\(\left[ \begin{matrix} 0 \\ -1 \\ 4 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 6 \\ 5 \\ 0 \end{matrix} \right] \) என்ற அணியை நிரை-ஏறுபடி வடிவத்திற்கு மாற்றுக.

A =\(\frac { 1 }{ 9 } \left[ \begin{matrix} -8 & 1 & 4 \\ 4 & 4 & 7 \\ 1 & -8 & 4 \end{matrix} \right] \) எனில், A^-1 =A^T என நிறுவுக.

(AB)^-1 =B^-1A^-1 சரிபார்க்க \(A=\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{bmatrix}\) மற்றும் \(B=\begin{bmatrix} 4 & 5 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\)

எந்த நிபந்தனையின் கீழ் அணி \(\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & h-2 & 2 \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} & \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} & \begin{matrix} h+2 \\ 3 \end{matrix} \end{matrix} \right] \) இன் தரம் 3ஐ விட குறைவாக இருக்கும்.

(3 - i)x - (2 - i)y + 2i + 5 மற்றும் y + 3 + 2iஆகிய கலப்பெண்கள் சமம் எனில் x மற்றும் y-ன் மதிப்புகளைக் காண்க

\(\frac { 2\left( cos\frac { 9\pi }{ 4 } +isin\frac { 9\pi }{ 4 } \right) }{ 4\left( cos\left( \frac { -3\pi }{ 2 } \right) +isin\left( \frac { -3\pi }{ 2 } \right) \right) } \) என்ற வகுத்தலின் மதிப்பினை செவ்வக வடிவில் காண்க

-2i ன் முதன்மை மதிப்பு காண்க

Re\(\left( \frac { z+1 }{ z-1 } \right) \) = 0 எனில் z -ன் நியமப்பாதை காண்க. இங்கு z = x + iy

x³+2x²+3x+4=0 எனும் முப்படி சமன்பாட்டின் மூலங்கள் α,β மற்றும் \(\gamma \).எனில் கீழ்க்காணும் மூலங்களைக் கொண்டு முப்படி சமன்பாடுகளை உருவாக்குக.
2α,2β மற்றும் 2\(\gamma \).

x⁴-9x²+20=0 எனும் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க.

தீர்க்க: 2^x+2^x-1+2^x-2=7x+7^x-1+7^x-2

தீர்க்க: \({ (5+2\sqrt { 6 } ) }^{ { x }^{ 2-3 } }+{ (5-2\sqrt { 6 } ) }^{ { x }^{ 2 }-3 }=10\)

0\(\le x <6\pi\) எனும்போது y= sin\((\frac{1}{3}x)\)ன் வரைபடம் வரைக.

நிரூபிக்க 
\({ \sin }^{ -1 }\frac { 3 }{ 5 } -{ \cos }^{ -1 }\frac { 12 }{ 13 } ={ \sin }^{ -1 }\frac { 16 }{ 65 } \)

நிரூபிக்க: cos^-1 \(\left( \frac { 4 }{ 5 } \right) \) + tan^-1 \(\left( \frac { 3 }{ 5 } \right) \) = tan^-1 \(\left( \frac { 27 }{ 11 } \right) \)

மதிப்பீடுக. cos \(\left[ { sin }^{ -1 }\frac { 3 }{ 5 } +{ sin }^{ -1 }\frac { 5 }{ 13 } \right] \)

\(\frac { { x }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } -\frac { { y }^{ 2 } }{ { b }^{ 2 } } =1\) என்ற அதிபரவளையம் செவ்வகல நீளம் \(\frac { 2{ b }^{ 2 } }{ a } \) என நிறுவுக.

ஒரு தேடும் விளக்கு பரவளைய பிரதிபலிப்பான் கொண்டது. (குறுக்கு வெட்டு ஒரு கிண்ண வடிவம்). பரவளைய கிண்ணத்தின் விளிம்புகளுக்கு இடையே உள்ள அகலம் 40 செ.மீ மற்றும் ஆழம் 30 செ.மீ. குமிழ் குவியத்தில் பொருத்தப்பட்டுள்ளது.
(1) பிரதிபலிப்புக்குப் பயன்படுத்தப்படும் பரவளையத்தின் சமன்பாடு என்ன?
(2) ஒளி அதிகபட்சம் தூரம் தெரிவதற்கு குமிழ் பரவளையத்தின் முனையிலிருந்து எவ்வளவு தூரத்தில் பொருத்தப்பட வேண்டும்.

\(e=\cfrac { 3 }{ 4 } \) ,குவியங்கள் y-அச்சில் கொண்ட மையம் ஆதியில் உடைய மற்றும் ((6,4) வழிச் செல்வதுமான நீள்வட்டத்தின் சமன்பாட்டை காண்க.

y=x+c அதிபரவளையம் 9x²-16y²=144 க்கு தொடுகோடு எனில் cன் மதிப்பை காண்க.

ஒரு துகள் (4,-3,-2) என்ற புள்ளியிலிருந்து (6,1,-3) என்ற புள்ளிக்கு \(\hat { 2j } +\hat { 5j } +\hat { 6k } \) மற்றும் \(-\hat { i } -\hat { 2j } -\hat { k } \) என்ற மாறாத விசைகளின் செயல்பாட்டினால் நகர்த்தப்பட்டால், அவ்விசைகள் செய்த மொத்த வேலையைக் காண்க.

\(\frac { x+3 }{ 2 } =\frac { y-1 }{ z } \)=-z என்ற நேர்க்கோடு ஆய அச்சுகளுடன் ஏற்படுத்தும் கோணங்களைக் காண்க.

\(3\overset { \wedge }{ i } -5\overset { \wedge }{ k } ,2\overset { \wedge }{ i } +7\overset { \wedge }{ j } \) மற்றும் \(\overset { \wedge }{ i } +\overset { \wedge }{ j } +\overset { \wedge }{ k } \) வெக்டர்களுமான ஒரு வெக்டரின் புள்ளி பெருக்கல்பலன் முறையே -1, 6 மற்றும் 5. வெக்டரை காண்க.  

\(\overset { \rightarrow }{ r } =(s-2t)\overset { \wedge }{ i } +(3-t)\overset { \wedge }{ j } +(2s+t)\overset { \wedge }{ k } \)என்ற தளத்திற்கான சமன்பாட்டின் கார்டீசியன் வடிவம் காண்க.

லெக்ராஞ்சியின் சராசரி மதிப்புத் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி கொடுக்கப்பட்ட சார்புகளுக்கு கொடுக்கப்பட்ட இடைவெளியின் முனைப் புள்ளிகள் வழியே செல்லும் நாணுக்கு இணையாக ஒரு தொடுகோட்டின் தொடும் புள்ளியின் x -ன் ம திப்பைக் காண்க.
\(f(x)=(x-2),(x-7), x\in [3,11]\)

\(f(x)=x(x+3)e^{\frac{\pi}{2}},-3\le x\le0\) என்ற வளை வரைக்கு x -அச்சிற்கு இணையாக வரையப்படும் தொடுகோட்டின் தொடும் புள்ளியின் x -மதிப்புத் (−3,0) என்ற இடைவெளியில் அமையும் என நிறுவுக.

ஒரு சோப்பு நுரையின் வடிவம் கோளமாக உள்ளது என எடுத்துக் கொள்வோம். ஆரம் 5 செ மீ- இலிருந்து 5.2 செ மீ-ஆக மாறும் போது ஏற்படும் வளைபரப்பின் தோராய அதிகரிப்பை நேரியல் தோராய மதிப்பு முறையில் காண்க . மேலும் அதன் சதவீதப் பிழையையும் காண்க.

ஒரு நேர்வட்ட உருளையின் ஆரம் r =10 செமீ மற்றும் உயரம் h = 20 செமீ. உருளையின் ஆரம் 10 செமீ இலிருந்து 10.1 செமீ-ஆக அதிகரிக்கின்றது என்க. மேலும் உயரம் மாறாமல் உள்ளது எனில் உருளையின் கன அளவில் ஏற்படும் மாற்றத்தைக் கணக்கிடுக. மேலும் அதன் சார்பிழை மற்றும் சதவீதப் பிழையையும் காண்க .

மதிப்பிடுக : \(\int ^{a}_{0} \frac{f{x}}{f{x}+f(a-x)}\) dx.

மதிப்பிடுக :\(\int ^{1}_{-1} e^{-λx}{(1-x^2)}\) dx.

பின்வரும் இயற்பியல் கூற்றுகள் ஒவ்வொன்றையும், வகைக்கெழுச் சமன்பாடாக எழுதுக.
ஒரு சேமிப்புத் தொகைக்கு ஒரு வருடத்திற்கு வழங்கப்படும் 8% வட்டித் தொகையானது தொடர்ச்சியாக அசலுடன் சேர்க்கப்படுகிறது. மேலும், மற்றொரு முதலீட்டிலிருந்து ஒவ்வொரு ஆண்டும் கிடைக்கும் வரவு Rs 400 இத்தொகையுடன் தொடர்ச்சியாக சேர்க்கப்படுகிறது.

y = a cos(log x) + bsin (log x), x > 0 என்பது x² y' + xy' + y = 0 எனும் வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டின் தீர்வாகும் எனக்காட்டுக.

600 டிக்கெட்டுகள் கொண்ட ஒரு லாட்டரியில் ஒரு பரிசு ரூ. 200 -க்கும் நான்கு பரிசுகள் ரூ. 100 -க்கும், ஆறு பரிசுகள் ரூ. 50 -க்கும் எனக்கொடுக்கிறது. டிக்கெட் செலவு ரூ. 2 என்றால், ஒரு டிக்கெட்டின் எதிர்பார்க்கப்படும் வெற்றி தொகையைக் கண்டறியவும்.

4P(X = 4) = P(X = 2) மற்றும் n = 6 எனும்ப டி உள்ள X~B(n, p) -ன் பரவலின், சராசரி மற்றும் திட்டவிலக்கம் ஆகியவற்றைக் காண்க

* ஆனது, சமனிப் பண்பு மற்றும் எதிர்மறைப் பண்பு ஆகியவை , Q -ன் மீது உண்மையாகுமா எனச் சோதிக்க \(a\ast b=\left( \frac { a+b }{ 2 } \right) ;\forall a,b\epsilon Q\).

கீழே கொடுக்கப்பட்டிருக்கும் இரண்டு கூற்றுகள் p மற்றும் q -க்கு பின்வருபவைகளை எழுதுக.
மறுதலைக் கூற்று
p: பகா எண்களின் எண்ணிக்கை முடிவில்லாதது
q: ஊட்டி கேரளாவில் உள்ளது