = 2 + 3i எனக்கொண்டு கீழ்க்காணும் கலப்பெண்களை ஆர்கண்ட் தளத்தில் குறிக்க.
z, iz மற்றும் z - iz

z₁ = 3, z₂ = -7i, மற்றும் z₃ = 5 + 4i எனில் கீழ்க்காண்பவைகளை நிறுவுக.
(z₁ + z₂)z₃ = z₁z₃ + z₂z₃

கீழ்க்காணும் பண்புகளை நிறுவுக.
Re(z) = \(\frac { z+\bar { z } }{ 2 } \)  மற்றும் Im(z) = \(\frac { z-\bar { z } }{ zi } \)

பின்வருவனவற்றை நிறுவுக :
 \({ \left( \frac { 19-7i }{ 9+i } \right) }^{ 12 }+{ \left( \frac { 20-5i }{ 7-6i } \right) }^{ 12 }\) என்பது மெய் எண்.

பின்வரும் சமன்பாட்டில் z = x + iy ன் நியமப்பாதையை கார்ட்டீசியன் வடிவில் காண்க
Im[(1-i)z + 1] = 2

பின்வரும் சமன்பாட்டில் z = x + iy ன் நியமப்பாதையை கார்ட்டீசியன் வடிவில் காண்க
|z + i| = |z - 1|

பின்வரும் சமன்பாட்டில் z = x + iy -ன் நியமப்பாதையை கார்டீசியன் வடிவில் காண்க.
|z - 4|² - |z - 1|² = 16

கீழ்காணும் கலப்பெண்களின் துருவ வடிவினைக் காண்க.
\(\frac { i-1 }{ cos\frac { \pi }{ 3 } +isin\frac { \pi }{ 3 } } \)

பின்வருவனவற்றை செவ்வக வடிவில் எழுதுக.
\(\frac { cos\frac { \pi }{ 6 } -isin\frac { \pi }{ 6 } }{ 2\left( cos\frac { \pi }{ 3 } +isin\frac { \pi }{ 3 } \right) } \)

ω ≠ 1 என்பது ஒன்றின் முப்படி மூலம் எனில், பின்வருவனவற்றை நிறுவுக.
(1 + ω)(1 + ω²)(1 + ω⁴)(1 + ω⁸) ...(1 + \({ { \omega }^{ 2 } }^{ 11 }\)) = 1

z = 2 - 2i எனில், ஆதியைப் பொருத்து z-ஐ θ ரேடியன்கள் கடிகார திசைக்கு எதிர் திசையில் சுழற்றினால் z-ன் மதிப்பை கீழ்க்காணும் θ மதிப்புகளுக்கு காண்க.
\(\theta =\frac { 2\pi }{ 3 } \)

z = 2 - 2i எனில், ஆதியைப் பொருத்து z-ஐ θ ரேடியன்கள் கடிகார திசைக்கு எதிர் திசையில் சுழற்றினால் z-ன் மதிப்பை கீழ்க்காணும் θ மதிப்புகளுக்கு காண்க.
\(\theta =\frac { 3\pi }{ 2 } \)

கீழ்க்காண்பவைகளை சுருக்குக.
i¹⁷²⁹

பின்வரும் சமன்பாட்டில் z -ன் நியமப்பாதையை கார்ட்டீசியன் வடிவில் காண்க.
\(\left| 2z-3-i \right| =3\)

\({ \left( \sqrt { 3 } +i \right) }^{ n }\)i ஆனது n-ன் எந்த மீச்சிறு மிகை முழு எண் மதிப்புகளுக்கு முழுவதும் கற்பனை எண்களாக இருக்கும்?

நிறுவுக: i) \({ (2+i\sqrt { 3 } ) }^{ 10 }+{ (2-i\sqrt { 3 } ) }^{ 10 }\) ஒரு மெய் எண் மற்றும்
ii) \({ \left( \frac { 19+9i }{ 5-3i } \right) }^{ 15 }-{ \left( \frac { 8+i }{ 1+2i } \right) }^{ 15 }\) ஒரு முழுவதும் கற்பனை எண்.

z₁, z₂ மற்றும் z₃ என்ற கலப்பெண்கள் \(\left| { z }_{ 1 } \right| =\left| { z }_{ 2 } \right| =\left| { z }_{ 3 } \right| =r>0\) மற்றும் z₁ + z₂ + z₃ \(\neq \) 0 எனவும் இருந்தால் \(\left| \frac { z_{ 1 }{ z }_{ 2 }+{ z }_{ 2 }{ z }_{ 3 }+{ z }_{ 3 }{ z }_{ 1 } }{ { z }_{ 1 }+{ z }_{ 2 }+{ z }_{ 3 } } \right| \) = r என நிறுவுக.

z_1, z₂, மற்றும் z₃ என்ற மூன்று கலப்பெண்கள் \(\left| { z }_{ 1 } \right| =1,\left| { z }_{ 2 } \right| =2,\left| { z }_{ 3 } \right| =3\) மற்றும் \(\left| { z }_{ 1 }+{ z }_{ 2 }+{ z }_{ 3 } \right| \) = 1 என்றவாறு உள்ளது எனில் \(\left| 9{ z }_{ 1 }{ z }_{ 2 }+4{ z }_{ 1 }{ z }_{ 3 }+{ z }_{ 2 }{ z }_{ 3 } \right| \) = 6 என நிறுவுக.

z = x + iy என்ற ஏதேனும் ஒரு கலப்பெண் Im\(\left( \frac { 2z+1 }{ iz+1 } \right) \) = 0 எனுமாறு அமைந்தால் z-ன் நியமப்பாதை 2x² + 2y² + x - 2y = 0 எனக்காட்டுக.

z =x + iy மற்றும் arg\(\left( \frac { z-1 }{ z+1 } \right) =\frac { \pi }{ 2 } \) எனில், x² + y² = 1 எனக்காட்டுக

z = x + iy மற்றும் arg \(\left( \frac { z-i }{ z+2 } \right) =\frac { \pi }{ 4 } \) எனில், x² + y² + 3x - 3y + 2 = 0 எனக்காட்டுக.

\({ \left( \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } +\frac { i }{ 2 } \right) }^{ 5 }+{ \left( \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } -\frac { i }{ 2 } \right) }^{ 5 }=-\sqrt { 3 } \) எனக்காட்டுக.

2 cos α = x + \(\frac1x\) மற்றும் 2 cos β = y + \(\frac 1y\) எனக்  கொண்டு. கீழ்க்காண்பவைகளை நிறுவுக.
i) \(\frac { x }{ y } +\frac { y }{ x } =2cos(\alpha-\beta )\)
ii) \(xy-\frac { 1 }{ xy } =2isin(\alpha +\beta )\)
iii) \(\frac { { x }^{ m } }{ { y }^{ n } } -\frac { { y }^{ n } }{ { x }^{ m } } =2isin(m\alpha -n\beta )\)
iv) \({ x }^{ m }{ y }^{ n }+\frac { 1 }{ { x }^{ m }y^{ n } } =2cos(m\alpha +n\beta )\)

z³ + 27 = 0 என்ற சமன்பாட்டைத் தீர்க்க.

\(\sqrt [ 4 ]{ -1 } \) - ன் மதிப்புகள் 土 \(\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \) (1 土 i) என நிறுவுக.

சுருக்குக: (1 + i)¹⁸

z³ + 8i = 0 என்ற சமன்பாட்டைத் தீர்க்க. இங்கு z∈C.

\(\sqrt { 3 } \) + i ன் எல்லா மூன்றாம் படிமூலங்களையும் காண்க

z₁, z₂, மற்றும் z₃ ஆகியவை |z| = 2 என்ற வட்டத்தின் மீதமைந்த சமபக்க முக்கோணத்தின் உச்சிப்புள்ளிகள் என்க. மேலும் z₁ = 1 + i\(\sqrt { 3 } \) எனில், z₂ மற்றும் z₃-ஐக் காண்க.

சுருக்குக: \({ \left( -\sqrt { 3 } +3i \right) }^{ 31 }\)