A=\(\left[ \begin{matrix} 2 & 9 \\ 1 & 7 \end{matrix} \right] \) எனில் (A^T)^-1 = (A^-1)^T என்ற பண்பை சரிபார்க்க.

ஒரு போட்டித் தேர்வில் ஒவ்வொரு சரியான விடைக்கும் ஒரு மதிப்பெண் வழங்கப்படுகிறது. ஒவ்வொரு தவறான விடைக்கும் \(\frac { 1 }{ 4 } \) மதிப்பெண் குறைக்கப்படுகிறது. ஒரு மாணவர் 100 கேள்விகளுக்குப் பதிலளித்து 80 மதிப்பெண்கள் பெறுகிறார் எனில் அவர் எத்தனை கேள்விகளுக்குச் சரியாக பதில் அளித்திருப்பார்? (கிராமரின் விதியைப் ப பயன்படுத்தி இக்கணக்கைத் தீர்க்கவும்).

பின்வரும் அணிகளுக்கு ஏறுபடி வடிவத்தைப் பயன்படுத்தி அணித்தரம் காண்க:
\(\left[ \begin{matrix} 1 \\ 3 \\ \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ -1 \\ \begin{matrix} -2 \\ -1 \end{matrix} \end{matrix}\begin{matrix} -1 \\ 2 \\ \begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix} \end{matrix} \right] \)
 

z₁ = 2 + 5i, z₂ = -3 - 4i, மற்றும் z₃ = 1 + i எனில் z₁, z_2, மற்றும் z₃ ஆகியவற்றின் கூட்டல் மற்றும் பெருக்கல் நேர்மாறுகளைக் காண்க.

1, \(\frac { -1 }{ 2 } +i\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \\ \) மற்றும் 1, \(\frac { -1 }{ 2 } -i\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \\ \) என்ற புள்ளிகள் ஒரு சமபக்க முக்கோணத்தின் முனைப்புள்ளிகளாக அமையும் என நிறுவுக.

\({ \left( \frac { 1+sin\frac { \pi }{ 10 } +icos\frac { \pi }{ 10 } }{ 1+sin\frac { \pi }{ 10 } -icos\frac { \pi }{ 10 } } \right) }^{ 10 }\) -ன் மதிப்பு காண்க.

கீழ்க்காணும் பண்புகளை நிறுவுக.
Re(z) = \(\frac { z+\bar { z } }{ 2 } \)  மற்றும் Im(z) = \(\frac { z-\bar { z } }{ zi } \)

2x⁴-8x³+6x²-3=0 எனும் சமன்பாட்டின் மூலங்களின் வர்க்கங்களின் கூடுதல் காண்க.

7x³ − 43x² = 43x − 7 என்ற சமன்பாட்டைத் தீர்க்க.

sin^-1(2 - 3x²)–ன் சார்பகத்தைக் காண்க.

\(|x|<\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \) எனில் \({ \tan }^{ -1 }x+{ \tan }^{ -1 }\frac { 2x }{ 1-{ x }^{ 2 } } ={ \tan }^{ -1 }\frac { 3x-{ x }^{ 2 } }{ 1-{ 3x }^{ 2 } } \) என நிறுவுக.

மதிப்பு காண்க 
\({ \sin }^{ -1 }(-1)+{ \cos }^{ -1 }\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) +{ \cot }^{ -1 }(2)\)

x²+y²-6x+6y-8=0 என்ற வட்டத்தின் தொடுகோடு மற்றும் செங்கோட்டுச் சமன்பாடுகளை (2,2) என்ற புள்ளியில் காண்க.

x² + 4y² = 32 என்ற நீள் வட்டத்திற்கு \(\theta =\frac { \pi }{ 4 } \) எனும்போது தொடுகோடு மற்றும் செங்கோட்டுச் சமன்பாடுகளைக் காண்க.

முறையே 5\(\sqrt { 2 }\) மற்றும் 10\(\sqrt { 2 }\) அலகுகள் எண்ணளவு கொண்ட 3\(\hat { i }\)+4\(\hat { j }\)+5\(\hat { k }\) மற்றும் 10\(\hat { i }\)+6\(\hat { j }\)-8\(\hat { k }\) என்ற வெக்டர்களின் திசைகளில் அமைந்த விசைகள், ஒரு துகளை 4\(\hat { i }\)-3\(\hat { j }\)-2\(\hat { k }\) என்ற வெக்டரை நிலைவெக்டராகக் கொண்ட புள்ளியிலிருந்து 6\(\hat { i }\)+\(\hat { j }\)-3\(\hat { k }\) என்ற வெக்டரை நிலைவெக்டராகக் கொண்ட புள்ளிக்கு நகர்த்துகிறது எனில், அவ்விசைகள் செய்த வேலையைக் காண்க.

(5,2,8) என்ற புள்ளி வழிச் செல்வதும் \(\vec { r } =(\hat { i } +\hat { j } -\hat { k } )+s(2\hat { i } -2\hat { j } +\hat { k } )\) மற்றும் \(\vec { r } =(2\hat { i } -\hat { j } -3\hat { k } )+t(\hat { i } +2\hat { j } +2\hat { k } )\) ஆகிய கோடுகளுக்குச் செங்குத்தானதுமான நேர்க்கோட்டின் துணையலகு வெக்டர் சமன்பாடு மற்றும் கார்டீசியன் சமன்பாடுகளைக் காண்க.

(6, -7, 0), (16, -19, -4), (0, 3, -6), (2, -5, 10) என்ற நான்கு புள்ளிகளும் ஒரே தளத்தில் அமையும் என நிறுவுக.

x + 2y + 3z = 2 மற்றும் x - y - z + 11 = 3 என்ற தளங்களின் வெட்டுக்கோடு வழிச் செல்வதும், (3,1,-1) என்ற புள்ளியிலிருந்து \(\frac { 2 }{ \sqrt { 3 } } \) தொலைவில் உள்ளதுமான தளத்தின் சமன்பாட்டைக் காண்க.

y=1+x³ என்ற வளை வரைக்கு x+12y=12 என்ற கோட்டிற்கு செங்குத்தாக உள்ள தொடுகோடுகளின் சமன்பாடுகளைக் காண்க.

சராசரி மதிப்புத் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி, \(|\sin \alpha-\sin\beta|\le |\alpha-\beta|, \alpha, \beta \in R\) என நிறுவுக.

sin x -ன் விரிவை  \(x-\frac{\pi}{4}\) -ன் அடுக்குகளாக முதல் மூன்று பூச்சியமற்ற உறுப்புகள் வரை காண்க.

y = 3+ sinx  என்ற வளைவரையின் குழிவு இடைவெளிகளைக் காண்க.

ஒர் எண்ணின் n -ஆம் படி மூலம் கணக்கிடப்படும் போது ஏற்படும் சதவீதப் பிழை தோராயமாக , அந்த எண்ணின் சதவீதப் பிழையின் \(\frac { 1 }{ n } \) மடங்கு ஆகும் எனக்காட்டுக.

v(x, y, z) = x³ + y³ + z³ +3xyz எனில் \(\frac { { \partial }^{ 2 }v }{ { \partial y\partial z } } +\frac { { \partial }^{ 2 }v }{ z\partial y } \) என நிறுவுக.

\(\int ^\frac{2\pi}{0}_{0}\) g(cos x)dx = 2 \(\int ^{\pi}_{0}\) g(cosx)dx எனக் காட்டுக. இங்கு g(cos x)  என்பது cos x -  ல் அமைந்த சார்பு.

பின்வருவனவற்றை மதிப்பிடுக:
\(\int _{ 0 }^{ \pi /2 }{ \cfrac { dx }{ 1+5{ \cos }^{ 2 }x } } \)

y = Acos x + Bsin x எனும் சமன்பாட்டிலிருந்து A, B எனும் மாறிலிகளை நீக்கி வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டை உருவாக்குக.

பின்வரும் வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகளின் தீர்வுகளைக் காண்க:
\(\frac { dy }{ dx } -x\sqrt { { 25-x }^{ 2 } } =0\)

6 வெள்ளை மற்றும் 4 கருப்பு பந்துகள் கொண்ட ஒரு ஜாடியிலிருந்து இரு பந்துகள் சமவாய்ப்பு முறையில் தேர்ந்தெடுக்கப்படுகின்றன. தேர்ந்தெடுக்கப்ப டும் ஒவ்வொரு கருப்பு பந்திற்கும் ரூ. 30 வெல்வதாகவும் தேர்ந்தெடுக்கப்படும் ஒவ்வொரு வெள்ளை பந்திற்கும்  ரூ. 20 தோற்பதாகவும் கொள்க .
வெல்லும் தொகையை X குறிப்பதாகக் கொண்டால், X -இன் மதிப்புகளையும் மற்றும் அதன் நேர்மாறு பிம்பங்களில் புள்ளிகளின் எண்ணிக்கையும் காண்க.

சமவாய்ப்பு மாறி X -யின் நிகழ்தகவு அடர்த்தி சார்பு 

(i) P(0.2 ≤ X < 0.6) (ii) P(1.2 ≤ X ≤ 1.8) (iii) P(0.5 ≤ X < 1.5) ஆகியவற்றைக் காண்க

ℤ என்ற கணத்தில் '+' என்ற ஈருறுப்புச் செயலி கொண்டு (i) அடைவுப் பண் பு (ii) பரிமா ற்றுப் பண்பு (iii) சேர்ப்புப் பண்பு (iv) சமனிப் பண்பு மற்றும் (v) எதிர்மறைப் பண்பு ஆகியவைகளைப் பெற்றுள்ளதா எனச் சரிபார்க்க .

கீழே கொடுக்கப்பட்டிருக்கும் இரண்டு கூற்றுகள் p மற்றும் q -க்கு பின்வருபவைகளை எழுதுக.
(i). நிபந்தனைக் கூற்று
p: பகா எண்களின் எண்ணிக்கை முடிவில்லாதது
q: ஊட்டி கேரளாவில் உள்ளது
(ii). மறுதலைக் கூற்று
p: பகா எண்களின் எண்ணிக்கை முடிவில்லாதது
q: ஊட்டி கேரளாவில் உள்ளது
(iii). எதிர்மறைக் கூற்று
p: பகா எண்களின் எண்ணிக்கை முடிவில்லாதது
q: ஊட்டி கேரளாவில் உள்ளது
(iv). நேர்மாறுக் கூற்று
p: பகா எண்களின் எண்ணிக்கை முடிவில்லாதது
q: ஊட்டி கேரளாவில் உள்ளது